1.3 不等关系与不等式-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习学案（新教材）

第三讲不等关系与不等式 知识梳理·双基自测 知识梳理 双基自测 知识点一 两个实数比较大小的方法 题组一 走出误区 ra-b>0台0 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或 (1)作差法 a-b=0ea b(a.bER) “×”) a-b <0a b 8>1s (1)若分>1，则a>6 b (2)若a>b,c>d,则ac>bd. (2)作商法 b(aER,b>0) (3)若a>b,则ac2>bc2 (4)若ac2<bc2,则a<b. (6<1sa b 知识点二 不等式的基本性质 (5)者a>6则片<公 (6)若a>b则a2>b 性质 性质内容 特别提醒 (7)若a>6则a3>b3 对称性 a>he 台 传递性 axb,b>c= (8)若日>石>0.则6>a>0 可加性 a>bs 台 题组二走进教材 a>bl 2.（必修1P:T5)某班有学生参加才艺比赛，已知每人 c>0 注意c 只参加一个比赛，且参加书法比赛的人数多于参加 可乘性 a>bl 的符号 唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折 纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的2倍多于参 复习 c<0 a>b] 加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的总人数至 同向可加性 e>d] 少为 ( A.7 B.9 009 同向同正 a>b>0 C.12 D.15 可乘性 e>d>0】 3.(必修1P.7改编)若-受<a<B<受，则a-B的 a>b>0→ 可乘方性 a,b同 取值范围是 (neN,n≥1) 为正数 4.(必修1P:T8改编)已知1>1，且x=1+1-i,J= 可开方性 a>b>0=a>6 a,b同为正数 (neN,n≥2) 万--1，则x,y的大小关系是 题组三走向高考 归纳拓展 5.(2022·上海卷)已知实数a,b,c,d满足：a>b>c> d,则下列选项中正确的是 (） 1a6,aw>0=<7 A.a+d>b+c B.a+e>b+d C.ad >be D.ac bd 6.（2016·北京)已知x,yeR,且x>y>0,则() 3.a>b>0,d>c>0=4> d A1-1>0 B.sin x -sin y>0 4.若a>b>0,m>0,则2<+m:名>≥6-=m（6-m>0. aa+m'a "a-m c(2-('<0 D.In x+In y>0 考点突破·互动探究 2.在应用不等式的性质时，不可以强化或弱化不 音点 比较代数式的大小一自主练透 等式成立的条件，如“同向不等式”才可以相加，“同向 例1.已知0<a,<1,0<a,<l,记M=a,a,N=a,+ 正数不等式”才可以相乘 a:-1,则M与N的大小关系是 3.在不等关系的判断中，赋值法是非常有效的 A.M<N B.M>N 方法 C.M=N D.不确定 角度2利用不等式的性质求范固问题 2.若a>0,b>0,则p=(ab)学与g=a·6的大 例1.已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是 小关系是 ,3x+2y的取值范围是 戈的取 A.p≥q B.p≤q C.p>q D.p<q 值范围是 3若a=36=c5则 A.a<b<c B.c<b<a 已知-1<x-y<4.2<x+y<3,则3x+2y的取们 C.c<a<h D.b<a<e 並用为 名师点拔：比较两实数大小的方法 1.作差（商）法：作差（商）白变形一判断」 2.构造函数法：利用函数的单调性比较大小 本题易犯以下错误，先求出x、y的范围，再求 010 3.中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选 3x+2y的范目，出于多次用不等式性质扩大了 取“0”或“1”作为中间量。 变量的取值范国，正确的解法是把xy和十y看 2p25 作一个整体，用它们来表示3什2y.再求出它的 年 点 不等式的性质及应用—一多维探究 范围 度 创 角度！不等式的性质 新 例1.（多选题）已知a>6>0,c>d>0,则下列不等 名师点拔： 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围， 计 式中一定成立的是 ( 但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质：二是 A.a+c>b+d B.a-d>b-c 在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值 D.