1.1 集合-【衡中学案】2025年高考数学一轮总复习学案（新教材）

第一章集合、常用逻辑用语、爪等式 考情探究 考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养 2023新课标Ⅱ，2 集合及其关系 由集合的关系求参数的值 运算求解 基础性 数学运算 2023新课标1,1 集合的基本运算 交集运算 运算求解 基础性 数学运算 2023新课标1,7 充分条件与必要条件 充分、必要条件的判定 运算求解 综合性 逻辑推理 数学运算 2022新高考1,1 集合的基本运算 交集运算 运算求解 基础性 数学运算 2022新高考Ⅱ.1 集合的基本运算 交集运算 运算求解 基础性 数学运算 2021新高考1,1 集合的基本运算 交集运算 运算求解 基础性 数学运算 靶 习 2021新高考Ⅱ，2 集合的基本运算 交集、补集运算 运算求解 基础性 数学运算 数 2022新高考1,12 基本不等式 利用基本不等式求最值 运算求解 综合性 数学运算 00 2020新高考1,11 基本不等式 比较大小 运算求解 综合性 数学运算 【命题规律与备考策略】 本章内容分为两部分.第一部分为集合与简易逻辑、第二部分为不等式.第一部分内容是高考必考内容，难 度小，分值为5分，重点考查集合的基本运算，充分、必要条件的判断和含有一个量词命题的否定，集合的基本 运算常与不等式结合，考查集合的交、并，补集运算，充分，必要条件的判断常与向量、数列、立体几何、不等式 函数等结合，考查基本概念、定理等，复习时以基础知识为主，第二部分不等式内容在高考题中多作为载体考查 其他知识，例如，结合不等式的解法考查集合间的关系与运算、函数的定义域与值域的求解、函数零点的应用 等：或考查用基本不等式解决最值问题或恒成立问题.此部分考题以中低档题为主，主要以选择题或填空题的 形式出现，分值为5分.对于不等式及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识 综合掌握。 第一讲集合 知识梳理·双自测 4.ACBeAnB=AAUB=BeCA2C BeAn(C B) 知识梳理 =0 知识点一集合的基本概念 5.C(AOB)=(CA)U(C B),C(AUB)=(CA) 一组对象的总体构成一个集合. (CB). 1.集合元素的三个特征：确定性，无序性，互异性 双基自测 2.集合的三种表示方法： 题组一 走出误区 3.元素与集合的两种关系：属于，记为 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V√”或 不属于，记为 “×”) 4.五个特定的集合及其关系图： (1)任何一个集合都至少有两个子集： N"或N,表示 ,N表示非负 N.NZQ )R (2)集合xENIx3=x用列举法表示为1，-1,0. 整数集（或自然数集），Z表示 () ,Q表示 ,R表示实数集 (3)lxly=x2=yly=x=(x.y)ly=x1. (） 知识点二 集合之间的基本关系 002 (4)若5∈1，m+2,m2+4,则m的取值集合为1， 关系 定义 表示 -1,3. () n 集合A与集合B中的所有元素都 (5)若AnB=A∩C,则B=C. () 相等 B (6)设U=R,A={xgx<1},则A=xIgx≥1 年 度 子集 A中的任意一个元素都是 ={x1x≥10. B () 题组二走进教材 新 真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元 B 2.(多选题)（必修1P,T1改编）已知集合A=xx2- 计 2x=0,则有 () 注意：(1)空集用 表示 A.☑二A B.-2∈A (2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为 C.{0,2CA D.AClyly <3 学 真子集的个数为】 非空真子集的个3.（必修1PsT9改编）已知集合U=1x|-4<x<31, 数为 A={xl-2≤x<1{,则CA= () (3)空集是任何集合的子集，是任何 的 A.(-4,-2)U[1,3)B.[-2,1) 真子集 C.(-4,-2]U(1,3)D.(-2,1] (4)若ACB,BCC,则A 4.(必修1P,T1改编)已知全集U=R,集合A=x 知识点三 集合的基本运算 -1≤x<3},B=x12x-4≥x-2},则AUB= .C(AnB)= 符号 交集A∩B 并集AUB 补集C,A 题组三走向高考 语言 5.(2023·全国甲文，1,5分)设全集U=1,2,3,4,5}, 图形 集合M=1l,4,N=2,51,则NU0M=() 语言 A.12,3,5 B.1,3.4 C.