1.2 常用逻辑用语-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习学案（新教材）

第二讲常用逻辑用语 知识梳理·双基自测 知识梳理 2.充分条件与必要条件的两个特征： (1)对称性：若p是g的充分条件，则q是p的必要 知识点一充分条件、必要条件与充要条件 条件，即“p→g”台“q=p”. 的概念 (2)传递性：若p是g的充分（必要）条件，9是r的 充分（必要）条件，则P是r的充分（必要）条件，即“p 若p→q,则p是q的 条件，q是p的 条件 →g且g→r”→“p→r”(“p←=q且g=r”→“p=r”). p是g的 条件 P→q且g≠P 注意：不能将“若p,则g”与“p→g”混为一谈，只有 “若P,则g”为真命题时，才有“p→g”,即“p→g”台“若 p是g的 条件 p≠g且→p p,则g”为真命题 P是g的 条件 3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结 P→q 论” p是q的 条件 pq且g台p 4.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加 上全称量词再对其否定. 知识点二 全称量词与存在量词 5.命题p和一p的真假性相反，若判断一个命题的真假 1.命题 有困难时，可判断此命题的否定的真假 用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述 句叫做命题。 双基自测 2.全称量词命题与存在量词命题 题组一走出误区 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 1.判断下列结论是否正确（请在括号内打“√”或 全称量词，并用符号“ ”表示.含有 “×”) 的命题，叫做全称量词命题 (1)“x2+2x-3<0”是命题， (2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常 (2)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命 叫做存在量词，并用符号“ ”表示.含有 题 的命题，叫做存在量词命题， 数 3.全称量词命题和存在量词命题的否定 (3)若命题p:VeR2<0,则p:3xeR -2 量词命题 量词命题的否定 结论 ≥0 005 (4)“a=B”是“ana=anB”的充分不必要条件. 存在量词命题的 ( 3x∈M,p(x) Hx∈M,7p(x) 否定是 (5)在△ABC中，A>B是sinA>sinB的充要条件 命题 全称量词命题的 题组二走进教材 VxEM.p(x) 3x∈M,p(x) 否定是 2.（多选题)（必修1P练习T1改编）下列命题是全称 命题 量词命题且为真命题的是 A.Vx∈Z,-x2-1<0 归纳拓展 B.3meZ,nm =m C.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 1.若A={xlp(x)},B={xg(x),则 D.存在实数x,使得2-2x+34 13 (1)若A二B,则p是g的充分条件： (2)若A2B,则p是g的必要条件： 3.（必修1Pz习题T2改编)“a>b”是“ac2>bc2”的 (3)若A=B,则p是g的充要条件： () (4)若A手B,则p是q的充分不必要条件： A.充分不必要条件 (5)若AB,则p是q的必要不充分条件： B.必要不充分条件 (6)若A延B且A2B,则P是9的既不充分也不必要 C.充要条件 条件 D.既不充分也不必要条件 4.(必修1PaT5改编)使-2<x<2成立的一个充分条6.(2023·全国甲理，7,5分)设甲：sima+sinB=1, 件是 乙：sina+cosB=0,则 () A.x<2 B.0<x<2 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 C.-2≤x≤2 D.x>0 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 题组三走向高考 C.甲是乙的充要条件 5.(2023·天津，2,5分)“a2=b2"是“a2+b=2ab”的 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7.(2016·浙江)命题“Yx∈R,neN·,使得n≥x2” () A充分不必要条件 的否定形式是 A.HxeR,3neN*,使得n<x B.必要不充分条件 B.HxeR,n∈N°，使得n<x2 C.充分必要条件 C.3xeR,3neN,使得n<x D.既不充分又不必要条件 D.3xeR,Hn∈N',使得n<x 考点突破·互动探究 夸点 全称量词命题与存在量词命题一自主练透 喜点 充分条件与必要条件的判断一多维探究 例1.