1.4 一元二次不等式及其解法-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习学案（新教材）

第四讲 一元二次不等式及其解法 知识梳理·双皇自测 知识梳理 偶不过 奇过线向 知识点一一元二次不等式的解法 1.将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数 零的不等式ax2+br+c>0(a>0)或ax2+bx 大丁0 大丁0 小于0 人于0 +e<0(a>0) 的区间 的区间 的区间 的区间 2.计算相应的 5.简单分式不等式的解法 3.当 时，求出相应的一元二次方程的根 (1)2>0(<0)台x)g(x)>0(<0): g(x) 4.利用二次函数的图象与x轴的 确定 元二次不等式的解集。 (2)2≥0（≤0）={ (x)·g(x)≥0（≤0）， g(x) g(x)≠0. 知识点二三个二次之间的关系 6.简单的指数与对数不等式的解法 (1)若a>1,d)>a台/x)>g(x): 判别式 4>0 4=0 4<0 若0<a<1,a1>a"fx)<g(x. A=b-4ae (2)a>1,log f(x)>log.g(x)f(x)>g(x)>0; 012 y 若0<a<1,logf八x)>logg(x)=0<fx)<g(x, 二次函数 双基自测 2025 y=ax +hx +c (a>0)的图象 题组一 走出误区 年 度 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V"或 “×”） 新 元二次方程 有」 实 有 (1)不等式(x+1)(2-x)<0的解集为(-1.2).() 设 计 ax'+hx+e=0 根x 实根= 实数根 (2)若不等式ar2+x+c>0的解集为(x,x2),则a (a>0)的根 (,<无) b <0. () (3)若方程ax2+br+c=0(a≠0)没有实数根，则不 ax'+hx +e>0 等式ax2+br+c>0的解集为R () (a>0)的解集 (4)关于x的不等式ax2+x+c≤0(a≠0)在R上恒成 r2+x+c<0 立的条件是a<0且A=62-4ac≤0. () (a>0)的解集 （5-0=(年-1)-2)≥0 () 归纳拓展 题组二走进教材 2.(必修1PaT1改编)不等式-x2-5x+6≥0的解集 1.ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且 为 b2-4ac <0(xER). A.x|-6≤x≤1} B.1x12≤x≤3 2.ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且 C.{xlx≥3或x≤2 D.{xx≥1或x≤-6 b2-4ac <0(xER). 3.(必修1P,T3改编)已知x1,x是关于x的一元二次 注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若 方程x2+br+c=0的两个根，且x,+x2=5,x1x2=6, 二次项系数中含有参数，应先对二次项系数为0的 则该一元二次方程是 () 情况进行分析，检验此时是否符合条件 Ax2+5x+6=0 B.x2-5x+6=0 3.二次不等式解集的“边界值”是相应二次方程的根。 C.x2-6x+5=0 D.x2-6x-5=0 4.一元高次不等式的解法，数轴穿根法：先因式分解再 4.(必修1PgT2改编)若关于x的不等式ax2+b似+2 用穿根法，依据：从左至右，从上至下，依次穿根，奇 >0的解集为{x -方<<}，则a+b= 过偶不过，注意x系数为正 如(x-1)2(x-2)(x-3)>0在数轴上标根穿线，点5.（必修1PsT2)不等式mx2+mx+1>0对一切x∈R 1处的线过而不穿 恒成立，则实数m的取值范围是 题组三走向高考 c(-x,-u1,+) 6.(2012·重庆高考，2,5分)不等式骨≤0的解集 为 D(-x,-u[,+x) A(-2川 7.(2019·天津高考)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0 成立的x的取值范围是 a[-刂 考点突破·互动探究 春点]一元二次不等式的解法 [引申2]若再改为aeR呢？再增加a=0情况 多维探究 角度！不含参数的不等式 例求下列不等式的解集 (1)x2-4x-5≤0： 名师点拨：含参数的不等式的求解往往需要分 (2)-x2+8x<3. 