√ac>d 范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范 学 e d 围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的 2.若a,b,ceR,则下列命题为假命题的是( 运算求解范围， A.若a>b,则a>石 【变式训练】 1.(角度1（多选题）(2023·张家口一模)若a>b,则 B.若a>b,则ae2>be 下列不等式中正确的有 () C若a<6c0,则> A.a-6>0 B.2>2 C.ac >be D.a2> D.若ace2<bc2,则a<b 2.(角度1)（多选题）(2023·泰州调研)若a>b>0> 3.(多选题)(2024·长沙调研)若】< c,则 () -<0,则 A台> B.b-c>b a -c a 下列不等式中正确的是 C.a>b D.a-e>2-be B.lal+b>0 3.(角度2)若1<a<3,-4<B<2,则号-B的取值范 ca->6 D.In a2>In 围是 b 名师点拨： 4.(角度2)已知-3<a<-2.,3<b<4,则%的取值范 1.在判断一个关于不等式命题的真假时，先把要 围为 判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命 A.(1,3) a(学) 题相近的性质，并根据性质判断命题的真假，有时还要 用到其他知识，如本例中幂函数、对数函数的性质等。 c(层剖 n(分 名师讲近·素养提升 比较大小微专题 微专题1特殊值法 2.(2023·郑州模拟)设x>0,P=2+2,Q= 例高中大的提+a (sinx+cosx)2,则 (A) (A) A.P>0 B.P<O A.aby +ab2 B.a az +bb2 C.P≤Q D.P≥Q C.a b:+azb [解析]因为2+2≥2√2·2=2（当且仅 当x=0时等号成立)，而x>0,所以P>2. [解析] (特殊值法)：令4=6，=34=b=了， 又(sinx+cosx)2=1+sin2x,而sin2x≤1，所以 Q≤2.于是P>Q.故选A. 则a6+ab=号aa+6=号a6+a 4 名师点拨： 由此可知，代数式中值最大的是选项A. 利用中问量法比较不等式大小时要根据已知数， 2.设a>b>0,下列各数小于1的是 (D) 式灵活选择中间值.指数式比较大小，一般选取1或指 ( 数式的底数作为中间值：对数式比较大小，一般选取0 A.2-6 或1作为中间值，其实质就是根据对数函数∫(x)三 c( ( logx(a>0,且a≠1)的单调性判断其与f(1),f(a)的 大小 [解析]解法一（特殊值法）： 【变式训练】 取a=2,b=1,代入验证. (多选题)(2023·重庆一中模拟)下列不等式成立 解法二：y=a'(a>0且a≠1). 的是 当a>1,x>0时，y>1: A.log sin 1)>2n 当0<a<1,x>0时，0<y<1 ( .a>b>0, C.7-√5<6-2 D.log 3 <log 5 a-b>0,号>1.0<台<1 微专题3单调性法 靶 例已知实数a,be(0,),且满足c<embm,则 由指数函数性质知，D成立， 下列关系式成立的是 (C) 名师点拨：特殊值法比较大小的思路 A.In a<In b B.sin a <sinb 数 利用特殊值法比较不等式的大小时需要注意以下 D.a<b 问题：选择项两数大小是确定的，如果出现两数大小由 0 某个参数确定或大小不确定的选项，就无法通过特殊 [解析]因为a,b∈(0,1)，则aT,bm∈(0，T) 值进行检验：赋值应该满足前提条件：当一次赋值不能 而函数y=c0%x在(0，T)上单调递减，又c0saT< 确定准确的选项，则可以通过二次赋值检验，直至得到 csbm,所以aT>bm,即a>b,由函数y=lnx,y= 正确选项。 inx,y=x在(0,1)上均为增函数，知只有C正确. 【变式训练】 名师点拨： 已知实数x,y满足a<'(0<a<1),则下列关系式 1.利用函数性质比较数、式的大小，得到函数的单 恒成立的是 调区间是问题求解的关键，解题时，指数、对数，三角函 A.n(x2+1)>ln(y2+1) B.sin x sin y 数单调性的运用是解题的主要形式， C.x'>y 1 D.2+12+1 2.通过对称性、周期性，可以将比较大小的数、式 转化到同一个单调区间，有利于其大小比较 微专题2中间量法 3.导数工具的应用，拓宽了这类问题的命题形式 例1.(2024·吉林-中月考)已知x=nT,y=lg,2, 和解题难度，值得我们关注和重视。 =e,则 (D) 【变式训练】 A.x<y<z B.z<x<y (多选题)(2023·邯郸高三期末)设0<a<b<1, C.:<y<x D.y<2<x 0<c<1,则 () [解析]因为x=lnT>lne=l,y=log,2< A.ln(c"+1)>ln(e°+1) B.