九年级数学期中模拟卷（湖北武汉专用，人教版九上第21～23章：一元二次方程+二次函数+旋转）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期期中模拟考试

试题 第 1 页（共 6 页） 试题 第 2 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九上第21~23章（一元二次方程+二次函数+旋转）。 5．难度系数：0.58。 第一部分（选择题 共 30 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．对称美在生活中处处可见，下列是历届冬奥会的会徽，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是 （ ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，将点 A(4，3)按逆时针方向旋转 90°，得到点 A′，则点 A′的 坐标为（ ） A．(4，-3) B．(-4，1) C．(-3，4) D．(3，-4) 3．方程 2 2 2 0x x    的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( ) A． 1 2 2 , , B． 2 2 2 , , C．2，2，2 D．1，2，2 4．关于 x 的方程 2 6 0x x k   有两个相等的实数根，则 k 的值为（ ） A．1 B．3 C．6 D．9 5．某次足球比赛中，每两支足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共有 20 场比赛，则参加这 次足球比赛的足球队共有（ ） A．10 支 B．6 支 C．5 支 D．4 支 6．电流通过导线会产生热量，设电流强度为 I(安培)，电阻为 R(欧姆)，1 秒产生的热量为 Q(卡)，则 Q=0.24I2R，现在已知电阻为 0.5 欧姆的导线，1 秒间产生 1.08 卡的热量，则该导线的电流是( ) A．9 安培 B．6 安培 C．3 安培 D． 3 安培 7．若 2 3 1 0x x   ，则 4 4 1 x x  的个位数字是（ ） A．7 B．8 C．9 D．0 8．如图，△ABC 和四边形 DEFG 分别是直角三角形和矩形， 90A  ， 4AB  cm， 3AC  cm， FG BC 于点 B．若矩形 DEFG 从点 B 开始以每秒 1cm 的速度向右平移至点 C，且矩形的边 FG 扫过 ABC 的面 积为 S（ 2cm ），平移的时间为 t（秒），则 S 与 t 之间的函数图象可能是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形 ABCD中，E 为 AD 中点，连接 BE ，延长EA至点F ，使得EF EB ，以 AF 为边作正方 形 AFGH ，在《几何原本》中按此方法找到线段 AB 的黄金分割点H ．现连接FH 并延长，分别交 BE ， BC 于点 P ，Q，若： EFP△ 的面积与 BPQ 的面积之差为6 5 9 ，则线段 AE 的长为（ ） A． 6 2 B． 3 2 C． 3 D． 5 10．已知二次函数 2y -x +x 6  ，将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方，图象的其余部分 不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线 y x m   与新图像有 3 个交点时，m 的值是 （ ） A． 25 4  B． 2 C． 2 或 3 D． 6 或 2 试题 第 3 页（共 6 页） 试题 第 4 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 第二部分（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11．将抛物线 y＝﹣2（x+1）2+1 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后得到的新抛物线的的顶点坐 标是 ． 12．二次函数 2 4y x x  的最小值为 ． 13．根据下列表格中 2y ax bx c   的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值，判断方程 2 0ax bx c   （ 0a  ，a，b，c 为常数）的一个根 x 的取值范围是 ． x 0.4 0.5 0.6 0.7 2y ax bx c   0.64 0.25 0.16 0.59 14．已知 ， 是一元二次方程 2 2022 2023 0x x   的两个根，则 2 2023    的值等于 ． 15．已知，函数 y＝ax2﹣6ax+9a+1 与线段 AB 有交点，且已知点 A（0，1）与点 B（2，3）的坐标，则 a 的 取值范围 ． 16．已知二次函数 2 24 2y ax a x   （a 为常数， 0a  ），点 ( , )P m n 是该函数图象上一点．下列结论：① 当 1a  时，抛物线顶点坐标是 (2, 6) ；②抛物线与  2 0y kx k   一定有两个不同的交点；③点  2 14,A m y 与点  2 2,B m y 在该函数的图象上，若0 1a  ，则 1 2y y ；④当0 4m  时， 2n   ， 则 a 的取值范围是 1a  或 0a  ，其中正确的结论是 （填写序号）． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8 分）解方程： (1)    2 3 3 3x x x   (2)   3 2 5 14x x    18．（8 分）已知于 x 的元二次方程 2 6 2 5 0x x a    有两个不相等的实数根 1 2,x x ． (1)求 a 的取值范围； (2)若 3021 2 2 2 1  xxxx ，且a 为整数，求a 的值． 19．（8 分）抛物线 2y x ax b   的图象过点  3,0 和  0, 3 两点． (1)求抛物线的解析式与顶点坐标； (2)方程 2 0x ax b   的解集是______； (3)若方程 2x ax b m   无解，则 m 的范围是______； 20．