1.5 基本不等式-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习学案（新教材）

4≥0. 【变式训练】 m-1>0, m+】 解得0<m<1,m的取值范 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(-1,0)内， (m-1)f0)>0. 一根在区间(1,2)内，求m的范围： 围为m10<m<1. (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围。 4≥0， (7)两根都小于1，应满足： m+1 m-i<1, (m-1)f1)>0, 解得m>1或m<-2: ∴m的取值范围为 m>1或m<-2} 11 4≥0. (8)在(1,2)内有解应满足 1<、m+1 m-2. (m-1)f1)>0, (m-1)f2)>0, 或1)2)≤0，解得-2≤m≤0 经检验m=一之及m=0都不合慧意合去， 解得-2<m<0, 温馨提示：复习至此，请完成练案[4 m的取值范国为m-2<m<0 第五讲 基本不等式 轮总复习 知识梳理·双基自测 知识梳理 2.如果，ye(0,+),且x+y=S(定值)， 01 那么当x=y时，y有最大值子（简记：“和定积 知识点一 重要不等式 最大”) a2+62≥ (a,b∈R)(当且仅当 时等号成立) 归纳拓展 知识点二 基本不等式，瓜≤“（均值 常用的几个重要不等式 (1)a+b≥2ab(a>0,b>0).(当且仅当a=b时 定理) 取等号) 1,基本不等式成立的条件： (2)b≤生(a.beR).(当且仅当a=b时取等 2.等号成立的条件：当且仅当 时等号 号) 成立： 3.其中中叫做正数a,b的 2 ,√ab叫做 （3e:abeR.(当且仅当a=6时 2 取等号) 正数a,b的 知识点三利用基本不等式求最大、最小 (④)合+公≥2(a,6同号).（当且仅当a=6时取等 值问题 号 1如果x,y∈(0，+)，且xy=P(定值)， 5)121≤v≤ 2 2s. a+b 2(a,b>0当且 那么当 时，x+y有最小值2VP.(简记： a+6 “积定和最小”) 仅当a=b时取等号). 双基自测 3.(必修1Ps习题T1改编)若x<0,则x+上() 题组一走出误区 A.有最小值，且最小值为2 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或 B.有最大值，且最大值为2 “×”) C.有最小值，且最小值为-2 D.有最大值，且最大值为-2 (1)不等式a2+≥2ab与4+b 2 √ab有相同的成 立条件 4(必修1P,练习卫改编)已知>1，则+，的最 小值为 ,此时x的值为 (2)y=x+的最小值是2， 题组三走向高考 (3)函数)=血+孟∈o,引)的最小值等 5.(多选题)(2020·新高考1,11,5分)已知a>0. b>0,且a+b=1,则 () 于4 (4)若a>0,则02+1的最小值为2 Ad+≥号 a C.log2a+logb≥-2 D.√a+b≤2 (5)“x>0且y>0"是“+上≥2”的充要条件( ）6.（多选题)(2022·新高考卷Ⅱ)若x,y满足x2+y2- 题组二走进教材 x灯=1，则 () 2.(必修1PT3改编)若x>0,y>0,且x+y=18,则 A.x+y≤I B.x+y≥-2 018 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 √灯的最大值为 7.(2019·天津，13)设x>0,y>0,x+2y=4,则 A.9 B.18 C.36 D.81 2025 (x+1)(2y+1D的最小值为 y 年 度 考点突破·互动探究 新 计 角度2配凑法 点 利用基本不等式求最值一多维探究 中 例1.(2024·长沙模拟)设0<x<,则函数y 学 角度直接法 例1.已知x>0,y>0,且满足x+6y=6,则y有 4x(3-2x)的最大值为 () ( B.4 c号 D.9 A最大值号 区最小值号 2若x<子则九)=3+1+”2有 9 () C.最大值1 D.最小值1 A.最大值0 B.最小值9 2.√(3-a)(a+6)(-6<a<3)的最大值为 C.最大值-3 D.最小值-3 3.(2022·天津模拟)函数y=x+5)(+2) x+1 名师点拔： (x>-1)的最小值为 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的 三个条件：“一正二定三相等” 4.(2023·沈阳模拟)若0<x<行，则y 1.