2.3 函数的奇偶性与周期性-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习学案（新教材）

名师讲坛·素养提升 抽象品数的单调性问题 所以f八x)在[-3,6]上的最大值为2，最小值为 抽象函数特值法，计算0)，寻找代)与代刘 关系，以及代x)代x)的符号 注：可考虑函数(x)=- 3 名师点拨： 例 已知定义在R上的两数f)对征意实数x,y 有/+09=.=-号，血当 对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的 定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意， x>0l时，f(x)<0. 1)求证：x)为奇函数： 在所给区同内比较x)-八)与0的大小，或) f代x2） 2)求证：f)在R上是减函数； 与1的大小.有时根据需要，需作适当的变形，如x1= (3)求f(x)在[-3.6]上的最人值与最小值. 马+名一名或名=·名等深轮已知条件，是求解此 类题的关键，在客观题的求解中，解这类题目也可考虑 [解析](1)证明：令x=y=0,可得f(0)+f(0) 用特殊化方法 =八0+0)=八0)，从而f(0)=0. 【变式训练】 令y=-x,可得f(x)+f八-x)=f(x-x)=f(0) f八x)的定义域为(0，+%)，且对一切x>0,y>0都 030 =0 即f八-x)=-八x),故八x)为奇函数 有(）=x)-),当x>1时，有x)>0 2025 (2)证明：对任意x1,x2eR,不妨设x1>x2,则x (1)求(1)的值： 年 -2>0,于是f八x1-x2)<0, (2)判断f(x)的单调性并证明： 度 从而f八x)-fx2)=f[(x-x)+x2]-f(）= (3)若6)=1，解不等式(x+5)-)<2 新 fx1-x2)+f八x2)-f代x2)=f八x,-2）<0, 计 所以f八x)在R上是减函数. (3)由(2)知，所求函数在[-3,6]上的最大值为 八-3)，最小值为f代6) 因为f(-3)=-f(3)=-[f(2)+f(1)] -[21)+f1)]=-31)=2, f6)=-f八-6)=-[-3)+f0-3)]=-4. 温馨提示：复习至此，请完成练案[7」 第三讲 函数的奇偶性与周期性 知识梳理·双皇自测 知识梳理 图象 特征 关于 对称 关于 对称 知识点一函数的奇偶性 知识点二 函数的周期性 偶函数 奇函数 1.周期函数 如果对于函数f代x)的定义域内任意→个x 对于函数y=八x),如果存在一个非零常数T,使得 当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称 定义 都有 ,那么函都有 那么函数 函数y=八x)为周期函数，称T为这个函数的周期 数x)是偶函数 (x)是奇函数 2.最小正周期 如果在周期函数八x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫做八x)的最小正周期 归纳拓展 (2)若函数f八x)是奇函数，则必有f八0)=0.() (3)若函数y=f(x+a)是偶函数，则函数y=f八x)的 1.奇（偶）函数定义的等价形式 图象关于直线x=a对称 () (1-)=f(x)af(-x)-(x)=0-2= (4)若函数y=八x+b)是奇函数，则函数y=f八x)的 f(x) 图象关于点(b,0)中心对称 () 1(八x)≠0)x)为偶函数： (2)-x)=-fx)af-x)+fx)=0=- (5)2r是函数f(x)=sinx,x∈(0，+)的一个周 f八x) 期。 -1(f八x)≠0)(x)为奇函数 2.若y=f八x)为奇函数，y=g(x)为奇函数，在公共定 (6)周期为T的奇函数x),一定有/（引=0 义域内 (1)y=f八x)±g(x)为奇函数： 题组二走进教材 (2y=ea)与y-得为偶函数： 2.（多选题)（必修1PgT2改编）给出下列函数，其中是 (3)y=f[g(x)]与y=g[f(x)]为奇函数 奇函数的为 ()》 同理若y=(x)与y=g(x)在公共定义域内均为偶 Af八x)=x B.f(x)=x5 函数，则y=f八x)±g(x),y=j(x)g(x),y=, 1 6(t) C.f八x)=x+ D)=克 =f[g(x)],y=g[(x)]均为偶函数 3.(必修1PsT3改编)若函数y=f(x)(x∈(a,b)为 若y=八x)为奇函数，y=g(x)为偶函数，则在公共 奇函数，则a+b= 定义域内y=x)g()与y=0均为奇函数，y 4.