2.5 指数与指数函数-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习学案（新教材）

第五讲 指数与指数函数 知识梳理·双皇自测 知识梳理 函数的定义城为R,值域为(0，+) 函数图象过定点(0,1)，即x=0时，y=1 知识点一 指数与指数运算 1.根式 当x>0时，恒有y>1: 当x>0时.恒有0<y<1: 性质 (1)根式的概念 当x<0时，恒有0<y<1 当x<0时，恒有y>1 根式的概念 符号表示 备注 函数在定义域R上为 函数在定义城R上为 如果 ,那么x叫做c n>1且 增函数 减函数 的n次方根 EN 当n为奇数时，正数的n次方 归纳拓展 根是一个 零的n次方根 ,负数的n a 是零 次方根是一个 L.画指数函数y=a(a>0且a≠1)的图象时注意两 个关键点：(1，a),(0,1). 当n为偶数时，正数的n次方 根有 负数没有偶次 ,它们互为 ±a 2.底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a 方根 >1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大，函数图 (2)两个重要公式 象越高即“底大图高” ,n为奇数， y=d ① (a≥0)， n为偶数. a<0). 轮总复习 ②(a)"= (注意a必须使a有意义)。 2.分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是a= (a>0 m.nEN',n>1). 039 (2)正数的负分数指数幂是4÷= (a>0,m. 3x)=a与g()=(日)广(a>0且a≠1)的图象关 nEN'.n>1). 于y轴对称 (3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无 意义. 双基自测 3.有理指数幂的运算性质 题组一 走出误区 (1)a·a= (a>0,rsEQ); (2)(a)= (a>0,rseQ); 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或 (3)(ab)'= (a>0,b>0,reQ) “×”) 知识点二指数函数的图象与性质 (1)(-4)=-4 ( 指数函数的概念、图象和性质 (2)2”·2=2 定义 函数fx)=a(a>0且a≠1)叫指数函数 (3)a=-a(n,meN). ( 底数 a>1 0<a<l (4)函数y=3·2,与y=2'都不是指数函数. ( 图象 (5)若a"<a"(a>0,且a1),则m<n.( (6)函数y=2在R上为单调增函数 题组二走进教材 4.(必修1PgT4改编)若函数f(x）=a(a>0,且a≠ 2.(必修1PmT1改编)下列根式与分数指数幂的互化 )的图象经过点P2,),则-1)= 正确的是 ( A.-=(-x) 题组三走向高考 5.(27·北京已知函数)=3-(】 ,则rx)() A.是奇函数，且在R上是增函数 c万=y时 B.是偶函数，且在R上是增函数 D.[-)]=x(x<0) C.是奇函数，且在R上是减函数 3.（必修1PmT4改编)化简16xy(x<0,y<0)得 D.是偶函数，且在R上是减函数 ( 6.(2023·天津，3,5分)设a=1.015,b=1.01,c= A.2x'y B.2xy 0.65,则a,b,c的大小关系为 () C.4x'y D.-2x'y A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>e D.b>a>e 套点突破·互动探究 名师点拨：指数幂运算的一般原则 考点 指数与指数运算一自主练透 1.有括号的先算括号里的，无括号的先做指数 例1.a-(-引+ -(2-1)°= 运算. 040 2.先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. 3.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成 2025 2.