（8 分）在平面直角坐标系中，直线 2y x  与 x 轴交于点A ，与 y 轴交于点 B ，抛物线  2 0y ax bx c a    经过点A 、 B ． (1)求 a 、b 满足的关系式及c 的值． (2)当 0x  时，若  2 0y ax bx c a    的函数值随 x 的增大而增大，求a 的取值范围． (3)如图，当 1a   时，在抛物线上是否存在点 P ，使 PAB 的面积为 1？若存在，请求出符合条件的所 有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第 5 页（共 6 页） 试题 第 6 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 21．（8 分）某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量 y （千克）与销售单价 x （元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元． (1)直接写出 y 与 x 之间的函数关系式； (2)设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 22．（10 分）榛子是世界四大坚果之一，铁岭野生小榛子非常有名.榛子一上市，某干果店老板就以 40 元/ kg 的价格购进一批榛子，规定销售单价不低于成本价，且获利不高于30% .试销期间发现，当销售单价 定为 45 元时，每天可售出250kg ；销售单价定为 48 元时，每天可售出220kg .设每天的销售量为 y ， 销售单价为 x 元（ y 与 x 之间满足一次函数关系）. （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）当榛子销售单价定为多少时，干果店每天获利 2000 元？ （3）当榛子销售单价定为多少时，干果店每天销售榛子获得的利润w（元）最大？最大利润是多少 元？ 23．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝﹣x2＋bx＋c 的图象与坐标轴交于 A，B，C 三点， 其中点 B 的坐标为（1，0），点 C 的坐标为（0，4），点 D 的坐标为（0，2），点 P 为二次函数图象 上的动点． （1）求二次函数的解析式和直线 AD 的解析式； （2）当点 P 位于第二象限内二次函数的图象上时，连接 AD，AP，以 AD，AP 为邻边作平行四边形 APED，设平行四边形 APED 的面积为 S，求 S 的最大值． 24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 = 1y x  分别与 x，y 轴交于点 A，B，抛物线 21 3 y x bx c   恰好经过这两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点 C 的坐标是 (0, )m ，将线段CA绕着点 C 逆时针旋转90得到线段CE． ①若点 E 在此抛物线上，求出 m 的值； ②若点 P 是 y 轴上的任一点，当 2PB PE 取最小值时，求点 P 的坐标． 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九上第21~23章（一元二次方程+二次函数+旋转）。 5．难度系数：0.58。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．对称美在生活中处处可见，下列是历届冬奥会的会徽，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A.选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B.选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C.选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D.选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 2．在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，将点A(4，3)按逆时针方向旋转90°，得到点A′，则点A′的坐标为（    ） A．(4，-3) B．(-4，1) C．(-3，4) D．(3，-4) 【答案】C 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，点A′的坐标为（-3，4）． 故选C． 3．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(　　) A． B． C．2，2，2 D．1，2，2 【答案】A 【解析】方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为． 故选A． 4．关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得： 解得： 故选D. 5．某次足球比赛中，每两支足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共有20场比赛，则参加这次足球比赛的足球队共有（  ） A．10支 B．6支 C．5支 D．4支 【答案】C 【解析】设有x个足球队参加，依题意， ， 整理，得， ， 解得：，（舍去）； 即：共有5个足球队参加比赛． 故选C． 6．电流通过导线会产生热量，设电流强度为I(安培)，电阻为R(欧姆)，1秒产生的热量为Q(卡)，则Q=0.24I2R，现在已知电阻为0.5欧姆的导线，1秒间产生1.08卡的热量，则该导线的电流是(　　) A．9安培 B．6安培 C．3安培 D．安培 【答案】C 【解析】解:将Q=0.24I2R变形为 I=或I=− (舍去） 将Q=1.08,R=0.5代入, 得I==3(安培） 故该导线的电流是3安培,即选C. 7．