（必修1PssT1改编)若函数y=f(x)(x∈R)是奇函 g(x) 数，则下列坐标表示的点一定在函数y=f八x)图象上 f[g(x)]与y=g[八x)]为偶函数 3.对f八x)的定义域内任一自变量的值x,最小正周期 的是 为T A.(a,-fa)) B.(-a,-fa)) (1)若f八x+a）=-f八x),则T=2lal: C.(-a,-f-a) D.(af(-a)) 靶 (2)若f(x+a)= 则T=21al: 5.（必修1P,TI2改编)设奇函 数f八x)的定义域为[-5,5]， 习 (3)若fx+a)=fx+b),则T=1a-b1. 若当x∈[0,5]时f代x)的图象 4.函数图象的对称关系 如图所示，则不等式(x)<0 0 (1)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则 的解集为 九)的图象关于直线x中对称： 03 6.(必修1PmT11改编)定义在R上的奇函数f八x)以2 (2)若函数f代x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则 为周期，则八1)+f八2)+f八3)的值是 人)的图象关于点生兰0列对称 A.0 B.1 C.2 D.3 7.(必修1PT3改编)已知f(x)为定义在R上的奇函 5.一些重要类型的奇偶函数 数，当x≥0时(x)=2+m,则f八-3)= (1)函数f八x)=a+a为偶函数，函数f(x)=a 题组三走向高考 a“为奇函数； (2)函数x=“a二=：为奇函数： 8.(2023·新课标Ⅱ，4,5分)若f(x)=(x+a)· （3)函数)=lg.名+为奇函数： b2为偶函数则a A.-1 B.0 (4)函数f八x)=lg(x+√X+1)为奇函数 D.1 双基自测 9.(221·全国乙，4利设函数)+则下列函数 题组一走出误区 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或 中为奇函数的是 “×") A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 (1)函数y=x2,x∈(-2,2]是偶函数 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 考点突破·互动探究 2.(2023·吕梁模拟)已知函数f(x)为定义在R 考点 函数的奇偶性 上的奇函数，且当x≥0时(x)=2”+x-1,则当x<0 言问！判断函数的奇偶性一自主练透 时八x)等于 () 例1，（多选题已知奇函数(x)与偶函数g(x)的定 A.2-x-1 B.2-4+x+1 义域、值域均为R,则 ( C.-2w-x-1 D.-2+x+1 A.f八x)+g(x)是奇函数 角度2利用奇偶性求参数的值或取值范围 B.f八x)lg(x)I是奇函数 C.f八x)g(x)是偶函数 例1.已知)=a+c+c是定义在[6-l,26]上 的奇函数，则a+b+c= () D.f几g(x)]是偶函数 2.判断下列函数的奇偶性， 4.3 a=+, n (2)fx)=√-1+V1-x: 2.(2023·全国乙理，4,5分)已知f(x)= e"-1 (3)fx)=lx+11-lx-11: 是偶函数，则a= 4)=足 1x+21-2 A.-2 B.-1 C.1 D.2 032 (5)/fx)=ln(x+√x2+1): 名师点拨： 6e)- 1.求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化 225 到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性 年 构造关于八x)的方程（组），从而得到(x)的解析式. 2.求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称 的前提下，利用八x)为奇函数-x)=-f(x),八x) 设 为偶函数一(x)=八-x),列式求解，也可利用特殊值 法求解.对于在x=0处有定义的奇函数f(x),可考虑 衡 列等式f代0)=0求解， 名师点拨：判断函数的奇偶性的方法 【变式训练】 L,定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的1.