设a,B是方程5x2+10x+1=0的两个根，则 分数，底数是带分数的，先化成假分数， 24·2= 年 ,(2)8= 4.若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用暴的形 度 3计算：( (4ab1)月 式表示，运用指数幂的运算性质来解答」 新 (0.1)-·(a3.b-3 5.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不 计 (a>0,b>0). 能既有分母又含有负指数，形式力求统一 衡 4.已知a支+a宁=3，求下列各式的值， ①a+a':②02+a:③4+a2+1 考点己 指数函数的图象与性质 a+a1+1 喜向1指数函数的图象及应用一—师生共研 例1已知函数y三a-6(a>0,a≠1)的图象如图所 示，则以下结论不正确的是 () -10 A.a°>1 B.In(a+b)>0 C.25-“<1 D.b>1 2.(多选题)已知实数a,b满足等式2024= 2025,下列等式可以成立的是 () A.a=b=0 B.a<b<0 C.0<a<b D.0<b<a 3.已知函数f(x)=12-1l,a<b<c且f(a)> f八c)>八b),则下列结论中，一定成立的是() A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0，c>0 C.2°<2 D.2°+2°<2 [引申](1)f(x)=a+3的图象过定点 2.(2022·邯郸一模)不等式10°-6-3≥1的 (2)若将本例3改为“y=12-11”,且与直线y= 解集为 b有两个公共点，b的取值范围是 角度3指数函数性质的综合应用 (3)若将本例3改为：函数y=2-11在(-，k]上 a 单调递减，则k的取值范围是 例1.已知函数x)=3+a>0.且a≠1)是偶函 名师点拨：指数函数图象的画法及应用 数，则(x)的最大值为 1.画指数函数y=a(a>0,a≠1)的图象，应抓住 三个关键点：1a),(0,1)(-1,)由面数解析式 2已知函数)（付 r2-4r+3 (aeR).若a= 判断其图象一般取特殊点验证，从而作出判断， -1,则函数(x)的单调递增区间为 ;若f八x) 2.与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利 的值域是(0，+)，则a= 用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其 名师点拔： 图象. L.解指数方程的方法 3.一些指数方程，不等式问题的求解，往往利用相 (1)同底法：把方程化为=a的情形，然后 应的指数型函数图象数形结合求解， 得出f八x)=g(x) 【变式训练】 (2)化为a=b,利用对数定义求解x=logb 1.(2023·长春模拟)已知函数f(x)=(x-a)·(x b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)= (3)把方程化为f()=0的情形，然后换元，即设 a+b的图象是 )㎡=1，然后解方程f八)=0，注意只要1>0的解 2.解指数不等式的方法 同底法：把方程化为>a的情形，根据函数 单调性建立f八x)和g(x)的不等式，需对a进行讨论 高夸 3,求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要 熟知指数函数的定义域、值域，单调性等相关性质，其 次要明确复合函数的构成，涉及值城、单调区间、最值 等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断， 最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决。 学 【变式训练】 041 2.(多选题)已知实数a,6满足等式（分）=（兮），则 1.(角度1)下列各式比较大小不正确的是 ( 下列关系式中不可能成立的是 A.1.725<1.7 B.0.61>0.6 A.0<b<a B.a<b<0 C.0.8-a1<1.25a2 D.1.7a3<0.92 C.O<a<b D.b<a<0 2.