类讨论 (3)0<x2-x-2≤4. L.若二次项系数为常数，若判别式△≥0，可先考 虑分解因式，再对根的大小分类讨论（分点由x,=? 确定)：若不易分解因式，可考虑求根公式，以便写出解 集，若△<0，则结合二次函数图象写出解集，若判别式 符号不能确定，则需对判别式分类讨论（分点由△=0 确定) 2.若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数 是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便 确定解集形式， 名师点拨：解一元二次不等式的一般步骤 3.解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式 1.化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准不等式求解，要注意分母不能为零， 轮总 形式. 4.解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则 2.判：计算对应方程的判别式 需对其是否大于1分类求解，注意对数的真数必须为正 3.求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别【变式训练】 式说明方程有没有实根。 1.（角度1)（多选题）下列四个不等式中，解集为⑦的 4.写：利用“大于取两边，小于取中问”写出不等 是 013 式的解集 A.-x2+x+1≤0 B.2x2-3x+4<0 角度2含参数的不等式 C.x2+3x+10≤0 D.x2-2x+3<0 例解下列关于x的不等式： 2.（角度2)解不等式x2-(a+1)x+a<0(aeR). (1)ax2-(a+1)x+1<0(a<0); (2)x2-2ax+2≤0(aeR). 专点己 三个二次间的关系一师生共研 例1.(202·黑龙江大庆实验中学期末)已知不等式 a2--1>0的解集是{-<x<}则 不等式x2-br-a≥0的解集是 (） A.x|2<x<3 [引申1]把本例(1)中a<0改为a>0呢？ B.{xlx≤2或x≥3 c{片<< D{≤3或x≥2引 2.若不等式x2+ax-2>0在区间[1.5]上有解， 名师点拔：一元二次不等式恒成立问题 则a的取值范围是 1.在R上恒成立 (+ (学 (1)一元二次不等式am2+bx+c>0(或≥0)对于 C.(1,+e) n( 切xeR恒成立的条件是>0， l4=b2-4c<0(或≤0) [引申]若不等式x2+ax-2<0在区间[1,5]上有 解，则a的取值范围是 (2)一元二次不等式ax2+x+e<0(或≤0)对于 名师点拨： 已知不等式的解集，等于知道了与之对应方程的 切xeR恒成立的条件是口<0， l4=b-4ac<0(或≤0)， 根，此时利用韦达定理或判别式即可求出参数的值或 2.在给定某区间上恒成立 范围，为筒化讨论注意数形结合，如本例(2)中对应的 (1)当xe[m,n]f(x)=ax2+bc+c≥0恒成立， 二次函数图象过点(0，-2). 【变式训练】 结合图象，只需f代x）≥0即可， 1.若关于x的不等式ar2-6.x+a2<0的解集为x11< (2)当xe[m,n],f(x)=ax2+br+c≤0恒成立， x<m,则实数a的值为 ,实数m的值为只需f代x)≤0即可. 3.解决恒成立间题一定要搞清谁是自变量，谁是 2.(2023·九江模拟)若关于x的不等式x2-4x-2-a>0 在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是 参数，一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范 A.(-0,-2) B.(-2,+0) 围，谁就是参数 C.(-6,+∞) D.(-0,-6) 4.“不等式(x)≥0有解（或解集不空）的参数m 014 考点3 元二次不等式恒成立问题一师生共研 的取值集合”是“八x)<0恒成立的参数m取值集合” 的补集：“f八x)>0的解集为0”即“f八x)≤0恒成立，“ 2025 「a=b=0. 代)最大值小于0.需讨论二次项系数m=0和 注意：ar2+bx+c>0恒成立 年 le>0 度 m≠C,当m≠0B时代x<0需满足m<0且△<0 fa>0, 新 已知fx=mx2-mr-1. l4=b2-4ae<0: 计 例 (1)若对于x∈R.fx)<0▣成.