（角度1）(2019·课标全国Ⅱ改编)设f八x)为偶函 区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函 数，且当x≥0时(x)=e-1,则当x<0时，f(x)= 数：若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断 () f八-x)是否等于f(x)或-f八x),据此得出结论， A.e-1 B.e+1 2.图象法：奇（偶）函数的充要条件是它的图象关 C.-e4-1 D.-e4+1 于原点（或y轴）对称 2.(角度2)已知函数f(x)=x(2'+a×2)(x∈R), 3.性质法：偶函数的和、差、积、商（分母不为零） 若f八x)是偶函数，则记a=m,若f(x)是奇函数，则 仍为偶函数：奇函数的和，差仍为奇函数：奇（偶）数个 记a=n,则m+2n= () 奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函数：一个奇 A.0 B.1 函数与一个偶函数的积为奇函数.（注：利用上述结论 C.2 D.-1 时要注意各函数的定义城) 3.(角度2)(2024·云南省昆明市云南师大附中高三 考问2函数台偶性的综合血用一暑维探究 高考适应性月考)已知函数∫(x)= 角度！利用性质求解析式 例1，(2024·十堰模拟)已知y=)是定义在R上 re1-3,x>0. 10,x=0, 为奇函数，则g(-1)=() 的奇函数，且当x≥0时f(x)=x2+a.x+a+1,则 g(x）-3,x<0 f八-2)等于 A.3 B.6 A.-2 B.2 C.6-e2 D.3-e2 C.-6 D.6 [引申2]若将不等式改为f(x-1)≥0呢？结果 点 函数的周期性—一师生共研 为 例设八)是定义在R上的奇函数，且对任意实数， 角度2奇偶性与周期性结合 恒有f八x+2)=-f(x).当xe[0,2)时，f(x)=2x -x2. (1)求证：八x)是周期函数： 例 (多选题)已知fx为R上的偶函数，口f(x+2 (2)求f(2)的值： 是奇函数.则 (3)当xe(2,4]时，求f八x)的解析式： A.fc关于点(2.0)对称 (4)计算f八0)+f1)+f八2)+…+f八2025). B.fx)关丁直线x=2对称 C.fx)的周期为4 方法【：定义法 D.fx的周期为8 由代+2)=-+2)得 代=-(4x对 方法2：平格法 代x什2)右移2个单位得到代) 角度3单调性. 奇偶性和周期性结合 名师点拨： 已知定义在R上的奇函数fx)满足fx-4)=-fx) 高考中对函数周期性的考查，主要涉及函数周期 H在区问0,21上是增函数，则 性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关 A.f-25)<f11)<f80)先变形为f(x)=代r4 的函数综合问题.解决此类问题的关键是充分利用题 目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的 B.f80<f11)<f-25)再由代x4)=-代x-8)进 一步得到代x=x8), 范围内进行求解 c.f1<f80<-25)从商特到它是周期 函数同期性的三个常用结论： D.f-25)<f80<f11)为8的函数 靶 1.若f八x+a)=-f八x),则T=2a: 1 习 2若八x+a)=西则T=20: 名师点拨：函数性质综合应用问题的常见类型 及解题策略 学 3.若八x+m）=元，则7=2a.(a>0) 1,函数单调性与奇偶性结合.注意函数的单调性 【变式训练】 及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性， 033 1.若函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且xe[-1, 2.周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值间 1]时，x)=x2,则xe[7,9]时的函数解析式是 题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的 自变量转化到已知解析式的函数定义城内求解， 2.(2023·沧州七校联考)函数f代x)满足f(x)f(x+2)》 3.周期性，奇偶性与单调性结合，解决此类何题通 =13,且八3)=2，则(2025)= 常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇 点3 偶性和单调性求解. 函数性质的综合应用一多维探究 【变式训练】 角度！奇偶性与单调性结合 1.