(e+1)"<(e+1) gw5== e1>且=e宁<e°=l,所以x>> C.a°>a">b" D.log,a log.b e 温馨提示：复习至此，请完成练案[3】 上.故选D.g(x）m=8+a, 由f'(x)>0,得0<x<e: 因此号≤8+a,则a≥宁 由f'(x)<0,得x>e x)在(0，c)上为增函数，在(e,+)上为减函数 第三讲不等关系与不等式 f3)>f4)>八5).pa>b>c 考点2 知识梳理·双基自测 角度1 例1：ABD对于A,因为a>b>0,e>d>0,所以a+c>b+d 知识梳理 成立： 知识点一 对于B,因为a+e>b+d,所以a-d>b-e成立： >=<> =< 知识点二 对于C,举反例，如a=6,6=2,c=3,d=1,可知4 b<aa>e a+e>b+e ac>be ac<be a+e>b+d 错误； ac>bd a">b" 对于D,因为a>b>0,c>d>0,所以e>d>0,故/ac> 双基自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)V(5)×(6)×(7)V √d成立.故选ABD. (8)V 例2：B利用不等式的性质，逐项分析、判断作答.a>b,则a-b= 2.C设参加书法唱歌，折纸比赛的人数分别为a,b,心，由题意得 (a)3-()3=(a-拓)[a+a拓+（沉）]>0，而 a≥b+1,b≥c+1,2c≥a+1..a+b+2c≥b+1+e+1+a+1 .c≥3，，b≥4，a≥5，.参加这三项比赛的总人数至少为12.故 (a)产+6+（拓）2=(a+2+子（汤产>0.因此 选C. a-6>0,即a>6,A正确：a>b,当c=0时，ac2=c2,B 3.(-m,0)由已知，得-受<a<号，-受<-B<受，所以-T 错讽：a<6<0,有ab>0,两边同时除以6，则有六<行，C <a-B<π，又<B,所以a-B<0,故-m<a-B<0. 正确：ac2<bc2,则c40,此时e2>0,于是a<b.D正确.故 4,x<y可以转化为分式，再判断工限1的大小关系从而确定 选B. ,y的大小x=+-=（+T-(+可+① 例3：AC由<六<0，可知6<a<0A中，因为a+b<0,ab> A+1+i +T+后y=f-可.i-5+ 十6<0品>0放有+即A正确： 0,所以1 1 B中，因为b<a<0,所以-b>-4>0 +1-1 故-b>lal,即1al+b<0,故B错误： x.+<1. +t-1yE++1 c中，因为6<a<0,又<古<0则-合>-古>0，所以 5.B选项A,如取a=4,b=3,c=2,d=-4,此时a+d<b+c,故 a->6-古放C正确： A错误： 选项B,a+c>b+c>b+d,故B正确： D中，因为b<1<0,根据y=x2在(-，0)上为减函数，可 选项C,如取a=4,b=-1,c=-2,d=-3,此时ad<c,故C错 得b2>a2>0.而y=lnx在定义域(0，+)上为增函数，所 误： 以n>na,故D错误.由以上分析，知A,C正确. 选项D,如取a=4,b=-1,c=-2,d=-3.此时ae<bd,故D错 角度2 误故选B 例1(-4,2)（1.18)（3,2 -1<x<42<y<3 6.CxeR,且x>y>0,则1<1 y 六-3<-y<-2,-4<x-y<2 由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12.4<2y<6 血x与my的大小关系不确定，(2)<（分），即(2) .1<3x+2y<18. (侵)<0，nx+山y与0的大小关系不确定.故选C 由2<y3时寸分 考点突破·互动探究 当0<x<4时，0<<2， 考点1 例1：B解法一（差比较法）：M-N=a,4-a,-a+1=(1- 当x=0时，号=0. a1)·(1-a)>0,M> 当-1<<0时，0<-x<1. 解法二（特殊值法）：取4=4=子心=，N=0, 1 0<-<7<<0 y .M>N. 例2A由题意知>09>0.则号：他答=，片： 上<<2 (信护若>60期子>1。b05>1:者0ea 例2（号） 设3x+2y=A(x-y)+4(x+）, 即3x+2y=(A+u)+(u-A)y, b,则0<6<1，a-b<0,则号>1：若a=b,则=1.综上p 于是A红=解得 4-A=2, 5 μ= 例3：B解法一：易知a,b,c都是正数. 5 合-=641.所以a>: 3x+2y=2(x-y)+2(x+) 冬-号e104>1,所以6>6，甲e<6ca -1<x-y<4,2<x+y<3, 六，72-25<+)<5 解法二：构造函数f代x)=血 5 则f"(x)=-nx 2 故3x+2的取值范周是（号，》 -414 变式训练 1.AB对于A.因为a>b. 练案[3] 所以a-h>0,故A正确： A组基础巩固 对于B.因为>b,且指数函数y=2在R上单调递增，所以2”1.D根据题日条件直接列出不等式组即可.