若，则的个位数字是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵， ∴，整理得； ∴，整理得； ∴，整理得. 故选A. 8．如图，△ABC和四边形DEFG分别是直角三角形和矩形，，cm，cm，于点B．若矩形DEFG从点B开始以每秒1cm的速度向右平移至点C，且矩形的边FG扫过的面积为S（），平移的时间为t（秒），则S与t之间的函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在A点之前（），FG扫过的三角形面积为：= 在A点之后（），FG扫过的面积为： 所以它的函数图形应该是： t在0~时，，a＞0，所以图像是开口向上的抛物线； t在~5时，，所以图像是开口向下的抛物线． 故选A． 9．如图，在正方形中，为中点，连接，延长至点，使得，以为边作正方形，在《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点．现连接并延长，分别交，于点，，若：的面积与的面积之差为，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，      设， 为中点， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 的面积的面积， 的面积的面积）的面积的面积）， 的面积的面积， ， ， 解得：或（舍去）， ， 故选C． 10．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，m的值是（　　） A． B． C．或3 D．或 【答案】D 【解析】令，解得：， 抛物线与x轴的交点坐标分别为及， 如图，当直线过时，它与新函数的图象有3个交点，则有，解得：； 当直线与抛物线关于x轴对称的抛物线只有一个公共点时，则，即， 则，即， 此时直线与抛物线恰有3个公共点； 综上，当或时，直线与新图像有3个交点． 故选D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．将抛物线y＝﹣2（x+1）2+1先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的新抛物线的的顶点坐标是 ． 【答案】（1，4）． 【解析】抛物线y＝﹣2（x+1）2+1的顶点坐标是: （﹣1，1）．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是: （1，4）． 故答案是：（1，4）． 12．二次函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】∵， ∴二次函数的最小值为． 故答案为：． 13．根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是 ． x 0.4 0.5 0.6 0.7 【答案】 【解析】∵函数的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，x轴上的点的纵坐标为0，由表中数据可知：在与之间， ∴对应的x的值在与之间， 即． 故答案为：． 14．已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于 ． 【答案】 【解析】∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， 则， ∴ ， 故答案为：． 15．已知，函数y＝ax2﹣6ax+9a+1与线段AB有交点，且已知点A（0，1）与点B（2，3）的坐标，则a的取值范围 ． 【答案】0≤a≤2． 【解析】如图： ∵函数y＝ax2﹣6ax+9a+1＝a（x﹣3）2+1 ∴顶点C（3，1） ∵函数y＝ax2﹣6ax+9a+1与线段AB有交点 ∴当a＜0时函数与线段AB无交点 ∴a≥0 ①当a＝0时，函数y＝1，此时与线段AB的交点为点A，符合题意； ②当a＞0时： 若函数恰好经过点B，将点B（2，3）代入函数y＝ax2﹣6ax+9a+1＝a（x﹣3）2+1中解得：a＝2，此时a取最大值， ∵A（0，1），C（3，1） ∴直线AC∥x轴 ∴当a＞0时，要使函数y＝ax2﹣6ax+9a+1与线段AB有交点，则a的范围是0＜a≤2； 综上所述：a的取值范围为0≤a≤2； 故答案为0≤a≤2． 16．已知二次函数（a为常数，），点是该函数图象上一点．下列结论：①当时，抛物线顶点坐标是；②抛物线与一定有两个不同的交点；③点与点在该函数的图象上，若，则；④当时，，则a的取值范围是或，其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②③④ 【解析】当时，二次函数解析式为， 化为顶点式有， 抛物线顶点坐标是，即①正确； 联立与，有， 整理得，,即， 解得，， 若，则，即， ，， ，即， 抛物线与一定有两个不同的交点，即②正确； 点与点在该函数的图象上， ， ， ， ， ， ， ， ，即③正确； 二次函数的解析式为（a为常数，）， 二次函数的对称轴为， 当时，，即抛物线与交点为， 点是该函数图象上一点，且当时，， 当时，抛物线开口向上， 有时，，即，解得， 当时，抛物线开口向下， 抛物线与交点为， 当时，随的增大而减小，恒成立， a的取值范围是或，即④正确． 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）解方程： (1) (2) 【解析】（1）解：移项得：， 因式分解得：， 即或， 解得：，．（4分） （2）整理得：， 因式分解得：， 即或， 解得：，．（8分） 18．（8分）已知于的元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，且为整数，求的值． 【解析】（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即， 解得；（2分） （2）由根与系数的关系知：，（4分） 满足， ， ，（6分） 为整数， 的值为．（8分） 19．（8分）抛物线的图象过点和两点．      (1)求抛物线的解析式与顶点坐标； (2)方程的解集是______； (3)若方程无解，则m的范围是______； 【解析】（1）解：将点和代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为：，（2分） ∴顶点坐标为．