（多选题）下列命题的否定中，是真命题的有 方法定义法判断 A.某些平行四边形是菱形 例1.已知x,y为正实数，则x+y>4”是n+血y >2ln2”的 () B.3x∈R,x2-3x+3<0 006 C.VxeR,lxl+x2≥0 A.充分不必要条件 D.Ha∈R,x2-ax+1=0有实数解 B.必要不充分条件 2025 2.(2023·武汉模拟)命题“Vxe[0,+∞)，x+ C.充要条件 年 x≥0”的否定是 D.既不充分也不必要条件 度 A.xe(-,0),x3+x<0 2.(2023·新课标1,7,5分)记S.为数列|a.}的 新 B.Hx∈(-0,0)，x3+x≥0 C.3xe[0,+x),x3+x<0 计 前n项和，设甲：a为等差数列：乙：倍}为等差数 D.3xe[0,+∞)，x3+x≥0 衡 列，则 3.(多选题)下列存在量词命题中，为真命题的是 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 A.3x∈Z,x2-2x-3=0 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 B.至少有一个x∈Z,使x能同时被2和3整除 C.甲是乙的充要条件 C.3xER,lxl <0 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 D.有些自然数是偶数 方法2：集合法判断 4.已知命题“xeR,ax2-x+2≤0”是假命题， 则实数a的取值范围是 例已知（广<1g:hx<0,则p是g的（） 名师点拨： A,充分不必要条件 1,全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 B.必要不充分条件 命题名称真假 判断方法一 判断方法二 C.充要条件 全称量 真 所有对象使命恩为真 否定为假 D.既不充分也不必要条件 词命题 度 存在一个对象使命题为假 否定为真 方法3等价转化法判断 存在量 存在一个对象使命题为真 否定为假 词命题 例1，给定两个条件p,9若P是g的必要不充分条 所有对象使命题为假 否定为真 件，则p是g的 () 2.全称量词命题与存在量词命题的否定 A.充分不必要条件 (1)政写量词：确定命题所含量词的类型，若命题 中无量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进 B.必要不充分条件 行改写； C.充要条件 (2)否定结论：对原命题的结论进行否定. D.既不充分也不必要条件 营点 充分、必要条件的应用—师生共研 如果x,y是实数，那么“x≠r”是“csx≠cy 的 例(1)已知P=x1-8x-20≤0，非空集合s= A.充要条件 |x1-m≤x≤1+m{.若xeP是x∈S的必要条 解决不相等问题转化 B.充分不必要条件 为相等问题来勉理， 件，则m的取值范围是 C必要不充分条件 即转化为等价命题 (2)在(1)中若把条件“若x∈P是x∈S的必要条 D既不允分也不必要条件处理 件”改为“若x∈P是x∈S的必要不充分条件”，则m 的取值范围是 名师点拔：有关充要条件的判断常用的方法 名师点拨： L.根据定义判断：(1)弄清条件p和结论q分别是 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价 什么：(2)尝试p→g,9→p.若p→g,则p是q的充分条 转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的间 件：若q曰→p,则p是q的必要条件；若p→q,9P,则P 题来解决，一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要 是g的充分不必要条件：若p公g,9→p,则p是g的必 关系问题时，常常要利用集合的包含、相等关系来考 要不充分条件：若P→q,q→p,则p是q的充要条件. 虑，这是破解此类问题的关键， 2.利用集合判断 【变式训练) 记法 1.已知p:1≤x≤2，q:(x-a)(x-a-1)≤0，若p是q A=xlp(x).B=xlg(x) 关系 A手B B车A A=B AgB且B买A 的充要条件，则实数a的值为 2.已知p:4x+m<0,9:x2-x-2>0,若p是g的一个 P是g的 P是q的 p是9的既 充分不必要条件，求m的取值范围， p是q的 结论 充分不必 必要不充 不老分也不 充要条件 要条件 分条件 必要条件 轮总复习 3.利用等价转化法：对于带有否定性词语的命题， 常用此法，即要判断p是q的什么条件，只需判断9 是一P的什么条件。 【变式训练】 007 1.设a,b∈R,则“a3>b3"是“a2>b2"的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2024·全国高三专题练习)下列选项中的两个条 件是互为充要条件的是 ( A.P:a=1:Q:函数f代x）=x2-(1-a2)x+3是偶 函数 B.