“一正”就是各项必须为正数 x√1-4x的最大值为 2.“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的 名师点拨：拼凑法求最值的技巧 二项之积转化成定值：要求积的最大值，则必须把构成 L.用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二 定、三相等.“一正”不满足时，需提负号或加以讨论， 积的因式的和转化成定值. “二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用 3.“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验 函数单调性， 证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是 2.求乘积的最值.同样要检验“一正、二定、三相 所求的最值 等”，如例2的关键是变形，凑出积为常数 角度3常数代换法求最值 【变式训练】 例1.已知正数x,y满足x+2y=4,侧2+上的最小 1.（角度1)(2022·沧州七校联考)设x>0,y>0,且x +4y=40,则lgx+gy的最大值是 (） 值为 A.40 B.10 C.4 D.2 2(角度2)已知函数)=2x2+(>）,则) 2 已知L数c,y满足8+ =1,则x+2y的最 小值为 的最小值为 3.（角度3)(2023·济宁模拟)已知正数m,n满足m+ 先利用乘常致法或消元法，再利用基本 2n=8,则2+1的最小值为 m n ,等号成立时 不等式求解最值. m,n满足的等量关系是 4.(角度4)(2022·百校联盟尖子生联考)已知a,b∈ R*,且a+2b=ab-16,则ab的最小值为() 名师点拨：常数代换法的技巧 1.常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与 A.16 B.32 “1”的积、商都是自身的性质，通过代数式的变形构造 C.64 D.128 和式或积式为定值，然后利用基本不等式求最值. 考点 利用基本不等式解决实际问题一师生共研 2.利用常数代换法求解最值应注意：(1)条件的灵 活变形，常数化成1是代数式等价变形的基础：(2)利 例(204·湖北孝感模拟)（九章算术）是中国古代 用基本不等式求最值时“一正、二定、三相等”的检验， 最重要的数学著作之一，其中第九章“勾股”中记 否则容易出现错解。 载：“今有色，东西七里，南北九里，各中开门.出东门一 角度4消元法 十五里有木.问出南门几何步而见木？”其算法为：从东 例已知x>0,y>0,x+3y+y=9,则x+3y的最小 门向南走到城角的距离，乘从南门向东走到城角的距 值为 离，乘积作被除数，以树距离东门的距离作除数，被除 [引申]本例条件不变，求xy的最大值 数除以除数得结果，即设出南门x里见到树，则x= 》 15 若一小城，如图所示，出东门1200 步有树，出南门750步恰好能看到此树，则该小城的周 学 长的最小值为（注：1里=300步） ( 019 北 东 5 东门 南门 G A.2/10里 B.4/10里 C.6/10里 D.8/10里 名师点拔： 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问 题，设出变量，注意变量应满足实际意义，拙象出目标 函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得 [思维升华](1)前提：“一正”“二定”“三相 等” 函数的最值。 (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为 【变式训练】 常数的形式，然后再利用基本不等式 (2019·江苏，10,5分)在平面直角坐标系x0y中，P (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑 是曲线y=+兰(x>0)上的一个动点，则点P到直 法：二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法： 线x+y=0的距离的最小值是 三是消元法 名师讲坛·素养提升 弄清两类求最值模型的差异，利用基本不等式求最值，一定要注意条件，弄清求最值的基本不等式模型和 对勾函数模型 增x)=a)=a+名： 例 1.