{1,2,4,5 D.{2,3,4.5 A∩B=|x|x∈A AUB={xIx∈A CA=xlx∈U 6.(2023·新课标1,1,5分)已知集合M=-2,-1. 意义 且xEB 或x∈B 且xEA 0,1,2,N=xlx2-x-6≥0，则MnN=() 4.1-2,-1,0,11 B.0.1.2 归纳拓展 C.1-2 D.{2 7.(2023·新课标Ⅱ，2,5分)设集合A=10,-a,B= 1.AnA=A,A∩0=☑. 11,a-2,2a-2,若A≤B,则a= () 2.AUA=A,AU=A. 3.An(CA)=☑，AU(CA)=U,C(CA)=A A.2 B.1 D.-1 考点突破·互动深究 名师点拔：判断集合间关系的3种方法 考点 集合的基本概念— 自主练透 例1.已知集合A=≤4，集合B=x1xeN 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比 列举法 较集合元素的异同，从而我出集合之问的关系 且x-1∈A,则B等于 ( A.0,1 从元素的结构特点入手，结合通分，化筒、变形等 B.{0,1,2 描述法 技巧，从元素结构上找差异进行判断： C.1,2,3 D.11,2,3,4 2.已知集合A=|(x,y)lx+y=8,x,yeN},B= 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间 的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系， {(x,y)1y>x+1{,则AB中元素的个数为( A.2 B.3 C.4 D.5 【变式训练】 3.设集合A=x3x-1<m,若1eA且2年A,则1.设集合M=xx= +keZN={x= 2 实数m的取值范围是 ( A.2<m<5 B.2≤m<5 合ke2}则 C.2<m≤5 D.2≤m≤5 A.M至N B.M=N C.N年M D.M∩N= 4设a,6eR,集合1，a+6,a=,合小则2已知集合A=x-1≤≤3，集合B=1-m≤ a2脑+202= ≤1+m.若BCA,则m的取值范围是 () A.(-,2] B.[-1,3] 名师点拨： C.[-3,1] D.[0,2] 1.用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表 元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型， 点3 集合的基本运算一 多维探究 是数集、点集还是其他类型的集合 角度！集合的运算 点 2.集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含 例1.(2024：江苏盐城模拟)已知集合Ux1<: 有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中 <6,x∈N|,A=12,3,B=12.4,51,则(C,A)∩B 等于 () 元素是否满足互异性.分类讨论的思想方法常用于解 学 A.4,5 B.12,3.4,5 决集合问题 C.2 D.2.4.5 003 点 集合之间的基本关系一 师生共研 (2023·全国甲理，1,5分)设全集Z,集合 CM=lxI x=3k+1,kE Z.N=Ixl x=3k+2,4E Z1. 例 1已知集合A-{=+号，A∈z}B 则[AMUy)= ，AeZ小A与之同的 A.{x|x=3克，k∈Z 将整数按极3除 B.{x|x=3k-1,k∈Z} 的余致进行分类 系是 A.A=B B.AB C.{x|x=3k-2,∈Z}{x1x=3(k-1)+2,keZ]=W D.0 C.BA D.无法比较 →{x1=3(k-1)+1,keZ}=M 描述法要从代表元素貝有的性质入手，可用列 举元素法和统一形式法解决问题 3.（多选题)(2022·潍坊质检)已知集合A=x1 -1<x≤3引，集合B=x1lxl≤2，则下列关系式正确 的是 () 2.(多选题)已知集合A={-3,2,B={x|ax+1 A.A∩B=O =0:,且BCA,则实数a的可能取值为 ( B.AUB=x|-2≤x≤3 A- B.0 c C.AUCgB=xlx≤-1或x>2 D.AOCRB={xI2<x≤3 角度2利用集合的运算求参数 名师点拨：集合的基本运算的关注点 例1.已知集合A=x-3x<0,B=1.a,且An 1.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构 B有4个子集，则实数a的取值范围是 成入手是解决集合运算问题的前提， A.