在△ABC中，P:△ABC是等边三角形：Q:sinA= sin B=sin C C.P:数列1an的前n项和S。=2n2-3n+1:Q:数列 1a.|是公差为2的等差数列 DP:实数≥1：0：+≥2 名师讲坛·素养提升 一、抽象命题间充要条件的判定 例已知p是r的充分不必要条件，9是r的充分条件， [解析] 由客得p么.显然曰r且一一 s是r的必要条件，9是s的必要条件，现有下列命 q,即qr,①正确；p→r→s→g且g种P,②正确：r台q, 题：①r是g的充要条件：②p是g的充分不必要条件： ③错误：由P→s知s→np,但s≠p,“7p≠s,④ ③r是9的必要不充分条件；④一p是s的必要不充 正确：r一s,⑤错误.故选B. 分条件：⑤r是s的充分不必要条件，则正确命题的序 名师点拨： 号是 (B) 命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求 A.①④⑤ B.①②④ 解，简洁直观，一目了然 C.②3⑤ D.②④⑤ 【变式训练】 [分析]本题涉及命题较多，关系复杂，因此采 若p是r的必要不充分条件，g是r的充分条件，则P 用“图解法” 是9的 条件 二、突破双变量“存在性或任意性”问题 逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式，结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就 是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系（或两个函数最值之间的关系）， 目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质 008 引中2把不例中，x∈「0.3政为]x,∈「0.31 2025 例 已知了=+g-(分）广m若对于 年 x∈I0,3,3a∈[L.2],使得/x≥ 其他条件不变，则实数m的取值范围是 度 g则实数m的收值范围是 (A) 3xE[0,3]是指x)在[0,3]上有一个函 新 设 数值即最大值. 计 B.(x,] D.x,子] ]xE[0,3]是指x)在[0.3]上有一个 学 Vxe[0,3]是指x)在[0,3]上的每一个函 函数值即最大值. 数值即最小值 3xe[1,2]是指()在[1,2]上有-个函数 引申3把本例中，x∈10,3」，3x2∈L,2 值即最小值， 为妇x,∈l0.3V∈11,2小其他条件不变.则实数 m的取值范是 [解析]当xe[0,3]时八x)m=f(0)=0, 当e1,2]时g(e)=g2)=号-m, Vxe[L,2]是指x)在[1,2]上的每-个 函织值即最大值， 由)≥g)得0≥}-m,所以m≥子 名师点拨： 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题， [引中1门把个例中“3x,∈1,2]”改为：“k,∈ 可根据命题的含义，利用函数值城（或最值）解决 【变式训练】 [1,2]”,其他条件不变.则实数m的收值范州是 已知函数f八x)=e-e,g(x)=lnx+1,若对于x Hx,e[1,2]是指g(x)在[1,2]上的 eR,3e(0,+),使得f(x1)=g(x),则x1 每一个值即最大值. ,的最大值为 A.e B.1-e C.1 D.1- 温馨提示：复习至此，请完成练案[2」5C根据题意可知4=(-，)B=0,门，所以AUB=7D根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D 考点突破·互动探究 (-x,1,4nB=[0,2),所以(4nB)=(-0.0)U考点1 例1：BD根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，即可求 [小放选c 解.对于A,某些平行四边形是菱形，是真命题：对于B,d=9 6.AC由题意可设x=m1+3n1,2=m1+3n2,其中m,m2, -12=-3<0,则原命题是假命题：对于C,Vx∈R,lx1+ ≥0.是真命题：对于D.只有4=a2-4≥0，即a≤-2或a≥2 ,西eN”,则x:+为=(m1+m）+5(%+m),+为2∈A,所 时，x-x+1=0有实数解，是假命题：根据原命题和它的否 以加法满足条件，A正确：出1一为=(m1-m）+3(%一n2),当 定真假相反的法则判断，选项BD中，原命题的否定是真俞 =西时，一马A,所以减法不满足条件，B错误：与= 题.故选BD. m,m:+3西+3(m西+m),x名eA,所以乘法满足条件，例2：C含有一个量词的命题的香定规律是“改量词，否结论” C正确：点_m+,当%。=A(A>0)时.