(2021·新高考1卷)已知F,F,是椭 (3)当瓜>b(x)=x+在区间[4，b]单调递 圆C:+=1的两个焦点，点M在C上 94 则MF,1·IM的最大值为 (G) 减到=6)=6+会 A.13 B.12 c.9 D.6 因此，只有在瓜e[,b]时，才能使用基本不等式 求最值，而当√瓜正[a,b]时只能利用对勾函数的单调 由狮圆的定义可知，M引与MF,同时满足 性求最值 “一正、二定、三相笔”这三个条件 [解析] 由)=2+2=+2+2 3 该趣可直接利用基本不等式模型求解. -2. [解析] 由椭国C号+号=1，得利wE,1+1Wr 令2+2=（≥2），则有)=1+是-2，由对勾 =2x3=6,则1ME,1·1MR,1≤(MF1+1ME 函数的性质知，()在[2，+∞)上单调递增，所以当 2 3 020 32=9,当且仅当1MF,1=1MF21=3时等号成立.故 1=2时)-号即=0时)=号 【变式训练】 225 选C. 年 2函数八)=+的最小值是多： 3 1函数y=士+220<x<2)的最小值为 4 () 创 [解法探究] 虽然变形后代x)=+2++2 3 A.9 新 B号 2类似于基本不等式的结构形式，但代数式(x2+2)+ C.4 D.5 计 2中只满足一正、二定"，并不满三相等”，即22已知函数)=+2+口x[1,+0),若a>0. 3 +2+2+2 3 若+2=2则2+2=3无解，使 求f八x)的最小值。 得本题不能用基本不等式模型求解，那么如何求解呢？ 我们自然联想到与基本不等式模型结构相似的对 勾函数模型.如图， 2/T 对于函数代x)=x+ k>0,xe[a,b],[a,b]≤(0，+). ()当派e[a,b1)=+≥2瓜x) fE)=瓜+k=2E: 温馨提示：复习至此，请完成练案[5 (2)当瓜<a,(x)=x+女在区间[a,b]单调递第五讲基本不等式 7.9x+2y+.2++2y+1.2y+5=2+3 2 y y 知识梳理·双基自测 x>0.y>0.∴.4=x+2y≥2√x·2y,解得0<y≤2. 知识梳理 当且仅当x=2y=2,即x=2且y=1时“=”成立， 知识点一 此时L1 59 1,2+3≥2+2=2· 2ab a=b 知识点二 故+2+D的最小值为号 1.a>0.b>02.a=b3.算术平均数几何平均数 知识点三 考点突破·互动探究 .r三V 考点1 双基自测 角度1 1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)× 例1：A 根据题意，利用基本不等式即可求出y的最大值为子 [解折】(4音a店时d-号五<26)不正流 判断xy无最小值.因为x>0,y>0.且x+6y=6,所以y= 2A因为+y=18,所以V可≤艺：9，当且仅当y=9时， 石·6≤右(=石×()=2当且仅当： 等号成立 =6y,即x=3y=2时取“=”，所以y有最大值为号；又x 3.D因为<0，所以->0，-+≥2.当组仅当=-1时. =6-6y>0,所以0<y<1,所1以xy=(6-6y)y=-6y2+6y 3 等号成立，所以x+上≤-2， 6(-+号所以灯设有最小值做法九 453由>1，得-1>0.则+=-1+号1，将利 2号 因为-6<a<3,所以3-a>0.a+6>0,由基本不等式 用基本不等式可解决此题由>1，得-1>0.则+一 得6-0a+63-00+6号，当且仅当3-a= 2 -1++1≥2√-0+1=5，当且仅当-1 a+6,即a=一子时，等号成立 角度2 兰即=3时等号成立，取得最小值5， 例1：Cy=4x(3-2x)=2·2x·(3-2x) 5Am由a>0,6>0a+6=1.得岁≥(= 222 即。2+6≥子，当且仅当a=b=时取等号，故A正确 当且仅当2x=3-24,即=子时取等号。 9 由a>0.b>0.a+b=1, 当=子时=是 得a-6=2a-1>-1,放2>分，放B正确： 2 例2：C<子3x-2<0, 属a+:e(a≤e(=s(兮广=-2.当n 9 八x)=3x-2+x-2+3 仅当a=6=时，等号成立，故C错误： -a-w+2 (va+6)2=u+b+2√ab=1+2ab≤1+a+b=2,得a+6 ≤2，当且仅当a=b=之时，等号成立，故D正确 ≤-22-283=-3 6.BC解法一：（基本不等式） 当且仅当2-3x=2-3x 因为+y-=(x+》产-3g=l,且≤，所以(x+ 4 即=一了时取“。” 2-3≥+2-子+=+，故红+y2≤4. 例3：9因为x>-1,则x+1>0 所以y=[(x+1)+4(x+1)+1门 当且仅当x=y时等号成立，即-2≤x+y≤2，故A错误，B正 x+1 确由兰得1=2+-≥2+y生，即r+ =x+1)2+5(x+1)+4 x+1 ≤2，当且仅当x=y时等号成立.