专题05 等腰（等边）三角形期中复习压轴题（3大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版）

专题05 等腰（等边）三角形期中复习压轴题 等腰（等边）三角形中求角 1．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）如图，等边三角形的边长为7，是边上的中线，是边上的动点，是边的中点．当的周长取得最小值时，的度数为 ． 2．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为等边三角形内一点，，，，则 度． 3．（23-24七年级下·山东威海·期中）在等腰三角形中，，的垂直平分线交直线于点E，连接，如果，那么的度数为 ． 4．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，射线交射线相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点．若中有两个角相等，若设，则度数为 ． 等腰（等边）三角形中求线段长 1．（23-24八年级上·云南昭通·期中）（1）等腰三角形的一边长是，另一边长是，则该等腰三角形的周长是 ． （2）若等腰三角形的周长是，则它的腰长的取值范围是 ． 2．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 3．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，是等边三角形，是延长线上一点，于点，交于点于点．若，，则的长为 ． 4．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      等腰（等边）三角形中求线段最值 1．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上动点，则周长的最小值为 ． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，点P是边上一动点，连接，在AP的上方作等边三角形，则周长的最小值为 ． 等腰（等边）三角形的性质与判定综合 1．（23-24八年级下·甘肃张掖·期中）已知，如图，为等边三角形，，、相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若于，，，求的长． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，与均为等边三角形，点A，O，D在同一条直线上，连接，，与所在直线交点为E． 【问题发现】 （1）求证：； 【问题深究】 （2）猜想的度数，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，在与中，，，，若，，与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）为等边三角形，点D在延长线上． (1)如图(1)，，且．求证：． (2)如图(2），在上方作，，连．求证：F、A、C三点共线． (3)如图(3)，作点B关于的对称点N，交于H，交于P．求证：． 4．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）已知，在中，点是边上一点，点是延长线上一点，交于点，点是上一点，连接，，，，于点． (1)写出图中与相等的角， ； (2)如图1，若，在图中找出与相等的线段并证明； (3)如图2，若，，求的长度． 5．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰三角形，从特殊情形到一般情形进行如下探究： 【独立思考】（1）如图1，，即△ABC为等边三角形，D，E分别是上的点，且． ①求证：； ②求的度数； 【实践探究】（2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且，当的值最小时，求的度数． 6．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，已知在中，，，点为边上的一点，点为线段上一点． (1)如图（1），若，延长交于点，边的高交于点． ①若为的平分线，求证：； ②若为的中线，连接，求证：． (2)如图（2），若且，过点作，交延长线于点，过点作于，求的值． 7．（23-24八年级上·四川泸州·期中）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．试探索的数量关系，并说明理由． （3）拓展与应用：如图3，，是，，三点所在直线上的两动点，，三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试判断的形状．    等腰（等边）三角形中的动点问题 1．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）如图，在中，，点D从B出发以每秒2个单位的长度的速度在线段上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位长度的速度在线段上向点A运动，连接，设D，E两点的运动时间为 (1)运动 s时，； (2)运动多少秒时，能成立，并说明理由； (3)若，求（用含α的式子表示）． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中） 已知等腰中，，，交延长线于点D，为的延长线，点P从A点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)当点P运动到如图2位置时，此时点D与点E在直线同侧，求证：； (3)在点P运动过程中，连接，当点P运动多少秒（）时，线段长度取到最小值． 3．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，长方形 中，，，现有一动点 从 出发以 秒的速度，沿矩形的边运动，点返回到点停止，设点运动的时间为秒． (1)当 时， ①______； ②请你在图中画出此时的； ③请你在线段上再找一个不与点重合的点，使得，并在图中标出的长度； (2)当点在上运动时，用含的式子表示的长； (3)当为何值时，连接 ，，是等腰三角形？ 4．（23-24七年级下·四川成都·期中）在中，，点O是的中点，点P是射线上的一个动点（点P不与点C 、O、B重合），过点C作于点E，过点B作于点F， 连接，． 【问题探究】如图1，当P点在线段上运动时，延长交于点G， （1）求证： ； （2）与的数量关系为： （直接写结论，不需说明理由）； 【拓展延伸】 （3）①如图2，当P点在线段上运动，的延长线与的延长线交于点G，的大小是否变化?若不变，求出的度数；若变化，请说明理由； ②当P点在射线上运动时，若 直接写出的面积，不需证明． 5．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧，且．    (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于H， ①找出始终与相等的角　　，与相等的线段　　； ②直接写出，，的关系　　； (2)如图2，连接，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，求证：； (3)当点D在射线上时，连接交直线于M，若，则的值． 等腰（等边）三角形中旋转问题 1．（23-24七年级下·四川成都·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：__________， ； (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长BE，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展应用：在和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，求此时的度数． 2．（23-24七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ； (2)【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 3．