，求实数m的 a=b=0, a2+br+c<0恒成立曰 取值池同； le<0 (2)若对于x∈1.3小，x长-m+5恤成立，求 fa<0, 实数m的取值范围；先分离参教，再表最值 l4=b2-4ae<0. (3)若对于m≤1，fx<0恒成立，求实数x 【变式训练】 的取值施围。 1.若不等式(a-3)x2+2(a-3)x-4<0对一切xeR 恒成立，则实数a取值的集合为 () 转格变量，形成关于m的不答式，X看作常数 A.(-0,3) B.(-1,3) 再求解 C.[-1,3] D.(-1,3] 2.(2024·山西忻州第一中学模拟)已知关于x的不等 式x2-4x≥m对任意的x∈(0,1]恒成立，则有 ( A.m≤-3 B.m≥-3 C.-3≤m<0 D.m≥-4 3.已知对于任意的a∈[-1,1]，函数f八x)=x2+(a 4)x+4-2a的值总大于0，则x的取值范围是 A.x|1<x<3 B.{xlx<1或x>3 C.{xl1<x<2 D.{xlx<1或x>2 名师讲运·素养提升 一元二次方程根的分布情况 设方程ax2+bx+c=0(a≠0,4>0)有不相等的两 根为x1,x2,且，<，相应的二次函数为f八x)=a2+ 4>0, ,4>0, br+c,方程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横 得出的 结论 2, f八)<0 坐标，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均 k)>0 (k)>0 是充要条件) 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 大致 一正根一负 两个负根即 图象 两个正根即两根即一个根 分布 两根都小于0 a<0 根都大于0(x小于0，一个 情况 (x<0,x2< >0,x2>0) 根大于0(x 0) <0<) 4>0, ,4>0, 得出的 y b 大致 结论 2a <k, f八k)>0 图象 7到0 )<0 y(k)<0 a>0) ,4>0. 4>0. 综合 4>0. 4>0, 得出的 b 结论 b <k, 结论 2ac0, 2>0, f0)<0 (不讨 2a a·fk)<0 0)>0 /0)>0 论a) la·f八k)>0 la·fk)>0 大致 表三：（根在区间上的分布） 图象 轮总复习 0在 a<0) 两根有且仅有 根在(m,n) 数 分布 两根都在(m, -根在(m,n) 内，另一根在 4>0. 4>0, 情况 内（图象有两 n)内 得出的 (p,9)内，m< b b 种情况，只画 015 结论 2a <0 0>0, f0)>0 了一种) n<p<q f0)<0 f0)<0 综合 大致 4>0, 4>0. 图象 结论 2a0 2a>0. a·f(0)<0 a>0 (不讨 论a) a ·f0)>0 a·f0)>0 fm)>0. 表二：（两根与k的大小比较） 4>0, 代m)0或 得出的 fm)>0. 个根小于 f八m)·fn) fp)<0, 结论 f(n)>0. 两根都小于 <0 yq)>0 分布 两根都大于k,一个根大 b 即x1<k, m<-2a <n /(m八n)<0, 情况 即x>k,x2>k于k即1<片 <k fp)fg）<0 <x y 大致 大致 图象 图象 a>0) a<0) fm)<0. 例若关于x的一元二次方程(m-1)x+2(m+1)x 4>0, )0,或 -m=0,分别满足下列条件时，求m的取值范围。 得出的 f(m）<0 f(m)·f(n） fp)>0, (1)一根在(1,2)内，另一根在(-1,0)内； 结论 fn)<0, <0 fg)<0 (2)一根在(-1,1)，另一根不在(-1,1)内： m<-2a <n [f(m)f(n)<0 (3)一根小于1，另一根大于2： f(p)f(q)<0 (4)一根大于-1，另一根小于-1： 综合 4>0, (5)两根都在区间(-1,3)： (6)两根都大于0： 结论 a·f(m)>0 fm)· f八m)f(n)<0 a·fn)>0 (7)两根都小于1： (不讨 f(n)<0 f(p)f(q)<0 论a) m<-2a (8)在(1,2)内有解. n [解析]设f八x)=（(m-1)x2+2(m+1)x-m,4 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区 =4(m+1)2+4m(m-1)=8m2+4m+4=4(2m2+m 间(m,n)外，即在区间两侧x1<m,x2>n,(图形分别如 +1)>0. 