（4分） （2）；（6分） 解：令 解得：，， ∴点，, ∴根据函数图象可知，当时，； 故答案为：； （3）．（8分） 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴函数的最小值为， ∴当时，方程无解； 故答案为：． 20．（8分）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求、满足的关系式及的值． (2)当时，若的函数值随的增大而增大，求的取值范围． (3)如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)，令，则，令，则， 故点、的坐标分别为、，则， 则函数表达式为：， 将点坐标代入上式并整理得：；（3分） (2)当时，若的函数值随的增大而增大， 则函数图象对称轴，而， 即：，解得：， 故：的取值范围为：；（5分） (3)当时，二次函数表达式为：， 过点作直线，作轴交于点，作于点， ∵，∴， ， 则，（6分） 在直线下方作直线，使直线和与直线等距离， 则直线与抛物线两个交点坐标，分别与点组成的三角形的面积也为1， 故：， 设点，则点， 即：，（7分） 解得：或， 故点或 或.（8分） 21．（8分）某超市销售一种商品，成本价为元/千克，经市场调查，每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于元，且不高于元．    (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)设每天的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【解析】（1）解：设一次函数的解析式为，将点、代入得： ，解得：，（2分） 故函数的表达式为：；（6、4分） （2）由题意得：，（6分） ∵，故当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取最大值，此时，．（8分） 故销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元． 22．（10分）榛子是世界四大坚果之一，铁岭野生小榛子非常有名.榛子一上市，某干果店老板就以40元/的价格购进一批榛子，规定销售单价不低于成本价，且获利不高于.试销期间发现，当销售单价定为45元时，每天可售出；销售单价定为48元时，每天可售出.设每天的销售量为，销售单价为元（与之间满足一次函数关系）. （1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）当榛子销售单价定为多少时，干果店每天获利2000元？ （3）当榛子销售单价定为多少时，干果店每天销售榛子获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 【解析】（1）设与之间的函数关系式为， 将，分别代入，得，解得， ∴与之间的函数关系式为； ∵，（2分） ∴自变量的取值范围是.（3分） （2）根据题意，得， 解得，（舍去）. 答：当榛子销售单价定为50元时，干果店每天获利2000元；（5分） （3）由题意得， ∴，（7分） ∵， ∴抛物线开口向下， 又∵对称轴为直线，，（8分） ∴在对称轴左侧，随的增大而增大， ∴当时，（元），（10分） 答：当榛子销售单价定为52元时，干果店每天销售棒子获得的利润最大，最大利润是2160元. 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点． （1）求二次函数的解析式和直线AD的解析式； （2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值． 【解析】（1）将B（1，0），C（0，4）代入y＝－x2＋bx＋c中，得， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝－x2－3x＋4（2分） 在y＝－x2－3x＋4中， 令y＝0，即，解得x1＝－4，x2＝1， ∴A（－4，0）． 设直线AD的解析式为y＝kx＋b'． ∵D（0，2）， ∴， 解得： ∴直线AD的解析式为．（5分） （2）连接PD，作PGy轴交AD于点G，如图所示． 设P（t，－t2－3t＋4）（－4＜t＜0），则G（t，），（6分） ∴，（7分） ∴， ．（9分） ∵－4＜0，－4＜t＜0， ∴当时，S有最大值．（10分） 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点C的坐标是，将线段绕着点C逆时针旋转得到线段． ①若点E在此抛物线上，求出m的值； ②若点P是y轴上的任一点，当取最小值时，求点P的坐标． 【解析】（1）∵直线分别与，轴交于点，， ∴当时，；当时，， ∴，， ∵抛物线恰好经过这两点． ∴， 解得， ∴；（3分） （2）∵，， ∴，， 当点在轴上方时，如图，过点作轴于，， 由旋转可知：，， 则， ∴， ∴， ∴，， 则，（5分） ∴点的坐标为， 如图，当点在轴上及其下方时，， 同理可得：∴， ∴，， 则， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 综上，点的坐标为，（7分） 可知，点在直线上； ①∵点在此抛物线上， ∴点为直线与抛物线的交点， 即：， 解得：，， 当时，，当时，， ∴点的坐标为或；（10分） ②∵， ∴点在直线上， 又∵点是轴上的任一点，点在直线上， ∴，， 当点，点，与点重合时，取等号， ∴当取最小值时，点，点，与点重合， 即：当取最小值时，点的坐标为．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C A D C C A A C D 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（1，4） 12． 13． 14． 15．0≤a≤2 16．①②③④ 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 【解析】（1）解：移项得：， 因式分解得：， 即或， 解得：，．（4分） （2）整理得：， 因式分解得：， 即或， 解得：，．