点gA,所以 所以，命题“x后[0，+x),x+x≥0”的否定是“3x∈[0 m+3 +）,x+x<0”,故选C 除法不满足条件，D错误 例3：ABD因为方程x2-2x-3=0的两根为3和-1，所以x∈ 7.-1【A=xeR1lx+2|<3引={xGR1-5<x<1,由A∩B Z,故A正确：因为6能同时被2和3整除，且6eZ,故B正 =(-1,n),可知m<1, 确：根据绝对值的意义可得x|≥0恒成立，不存在x满足x 则B=|xm<x<2,画出数轴，可得m=-1,n=1 <0.故C错误：2,4等既是自然数又是偶数，故D正确：故 选ABD 依题意，4={=(-}={>B 例4：（冬，+）因为命题“3xeR,2-x+2≤0"是假命题， 所以命题“HxeR.x2-x+2>0”是真合题」 xl≥2m-1,又ACCB,所以2m-1≤，解得m≤ ,故 当a=0时，得x<2,故命题“Vx∈R,x2-x+2>0”是假命 题，不符合题意 的最大值为子 当a0时.得公29<0.解得。>名 第二讲常用逻辑用语 考点 方法1 知识梳理·双基自测 例1：B利用特值法、基本不等式，结合充分条件与必要条件的定 知识梳理 义判断即可.当x+y>4时，取x=1,y=4,则nx+lny=ln 知识点一 +ln4=2ln2,所以“x+y>4”不是“lnx+lny>2ln2”的充 充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也 分条件：当nx+lny>2ln2时，得ln(y)>n4,即xy>4,则 不必要 x+y≥2√xy>4.所以“x+y>4”是“1nx+lny>2n2”的必 知识点二 要条件，所以“x+y>4”是“1nx+lny>2ln2”的必要不充分 1.判断真假 2.全称量词3存在量词 条件.故选B. 3,全称量词存在量词 例2：C若a,|为等差数列，设公差为d,则a。=a1+(n-1)d, 双基自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)V 六S=m,+4》=a+”. 2 [解析】(4)当a=B=受时，am,anB每无意义，因此不能 当n≥2时义 推出lana=tnB,当tanx=tanB时，a=B+kr,keZ,不一定& =B.因此是既不充分也不必要条件， (5)在△ABC中，由A>B,则a>b,由正弦定理sinA>sinB,反 之也成立 {倍}地以8为首项号为公差的等差数列 2.AC VxER,-x2≤0，所以-x2-1<0.故A选项是全称量词 命题且为真命题；当m=0时，m=m恒成立，故B选项是存在 量词命题且为真命题：任何一个圆的圆心到切线的距离都等于 若{区}为等差数列，设公差为山，则产=5+(a-1)山=a I n 半径，故C选项是全称量词命圈且为真命题：因为2-2x+3= +(n-1)d', （任1+22所以7+≤分<号放D选项是存作盘 1 .S.=a1+n(n-1)d'. 当n≥2时，5。-t=(n-1)m,+(n-1)(n-2)d, 词命题且为假命题， 两式作差得.a,=a+2(n-1)d', 3.B当a>b时，若c2=0,则a2=e2, 又n=1时也满足上式， 所以a>b9ac2>2」 a,=a+2(n-1),neN, 当ac2>be2时，e2≠0，则a>b, 当n≥2时，a.-1=a,+2(n-2)d', 所以e2>c2→a>b, 即“a>6是“ac2>bc2"的必要不充分条件 ∴a,-a.-1=a,+2(n-1)d'-a1-2(n-2)d'=2d', ∴，|a,是以a为首项.2为公差的等差数列， 4.B 5.B由a2=得1al=Ibl: 综上，甲是乙的充要条件，故选C 由a2+b=2b,得(a-b)2=0,u=b 方法2 a=b一lal=1bl,而由lal=6l不能推出a=b 例：B (宁)广<1知>0，所以P对应的x的范周为(0，+. .“a2=b”是“a+b=2b”的必要不充分条件，故选B. 6.B充分性：当sina+sinB=1时，in=1-sinB,即ina 由gx<0知0<x<1,所以g对应的x的范围为(0,1)，显然 cos'B,.sina=±cosB,即sinx+ceB=0或sina-cosB=0. (0,1)(0,+),所以p是q的必要不充分条件 所以充分性不成立： 方法3 必要性：当sina+csB=0时，sin2a=cosB,sin'a=1-inB,例1：A因为p是g的必要不充分条件，则g=一p,但一p户4， 即ina+inB=I,所以必要性成立. 其等价命题为→一g,但一g≠P,所以P是9的充分不必 ,甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选B. 