下)需满足的条件是 (1)一根在(1,2)内，另一根在(-1,0)内应满足 4 12)<0,即m(2m+)<0, 0n-1)<0,(-2m-3)(-m）<0.解得- <m<0,所以m的取值落国为{回-方<m<0 (2)一根在(-1,1)内，另一根不在(-1,1)内，应 016 (1)a>0时， m)<0, f(n)<0: 满足f-1)f1)<0,即(2m+1)(-2m-3)<0,∴.m 2025 (2)a<0时，n)0. /八m)>0, 、 或m<-多，又：m-10m1m的取值 年 度 对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在 范图为(-，一引（分u1,+). (m,n)内有以下特殊情况： 新 (i)若f八m）=0或f八n)=0,则此时f八m)·f(n)】 (3)一根小于1，另一根大于2，应满 计 <0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 足m-1)1)<0. L(m-1)f(2)<0 或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 中 (m,n)内，从而可以求出参数的值.如方程mx2-(m+ 即{m-1(2m+1)<0 解得0<m<1,m的 系 2)x+2=0在区间(1,3)上有一根，因为f代1)=0，所以 l(m-1)m<0, -0+2x+2=(-1D(m-2).另-银为会由 取值范围为m0<m<1}. (4)一根大于-1，芳一根小于-1. 1<品<3得号<m<2即为所求： 应满足(m-1)f代-1)<0，即(m-1)(-2m-3)》 (ⅱ)方程有两个相等的根，且这个根在区间(m, <0. )内，即4=0，此时由△=0可以求出参数的值，然后 解得m<- 或ml, 再将参数的值代入方程，求出相应的根，检验根是否在 给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数.如方程x m的取值范国为口m<一号或>小 -4mx+2m+6=0有且只有一根在区间(-3,0)内， 求m的取值范围.分析：①由八-3)·f八0)<0即(14m 40, +15)(+3)<0得出-3<m<-停：2由4=0即 (5)两根都在(-1,3)内，应满足 ~1<-m+1 m-1c3, 16m2-4(2m+6)=0得出m=-1或m=子，当m (m-1)f-1)>0. (m-1)f3)>0, -1时，根x=-2e(-3,0),即m=-1满足题意：当 m=时，根x=3g(-3.0),故m=号不满足题意综 解得-<m< 上分析，得出-3<m<藏m=-1 m的取范国为-<m< (6)两根都大于0，应满足 4≥0. 【变式训练】 m-1>0, m+】 解得0<m<1,m的取值范 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(-1,0)内， (m-1)f0)>0. 一根在区间(1,2)内，求m的范围： 围为m10<m<1. (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围。 4≥0， (7)两根都小于1，应满足： m+1 m-i<1, (m-1)f1)>0, 解得m>1或m<-2: ∴m的取值范围为 m>1或m<-2} 11 4≥0. (8)在(1,2)内有解应满足 1<、m+1 m-2. (m-1)f1)>0, (m-1)f2)>0, 或1)2)≤0，解得-2≤m≤0 经检验m=一之及m=0都不合慧意合去， 解得-2<m<0, 温馨提示：复习至此，请完成练案[4 m的取值范国为m-2<m<0 第五讲 基本不等式 轮总复习 知识梳理·双基自测 知识梳理 2.如果，ye(0,+),且x+y=S(定值)， 01 那么当x=y时，y有最大值子（简记：“和定积 知识点一 重要不等式 最大”) a2+62≥ (a,b∈R)(当且仅当 时等号成立) 归纳拓展 知识点二 基本不等式，瓜≤“（均值 常用的几个重要不等式 (1)a+b≥2ab(a>0,b>0).(当且仅当a=b时 定理) 取等号) 1,基本不等式成立的条件： (2)b≤生(a.beR).(当且仅当a=b时取等 2.等号成立的条件：当且仅当 时等号 号) 成立： 3.其中中叫做正数a,b的 2 ,√ab叫做 （3e:abeR.(当且仅当a=6时 2 取等号) 正数a,b的 知识点三利用基本不等式求最大、最小 (④)合+公≥2(a,6同号).