（角度1)(2023·郴州第二次数学质量检测)已知 例若定义在R上的奇函数x)在(-×，0)上单调 f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数，且在[2b,0] 递减，且f代2)=0，则满足f八x)≥0的取值范围是 上为增函数，则f(x-1)≤f2x)的解集为() A.(-,-2] A【-1,引 B[-1,] B.[0,2] C.[-1,11 片刂 G.(-0,-2]U[0,2] D.(-x,-2]U[2,+) 2.(角度2)（多选题）函数f(x)的定义域为R,若 八x+1)与八x-1)都是偶函数，则 () [引申1]若将“奇函数”改为偶函数，则结果为 A.f八x)是偶函数 B.f八x)是奇函数 C.f(x+3)是偶函数 D.fx)=f八x+4) 3.(角度3)(2021·全国甲卷)设函数(x)的定义域 为R代x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈ 4 B.- [1,2]时x)=a2+b.若f0)+3)=6,则/2 0.2 名师讲坛·素养提升 温数三大性质的棕合应用 而f(x)的周期为6，所以f八x+6)=f八-6+x),(-x) =f-x-6),所以代-6-x)=f-6+x),所以直线x 例 1.(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定 =-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴，故①正 义域为R,fx+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函 确.②当x1,x2e[0,3],且1≠x1时，都有 数，则 (B) ()-0 )->0,所以函数y=x)在[0,3]上为增函 方法1：函数奇偶性定义法 B.f-10=0 方法2：函数平将洗 数，因为(x)是R上的偶函数，所以函数y=八x)在 C.f2)=0 方洗3：特例洗，举符合题 [-3,0]上为减函数，而f八x)的周期为6，所以函数y= 八x)在[-9，-6]上为减函数，故②错误，③f(3)=0 D.f4)=0 意的特殊函数 f八x)的周期为6，所以八-9)=f八-3)=f(3)=f(9)= 0,函数y=八x)在[-9,9]上有四个零点，故③正确 034 [解析】解法一（通解）：：f八x+2)是偶函数，则 解法二：图象法 225 f八-x+2)=∫(x+2).又∫(2x+1)是奇函数，则 f八-2x+1)=-f八2x+1).∴.f(1)=-f八1)可得f(1) 年 度 =0.-1)=-f3)=-f1)=0.放选B. 新 解法二（优解）：可构造八x)=c0[(x-2)]符 设 计 合题意，故选B. 名师点拔： 函数的奇偏性、周期性及单调性，在高考中常常将 潮 抽象函数特值法.先令x=-3,求出f3)的 它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇 值，再得到函数的周期性 偶性和周期性来璃定另一区间上的单调性，即实现区 问的转换，再利用单调性解决相关问题。 已知函数y=fx是R上的偶函数，对」仁意 【变式训练】 x∈R,都有fx+6)=fx)+f3)成立，当x:x 1.(2022·全国乙卷)已知函数f八x),g(x)的定义域均 ∈0,3引，且，≠时，都-0， 为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若 x-x y=g(x)的图象关于直线x=2对称，g(2)=4,则 给出下列命题： ①直线x=-6是的数=x)的图象的一条对称轴： 是) () A.-21 B.-22 ②的数y=fx)在[-9，-6]L为增函数； C.-23 D.-24 函数-fx)在[-9,9]上行四个罗点 2.(多选题)已知f代x)的定义域为R,其函数图象关于 其中所有确命题的序号为①③. 直线x=-3对称，且f(x+3)=f(x-3),若当x∈ [0,3]时.f(x)=2+1,则下列结论正确的是() Af八x)为偶函数： [解析]解法一：①对于任意x∈R,都有f(x+ B.f八x)在[-6，-3]上单调递减： 6)=f八x)+八3)成立，令x=-3,则f(-3+6)= C.代x)关于直线x=3对称： f八-3)+f八3)，又因为f(x)是R上的偶函数，所以 D.f100)=5. f八3)=0.所以f(x+6)=f(x）,所以f(x)的周期为6， 又因为f代x)是R上的偶函数，所以代x+6)=八-x), 温馨提示：复习至此，请完成练案[8(3)八x)在(0.