22.1.4 利用待定系数法求函数解析式（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册同步教学精品课件（人教版）

第二十二章 二次函数 人教版·九年级·上册·第二十二章·二次函数 2 2 . 1 . 4 用待定系数法求二次函数的解析式 知识与技能： 过程与方法： 情感态度与价值观： 经历用待定系数法确定二次函数解析式的过程，能在已知三个点的坐标的情况下，确定二次函数的解析式。 学习目标 人教版·九年级·上册·第二十二章·二次函数 能根据抛物线的平移、对称、顶点坐标、与轴的交点坐标等已知条件，利用二次函数的“一般式、顶点式、交点式”确定二次函数的解析式； 在利用待定系数法解决数学问题的过程之中，体会数学之中数形结合的思想，培养利用具体问题具体分析的数学思维； 在学习一次函数时，只需要确定两个点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标，就可以确定一次函数的解析式 。 两点确定一条直线 探究： 那么对于二次函数，又如何确定它的函数解析式呢？ （1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应该满足什么条件？ 顶点 顶点式： 任意一个点 课题引入 典例理解 例1. 已知一个二次函数的顶点坐标为并且还经过请问这个函数的解析式是什么？ 解 这个二次函数的顶点坐标为 ∴可设这个二次函数的 ∴将 得 ∴ ∴ ∴ 注意： 求二次函数解析式时最终都要化为一般式 （2）如果一个二次函数的图象经过三个点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式. 分析： 因为这三个点中没有特殊点，所以只能将二次函数的解析式设为一般形式，即 解：设这个二次函数的解析式为 将 得 三元一次方程组 消元法 ① ② ③ 由①得 ④ 将④分别代入②③得 整理得： 利用消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组 解得： 将，代入到 ④中 得： ∴ ∴该 课堂拓展 关于二次函数的解析式，到目前为止，我们已经见过两种，顶点式和一般式，在这里，拓展第三种“交点式” 如二次函数: 提公因式: 对括号进行十字相乘: ∴ 对右边的式子进行因式分解 在括号里面出现的2和1有什么特殊含义吗？它们代表了什么呢 如二次函数: 如果令 则 即 ∴ ∴ 代表与轴的交点 ∴抛物线与x轴的交点坐标为 在括号里面出现的2和1代表的是图象与轴交点的横坐标的相反数，而这个形式的二次函数的解析式我们就称为“交点式”，通常表示为 （3）如果一个二次函数的图象与轴相交于点， ，并且还经过 这个点，请问你有什么更好的方法求出这个二次函数的解析式吗？ 分析： 因为图象与轴相交于点， ，所以可将二次函数的解析式设为“交点式”，即 解：设这个二次函数的解析式为 即 将 得 得 ∴ 化为 小结 以上三种情况即为利用“待定系数法”求二次函数解析式 求二次函数的解析式，需求出的值,但面对不同情况的时候，可以合理选择不同的解决方式，如下： （1）由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）将坐标分别代入中，列出关于 的三元一次方程组，利用逐次消元法求出的值，就可以求出二次函数的解析式了 设“一般式”求解 （3）如果该抛物线与轴有交点，已知条件中给的特殊点为该抛物线与轴的交点坐标，特征为（0） （0）即纵坐标 此时可以考虑设函数解析式为交点进行求解。 （2）如果已知条件中给了特殊点（比如顶点的坐标）此时可以考虑设函数解析式为顶点式进行求解。 设“顶点式”求解 设“交点式”求解 课堂练习 1. 一个二次函数的图象经过三个点，求这个二次函数的解析式. 解：设这个二次函数的解析式为 将 得 ① ② ③ 将①分别代入②③得 ④ ⑤ 由④+⑤得 将代入⑤中得 ∴ ∴该 一个二次函数，当自变量时，函数值，当 与 时， 求这个二次函数的解析式. 分析：当自变量时，函数值，说明函数图象经过； 当 与 时，说明函数图象与轴相交于经过 解：设这个二次函数的解析式为 将 得 得 ∴ 化为 注意： 列交点式求函数解析式是，注意值不能掉，其次，“交点式”的括号里分别是 (减去两个交点的横坐标） 2. 如果二次函数图象与轴没有交点时不能设“交点式”解题. 3. 已知抛物线的对称轴为直线，且经过点 ,求该抛物线所对应的解析式. 分析： 因为图象的对称轴为直线所以可将二次函数的解析式设为“顶点式”，即 解 该抛物线的对称轴为直线 ∴ 可设这个二次函数的 将 得 得 ① ② 将代入①中得 由② - ① 得 得 ∴ 化为 课堂小结 设“顶点式”求解 设“交点式”求解 设“一般式”求解 用待定系数法求二次函数的解析式的三种形式 $$