(0,3) B.(0,1)U(1,3) 2.有些集合是可以化简的，先化筒再研究其关系 C.(0.1) D.(-,1)U(3,+) 并进行运算，可使何题简单明了，易于解决， 2.已知集合A={xl-2≤x≤5}，B={xm+1≤x 3.注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形 ≤2m-1|≠⑦，若AnB=B,则实数m的取值范围为式有数轴、坐标系和Vemn图. 4,根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成 [引申1]本例2中若B=|x1m+1≤x≤2m-1 文字语言，然后应用数形结合求解， 情况又如何？ 【变式训练】 1.(角度1)(2023·全国乙文，2,5分)设全集U={0, 1,2,4,6,8,集合M=0,4,6,N=0,1,6|,则 MUC N= () A.0,2,4,6,8 B.0,1,4,68 C.11.2,4,6,8 D.U 2.(角度1)(2024·上海控江中学月考)设集合A= [引申2]本例2中是否存在实数m,使AUB=B? xEZIx2<41,B=xly=-,An(CgB)= 若存在，求实数m的取值范围：若不存在，请说明 () 理由. A.|x|-2<x<1 B.{xl-2<x≤1 004 C.-1,0 D.-1t 3.(多选题)（角度2）若集合A=xx<a,B={xlgx≥ 2025 0,且满足AUB=R,则实数a的值可以为() A.2 B.-1C.1D.-2 度 4.(角度2)已知集合A={x|-3≤x≤4|，B={x12m- [引申3]本例2中，若B=1x|m+1≤x≤1 1≤x≤m+1,且B二A,则实数m的取值范围是 新 语 2m,AB,则m的取值范围为 计 名师讲坛·素美提升 中学案 集合中的新定义问题 例非空数集A如果满足：①0任A:②若VxEA,有上 名师点拨：集合新定义问题的“3定” 1.定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举 ∈A,则称A是“互倒集”.给出以下数集： 法写出所有元素· ①xERIx2+ax+1=0|:②|x1x2-6x+1≤0|； 2.定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合 ③{y=子e14小其中是“互倒集“的序号 的运算问题转化为集合的交集，并集与补集的基本运 算问题，或转化为数的有关运算问题。 是②③. 3.定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法 [解析]①中，xeR1x2+ax+1=0,二次方程或描述法写出所求集合中的所有元素. 判别式4=a2-4,故-2<a<2时，方程无根，该数集【变式训练】 是空集，不符合题意：②中，1x1x2-6x+1≤01，即（多选题)(2024·重庆市长寿中学月考)若一个集 1x3-22≤x≤3+221，显然0E4,又、1。≤1 合是另一个集合的子集，则这两个集合构成“鲸 3+22x 吞”：若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则 ≤万即3-25≤3+2正，款包在第合 称两个集合为“蚕食”，对于集合A={-1,0,2, B=xax2=2,xeR},若这两个集合构成“鲸吞”或 中，籍合题意：③中，{=x14小，易得 蚕食”，则a的值可以为 A.0 B.1 C.2 D.-1 {2≤≤2}0e又分≤ 子≤2，故也在集合A 温馨提示：复习至此，请完成练案[ 中，符合题意参考答案 全解全析 [学案与练案部] 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 $ $-,解得a=-;当B=②时,a=0.综上可得实数a 的可能取值为0.-,故选BD. 第一讲 集合 变式练 知识梳理·双基自测 1.A 分别将集合V.V中的x通分,分母相同,只需比较分子即 知识梳理 知识点一 4 2.列举法 描述法 图示法 3. 4.正整数集 整数集 有理数集 为整数,故MV.故选A. 知识点二 r1-m-1. 相同 =B中的元素 C 不属于A 2”2“-1 2.A 当B②时,要满足BCA.只需 1+m<3.解得0<m 2*-2 非空集合 C 1-m1+n. 双基自测 2;当B=②时.1-m>1+m,此时m<0.综上,m的取值范围为 1.(1)x (2)x (3)x (4)x (5)x (6)x m2. (4)当m=-1时,m+2=1.