（8分） 18．（8分） 【解析】（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即， 解得；（2分） （2）由根与系数的关系知：，（4分） 满足， ， ，（6分） 为整数， 的值为．（8分） 19．（8分） 【解析】（1）解：将点和代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为：，（2分） ∴顶点坐标为．（4分） （2）；（6分） 解：令 解得：，， ∴点，, ∴根据函数图象可知，当时，； 故答案为：； （3）．（8分） 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴函数的最小值为， ∴当时，方程无解； 故答案为：． 20．（8分） 【解析】(1)，令，则，令，则， 故点、的坐标分别为、，则， 则函数表达式为：， 将点坐标代入上式并整理得：；（3分） (2)当时，若的函数值随的增大而增大， 则函数图象对称轴，而， 即：，解得：， 故：的取值范围为：；（5分） (3)当时，二次函数表达式为：， 过点作直线，作轴交于点，作于点， ∵，∴， ， 则，（6分） 在直线下方作直线，使直线和与直线等距离， 则直线与抛物线两个交点坐标，分别与点组成的三角形的面积也为1， 故：， 设点，则点， 即：，（7分） 解得：或， 故点或 或.（8分） 21．（8分） 【解析】（1）解：设一次函数的解析式为，将点、代入得： ，解得：，（2分） 故函数的表达式为：；（6、4分） （2）由题意得：，（6分） ∵，故当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取最大值，此时，．（8分） 故销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元． 22．（10分） 【解析】（1）设与之间的函数关系式为， 将，分别代入，得，解得， ∴与之间的函数关系式为； ∵，（2分） ∴自变量的取值范围是.（3分） （2）根据题意，得， 解得，（舍去）. 答：当榛子销售单价定为50元时，干果店每天获利2000元；（5分） （3）由题意得， ∴，（7分） ∵， ∴抛物线开口向下， 又∵对称轴为直线，，（8分） ∴在对称轴左侧，随的增大而增大， ∴当时，（元），（10分） 答：当榛子销售单价定为52元时，干果店每天销售棒子获得的利润最大，最大利润是2160元. 23．（10分） 【解析】（1）将B（1，0），C（0，4）代入y＝－x2＋bx＋c中，得， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝－x2－3x＋4（2分） 在y＝－x2－3x＋4中， 令y＝0，即，解得x1＝－4，x2＝1， ∴A（－4，0）． 设直线AD的解析式为y＝kx＋b'． ∵D（0，2）， ∴， 解得： ∴直线AD的解析式为．（5分） （2）连接PD，作PGy轴交AD于点G，如图所示． 设P（t，－t2－3t＋4）（－4＜t＜0），则G（t，），（6分） ∴，（7分） ∴， ．（9分） ∵－4＜0，－4＜t＜0， ∴当时，S有最大值．（10分） 24．（12分） 【解析】（1）∵直线分别与，轴交于点，， ∴当时，；当时，， ∴，， ∵抛物线恰好经过这两点． ∴，解得， ∴；（3分） （2）∵，， ∴，， 当点在轴上方时，如图，过点作轴于，， 由旋转可知：，， 则， ∴， ∴， ∴，， 则，（5分） ∴点的坐标为， 如图，当点在轴上及其下方时，， 同理可得：∴， ∴，， 则， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 综上，点的坐标为，（7分） 可知，点在直线上； ①∵点在此抛物线上， ∴点为直线与抛物线的交点， 即：， 解得：，， 当时，，当时，， ∴点的坐标为或；（10分） ②∵， ∴点在直线上， 又∵点是轴上的任一点，点在直线上， ∴，， 当点，点，与点重合时，取等号， ∴当取最小值时，点，点，与点重合， 即：当取最小值时，点的坐标为．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2024-2025学年上学期期中模拟卷 九年级数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 3 分，共 3 0分） 1 [A] [B ] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空 题（每小题 3 分，共 18 分） 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． ____________________ 16 ． ____________________ 三 、解答题（共 72 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 1 7 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 8 ．（ 8 分） 1 9 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20. （8分） 21 . （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22． （ 10分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23． （ 1 0 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （ 12分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年上学期期中模拟卷 九年级数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8 分） 19．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20. （8 分） 21.（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、单项选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16．