（23-24八年级下·河南焦作·期中）综合实践课上，某数学兴趣小组对特殊三角形的旋转进行了探究． (1)问题发现 如图1，和均为等边三角形，将绕点A 旋转，当点 B，D，E在同一直线上时，连接，．填空: ①的值为 ； ②的度数为 ． (2)类比探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，于M，将绕点A 旋转，当点 B，D，E 在同一直线上时，连接，． ①求的度数； ②请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 在(2)的条件下，若，，求四边形的面积． 等腰（等边）三角形新定义型问题 1．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）我们定义：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”． (1)如图1，在中，是边上一点，若，，则________的“等角分割线”．（填“是”或“不是”）； (2)如图2，中，； 利用直尺和圆规，作出的“等角分割线”（保留作图痕迹，不写做法） 若，则中画出的“等角分割线”的长度为____________； (3)在中，，若存在“等角分割线”，且是等腰三角形，试求出所有符合要求的的度数． 2．（23-24八年级上·河南新乡·期中）定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．如图，在中，，，将沿边所在的直线翻折得到，延长到点，连接． (1)若，求证：是“倍角三角形”； (2)点P在线段上，连接．若，分所得的两三角形中，是“倍角三角形”，是等腰三角形，请直接写出的度数． 3．（23-24八年级下·河南焦作·期中）阅读下列材料，解答问题： 材料  从等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个三角形都是等腰三角形，我们把这条线段叫做三角形的完美分割线．例如：线段把等腰分成与（如图1），如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． 解答下列问题： (1)如图1，已知中，，，为的完美分割线，且，则________°，________°； (2)如图2，已知中，，，，求证：为的完美分割线； (3)如图3，已知是一等腰三角形纸片，，是它的一条完美分割线，且，将沿直线折叠后，点C落在点处，交于点M，求证：． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 等腰（等边）三角形期中复习压轴题 等腰（等边）三角形中求角 1．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）如图，等边三角形的边长为7，是边上的中线，是边上的动点，是边的中点．当的周长取得最小值时，的度数为 ． 【答案】/60度 【知识点】三角形内角和定理的应用、三线合一、等边三角形的性质 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题．熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，是解本题的关键． 根据等边三角形的对称性，作点E关于中线的对称点，连接交于点F，连接，结合是边的中点，得到，，得到，最小， 的周长取得最小值，结合，得到，即得． 【详解】∵为等边三角形， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， 在上取点E关于的对称点，连接交于点F，连接（如图）， 则， 由对称性知，， ∴， ∴，最小，此时， 的周长取得最小值， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为等边三角形内一点，，，，则 度． 【答案】30 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三线合一、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，作的垂直平分线，证明的垂直平分线必过C、D两点，然后证明，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：作的垂直平分线， ∵， ∴为等腰三角形， ∵为等边三角形， ∴， ∴的垂直平分线必过C、D两点，， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：30． 3．（23-24七年级下·山东威海·期中）在等腰三角形中，，的垂直平分线交直线于点E，连接，如果，那么的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分两种情况讨论：当点E在线段上时，当点E在线段的延长线上时，继而根据线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质求解即可． 【详解】当点E在线段上时， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 当点E在线段的延长线上时， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：或． 4．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，射线交射线相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点．若中有两个角相等，若设，则度数为 ． 【答案】22.5或45或67.5 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，翻折变换．根据折叠的性质可得：，，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． 【详解】解：由折叠得：，， 分三种情况： 当时，如图： ， 是的一个外角， ， ； 当时，当和位于射线的同侧时，如图： ， ， ； 当时， ， 是的一个外角， ， 此种情况不成立； 当时，如图： ， ， 是的一个外角， ， ； 综上所述：若是等腰三角形，则的度数为或或， 故答案为：22.5或45或67.5． 等腰（等边）三角形中求线段长 1．（23-24八年级上·云南昭通·期中）（1）等腰三角形的一边长是，另一边长是，则该等腰三角形的周长是 ． （2）若等腰三角形的周长是，则它的腰长的取值范围是 ． 【答案】 25 【知识点】一元一次不等式组应用、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识，解题的关键是： （1）分三边为5，5，10；10，10，5两种情况讨论，即可求解； （2）先求出底边长为，然后根据三角形三边关系构造不等式组求解即可． 【详解】解：（1）当等腰三角形三边为5，5，10时， ∵， ∴此三角形不存在； 当等腰三角形三边为10，10，5时， ∵， ∴此三角形存在， ∴改等腰三角形的周长为， 故答案为：25； （2）∵等腰三角形的周长是，腰长为， ∴底边长为， ∴， 解得， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，得出是本题的关键． 根据等边三角形的性质得出，进而得出，再根据平角的意义即可得出，即可证得是等边三角形；根据全等三角形的性质得到，，从而求得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得的长，进而得出的长． 【详解】解：是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：4． 3．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，是等边三角形，是延长线上一点，于点，交于点于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，利用“一锐角为的直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”，通过等量代换可得． 【详解】解： 与相交于，如图， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， ，， 在中，， 即，解得， ． 故答案为． 4．