与集合中元素的互异性 [解析] 考点3 角度1 矛盾,故(4)错. (6)中A=xl0<x<10 .fA=xlx<0或x10l,故(6)错。 例1:A由题意得.U=2.3.4.5.又A=2.3 .则A=4.5. 2.ACD 易知A=0.21.A.C.D均正确. 因为B=2,4.5|.所以(f.A)B=|4.51.故选A. 3.A 根据集合补集的运算解答即可,由题知,集合(V=xl-4< 例2:A 集合M中的元素是被3除余1的数,集合V中的元素是 x 3 ,A=xl-2x<1l,所以fA= xl-4<x -2,或1 被3除余2的数.所以集合(MUN)中的元素是被3整除 <3.即A=(-4.-2)U[1.3).故选A. 的数,即f(MUN)=xlx=3k,keZì,故选A. 例3:BD.A=xl-1<3l,B=xllxl2 =xl-2$ 4x-1x2或x3 5.A 因为U=1.2.3,4,5 ,M=1.41.所以f.M=2.3.51,所 2. 以NfM=12.3.5.故选A. AB=xl-1<x3 xl-2x2 =xl-1 6.C 由x-x-6=0得x3或x-2.=xl3或x$ x2,A不正确; $B= xl-1x3llx-2x2 =xl-2x3 -21,因此MON=1-21.故选C. B正确; 7. B 若a-2=0.则a=2.此时A-0.-2 .B=11.0.2 .不满$ :fB=xl-2或x2. 足ACB;若2a-2-0,则$a=1,此时A= 0.-1 ,B=11.-1. .AB=|x1-1<x 3llxlx-2或x2= 01.满足ACB.故选B. xx<-2或x-1.C不正确; 考点突破·互动探究 $A$B=xl-1<3 xlx -2或x2=xl2< $ 考点1 3.D正确. 例1:C因为A=lxlx$<4l=[-2.2],B=xlx=N',Hx-1e 角度2 A.所以B= 1.23. 例1;B 因为A0B有4个子集,所以A0B中有2个不同的元素. 例2:B 求得集合A的元素,由此求得AOB的元素,从而确定正 所以asA.所以a -3a<0.解得0<a<3.又axl.所以实数 确选项.依题意A=1(1.7).(2.6).(3.5),(4.4).(5.3). a的取值范围是(0.1)U(1.3).故选B. (6.2).(7.1),其中满足y>x+1的有(1.7).(2.6).(3. 例2:[2.3]由AOB=B知,BCA. 5).所以A0B=((1.7).(2.6).(3.5),有3个元素.故 选B. -21 2m-15 例3:C1eAm2.又:2A..m5.因此2<ms5.故 r2n-1m+1. 选C 又B,则m+1-2,解得2<m3. 例4:0 由题意知a*0,所以a+b=0.则-=-1,所以a=-1.6 l2m-15. =1,故*+b*^*--1+1-0. 则实数n的取值范围为[2.3]. 考点2 [引申]] [解析] 例1:B 方法一(列举法): 1 应对B=和B;进行分类. 1. ①若B=②,则2m-1<m+1.此时m<2. $$= .-过5 ②若B≠,由例得2m3. #B- 由①②可得,符合题意的实数n的取值范围为(一,3]. [引申2] [解析] 由AUB=B,即ACB得m+1-2. 显然AB. 12m-15. 方法二(描述法):集合A= 11}24., +以示13 任意奇数,h可以表示任意整数,故AB 例2:BD 由题知BCA,B=xlax+1=0 ,所以B=1-3|.2 . 2.当B-f-31时,-3a+1=0.解得a-3;当B-121时,{ m1-2 51-2r 变式训练 10.AD 由集合相等列方程组验算;选项B由a=4得B=,故 1.A 易得=2.4.8l.又M=0.4.6.MUf=0.2.4. 不满足ACB;选项C通过假设BCA求出实数a的取值范围 6.8.故选A. [2-3=1.因为 可判定,通过举例判断D.若集合A三B,则有{ $.C A=l$l$$ 4l=-101B=ly=-1=1 1-2=2. +×),则B=(-.1),所以A(fB)= -1.0l,故选C 此方程组无解,所以不存在实数a使得集合A-B.故选项A正 3.AC 集合A=xlx<al,B=xllgx→0 . 确;当a=4时,B= xl5<x<2 =②.不满足ACB.故选项B$ 由题意得B=xx1. 错误,若CA.则①当B=②时,有2-3q-2.>l:②当 因为AUB=B,所以a1.所以实数a的取值范围是[1.+). 故选AC. 4.[-1.+x).:BCA. -252. ①当B=②时,2m-1>m+1,解得m 2. a1.故选项C错误;当a=1时.B=②.fB=R.ACfB.故D 2m-1<m+1. 