故C正确，D错误，故选BC 解法二：（三角换元） 40+*5 由+-=1可得-)+（停1。 2高+5 3 sin 0+co 0. 当且仅当x+1=幸即=1时等号成立， 令 所以函数的最小值为9 3 (y=sin 0. 23. y 3 sin 0. 例4 0c 六x+y=5sim0+0=2im(0+石）=[-2,2]，放A错误，B y=xv-4报=0-4r=V4(1-4r町≤ 正确， .4x2+1-4x2.1 2 2 24 +号子(20-)+[2小放c正确D讽故 当且仅当4权=1-42，即x=2时取等号， 4 则y=x√-4的最大值为4 .I 选C. -420 角度3 变式训练 1.Dx+4y=40,且x>0,y>0 x y ∴.x+4y≥2x·4y=4y(当且仅当x=20,y=5时取 *252 “="）.4≤40y≤100， ∴.lgx+lgy=g(y〉≤1g100=2. 当且仅当女，即4=， x=2,时取等号. x+2y=4=1 2. 2x>1-z>0, 例2：18解法一：（常数法）+2=(2+（任+2）=10+ )品+= 2 r8+1=1. x2 手+≥10+2√号-18当且仅 y 即 x=16y 2 + *-2 时=成立，故x+2的最小值是18 15 =2+2=2 解法二（清元法）：由+=1，得y产8由y>0=,产8 当且仅当一=一分，即x=多时取“。” 3 2x 0,又x>0=>8,则x+2y=#+8=x+2二8十16 x-2 -8 -8=(x-8)+16 x+2+16 +g+10≥2-9+0 六x)的最小值为号 =8,当且仅当8=s即=124合去-时. 31m=2国为m+2=8,所以品+=（合+）×”名 m n 8 “=“成立，故x+2y的最小值为18. =+0+）4+24+4=1.当 角度4 例：6解法一：（换元消元法） 且仅当=”，即m=4,n=2时等号成立. 由已知得9-（任+3）=号x·≤兮·（宁 +3y) 4.Bab-16=a+2b≥2√2ab,令ad=1>0, 当且仅当x=3y,即x=3,y-1时取等号 则2-22-16≥0=1322÷匝=42. 即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0， 2 令x+3y=1,则1>0且2+121-108≥0. 故ab≥32，即ab的最小值为32.（当且仅当a=8,b=4时取等 得t≥6，即x+3y的最小值为6. 号)故选B 解法二：（代人消元法） 考点2 由+3y+y=9,得x=9-3之 例：D因为1里=300步，则由题图知EB=1200步=4里，GM= 1+y 750步=2.5里.由题意得G4=F,则EF·Gf=EB·Cd 所以+3y=9-3+3y9-3y+3(1+2 EB 1+y 1+y =4×2.5=10,所以该小城的周长为4(EF+GF)≥ _9+3y.31+)2-61+)+12 8,EF·GF=8,10(里)，当且仅当EF=GF=√10（里）时等 1+y 1+y 号成立.故选D. 3++品，-62√60*0，-6 变式训练 4设P+ =12-6=6, )>0,则点P到直线x+y=0的距离d: 41 当且仅当3(1+)=子，即==3时取等号， 4 0++ 所以x+3y的最小值为6， 2 =2(+2)≥4，当且仅当6=2，即=万 [引申] 时取“=”，故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4 [解析】解法一：9-=x+3y≥2√3灯， 名师讲坛·素养提升 +.9-y≥2√3y, 变式训练 令V写=1,4>0， .9-7≥231.即2+231-9≤0. 1By=(任+2+2-0]x 解得0<t≤3， 可≤3y≤3， 当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号， ,y的最大值为3. 9 解法二心x=9- 1+y = y7 当子，=即=子时等号成立故选B x2-x1 1+y =-3(y+1)月+15(y+1)-12 2[解析])=+2x+4=x++2 y+1 ①当0<≤1时，由对勾函数模型知，(x)在[1，+)上为增 =-3(y+1)-12 +1*5 函数， x)n=f1）=a+3. ≤-2√3y+1).2 *7+15=3 ②当a>1时，由对约数模型知，八x)在[1，石]上为减函数， 当里收当3+品期y13时取等号 在(va,+x)上为增函数，此时f八x)=八，a)=2a+2. 故当a∈(0,1]时x)m=a+3. xy的最大值为3. 当a∈(1，+0)时x)m=2a+2 421-