要条件 411 例2：C解法一（集合法）：设全集0=|(x,y)Ix∈R,yER,集合 名师讲坛·素养提升 A=(x,y)lx≠y,B=(x,y)1sx≠sy,则A的补集C 变式训练 =(x,J)Ix=y,B的补集D=(x,J)leos x=cosy,显然 C豆D,所以B至A,故“x≠y”是“c0sx≠c%y”的必要不充分 必要不充分由题意可知三r年P,∴.p是g的必要不充分 条件 条件 解法二（等价转化法）：x=→osx=csy,而cosx=cosy共 [引申1] x=y,故“x=y”是“c0sx=cosy”的充分不必要条件，故“x≠ 当xe[0,3]时x)m=f0)=0, y”是“cos gycos y”的必要不充分条件 m多2 变式训练 当xe[1,2]时，g(x)=g(1)=2-m 1.D取特值并根据充分条件和必要条件的定义可得答案.当a= -1,b=-2时，a3>b不能推出a2>6,当a=-1,b=0时.a >2不能推出>.所以“。>”是“2>”的既不充分也 由)≥g)0≥7-m,所以m≥子 不必要条件.故选D. [引申2] 2.B选项A,当a=1时，函数f(x)=x2-(1-a)x+3是闯 m≥4-lh10当xe0,3]时x)=3)=n10. 函数， 函数八x)=x2-(1-a2)x+3是偶函数. 当xe1.2时g()=g(2)=-m, f-x)=x)→x2-(1-a2)(-x)+3=x2-(1-a2)x+3→1 -=0, 由)n≥g)得h10≥-m 可得a=±1，故P是Q的充分不必要条件： 选项B,在△ABC中，△ABC是等边三角形，可得sinA=inB= 所以m≥子-h10 sin C. 当sinA=sinB=inC时，因为A,B,C∈(0，r),A+B+C=π， [引申3] 所以有A=B=C, m≥2-lh10当xe[0,3]时x)=3)=n10, △ABC是等边三角形，所以P和Q互为充要条件： 选项C,数列{a.|的前n项和S.=2n2-3n+1,当n≥2，neN 当x∈[1,2]时，g(x)=g(1)=2-m, 时，a=5-S1=4n-5, a1=S1=0.41=3.41=7. 由f八x)m≥g(x）m 可得数列不是等差数列。 得n10≥立-m, 当数列a。是公差为2的等差数列时，因为不知道首项，所以 数列{a。的前n项和S不确定， 所以m≥2-la10. 所以P是Q的既不充分也不必要条件： 变式训练 选项D.因为≥1.所以x+≥2x·名=2 D不妨设f八名）=g(）=a,·e1-e=ln2+I=a,4x1= x n(a+e),2=e-,故x,-名2=ln(a+e)-e-(a>-e.令 (当且仅当x=上取等号，即x=1时取等号) h(a)=ln(a+e)-e-',则h'(）=a+e 1 e,易知h'(a)在 可以推出x+士≥2， (-#,+e)上是减函数，且h'(0)=0.故h(a)在a=0处有最 但是当x+≥2时，显然当x=?时成立，不能推出x≥1，所 大值，即与-名的最大值为1- e 以P是Q的充分不必要条件.故选B. 练案[2] 考点3 A组基础巩固 例：(1)[0.3](2)[0.3] L.D对于A中，根据指数函数的性质，可得Hx∈R,e>0恒成 [解析](1)由x-8x-20≤0，得-2≤x≤10 所以P={xl-2≤x≤10， 立，所以A是真命题：对于B中，当x=1时，血号=1，所以命 由xeP是xeS的必要条件，知SCP, 「1-m≤1+m, 题子xeN°，sn雪=1为真命题：对于C中，根据对数函数的性 则{1-m≥-2，所以0≤m≤3 质，当xE(0.e),可得nx<1,所以命题3x∈R,lnx<1为真命 1+m≤10， 题：对于D中，当x=0时，x=0,所以命题VxeN,x>0为假 所以当0≤m≤3时，xeP是xeS的必要条件，即所求m的取 命题 使范围是[0,3]， 2D根据特称命题与全称俞题的否定关系即可求解，因为命题 (2)解法一：由(1)若xeP是x∈S的必要条件，则0≤m≤3， “3x>0,x一ar+b>0”为特称命题，其否定为全称命题，即为： 当m=0时，S=1},满足题意；当m=3时，S= x>0,x-ar+b≤0，故选D. x|-2≤x≤4|满足题意，故m的取值范围为[0,3]， 3.B含有全称命题的否定，需将全称改为特称，并且对命题否 解法二：若x∈P是x∈S的必要且充分条件，则P=S,即 定.命题”Hx>0,|x|+x≥0”的否定是3x>0.x1+x<0.枚 02sm无指 选B .m的取值范国是「0.3] 4AA=60°→0sA= 2,6msA= 2→A=±60°+k·360°，ke 变式调练 1. 乙所以A=60“是mA=号的充分不必要条件 2.[解析] 4+m<0x<-g 5D根据任意角的定义，即可判断角A不大于牙，有可能角A 六px<-婴 是个负角，可以是任意一个象限的负角，反之，若角A属于第一 x-x-2>0,x<-1或x>2 象限角，则角A可以是要>子则“角A不大于牙”是~角A减 .q:x<-1或x>2. 于第一象限角“的既不充分也不必要条件.故选D, =9-号≤-1m≥4 6.A前推后，一定成立.后推前，若(x)在[0,1]上的最大值为 八I》,则八x)未必在[0,1]上单调递增，如开口向上对称轴为x 即m的取值范国是[4，+e). =4的二次函数故选人 -412