+)上是增菌数， 22此函数为非奇非偶函数：选项D,八x+1)+1 若（写）-1，则(5)+/(5）()-2。 即f5x列-)=（行）+5)=0，即5)= 2此函数为非奇非偶函数，放选B 2 考点突破·互动探究 ∴.f5)+f5)=f25)=2.f5)+f八25)=f八125)=3 考点1 x)在[5,125]的最小值为-2.最大值为3 考向1 例1：BD根据奇函数、偶函数的定义逐一判断即可.因为八-x) 第三讲函数的奇偶性与周期性 +g(-x)▣-八x)+8(x)≠八x)+g(x)且八-x)+g(-x) =-爪x)+g(x)≠-【八x)+(x)],所以f(x)+g(x)既不 知识梳理·双基自测 是奇函数也不是偶函数，故A错误：因为八-x)g(-x)1= 知识梳理 -f八x)g(x),所以f八x)g(x)是奇函数，故B正确：因为 知识点一 八-x)g(-x)=-f八x)g(x)≠f八x)g(x),所以f八x)g(x)是 f八-x)=八x)f-)=-尺x)y轴原点 奇函数，不是偶函数，故C错误：因为几g(-x)]=几g(x)], 知识点二 所以几g(x)]是偶函数，故D正确.故选BD. 例2：[分析]先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定 1.f尺x+T)=f八x) 义城内，解析式带绝对值号的先化简，计算八一x),再判断 2.最小的正数最小正数 几一x)与f尺x)之间的关系.抽象函数常用赋值法判断： 双基自测 1.(1)×(2)×(3)V(4)V(5)×(6)× [解折]（由意得十≥0且≠-1， [解析](6)拳反例.数x)=mx,T=π八T)=π)=0. ∴-1<x≤1，，八x)的定义域不关于原点对称 ()()无意义.所以(）=0不对 ∴爪x)不存在奇偶性，为非奇非偶函数。 2.BC对于fx)=xx)的定义域为R, (2)由{仟二0得=山定义域关于坐标原点对称，又 由-x)=(-x)=x=f八x). -1)=八1)=0， 可知八x)=x是偶函数， ∴八x)既是奇函数，又是偶函数。 同理可知)=，八)=+士是奇函数()=子是偶 (3)函数的定义域xe(-x,+x),关于藤点对称 ,f-x)=-x+11-1-x-11=1x-11-1x+11= 函数 -(1x+11-1x-1|)=-fx), 3.0 .fx)=1x+1|-|x-1是奇函数. 4.B函数y=fx)为奇函数，f八-a)=一f（a).即点(-a, (4)去掉绝对值符号，根据定义判断 -f八：)）一定在函数y=fx)的图象上. 由0， 5.(-2,0)(2,5]由图象可知，当0<x<2时，x)>0: 202o.释{0≤1 当2<x≤5时八x)<0, 故八x)的定义城为[-1,0)U(0,1门.关于原点对称，且有x 又八x)是奇函数， ∴.当-2<x<0时，八x)<0 +2>0.从而有)=：三，这时有-) x+2-2 当-5≤x<-2时八x》>0 1-- -7 综上八x)<0的解集为(-2,0)U(2,5]. =-八x),故八x)为奇函数 6.A根据函数的周期性和奇偶性得到八3)=f(-1)=-(1) (5)/-x)=lh(-x+√R+I) 2)=0)=0.从而可求f八1)+八2)+八3)，因为函数以2为 周期，所以f(3)=-1)2)=(0),因为函数是定义在R上 fr-x)+fx)=ln[(-x+√+T)(x+√+1)]=ln(2 的奇函数，所以八-1)=-代1)，(0)=0.所以八1)+f(2)+ +1-x2)=0 尺3)=八1)+八0)-八1)=0.故选A .f八x)为奇函数 7.-7因为八x)为R上的奇函数 o侣号 =-f八x), 所以代0)=0. .f八x)为奇函数. 即八0)=2°+m=0.解得m=-1. 考向2 故fx)=2”-1(x≥0)， 角度1 则-3)=-3)=-(23-1)=-7. 例1：A因为y=八x)是定义在R上的奇函数， &B-0=(-+o汕(-+o)加-a 则有f0)=a+1=0, m2-1 解得a=-1, 2x+x)为偶雨数x)=-)x+a=-4a 当≥0时x)=x2-, 则f-2)=-八2)=-2 =0. 例2：D当x<0时，-x>0, 9.B思路一：将函数x)的解析式分离常数，通过图象变换可得 因为八x)是奇函数， 函数图象关于(0,0)对称，此函数即为奇函数： 所以八x)=-f(-x)=-2+x+1. 思路二：由函数八x)的解析式，求出选项中的函数解析式，由函角度 数奇偶性定义来判断 例1：B依题意a=c=0,且2b+(b-1)=0. 