正确,故选AD. ②当B时。 12m-1-3. 11.CD 令V=|1.2.3.41.A=12.3.4.B=1.2. m+14. 满足(fA)UB=B. 解得-1<m2. 但ACB,AOBB,故A.B均不正确; 综上,实数m的取值范围是[-1.+x). 由(.A)UB=B.短ACB. 名师讲坛·素养提升 L=AU(A)C(AUB).AUB=V 变式训练 由ACB.知BCA. ACD 若BCA.则B-②,解得a50,故选AD;若两个集合有公 .(f.B)UA=A.故C.D均正确. 共元素,则-1=B,解得a=2,若2eB.解得a--,经检验符合 12.CD 因为-3x+2<0.所以1x2. 所以A=xl1<x2l; 题意,故选C.因此选ACD 因为2<28,所以1<x<3,所以B=|xl1<x3. 练案[1] 所以AUB=xl1x3|AB=xl1<x2. $B)UA=xl<2或x3.(B)(A)=xlx1或x A组基础巩固 ,2. 1.C 根据题意列式求得n的值,即可得出答案,根据条件分别令 13.(1.2.3.6 根据已知条件,先求出a的值,即可求解.6 m-1=-1.0.1.解得m=0.+1.+2.又m-1A,所以m= -1.+2,B=-1.v2.-21.所以集合B中所有元素之和是 N且aeN.a-1=1或a-1=2或a-1=3或a-1=6、 -1.故选C. 2.D 对于A:11C10.11,故A错误; 1.故{NeN-11.2.3.61. 对于B:1=10.1,故B错误; 对于C:C0.11,故C错误; 14.5 AOB=A.m 0.B=[3-m.3+m]. 对于D:1=0.1.故D正确.故选D 3-m-2..m>5.故填5. 3.B 由集合元素的无序性,易知2,3=3.2.故选B. 3m=4. 4.A 由题意知fB=3.5|..AU(f.B)=11.3.51.故选A. $$.B B=x10x2|,故AOB=1.21.故选B. 15.4 1=xl=l=01B=l1< 2 4=l0$ 6.D 由题意可得,①当a-3a=4且la-214时,解得a=-1 <2 ,故集合A的子集个数为N-2=4,A0B=1. 或4.当a=-1时,集合A=|2,3,4,41,不满足集合中元素的互 16.(2.3)(1.4)(-×.1]U(2.+x)由已知得A=xl1< x31,B=xl2<x<4 ,所以AOB=x12<x<3 ,AUB= xl1 x<4.(fA)UB=xlx1或x>2. 2.01,符合题意.②当a+2+7=4且la-21-4时,解得a= $7.[1.+x)集合A=xl0<x<1 ,集合B=xl-1<x< 1 .AUB=lxl-1<x<ll.集合C=xlx+m0l=xlx -1.由①可得不符合题意,综上,实数a的取值集合为4|.故 一n.又(AUB)CC-m-1.解得ml.实数rn的取 选D. 值范围是[1,+x). B组能力提升 1.B 先根据一元二次不等式的性质求出集合B=x1-2<x 125 2 .然后再根据集合C中元素的特征即可求解,由题意可知: 解达二-..,以年的子集个 B=xlx$4 =x l-2<x2l,因为集合A=|xl-3x$0 集合C=xlxEB,且xA ,所以C=(0.2],故选B ·2k+1表示所有奇数,而k+2表示所有整数(keZ)..M 数为2=4. N.故选B. 3. BD 由logx<3得0x<2,即0<x<8. 8.A 集合M.V在数轴上的表示如图. 于是得全集V=11.2.3.4.5.6.71. 因为(A0B)=11.2.4.5.6.71. 则有AOB=131,3=B.C不正确; ~1012 若B=2.3,4. 由图可知(MUN)=xlx2. 则AnB=2.31.f(AnB)=11.4.5.6.7. 9. BC 由集合中元素的确定性知a-a+2=4或1-a=4. 矛盾,A不正确; 当-a+2-4时,a=-1或a=2;当1-a=4时,a=-3. 若B=13.4.5 当a=-1时,A-2.4.21不满足集合中元素的互异性,故a= 则A0B=31.f(A0B)-1.2.4.5.6.7.B正确 -1舍去: 若B=13,5,6. 当a=2时,A=l2.4.-1 满足集合中元素的互异性,故a=2 则AnB=31.(4nB)-11.2.4.5.6.7.D正确 满足要求; 4.D 集合V=RA=xl-2x-30 =xl-1x3l.集合$ 当a=-3时,A=|2.14,4满足集合中元素的互异性,故a= B=xtlloxs1=xl0 x2l,所以fB=xlxso或x 2l -3满足要求. 所以A($B)=xl-1x 0或2<x3l=-1.0](2.3],故 综上,a=2或a=-3.故选BC. 选D. -410-