（当且仅当a=6时取等 值问题 号 1如果x,y∈(0，+)，且xy=P(定值)， 5)121≤v≤ 2 2s. a+b 2(a,b>0当且 那么当 时，x+y有最小值2VP.(简记： a+6 “积定和最小”) 仅当a=b时取等号).>cC正确;:最低温度为7C.最高温度为13C.7C 所以-与-都是负数,所以-.-<0.故C错误;因为一 13CD正确.故选CD -(-)x-),当x>0时,由xl>y>0得x>y,两 又正数大于负数,A正确.C错误,故选ABD. 边同乘x.得>xy,即x(y-x)<0;当x<0时,由lxl>y>0得 <b<-1时,a-1<-士故A错误;由函数g(x)=+1 D正确.故选BD. 3.BCD 根据a>0.b>0.b=2-a列不等式判断AD.再根据基本 在(-*,-1)上为增函数可知,当a<b<-1时,a+-<b+ 一0 不等式判断BC即可.:a>0,b>0.b=2-a. 士,即a-士-士,故B正确;由a<b,得b-a>0.但不确 0<a<2.同理可以得到:0<b<2.故A不正确,则D正确.又 :ab=())() 定b-a与1的大小关系,故ln(b-a)与0的大小关系也不确 =1.并且当且仅当a=b时,取得等号 定,故C错误;由a<b<-1可知.->1.0<<1.而co0. 则()>1>()>0.故D正确.故选BD. 并且当且仅当a=b时,取得等号,故得到:a4b→2.所以C正 确.故选BCD. 12.B. lc-b=4-4a+a +1.:b1.又b-a-} 1-a-(a-)>0.:ba .01B<4. .-4<-1g1<0. 而 -b-4-4a+a-(a-2)→0.cb.从而c→ba. .-3a-1g1<3. 13.②③ 当a>0.b<0时,→0.故①不正确; 5.(2.1.-3.-2)根据不等式号>>0和ad<bc都成立,可 #知.6同号_同号0→0_o0. a 由函数y=x’,y=2的单调性可知,②③正确; 当a=1.b=-1时,lna=lnb=ln1=0,故④不正确 14_ <be=ad-bc<0.由此可知b.d异号,由这些信息可写出适合 若窗户而积与地板面积同时增加n.采光效果变 条件的一组值,如(2.1,-3,-2). 2_。。 6.[解析] 设两码头的距离为s,则.24 ,,+: (6△)#(()-())0.所以号成立。 #1.2+40-(n+)# b(b+n) =b(b+m) -(u-) =n.+r2 2(r+r) 2(+) 2 c0 $5. 解法-:b-a=1+x-②x 1+x-2x=(-1)0 2 #(2_),即#。 1-x 。最大。 第四讲 一元二次不等式及其解法 解法二:取x-廿,则a-廿.b=1+c-8-1+,显然。 知识梳理·双基自测 最大 知识梳理 $6.(-3,-1)因为a→b>c.2a+b+c=0,所以a>0.c<0.b= 知识点一 -2a-e.因为a>b>c,所以-2a-c<a.即3a>-c,解得 1.大于 2.判别式 3.4>0 4.交点 -3.将b=-2a-c代入b>e中,得-2a-ce.即e<-a. 知识点二 两相异 两相等 没有xlx>x。或x<xxlxER且x 得<-1.所以-3<<-1. .. B lxxx 双基自测 17.[证明](1):be>ad.>o.f. 1.(1)x(2)(3)x (4)(5)× #1 2.A不等式-x-5x+6=0可化为x+5x-6<0.即(x+6)( -1)<0.解得-6<x1.所以不等式的解集为lxl-6x (2)c>a>b>0:.c-a>0c-b>0 1. 3.B 根据一元二次方程根与系数的关系即可求解,x,+x。=5. 6_ .--5.-=6.=1时.b-5.6=6.即-5- 0 +6=0.故选B. 又c-a0.c-6o._△ -)-# 过4.-14 依题意知 B组能力提升 1.D 对于A.如果a<b.c<d.那么a-c<b-d不一定正确,如5 <6.4<9.但5-4>6-9; -14. 对于B,如果a<b.c<d.那么ac<b不一定正确,如-2<-1. 5.[0.4) 当m=0时,显然成立;当n;0时,由已知得 1<4.此时ac [40)4mco解得0<m<4.综上,实数m的取值范围是[o. [m>0. 4). 2.1<8.此时:易知D正确 0~-1)(2-+1)50. 6.A 12x+10 2. BD当x=3.y=1时,x-yy,故A错误;因为lxl>y>0.所 -<1.不等式的解集为(-寸1 以1xllyl.所以^*2*,故B正确;当x<0时,因为y>0. -416- 7.