解法一)-1+子其图象的对称中心为(-1，-).将 56=行则a+6+e= y=x)的图象沿x轴向右平移1个单位，再沿y轴向上平移1 例2：D解法一（特值法）：f(x)的定义域为(-，0)U(0 个单位可得函数八x一1)+1的图象，关于(0.0)对称，所以函 +).由(x)是偶函数.可得八x)=八-x),令x=1,得 数八x-1)+1是奇函数，故选B 1)=f代-1).即. 解法二：选项A八x-1)-1=2 -2,此函数为非奇非偶函数： -e(e”-1化简得e=e-,a 1=1,所以a=2. 选项B代x-1)+1=2,此函数为奇函数：选项C(x+1)-1 解法=)=二的定义线为(-，0U(0+小 430 由八x)为偶函数知八x)=八-x), [引申2] =e 1 【-1,0]U[1.3]奇函数f代x)在(-.0)单调递减，且f2) =0,则x)在(0，+)单调递减，且八-2)=0由x-1)≥ 化简得e=e",所以a=2. 变式训练 1.A当x<0时x)=八一x)=e-L.故选A x-1)≥0.即0 0,得0)e0.或0 {-2≤x-1≤0.或 「x>0. 2.B当f八x)是偶函数时，f(x)=f八-x),即x(2+a×2“) {0≤r-1≤2.解得-1≤x≤0或1≤x≤3. -x(2+a×2),即(1+a)·(2+2)x=0.因为上式对任 角度2 意实数x都成立，所以a=-1,即m=-1:当f八x)是奇函数时， 例：AD由偶函数的性质及奇函数的性质，分析函数的周期性和 -x)=-x),即-x(2+a×2)=-x(2+a×2),即(1 对称性，由此判断各选项.：八x)为偶函数，∴.八x)图象关于y -a)(2-2)x=0,因为上式对任意实数x都成立，所以a= 1.即n=1,所以m+2n=1. 轴对称代-x)=f八x),又f八x+2)是奇函数，“f八-x+2)= 3C八x)为奇函数x<0时，-x>0,则f八-x)=日1-3 -fx+2),∴.fx-2)+f(x+2)=0,f八x+8)=-f八x+4) =-fx)x<0时代x)=-e4+3,则g(-1)=-1)+ =x),,函数八x)的图象关于(2,0)轴对称，八x)为周期函 3=-e-1 +6=6-e2,故选C 数且周期为8，故选AD. 考点2 角度3 例：[解析】(1)证明：八x+2)=-八x), 例：D因为f八x)满足八x-4)=-f(x), .八x+4)=-x+2)=fx) 所以八x-8)=f八x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函 ∴，八x)是周期为4的周期函数。 数，则代-25)=f尺-1)f80)=f代0)f代11)=f3). (2)f2)=f0+2)=-八0)=0. 由f尺x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x-4)=-凡x),得 (3)当x∈(-2.0]时，-x∈[0,2).由已知得 f八11)=f3)=-f八-1)=f1) f八-x）=2(-x）-(-x)2=-2x-x2 因为f八x)在区间[0,2]上是增函数，八x)在R上是奇函数： 又八x)是奇函数，八-x)=-八x)=-2x-x2 所以八x)在区间[-2,2]上是增函数. ∴.f八x)=x+2x. 所以f代-1)<0)<1). 又当x∈(2,4]时，x-4∈(-2,0 即-25)<f80)<f11). .八x-4)=(x-4)2+2(x-4). 变式训练 又八x)是周期为4的周期函数， L.Bf八x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数. ∴.f八x)=八x-4)=(x-4)+2(x-4)=x-6x+8. 2b+1-b=0∴.b=-1, 即当xE(2,4]时八x〉=x2-6x+8. f尺x)在[2b.0]上为增函数，即函数f(x)在[-20]上为增函 (4)f0)=0f1)=1,f2)=0f3)=-1, 数.故函数尺x)在(0,2]上为减函数，则由八x-1)≤f八2x).可 且八x)是周期为4的周期菌数， 得1x-1|≥12x1,即(x-1)2≥4x, .f八0)+八1)+八2)+f3)=f(4)+(5)+(6)+八7)= =/八2020)+f八2021)+f(2022)+f八2023)=0.f(2024)= 解得-1≤x≤3 f0)=02025)=f1)=1, f八0)+f1)+2)+…+f2021)+f2022)+f2023)+ 又因为定义城为[-2,21，所以{-2≤-1≤2 -2≤2x≤2. f（2024)+f2025)=1. 