（角度3)（多选题）(2024·杭州模拟)已知函数 3.若方程3口-1=m有两个不同实根，则m的取值范 九)-下列说法正确的有 () 围为 考向2指数函数的性质及耳应用一暑维探究 A.八x)的图象关于原点对称 角度比较指数幂的大小 例(2024：福建质量检测)已知a=0.30“,6=0.3 B.f八x)的图象关于y轴对称 C.f八x)的值域为(-1,1) e=0.4s,则 A.a>b>c B.a>c>b D.Vx1,x:∈R,且x1≠x2, x)-f)<0 1-3 C.b>c>a D.c>b>a 角度2解筒单的指数方程或不等式 3.(角度2)已知实数m≠2，函数f(x)= r4,x≥0， 3x≥0， 例1.已知实数a≠1，函数八x)= 2"-,x<0, 若1 若f(2-m)=f(m-2),则m的值为 9m-,x<0, -a)=f八a-I),则a的值为 名师讲坛·素养提升 指数品数中的分美与整合思想 5 1+b= 2 「a= 解得 例 已知函数fx)=a*2r+b(a,b是常数Ha>0, +b=3 b= 在区同 0上行最大值3利和最小值 子试球a b的值 3,b3 综上所述，a=2,b=2或4= 名师点拔： 求复合函致值城，先观察记是怎样复合而成 分类与整合就是所给变量不能进行统一研究时， 的ya+6.t=r+2x,x [司后出 要分类研究，再整合得到的结论，指数函数的单调性与 牛2是，0]的俊玩再表=的位城 3 底数的取值有关，如果底数是字母时，常分情况讨论 解指数函数综合间题的两个注意点： 注意要对底教a进行分类过论 1.指数函数的底数不确定时，应分a>1和0<a< 1 两种情况讨论. 2.解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要 [解析] 设1=+2re-0, 熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利 用换元法求解时要注意新元的取值范围， 由图象得te[-1.0]. 042 【变式训练】 ①当a>1时，g(t)=a+b在[-1,0]上为增函 设a>0且a≠1，函数y=a2+2a-1在[-1,1]上 225 数，值城为日+6,1+小， 的最大值是14，求实数a的值. 年 (L+b= 5 解得=2 b=2. 新 1+b=3, 计 ②当0<a<1时，g(t)=a+b在[-1,0]上为减 面数，做线为1+6，。+小。 温馨提示：复习至此，请完成练案[10 第六讲 对数与对数函数 知识梳理·双皇自测 知识梳理 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 知识点一对数与对数运算 ①og1= 1.对数的概念 ②log.a= (其中a>0且a≠1)： (1)对数的定义：如果a=N(a>0,且a≠1)，那 ③log.a”= (a>0,a≠1，beR). (2)对数恒等式 么数x叫做以a为底N的对数，记作 ,其中 alng.V (其中a>0且a≠1，N>0). 叫做对数的底数， 叫做真数 (3)对数的换底公式 (2)几种常见对数 log N= (a,b均大于零且不等于1，N>0) 对数形式 特点 记法 (4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,那么 般对数 底数为a(a>0.且a≠1) ①log.(MN)= ； 常用对数 底数为 自然对数 底数为 ③log.W"= (n∈R)则/(0)=a+1=3. >/(x). 解得a=2: 故函数/f(x)在其定义域[0.+x)上单调递增 故/(x)=2(-1)+1. (2) (3)由题意利用函数的单调性的定义、函数的定义域,求得a的 范围. #x)-(-)-2-×(1--1) 1-11 若{a+1)→f(2a-3),则+1v2a-3.a+1>2a-3 0.求得a<4. 即(x)在[-]上的最大值为士 7.