精品解析：福建省宁德市博雅培文学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷

宁德博雅培文学校9月份月考高二数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟； 命题人：王军战 审核人：王军战，鲁和平 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若数列为等差数列，且，则等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 已知数列是等比数列，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面内一动点P到两定点，距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知两条平行直线，间距离为3，则等于（ ） A. B. 48 C. 36或48 D. 或48 7. 点P在直线上运动，，则的最大值是（ ） A. B. C. 3 D. 4 8. 已知数列满足：，则下列命题正确的是（ ） A. 若数列为常数列，则 B. 存在，使数列为递减数列 C. 任意，都有为递减数列 D. 任意，都有 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距大于6，则的值可以为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 9 10. 圆（　　） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 关于直线对称 D 关于直线对称 11. 已知直线过点，且直线在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 12. 一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（ ） A. 椭圆是“黄金椭圆” B. 若椭圆是黄金椭圆，则 C. 设“黄金椭圆”C的左右焦点分别为，存在椭圆C上一点P，使得 D. 设过原点的直线与焦点在x轴上的“黄金椭圆”分别交于A、B两点，“黄金椭圆”上动点P(异于A，B)，设直线PA，PB的斜率分别为，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知直线l的方程为，直线l与坐标轴交于A，B两点，则的面积为______． 14. 若圆与圆相内切，则______ . 15. 已知四个整数满足．若成等差数列，成等比数列，且，则的值为_____________． 16. 椭圆C：的左右焦点分别为、，点M为其上的动点.当为钝角时，点M的横坐标的取值范围是________ 四、解答题（共6题，17题10分，其余5题各12分，共70分) 17. 已知数列是首项为23，公差为-4的等差数列. （1）求的通项公式； （2）设的前n项和为，求的最大值. 18. 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. （1）当时，求直线的方程； （2）当的面积为时，求直线的方程. 19. 已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 20. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 21. 已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． （1）求轨迹方程； （2）当，求的方程及的面积． 22. 有无穷多个首项均为1的等比数列，记第个等比数列的第项为，公比为． （1）若，求的值； （2）若m为给定的值，且对任意n有，证明：存在实数，满足，； （3）若为等比数列，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁德博雅培文学校9月份月考高二数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟； 命题人：王军战 审核人：王军战，鲁和平 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，由斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】由题可得：，所以直线的倾斜角为：； 故选：C 2. 若数列为等差数列，且，则等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：D 3. 已知数列是等比数列，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质运算即可. 【详解】因为是等比数列，所以，所以. 故选：. 4. 已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义直接求解即可. 【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且， 所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆， 设椭圆方程为，焦距为， 则，解得，故动点P的轨迹方程为. 故选：B 5. 设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】依据递增数列性质结合必要而不充分条件定义即可得到题给两条件间的逻辑关系. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得， 解得或 则中，的正负未定， 此时数列不一定是递增数列； 由数列为递增数列，可得， 所以“”是“数列是递增数列”的必要而不充分条件． 故选：B 6. 已知两条平行直线，间的距离为3，则等于（ ） A. B. 48 C. 36或48 D. 或48 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线平行，求出的值，由平行直线间的距离求出的值，可得. 【详解】将改写为， 因两条直线平行，所以． 由，解得或， 所以或48． 故选：D. 7. 点P在直线上运动，，则的最大值是（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】作出点关于直线的对称点，然后利用两点距离公式求解即可. 【详解】设关于的对称点为， 则，解得，即 故, , 当且仅当，三点共线时，等号成立. 故选：A 8. 已知数列满足：，则下列命题正确的是（ ） A. 若数列为常数列，则 B. 存在，使数列为递减数列 C. 任意，都有为递减数列 D. 任意，都有 【答案】D 【解析】 【分析】解方程判断A,利用单调性结合数学归纳法判断BD,举反例判断C. 【详解】对A:若数列为常数列，则，解得或，故A错误； 对B:易得，若为递减数列，则，解得或且，故不存在使得递减数列，故B错误； 对C,令，则，故不是递减数列，故C错误； 对D,用数学归纳法证明 当显然成立， 假设当， 则时，，故当时成立, 由选项B知，对任意 则数列为递减数列，故故D正确 故选：D 【点睛】利用递推关系结合数学归纳法证明，是本题关键. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距大于6，则的值可以为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 9 【答案】AC 【解析】 【分析】根据椭圆中焦距的定义即可求解. 【详解】因为椭圆焦点在轴上，所以焦距为，所以，解得. 故选：AC. 10. 圆（　　） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】将圆的方程转化为标准方程，可得圆心，进而判断各选项. 【详解】由圆的方程为，即， 即圆心的坐标为， A选项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心，A选项正确； B选项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，B选项正确； C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，C选项正确； D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线不过圆心，D选项不正确； 故选：ABC. 11. 