(-1) 3x+-2<0-(x+1)(3x-2)<0. 时,解为;当a>1时,解集为 ^x<1 #(x 1)(-)<0→-1<. 变式训练 1.BCD根据函数的开口方向和根的判别式,即可得出正确的选 .x的取值范围是(-1.). 项.A选项,开口向下,不可能为空集,故A选项错误;B选项,开 口向上,A=9-4x2x4=-23<0.解集为空集,故B选项正 考点突破·互动探究 确;C选项,开口向上,A=9-4x10=-31<0,解集为空集,故 考点1 C选项正确:D选项.开口向上,A=4-4x3=-8<0.解集为空 角度! 集,故D选项正确,故选BCD 例:[解析](1)原不等式可化为(x-5)(x+1)0,所以原不等 2.[解析] 由x2-(a+1)x+a=0,得(x-a)(x-1)=0. 式的解集为xl-1x5. x.=,x=1, (2)原不等式可化为x?-8x+3>0,得解集为|xlx<4-13 ①当a>1时,-(a+l)x+a<0的解集为xll<x<a. ②当a=1时,x”-(a+1)x+a<0的解集为②. 或:43。 ③当a<l时,2-(a+l)x+a<0的解笔为xla<x<1. 考点2 #(2))_0 例1:B [分析] 利用根与系数的关系求解 [解析].不等式ax-x-1>0的解集是 --# a{-b-1-0的解是x-和:- 借助于数轴,如图所示, _ [- -#(---## ,. 解得{=-6. 所以原不等式的解集为xl-2x<-1,或2<x3. 1b=5. 角度2 例:[分析](1)根据a<0,注意两根-与1的大小; 则不等式x-b-a=0即为x-5x+6>0,解得x2或x$$ 3.故选B. (2)由于系数中含有字母,故需考虑对应的方程有无实根,以 例2:A【分析] 令f(x)=x2+ax-2.A=a”+8>0恒成立,又 及有根时根的大小关系. 两根之积为负值,所以只要/(1)>0或/(1)<0且/(5)>0. [解析](1)因为a<0,则原不等式等价于x-)(x-1) 于是得解;思路二:“正难则反”,求x+a-2<0在区间[1. 5]上恒成立的a的取值集合,只需/(5)三0.再求其补集即 0.解得x-或x>1.所以解集为(-×.)(1.+×). 可;思路三:分离参数. [解析]令/(x)=x+ax-2.则A=a+8>0. (2)对于方程-2ar+2=0.因为A=4a-8,所以当A<0.即 2.方程f(x)=0,有两个不等实根,又两根之积为负, -2<a<②时,x-2ax+2=0无实根.又二次函数y=x}- .方程有一正根和一负根。 2ax+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为②; 1)_0六)0得2(1 解法一:不等式x+ax-2>0在区间[1.5]上有解,只要 当A=0,即a=+②时,x”-2ax+2=0有两个相等的实根. 当a=v②时,原不等式的解集为lxlx=v②1, 23).故选A. 当a=-②时,原不等式的解集为|xx=-②: 当△>0,即a>②或a<-②时,x?-2ax+2=0有两个不相等 解法二:不等式x”+ar-20在[1.5]上恒成立,只要f(5) 的实根,分别为x,=a--2,x.=+-2,且x<x. 所以原不等式的解集为xla-va-2<x<a+a-2. 综上,当a>v②或a<-v②时,解集为lxla-a-2<x<a+ 解法三*}ax-2>0在区间[1,5]上有解-a2-x在 a-2;当a=②时,解集为|xlx=②;当a=-②时,解集 [1.5]上有舞u>/(s)(记/(x)--xixe[1.5]).显 为xlx=-v②;当-v2<a<v②时,解集为 。 [引申1] [解析] 因为a>0.原不等式等价于(x-)(t-1)<0. ①当a=1时.士-1.(v-)(x-1)<0无解: [引申] (-x,1)由解法三知,不等式+ax-2c0在区间[1.5]上 ②当a>1时.<1,辩(--)(x-1)<0得士(1;: 有解,a<2-x,xe[1.5]有解,显然g(t)-2-x在[1.5]上 。 ③当0<a<1时.>1.解(-)(cx-1)<0得1< 递减,g(x)=g(1)=1,a<1. 。 变式训练 所以当0<a<I时,解集为{x1<士: 1.2 2 由题意可知不等式ax2-6x+a?<0可化为a(x-1)(x- ,n>I. 时,解为1 当a=1时,解集为; [引申2] 1xm=a. [解析]若a=0.原不等式等价于-x+1c0,解得x>1. 2.A 解法一:由函数/(x)=x-4x-2-a图象的对称轴为x=2 .