[解析](1)/(x)=”-2ax+3=(x-a)}+3-. (3)·函数/f(x)在区间[2a,a41]上不单调, 对称轴是x=a,若涵数/f(x)在(一*,-2)上单调递减, .2a<1<a+1,解得,0<a<士: 则a-2.即a的取值范围是[-2,+*). (2)a=1时Jf(x)=(x-1)+2. 故实数a的取焦范围为(o.). $$x)-g(x)=x-4x+3-b, 由题意得f(x)-g(x)>0.即x2-4x+3-b>0恒成立 B组能力提升 故A=16-12+4b<0,解得:b-1. 1.C 设(x)=x”,则-3. 当f(x)>g(x)且恰好能取到等号。 即f(x)=g(x)时,b=-1. /()-()- 第五讲 指数与指数函数 2.C 设g(x)=(x-a)(x-b)(a<b),则y=g(x)-2.所以y的 知识梳理·双基自测 图象是由g(x)的图象向下平移2个单位长度得到的,因为a. 知识梳理 B(a<B)是方程y=0的两个根,所以a<a<b<B.故选C. 知识点一 3.AC 由已知得图象与;轴另一交点为(3.0),所以当x>3时,y1.x”=a 正数 负数 两个 相反数 a a -aa <0.故A正确: {}。 当x=2时.y=4a+2b+c>0.故B错误; *& 义y=a+b+c过点A(-1.0).a<0 双基自测 1.(1)x (2)x (3)x (4)(5)x (6)× $.b+2a=0,则6+3a<0.故D错误; [解析](1)由于(-4)-4-4,故(1)错误;(2)2*·2” 又·3a+c=0.c=-3a.且2c3. “n“”,故(2)错误;(3)不正确,a}-(4)y=2”x2与y=3 .2<-3as3..-1sas-2,故C正确. x2都不是指数函数;(5)当a>1时m<n,当0<a<1时m> 故选AC. n;(6)y-2*=()是减函数. 4.A. 由已知先利用待定系数法求出函数解析式,然后结合已知 不等式转化为函数i(x)在(-1.+x)上单调递增,然后结合 2.B 根据指数器的运算法则化简判断即可。-=-x,故A不 函数的性质即可求解,设/(x)=ax{}+bx+c(a×0).因为/(x4 成立:()(x→0),故B成立;-1y1t,故C不成 1)=f(x)-2x+1,所以a(x+1)+b(x+1)+c-ax?-bx-c= -2x+1.整理得,2ax+a+b=-2x+1,故a=-1.b=2.又/ (1) =+b+c=-1.所以c=-2.fx)=-x+2x-2.因为对任章$ 立;[V(-x)]=[(-x)-(-x)}x<0,故D不成立。 故选B. 士- →f(x)-m ,令g(x)=f(x)-n=(-1-m)x+2x-2.则 所以V16-(16x*·)=(16).()·()= x.x→-1时,g(x.)→g(x).即g(x)在(-1.+)上单调 21yl=-2xy.故选D. 递增,当m=-1时,g(x)=2x-2满足题意,当m×-1时。 {4V2--(61)-({)H r-m-1>0. -1].故选A. ()-()-3--[-()] 5./(x)=x-4x+5(答案不唯一)由二次函数的对称性、值域及 =-/(x),即函数/(x) 单调性可得/(x)的解析式可以为f(x)=(x-2)+1,此时/(x) 是奇函数,又y-3”在R上是增函数,y-()在R上是减函 图象的对称轴为直线x=2.开口向上,满足②,对任意x,x2 e(-0).且x≠x,都有{()一)(0等价于f(x)在 数,所以/(x)-3-()在R上是增函数,故选A. 一七 (-*,0)上单调递减.f(x)=(x-2)+1满足③,又f(x)= 6. Df(x)=1.01'单调递增.f(0. 5)<f(0.6).即a<b. (x-2)+1>1,满足①,故/(x)的解析式可以为/(x)=r-4x :g(x)=x单调递增..g(1.01)>g(0. 6),即ac..b>a> 5. c.故选D. 6.[解析](1)由题意利用寡函数的定义和性质,求得m的值, 考点突破·互动探究 可得结论. 考点1 ·函数f(x)=(m-2m+1)x”T的图象过点(4.2),.m}- 2m+1=1.4~-}-2,求得m=2. {例2:2t 由根与系数的关系得a+B=-2.ag-.则2”· 故有/(x)-. (2)/f(x)=x在其定义域[0.