已知直线过点，且直线在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】分直线过原点，直线截距相等，直线截距互为相反数三种情况设直线分别为，结合过点可得答案. 【详解】当直线过原点时，设直线方程为，因过点，则直线的方程为，即，故A正确； 当直线截距相等时，设直线方程为，因过点，则，则直线的方程为，故C正确； 当直线截距互为相反数时，设直线方程为，因过点，则，则直线的方程为，故B正确． 故选：ABC． 12. 一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（ ） A. 椭圆“黄金椭圆” B. 若椭圆是黄金椭圆，则 C. 设“黄金椭圆”C的左右焦点分别为，存在椭圆C上一点P，使得 D. 设过原点的直线与焦点在x轴上的“黄金椭圆”分别交于A、B两点，“黄金椭圆”上动点P(异于A，B)，设直线PA，PB的斜率分别为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据新定义判断A，由椭圆的标准方程求判断B，利用新定义判断椭圆与以焦点连线为直径的圆的关系判断C，设椭圆方程为，设，直线方程为，计算后判断D． 【详解】选项A，，离心率为，A正确； 选项B，若焦点在轴，由得，，若焦点在轴，由得，，B错； 选项C，，所以， 因此当为椭圆短轴顶点时，最小，且，则在以为直径的外，所以不存在使得，C错； 选项D，椭圆方程为，，设，直线方程为（不在直线上）， 由，解得，或， 即，， ， 又，即，代入得 ，D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知直线l的方程为，直线l与坐标轴交于A，B两点，则的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】分别求出直线与坐标轴的交点的坐标，从而可求出的面积. 【详解】直线l的方程为， 令，得，令，得， 不妨令，，则． 故答案为：6 14. 若圆与圆相内切，则______ . 【答案】-23 【解析】 【分析】求出两圆的圆心，确定在圆外部，所以圆内切于圆，由圆心距得到方程，计算即可. 【详解】由， 显然， 圆相内切， 将点坐标代入圆方程知，即在圆外部， 所以圆内切于圆， 则有， 解之得. 故答案为： 15. 已知四个整数满足．若成等差数列，成等比数列，且，则的值为_____________． 【答案】333 【解析】 【分析】设公差为x，从而由题意列式得到，化为，结合b为整数确定x的取值，进而确定的值. 【详解】因为成等差数列，故设公差为x，则， 由成等比数列，得，结合， 得，整理得， 由于为整数，且，故x为整数，， 则，需满足，即， 结合b为整数，代入，可得只有当时，才为整数， 当时，，则，不合题意； 当时，，则，，，适合题意， 则， 故答案为：333 【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的综合应用，解答的关键是利用等差等比数列的性质来设参数x，得出后，要结合题意确定x的值，进而求得答案. 16. 椭圆C：的左右焦点分别为、，点M为其上的动点.当为钝角时，点M的横坐标的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】设点，由余弦定理得，再结合即可求解. 【详解】设，焦点，. 因为钝角，所以， 即. 整理得：. 因为点在椭圆上， 代入得解得 又因为，所以点纵坐标的取值范围. 故答案为：. 四、解答题（共6题，17题10分，其余5题各12分，共70分) 17. 已知数列是首项为23，公差为-4的等差数列. （1）求的通项公式； （2）设的前n项和为，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解； （2）求得数列的所有正数项，它们的和为的最大值. 【小问1详解】 因为数列是首项为23，公差为-4的等差数列， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 令，可得，所以数列的前6项为正， 所以数列的前6项和为的最大值，最大值=. 18. 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. （1）当时，求直线的方程； （2）当的面积为时，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）设直线的截距式为，由题意列出方程组，求出截距即可得解； （2）利用截距表示出三角形面积，再联立方程求出截距，即可得解. 【小问1详解】 设直线的方程为，且 由，得，由直线过点，得，解得， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，且直线不经过原点， 由题意知，，，解得或， 所以直线的方程为或. 19. 已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立方程，求出交点，再由垂直关系得出斜率，进而写出直线方程； （2）由对称性得出点关于直线对称的点为，进而结合图像得出最值. 【小问1详解】 解：联立，解得， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为； 故所求直线方程为，即 【小问2详解】 设点关于直线对称的点为， ，解得 则， 故的最小值为. 20. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系，作差可得为等比数列，即可由等比通项求解， （2）利用错位相减法，结合等比数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 当时，，即， 当时，①，②， ①-②得，即，所以． 因为， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列． 则，即． 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， ， 故， 所以． 21. 已知点，圆过点动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． （1）求的轨迹方程； （2）当，求的方程及的面积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程； （2）法一：由确定点M与点P坐标满足的等式，再结合（1）中轨迹方程，可求得l的方程，进而求弦长、圆心到直线的距离，即可求面积； 法二：由确定点M与点P坐标满足的等式，求得坐标，确定直线方程，后同法一. 【小问1详解】 设点，当点不与点重合时，即当且时， 由垂径定理可知,即 又圆的圆心为， 则， ∴，即 当点与点重合时，点的坐标也满足方程 故点的轨迹方程为圆：. 【小问2详解】 当时，点与点满足圆的方程 又点与点在圆：上 ∴直线为圆和圆的交线，圆与圆的方程相减得， 直线的方程为，即 ∴的方程为： 点到直线的距离， 又圆的半径， ∴弦长， ∴的面积； 法二：设 由题意可得，解得，即点 又， ∴直线的方程为 ，则直线的方程为，且 点到直线的距离为 故的面积 22. 有无穷多个首项均为1的等比数列，记第个等比数列的第项为，公比为． （1）若，求的值； （2）若m为给定的值，且对任意n有，证明：存在实数，满足，； （3）若为等比数列，证明：． 【答案】（1）2； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定定义，利用等比数列的通项公式代入计算即得. （2）根据给定定义，结合等比数列的通项公式，推理计算即得. （3）根据给定定义，结合等比数列的通项公式，作差得，再求和即可得证. 【小问1详解】 依题意，，所以． 小问2详解】 由，得，则， 因此，又，则， 所以存在实数，满足，. 【小问3详解】 由为等比数列，得，其中q为的公比，则， 当时， ，而， 因此，又<0，则， 于是，即， 所以． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用给定定义，正确表示和公比为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$