不等式x-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解/(4)>0,即 综上所述:当a<0时,解集为{^{或x>1];:当a=0时,解{ a一2,故选A. 第为{xtx>1:当0<a<1时,解第为{x1<当a=1 解法二:(分离参数法)不等式x*-4x-2-a>0在区间(1.4) 内有解等价于a<(x-4x-2),令g(x)=x-4x-2,xe(1. 4)..g(x)<g(4)=-2..a<-2.故选A. -417- 考点3 例:[解析] (1)要使m-mx-1<0恒成立, )0 若m=0,显然-1<0; 列不等式组 若n%0,则m<0 14 ^+4 o→-4<m<o. 0<-m<1. m>1+2或m1-2. 所以m的取值范围为(-4.0]. (2)要使f(x)<-n+5在[1.3]上恒成立, (-1<m0. 只需m-mx+m<6恒成立(x=[1.3]). .-<n<1-. 又因为-1-(-)号0 练案[4] 1.C 在C项中,A=36-40=-4<0.所以不等式解集为B 6 2.D 不等式(x+5)(3-2x)=6可化为2x+7x-90,所以(2 ()# 因为1-(--)3在[1.3]上是增函数, =6的解集是(-<x=1故选D. 3.B 不等式(m-x)(n+x)>0可化为(x-m)(x+n)<0.因为 m+a>0.所以m>-n.所以原不等式的解集为lxl-n<x< # 因此函数的最小值y_= ml,故选B. (o. 所以n的取值范围是(-~) (3)将不等式/(x)<0整理成关于m的不等式为(-x)m-15.B由题意得A={xl-+x+2>0l=xl-1<x<2 = 0. {&×>或x-.故AnB-(-1.-) 0 令g(m)=(-x)m-1,me[-1,1]. 6.C:关于x的不等式ax+b>0的解集是(1.+x).a>0. 且--1.:关于x的不等式(ax+b)(x-2)c0可化为 解得115 2 (*)(t-2)<0,即(x-1)(x-2)<0.:不等式的解集为 xl<2. 变式训练 1.D 当a-3时,-4c0恒成立; 7.A 当k=0时,不等式-6rx+k+8>0可化为8=0.恒$$ 成立; 当k0时,要满足关于x的不等式z}-6kx4k+8>0对任意x 解得-1<a<3.所以-1<as3.故选D. =R恒成立, 2.A 令/f(x)=x-4x,x=(0.1].f(x)图象的对称轴为直线x 需{0. 1A=36-4(k+8)<0. 解得0<1. =2. f(x)在(0,1]上单调递减..当x=1时/f(x)取得最小值 -3.m-3.故选A. 综上,h的取值范围是[0.1]. 3.B 记g(a)=(x-2)a+-4x 4.a=[-1,1] 8.A“存在xeR.使ax+2x+a<0”的否定为“对任意xeR,都 有ax+2x+a>0”.下面先求对任意xeB,都有ax+2x+a>0 恒成立时a的范围. 选B. ①当a=0时,该不等式可化为2x>0.即x>0,显然不合题意; 名师讲坛·素养提升 解得a>1. 变式调练 [解析](1)设函数f(x)=x+2mx+2m+1. 综合①②得a的范围为[1.+x),所以存在x=R.使ax+2x+ 与x轴的交点分别在区间 a<0的a的取值范围为(-x,1). (-1.0)和(1.2)内. 9.BCD 对于A.2x-x-1=(2x+1)(x-1). 画出示意图, .由2x-x-1>0得(2x+1)(x-1)>0. f(0)=2m+1<0. - -1)-20. 得 解得x>1或x<- /f(1)=4m+2<0. 2)=6m+50. .不等式的解集为[xx>1或x<-1.故A错误; n- 对于B-6x-t+20.62+x-2=0. mER .(2x-1)(3x+2)>0.x=或xs-,故B正确; , m<- 。 对于C,由题意可知-7和-1为方程ax2+8ax+21=0的两个 n>- 5 (2)据抛物线与x输交点落在区间(0.1)内。 对于D.依题意a.1是方程x^2+mx-2=0的两根. +1=-p.即p+q=-1,故D正确. $0. BCD 当a=0.b=1.c=-6时,不等式解集为xlx>6 ,A错$ 误;当a=b=0.c=1时,B正确;当a=b=0.c=-1时.C正 确:当a=-1.b=5.c=-6时,D正确.故选BCD. 11.ABD 将不等式转化为方程,再利用图象即可求解,ax++ c>0的解集是(-1.2),则a<0.正确.由题意知令f(x)=ax} +b+c.由f(x)=ax+bx+c>0的解集是(-1.2).可得/(1