+x)上单调递增. 2-“=2*-2-1(2”)"-2*2. 证明:设x。>x0即x-x>0. + 10{- -436- 例4:[解析]①将at+a=3两边平方,得a+a+2=9,所 3.(0. ) 作出函数y=3-1与y=m的图象如图所示,数 以a+a'-7. 形结合可得n>0. ②将a+a-7两边平方,得a}+a}+2=49,所以a+a} 3_21_010 =47. 考点2 考向1 例1:D 根据函数r=a'-b(a>0.a1)的图象知,函数y= - b是单调增函数,所以a>1,又x=0时,y=1-b,所以0 l 考向2 -b<l.解得0<<l所以v=是单调增函数,a>a*=1. 角度1 选项A正确;由a+b>1.得ln(a+b)>0,选项B正确;由b 例:D 方法一:由指数函数y=0.3”在定义域内单调递减,得a< -<0.得2**<2^*}=1.选项C正确;y=是单调减函数,b" b.由暴函数y=xn”在定义域内单调递增,得c>b,故选D. <b=1.选项D错误.故选D. 二:因为-01.-() 例2:ABD 如图,观察易知,a<b<0或0<b<a或a=b=0.故 <1.又a.bc都为 选ABD. 正数,所以c>b>a,故选D. -2025t 角度2 /-2024* 例1:2 ①当a<1时,由/f(1-a)=f(a-1)得4'--2*-1). 即2-*-2.所以2-2a=1,解得a-1:②当a>1时,由/(1 -a)=f(a-1)得4-1-2--,即2*-2-2,所以2a- 例3:D 作出函数/(x)=12-11的图象。 例2:[1.+×)由10-6-3>1,可得()()() 如图, :a<b<c且/(a)>/(c)>f(b).结合 <1.令(x)()()(),因为y() 图象知。 o<f(a)<1.a0.c>0. (3)y-()均为R上的减函数,则/(t)在R上单调递 -021. ./f(a)=12*-11-1-2. 减,且/(1)=1.&./(x)f(1).x>1,故不等式10-6-3 ./(c)I.0e<1. >1的解集为[1.+x). .1<2<2.:./c)=12-11=2-1. 角度3 又/(a)>fc).1-2>2-1. 过: :2422.故选D. [引申] (1)(1.4)(2)(0.1)(3)(-x.0] [解析](1)当x=1时,y=4.因此函数y=a+3过定点(1. ##可得# 0因 4). ) (2)曲线v=12-11与直线y=b的图象如图 所示,由图象可得,如果画线y=12-11与直 8 线y=b有两个公共点,则b的取值范围是(0. 为a>0.所以a-3,所以(x)-) 1) 3+1 (),因 (3)因为函数y=12*-11的单调递减区同为(-第,0],所以k (③): 为()0.所以(v3)+=2 =0.即k的取值范围为(-x,0]. ()-2 变式训练 (3) 1.A 由图象可知,b<-1.0<a<1.所以函数g(x)=a+b是减 ()) 函数,g(0)=1+b<0,所以选项A符合. 2.CD 在同一坐标系内,作出函数y-()和y=()的图 =.所以/(x)的最大值为 象(如图). ()1 #-## +() 当a-1时(t)-() -.) 例2:[-2.+x)0 .令g() #### -) =--4x+3.由于g(x)在(-x,-2]上单调递增,在 (-2.+)上单调递减,而y-()在R上单调递减,所 a6 0b a 以/(x)在(-*,-2]上单调递减,在[-2.+x)上单调递 增,即函数/(x)的单调递增区间是[-2.+x).令h(x)= 结合图象分析a.6满足等式()”-()时a,6的大小 x{-4x3./()-() ,由指数函数的性质知,要使 关系。 易知,若a,b均为正数,则a>b>0;若a,b均为负数,则a<b 0. 的值域为R.因此只能a=0(因为若a0,则h(x)为二次函 若a-b-0.则()*-(){-1. 数,其值域不可能为B),故/f(x)的值域为(0.+x)时,a的 值为0. 变式练 1.D 对于A.B显然正确;对于C.0.8 =1.25*,显然正确;对 于D.1.7*1.7*=1.0.90.9=1.D不正确,故选D. 