____________________ 三、解答题（共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10 分） 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九上第21~23章（一元二次方程+二次函数+旋转）。 5．难度系数：0.58。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．对称美在生活中处处可见，下列是历届冬奥会的会徽，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是 （    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，将点A(4，3)按逆时针方向旋转90°，得到点A′，则点A′的坐标为（    ） A．(4，-3) B．(-4，1) C．(-3，4) D．(3，-4) 3．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(　　) A． B． C．2，2，2 D．1，2，2 4．关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．某次足球比赛中，每两支足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共有20场比赛，则参加这次足球比赛的足球队共有（  ） A．10支 B．6支 C．5支 D．4支 6．电流通过导线会产生热量，设电流强度为I(安培)，电阻为R(欧姆)，1秒产生的热量为Q(卡)，则Q=0.24I2R，现在已知电阻为0.5欧姆的导线，1秒间产生1.08卡的热量，则该导线的电流是(　　) A．9安培 B．6安培 C．3安培 D．安培 7．若，则的个位数字是（        ） A． B． C． D． 8．如图，△ABC和四边形DEFG分别是直角三角形和矩形，，cm，cm，于点B．若矩形DEFG从点B开始以每秒1cm的速度向右平移至点C，且矩形的边FG扫过的面积为S（），平移的时间为t（秒），则S与t之间的函数图象可能是（    ） A． B．C． D． 9．如图，在正方形中，为中点，连接，延长至点，使得，以为边作正方形，在《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点．现连接并延长，分别交，于点，，若：的面积与的面积之差为，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 10．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，m的值是 （　　） A． B． C．或3 D．或 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．将抛物线y＝﹣2（x+1）2+1先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的新抛物线的的顶点坐标是 ． 12．二次函数的最小值为 ． 13．根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是 ． x 0.4 0.5 0.6 0.7 14．已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于 ． 15．已知，函数y＝ax2﹣6ax+9a+1与线段AB有交点，且已知点A（0，1）与点B（2，3）的坐标，则a的取值范围 ． 16．已知二次函数（a为常数，），点是该函数图象上一点．下列结论：①当时，抛物线顶点坐标是；②抛物线与一定有两个不同的交点；③点与点在该函数的图象上，若，则；④当时，，则a的取值范围是或，其中正确的结论是 （填写序号）． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）解方程： (1) (2) 18．（8分）已知于的元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，且为整数，求的值． 19．（8分）抛物线的图象过点和两点．      (1)求抛物线的解析式与顶点坐标； (2)方程的解集是______； (3)若方程无解，则m的范围是______； 20．（8分）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求、满足的关系式及的值． (2)当时，若的函数值随的增大而增大，求的取值范围． (3)如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（8分）某超市销售一种商品，成本价为元/千克，经市场调查，每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于元，且不高于元．    (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)设每天的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 22．（10分）榛子是世界四大坚果之一，铁岭野生小榛子非常有名.榛子一上市，某干果店老板就以40元/的价格购进一批榛子，规定销售单价不低于成本价，且获利不高于.试销期间发现，当销售单价定为45元时，每天可售出；销售单价定为48元时，每天可售出.设每天的销售量为，销售单价为元（与之间满足一次函数关系）. （1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）当榛子销售单价定为多少时，干果店每天获利2000元？ （3）当榛子销售单价定为多少时，干果店每天销售榛子获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点． （1）求二次函数的解析式和直线AD的解析式； （2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点C的坐标是，将线段绕着点C逆时针旋转得到线段． ①若点E在此抛物线上，求出m的值； ②若点P是y轴上的任一点，当取最小值时，求点P的坐标． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九上第21~23章（一元二次方程+二次函数+旋转）。 5．难度系数：0.58。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．对称美在生活中处处可见，下列是历届冬奥会的会徽，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，将点A(4，3)按逆时针方向旋转90°，得到点A′，则点A′的坐标为（    ） A．(4，-3) B．(-4，1) C．(-3，4) D．(3，-4) 3．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(　　) A． B． C．2，2，2 D．1，2，2 4．关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．某次足球比赛中，每两支足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共有20场比赛，则参加这次足球比赛的足球队共有（  ） A．10支 B．6支 C．5支 D．4支 6．电流通过导线会产生热量，设电流强度为I(安培)，电阻为R(欧姆)，1秒产生的热量为Q(卡)，则Q=0.24I2R，现在已知电阻为0.5欧姆的导线，1秒间产生1.08卡的热量，则该导线的电流是(　　) A．9安培 B．6安培 C．3安培 D．安培 7．若，则的个位数字是（        ） A． B． C． D． 8．如图，△ABC和四边形DEFG分别是直角三角形和矩形，，cm，cm，于点B．若矩形DEFG从点B开始以每秒1cm的速度向右平移至点C，且矩形的边FG扫过的面积为S（），平移的时间为t（秒），则S与t之间的函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，为中点，连接，延长至点，使得，以为边作正方形，在《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点．现连接并延长，分别交，于点，，若：的面积与的面积之差为，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 10．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，m的值是（　　） A． B． C．或3 D．或 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．将抛物线y＝﹣2（x+1）2+1先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的新抛物线的的顶点坐标是 ． 12．二次函数的最小值为 ． 13．根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是 ． x 0.4 0.5 0.6 0.7 14．已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于 ． 15．已知，函数y＝ax2﹣6ax+9a+1与线段AB有交点，且已知点A（0，1）与点B（2，3）的坐标，则a的取值范围 ． 16．已知二次函数（a为常数，），点是该函数图象上一点．下列结论：①当时，抛物线顶点坐标是；②抛物线与一定有两个不同的交点；③点与点在该函数的图象上，若，则；④当时，，则a的取值范围是或，其中正确的结论是 （填写序号）． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）解方程： (1) (2) 18．（8分）已知于的元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，且为整数，求的值． 19．（8分）抛物线的图象过点和两点．      (1)求抛物线的解析式与顶点坐标； (2)方程的解集是______； (3)若方程无解，则m的范围是______； 20．（8分）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求、满足的关系式及的值． (2)当时，若的函数值随的增大而增大，求的取值范围． (3)如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（8分）某超市销售一种商品，成本价为元/千克，经市场调查，每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于元，且不高于元．    (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)设每天的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 22．（10分）榛子是世界四大坚果之一，铁岭野生小榛子非常有名.榛子一上市，某干果店老板就以40元/的价格购进一批榛子，规定销售单价不低于成本价，且获利不高于.试销期间发现，当销售单价定为45元时，每天可售出；销售单价定为48元时，每天可售出.设每天的销售量为，销售单价为元（与之间满足一次函数关系）. （1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）当榛子销售单价定为多少时，干果店每天获利2000元？ （3）当榛子销售单价定为多少时，干果店每天销售榛子获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点． （1）求二次函数的解析式和直线AD的解析式； （2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点C的坐标是，将线段绕着点C逆时针旋转得到线段． ①若点E在此抛物线上，求出m的值； ②若点P是y轴上的任一点，当取最小值时，求点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$