变式训练 解得{-1≤x≤3， {-1S-1sx≤写 1.f(x)=(x-8)(xe[7,9])由函数f(x)满足f(x+1)= 2.CD因为fx+1)是偶函数，所以f八-x+1)=f八x+1),从面 -八x)可知f八x+1+1)=-八x+1)=尺x),因此函数的周期是 2.设x∈[7.9]，则-1≤x-8≤1，因此尺x-8)=(x-8),根据 f几-x）=fx+2) 函数的周期是2可知尺x-8)=f(x),因此代x)=(x-8), 因为八x-1)是偶函数.所以八-x-1)=八x-1) 从面代-x）=八x-2) fx)(x+2)=13,∴fx),x+2)均不为0，f八x+2) 所以八x+2)=代x-2)八x+4)=f(x),所以代x)是以4为周 13 1313 期的周期函数。 7x)心x+4)= 八x+2)=13 =x),.)的周期为4. 因为f八-x-1)=f(x-1),所以f八-x-1+4)=f八x-1+4), 八x) 即f爪-x+3)=八x+3),所以八x+3)是偶函数 f2025)=f1)= 1313 3.D由于爪x+1)为奇函数，所以函数f八x)的图象关于点(1,0)】 3)=2 对称.即有f代x)+尺2-x)=0.所以f八1)+f八2-1)=0，得f尺1) 考点3 =0.即+b=0①.由于八x+2)为偶函数.所以函数八x)的图 角度1 象关于直线x=2对称，即有（x)-(4-x)=0,所以(0)+ 例：C由已知得图象，故选C 3)=-f八2）+八1)=-4a-b+a+b=-3a=62 根据①2可得a=-2,b=2,所以当x∈[1,2]时(x)=-2x +2 根据函数(x)的图象关于直线x=2对称，且关于点(I,0)对 称，可得函数x)的周期为4，所以(）=(）=-() =2x)-2=2 [引申1] 名师讲坛·素养提升 D如图. 变式训练 1.D由y=(x)的图象关于直线x=2对称，可得g(2+x）= g(2-x),在f八x)+g(2-x)=5中，用-x替换x,可得f八-x) +g(2+x)=5,可得几-x)=八x)①，y=f(x)为俱函数.在 (x)-八x-4)=7中，用2-x替换x,得g(2-x)=八-x-2) +7,代入尺x)+(2-x)=5中，得f八x)+f八-x-2)=-2②， 所以y=f八x)的图象关于点(-1，-1)中心对称，所以f1) f八-1)=-1，由①2可得f(x)+f八x+2)=-2,所以f代x+2) 431 +八x+4)=-2,所以八x+4)=八x),所以函数x)是以4为9.BD由奇函数的定义尺-x)=-八x)验证，A项，八1-x)= 周期的周期函数，由八x)+g(2-x)=5可得(0)+g(2)=5 f代1x),为吗函数：B项几-(-x)]=f八x)=-f八-x),为奇函 又g(2)=4,所以可得0)=1，又八x)+(x+2)=-2,所以 数：C项，--x)=-x·[-八x)门=fx),为偶函数：D项， f0)+八2)=-2，得f八2)=-3，又f八3)=f(-1)=-1,八4 八-x)+(-x》=-[x)+x],为奇函数.可知B、D正确 =0)=1,所以)=61)+62)+5f3)+54)=6× 10.BC根据偶函数在[0,7]上的图象 (-1)+6×(-3)+5×(-1)+5×1=-24.放选D. 及其对称性，作出其在[-7,7】上 2.ACD八x)的图象关于直线x=-3对称. 的图象，如图所示.由图象可知这个 则-x)=八x-6), 函数有三个单调递增区间，有三个 又fx+3)=f代x-3),则fx)的周期T=6. 单调递减区问，在其定义域内有最 5 0357￥ .f-x)=fx-6)=fx). 大值7，最小值不是-7，故选BC ∴.八x)为偶函数，故A正确： 11.BCD因为f(x)是定义在R上的 当xe[0,3]时x)=2+1单调递增， 奇函数，且x+2)=-f八x),所以f(x+4)=-f八x+2)= T=6,故八x)在[-6，-3]上也单调递增，故B不正确： 八x),即f八x+4)=f八x),所以代x)的周期为4，但f(x)的最小 八x)关于直线x=-3对称且T=6, .f(x)关于直线x=3对称，故C正确： 正周期不一定为4，如)=m(牙)，满足八)为奇函数，且 100)=f16×6+4)=八4)=尺-2)=f八2)=5.故D正确. x+2)=m[(x+2=m(经+3）=-i加() 练案[8] -x).