图象满足条件,故D正确.故选B. 2. AC(-x)-311-3 9.AB A项中y>0.B项中y>0.C项中y>0.D项中y>1.只有 AB项正确,故选AB f(x)的定义域为R,且/f(-x)=2-2=-f(x),所以f(x)是 3+1 3. -3 当m<2时,3--9”-*2,即3--=3”,解得m=-3; 奇函数,故B正确; 当m>2时,9-(2--3-2-1.即3“-4-3”-,解得m= 3 当→-x时f(x)→+x; (舍),故n:-3. 当x→+x时f(x)→-第。 名师讲坛·素养提升 即/(x)的值域是(-x,4x). 变式训练 它又是R上的减函数, 设a”=1.则a-?. [解析] 因此对任意实数a.J/(x)=a都有解,故D正确 ①当!时y-^+21-1,在[]上为增数, 11.A 由/f(x)=(a}-3)a为指数函数,得a^}-3=1,又a 0且 $a1,所以a=2.所以/f(x)=2’,则/(b)=2*=2,解得b=1.此 当:=a时,取得最大值,a+2a-1. #7)#.# 2-1. 所以a+2a-1=14.解得a=3或a=-5(舍); 时g(x)=21 函数g(x)的图象可以看 ②当0<a<1时r= [y=+-1,在[.]上为增 2x0. 孟数, 作由函数y= 1() 出时,取得大信,(一)-1. 的图象向左平移1个单位长度得 到.结合指数函数的图象及选项可知A正确 12.<利用待定系数法求出函数/(x)的解析式,再利用函数 f(x)的单调性即可比较大小.设/(x)=a’(a>0,且a≠1). 综上所述,a-3或 练案[10] 调递减-2-3.f-2)<f-3). 1.C 2-=9.26,则4-2)-)- A组基础巩固 自变量:须满足:()-2=0. 2. B 由指数函数的定义知a2}-4a+4=1且a≠1.解得a=3.故 解得x(-*,-1], 选B. 故函数(s)-()-2的定义域为(-*.1. 3.D y=2*,y=2”,y=2y=2在定义域内为增函数 yy>y. 4.A 当x=1时Jf(1)=6,与a无关,所以函数/(x)=4+2a 的 14.-因为0<a<1,所以函数f(x)=a 在[1,2]内是减函数, 图象恒过点P(1.6).故选A. 因为函数/(x)=a'(0<a<1)在[1.2]内的最大值比最小值大 5.D方法一:当a>1时,01 -<1,将y=a*的图象向下平移1 。 .所以/(1)-/(2)-a-a-. 个单位长度得/(s)-a--的图象,A、B都不符合;当0<a<1 解得a-),或a=0(舍). -1的图象,D符合,故选D. +x.)=f(x)/fx。)成立,则对应的函数为指数函数y=a'(a> 0.且a1)的形式;若满足②/(x)为偶函数,只需要将;加绝 方法二:函数/(x)的图象恒过点(-1,0),只有选项D中的图象 对值即可,所以满足①②两个条件的函数满足f(x)=a(a> 符合 0.且ax1)即可. 6.C 由题意可得N。e”-4N。,可得。“-4.设M。e*= r=1. 16.[解析] (1)由已知得 1.-}-8 1a=2 0. 64N。=(4)N.,可得e-*-(e“)-。”",解得t-8.因此, (2)() 污染物消除至最初的64%还需要4小时,故选C. -2-1.(2-1)21-2--(x) 7.B 将2 )=()化为x*}+15-2(x-2)即*)+2x-3< 8(-)-2-+1-(21)21+2 0.解得x=[-3.1],所以2*2<2,所以函数y=2的值域 所以()-2奇数。 是2 21 17.[解析](1)fxt)是定义在B上的奇函数 8.B 2.2-2.所以A成立 212:2*,所以B不成立, ./(0)-0.即a+1=0.解得a=-1. (2)/(x)=-3+3. 函数/(x)=2*在B上是增函数 若 >,则()>/(n),则{() (),0. 设xxi.=0,则/fx)-ffx)=3-3”+3-3. x0.-x<-. x一1 若#<,则(n)<(),则{))_0.故C正确。 3333即3”-303---3--0 fx)-f(x)=3-3+3*1-3<0. _-x: ,f(x)在[0,+x)上是减函数. -438-