数学成绩x不低于 >2,故B正确： 100分表示为x≥100，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于 对于C,若c<0,则ac<bc,故C错误： 200分且低于240分表示为200<y+:<240,即 对于D,当a=1,b=-2时.a2<b,故D错误.选AB 「x≥100. 2ABD对于A,因为a>b>0,所以>>0，又c<0 200<y+r<240.故选D. 2.A解法一：令a=1,b=-2 云A正确： 则a2=1,-ab=2,b=4, 从而a2<-ab<6,选A 对于B,a(b-e）-b(a-c）=(b-)c>0,.a(b-e）>b(a- 解法二：由a+b<0,且a>0可得b<0. c).两边除以aa-e小名二兰>名B正确： 且a<-6. 因为a2-(-ab)=a(a+b)<0. 对于C,由幂函数y=x(e<0),得a<B,C错：对于D.由已知 所以0<<-ah. 得，ac<bc,-ac>-bc,又a-c=a+(-c)≥2√-ac> 又因为0<a<-b 2/-加，∴，D正确.故选ABD. 所以0<-ab<(-b)2,所以0<a2<-b<6,选A 3.(-子)由1<a<3得时 3.B根据不等式的性质逐项分析①3④，利用指数函数的单调 2 性判断2.①中，当a=5,b=4.c=3,d=1时，a-c>b-d不成 由-4<B<2得-2<-B<4, 所以号-B的取值范围是(-之·2) 311 立，是假命题：②中，y=()是R上的单调递减函数，所以@ 4.A由已知中：-3<a<-2,3<6<4可得：4<02<9, 1 >6时，（分<（分是真命题：③中，当a=2.6=1时，右边 成立，而左边不成立，是假命题：④中，4<6<0→0>6一么< <分结合不等式的同号可乘性，可得号的取值范鼠：-3< 名，是真命题故选B <-2.3<b<44<<9,<<分1<号 <3.故 4.C方法一：由x>y>:及x+y+z=0知x>0,:<0,y∈R.验证 选A 各选项知C成立 名师讲坛·素养提升 方法二（特殊值法）：取x=【,y=0,:=一1，代入各选项知C 微专题1 成立. 变式训练 5.A先平方，再分类讨论：的值，求解即可.显然P,Q都是正数 C解法一：因为实数x,y满足a<a'(0<a<1)所以x>y 又P=(/m+10+a)2=2a2+10+2a/a+10,= 对于A,取x=1,y=-3,不成立： (√a+6+/a+4)2=2a2+10+2√(a+6)(a+4)=2m 对于B,取x=π，y=-T不成立： +10+2/a+10n+24.①当a<0时.则a+10n+24>0 对于C,由于x)=x在R上单调递增，故x>y成立： 对于D,取x=2,y=-1,不成立.选C >a√0+10，Q>P,Q>P,②当a≥0时，则 解法二：根据指数函数的性质得x>y,此时，y之的大小不确 √a+10a+24>√a+10a=a√0+10，Q>P,Q>P. 定，故选项AD中的不等式不恒成立：根据三角函数的性质，选 综上所述，Q>P.故选A. 项B中的不等式也不恒成立：根据不等式的性质知，选项C中6.A因为g2∈(0,1)，所以g(g2)<0: 的不等式成立 微专题2 g2-(g2°=g2(分-e2>g2(号-g而）=0. 变式训练 即g2>(g2): BCD sin I(0.1)...log,sin 1)<0,2>1,..log (sin 1) <21,故A不正确： g2-g2=2g2>0,邶g2>g② 0<1.>1(日广<放正角 所以最大的是g2 若7-5<6-2，则0<7+2<6+5，即(7+2)2<(，6+ .0-是<<受-m<2a<m 5), -受<B<受-号<-B<受 即11+47<11+230，即47<2√30，即28<30成立，故C 正确： -<2a-< 2 log,3=1+logog5=1+log. 3 5 又a-B<0,a<号2a-B< 子<&且音< 故-<2a-B<号 憾子<g名3<g5,故D正确放选BGD 8B1 微专题3 ∴.0<b<a<1, 变式训练 ∴，指数函数y=”在R上单调递减， AB因为0<a<b<1,0<e<1,所以函数y=a”,y=lgx均是 .a>a",即N>M. 减函数，所以a°<a”,loga>ogb,所以C,D不正确： 又都函数y=x”在(0，+)上单湖递增。 又由函数y=lnx是增函数，y=是减函数，可得c>c,则e“ .a“>,即M>P, +1>e+1, ,N>M>P,故选B 所以ln(e”+1)>ln(c+1),所以A正确： 9.CD先根据各选项的语言表述列出不等式即可.：x不大于3， 因为0<c<1,可得c+1>1,所以函数y=(e+1)”是增函数， 可表示为x≤3，，A错误；：x与2的和是非负数，可表示为x+ 可得(c+1)”<(e+1),所以B正确.故选AB 2≥0，B错误：根据三角形中任何两边之和大于第三边，则+b 415