面)=m(受)的最小正周期为号，故A错误：因 A组基础巩固 1,DA选项，根据y=2的图象知该函数非奇非偶，可知A错误： 为x)为奇函数，且f(x+2)=-f(x),所以f(x+2)= 八-x),即八x)的图象关于直线x=1对称，故B正确：由 B选项，由y=x的定义域为[0，+)，知该函数非奇非偶，可 知B错误：C选项，当xE(0,+g)时，y=1x|=x为增函数，不 f八x+4)=八x),及八)为奇函数可知f八x+4)+f八-x)=0,即 符合题意，可知C错误：D选项：由-(-x)?+1=-x2+1,可知 八x)的图象关于点(2,0)对称，故C正确：因为八x)是定义在 该函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0。+)上单调 R上的奇函数.所以f八0)=0，又x+2)=-f八x),f八x+4)= 递减，可知D正确.故选D f八x),所以f(2〉=-f(0)=0.f(4)=f代0)=0，故-2)= 化简函数八x)=1-十2·分别写出每个选项对应的解析 -2)=0八-4)=-f(4)=0,所以在(-5,5)内f(x)至少 2.A 有-4，-2,0,2,4这5个零点，故D正确.故选BCD. 式利用奇质数的定义判断由题意得八)1一幸2对人 12.ABC:f代x)是定义在R上的奇函数， ∴2-x)=x)=--x), x-2)-1-手是奇函数：对Bx-2)+1=2-手美于 八2+x)=-f八x), 六八4+x)=-f2+x)=fx) (0,2)对称，不是奇函数：对Cx+2)-1=-4 中4定义域为 ∴八x)的最小正周期是4，故B错误 八2021)=1)=1.故A错误： (-,-4)U(-4,+),不关于原点对称，不是奇函数：对 D+2)+1=24定文域为(-0，-4U-4,+0 当xe[0.1]时x)=x代x)是定义在R上的奇函数 六当xe[-1,I]时x)=x, 不关于原点对称，不是奇函数.故选A 当x∈(1.3)时.2-xe(-1.1) 3.A依题意，函数八x)的图象关于原点对称，则函数八x)是奇函 八x)=(2-x)=(2-x),故C错误： 数，又f八x)的周期为4.且f-1)=-2,则f(2025)=f(1+506 易知当x∈(0.2)时x)>0, ×4)=f1)=-f八-1)=2 :八x)的最小正周期是4. 4.D函数x)=simx+x++3,(-x)+(x)=im(-x)+ ∴八x)>0的解集为(4长，4k+2)(kEZ),故D正确 3.10由题设条件可知，可由函数是奇函数，建立方程(x)+ (-x)2-1 +3+sinx+++3=-smx-- 八-x)=0,由此方程求出a的值函数(x)=2-2-ga是 x +sin x+ 奇函数，八x)+f八-x)=02-2-ga+2--21ga=0, x+上+6=6，若a)=-1.则-a)=6-fa=6-(-1) 即2+2-(2'+2)1ga=0,∴1ga=1,∴.a=10. 4.9由于f(x)在[3,6]上为增函数.所以代x)的最大值为f八6) =7.故选D. =8(x)的最小值为(3)=-1，因为f(x)为奇函数，所以 5.A由f八x+1)=-f八x),得八x+2)=-八x+1)=(x),函数 八-3)=-八3)=1，所以6)+八-3)=8+1=9. fx)的周期是2.函数x)为偶函数，.八-6.5)=f(-0.5】 15.72x+9因为几x)是周期为3的函数.所以f八8)=f八2)=2 =八0.5)八-1)=八1).八x)在区间0.1]上是单周递增的 ×2+3=7,当-2≤x≤0时，八x）=f八x+3)=2(x+3)+3=2x .f0)<f八0.5)<八1)，即f0)<f-6.5)<f八-1). 6.C因为八x)的图象关于y轴对称.所以/(x)为偶函数，又y= +9. 6.1八x+2)=-fx) inx为奇函数，所以y=n(m+√1+4)为奇函数，即 八x)的周期为4， ln[-mx+√1+4·(-x)]=-n(mr+√1+4r),解得m= ∴.f26)=f八2). ±2.故选C. 对Hx@R有f八1-x)=f八1+x) 7.C显然(x)为偶函数且在[0，+)上单调递增.∴八3和-2) ∴，八x)的图象关于x=1对称 >f八a-1)13a-21>1a-11(3a-2)3>(a-1)'-a> f2)=f八0)=1，即f八26)=1 4 或a<号，故选C 17.(-子，0小u(行，+如）由已知可构造y=)的示意图象。 8.C因为八x)是定义在R上的奇函数，且xe[0,2]时x)=x +ax+b,所以f0)=b=0代-x）=-f八x).又对任意的x∈R 都有八x+2)=-八x),所以八x+2)=八一x),所以函数图象 关于直线x1对称，所以-号=1，解得a=-2,所以a+6 -2. 所以x)>0的解集为(-2,0（分.+x】 432