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      【答案】10 【知识点】等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求三角形的面积，连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】如图所示． 连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：10．    等腰（等边）三角形中求线段最值 1．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上动点，则周长的最小值为 ． 【答案】10 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，即可求解，本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，利用轴对称求最短路径，解题的关键是：掌握轴对称的性质． 【详解】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ，， ， 解得：, 是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长为， 的周长最小值， 故答案为：10． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，点P是边上一动点，连接，在AP的上方作等边三角形，则周长的最小值为 ． 【答案】30 【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的定义，垂线段最短，三角形的面积公式等知识．根据等边三角形的定义得到周长，过点A作于点，根据“垂线段最短”得到周长的最小值为，根据三角形面积公式得到，即可求出的最小值为30． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴周长， 过点A作于点， 则， ∴周长的最小值为， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为30． 故答案为：30 等腰（等边）三角形的性质与判定综合 1．（23-24八年级下·甘肃张掖·期中）已知，如图，为等边三角形，，、相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若于，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质得出，，利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得出，结合三角形外角的定义及性质即可得出答案； （3）由含角的直角三角形的性质得出，再由即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，即； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，与均为等边三角形，点A，O，D在同一条直线上，连接，，与所在直线交点为E． 【问题发现】 （1）求证：； 【问题深究】 （2）猜想的度数，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，在与中，，，，若，，与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，关键是利用三角形的内角和外角找出找出所求角的关系． （1）用证明即可． （2）利用全等可得，，可得出的度数． （3）仿造（1）证明，可得，再利用三角形内角和等于，可得出角的关系． 【详解】（1）证明：与均为等边三角形， ，，， ， ， ． （2）解：． 由（1）知， ． 点，，在同一条直线上， ， ， ． （3）解：． ，，， ， ， ． ． ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）为等边三角形，点D在延长线上． (1)如图(1)，，且．求证：． (2)如图(2），在上方作，，连．求证：F、A、C三点共线． (3)如图(3)，作点B关于的对称点N，交于H，交于P．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】对于（1），先连接，可说明是等边三角形，再结合“”证明，可得出，最后根据“同旁内角互补，两直线平行”得出答案； 对于（2），先根据得是等边三角形，再结合，可得结论； 对于（3），在上截取，根据对称性质和等边三角形的性质得出，即可得出是等边三角形，进而得出，再根据含直角三角形的性质得，然后证明，根据全等三角形的对应边相等可得出答案. 【详解】（1）连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴. ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴； （2）∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴点F，A，C共线； （3）在上截取，根据对称性可知，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴. 在中，， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，轴对称的性质，平行线的判定，连接辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）已知，在中，点是边上一点，点是延长线上一点，交于点，点是上一点，连接，，，，于点． (1)写出图中与相等的角， ； (2)如图1，若，在图中找出与相等的线段并证明； (3)如图2，若，，求的长度． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 (3) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）运用三角形外角性质即可求得答案； （2）利用证明，可得，，即可得出答案； （3）延长交的延长线于，过点作交的延长线于，可证得，则，设，再根据等腰三角形性质可得，建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1），， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 如图1， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 即； （3）如图，延长交的延长线于，过点作交的延长线于， 则，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设， ，， ，， ， ，， ， ， 解得： ， 故的长度为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 5．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰三角形，从特殊情形到一般情形进行如下探究： 【独立思考】（1）如图1，，即△ABC为等边三角形，D，E分别是上的点，且． ①求证：； ②求的度数； 【实践探究】（2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且，当的值最小时，求的度数． 【答案】（1）①见解析；②；（2），理由见解析；（3） 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等： （1）①先由等边对等角和三角形内角和定理得到，再证明，即可证明；②由全等三角形的性质得到，则可推出 ，即可得到； （2）如图所示，过点C作于点M，则，由三线合一定理得到，再证明，得到，即可得到． （3）如图所示，在下方，过点C作，且，连接．证明，得到，则当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小，求出，得到，再由，得到，即可求出． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：由①可知， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示，过点C作于点M，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图所示，在下方，过点C作，且，连接． ∵，, ∴， ∴， ∴ 当的值最小时，即的值最小， ∴当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，已知在中，，，点为边上的一点，点为线段上一点． (1)如图（1），若，延长交于点，边的高交于点． ①若为的平分线，求证：； ②若为的中线，连接，求证：． (2)如图（2），若且，过点作，交延长线于点，过点作于，求的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质； （1）①根据等腰直角三角形的性质得出，再根据角之间的关系得出，再得出，从而得出，再根据三线合一的性质得出，从而证明； ②过作交延长线于，根据角之间的关系得出，再证明，从而得出，，再证明，从而证明，最后证明，即可得证； （2）过点作于点，证明，从而得出，，再根据角之间的关系得出，从而证明，最后得出． 【详解】（1）证明：，，是边上的高， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，平分， ， 在与中 ． ②过点作交延长线于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，，， 是中线， ， ， ，， ， 在和中， ， 在和中， ∴ ∴ （2）解：过点作于点， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． ， ∴． 7．（23-24八年级上·四川泸州·期中）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．试探索的数量关系，并说明理由． （3）拓展与应用：如图3，，是，，三点所在直线上的两动点，，三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试判断的形状．    【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）等边三角形 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质； （1）根据垂直的定义得到，根据等角的余角相等得到，根据“”证明，根据全等三角形的性质即可得到； （2）根据，得到，由定理证明，根据全等三角形的性质得到，，得出结论； （3）根据等边三角形的性质得到，证明，得到，证明，得到，，求出，根据等边三角形的判定定理得到答案． 【详解】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2），理由如下： 如图2，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 等腰（等边）三角形中的动点问题 1．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）如图，在中，，点D从B出发以每秒2个单位的长度的速度在线段上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位长度的速度在线段上向点A运动，连接，设D，E两点的运动时间为 (1)运动 s时，； (2)运动多少秒时，能成立，并说明理由； (3)若，求（用含α的式子表示）． 【答案】(1)6 (2)运动4秒时，能成立． (3) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、一元一次方程的应用等知识点的综合运用等知识点，利用全等三角形的对应边相等得出方程是解题关键． （1）依据，可得，再根据列方程即可求得t的值； （2）当成立时，，可得方程即可求得t的值； （3）依据，即可得到，再根据，即可得出． 【详解】（1）解：由题可得，， ∴， ∵， ∴，解得． 故答案为：6． （2）解：当成立时，， ∴，解得， ∴运动4秒时，能成立． （3）解：当时，即， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中） 已知等腰中，，，交延长线于点D，为的延长线，点P从A点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)当点P运动到如图2位置时，此时点D与点E在直线同侧，求证：； (3)在点P运动过程中，连接，当点P运动多少秒（）时，线段长度取到最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)当点P运动秒时，线段长度取到最小值 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）利用“”即可直接证明； （2）在上取一点T，使得，先证明是等边三角形，再证明即可； （3）分当点D与点E在直线AP同侧时和当点D与点E在直线两侧时来讨论，确定点E在的角平分线l上运动，即当时，取到最短，问题随之得解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴； （2）证明：如图，在上取一点T，使得， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当点D与点E在直线AP同侧时， 由（2）中有：是等边三角形，即， ∴， 则根据可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点D与点E在直线两侧时，如图， 在上截取， ∵， ∴结合对顶角相等，可得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即运动过程中，所在的直线平分， 则有点E在的角平分线l上运动， 当时，取到最短．此时，，点D与点E在直线AP同侧时． ∵中，，， ∴． ∵中，，， ∴． ∴根据（2）的结论，有， ∴． 即：当点P运动时，线段长度取到最小值． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 3．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，长方形 中，，，现有一动点 从 出发以 秒的速度，沿矩形的边运动，点返回到点停止，设点运动的时间为秒． (1)当 时， ①______； ②请你在图中画出此时的； ③请你在线段上再找一个不与点重合的点，使得，并在图中标出的长度； (2)当点在上运动时，用含的式子表示的长； (3)当为何值时，连接 ，，是等腰三角形？ 【答案】(1)①2；②见解析；③见解析 (2) (3)秒或4秒或13秒 【知识点】用代数式表示式、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定及性质，动点问题，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论． （1）①当时，cm，即可得到的长度； ②根据题意即可作图； ③当时，由①可知，，，进而可知，，得，，再由即可得结论； （2）由题意可知，点运动的路程为，分两种情况：当在上时， 当在上时，即可求解； （3）分三种情况讨论，当点P在上时，当点P在上时，当点P在上时，根据全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：①当时，点P走过的路程为：， ∵cm， ∴， 故答案为：2； ②如图所示： ③当时，，理由如下： 由①可知，，， 在长方形中，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）由题意可知，点运动的路程为， 当在上时，即时，，则； 当在上时，即时，，则； 即：； （3）当点P在上时，是等腰三角形， ∴， 在长方形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， ②当点P在上时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）， ③当点P在上时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴（秒）， 综上所述，秒或4秒或13秒时，是等腰三角形． 4．（23-24七年级下·四川成都·期中）在中，，点O是的中点，点P是射线上的一个动点（点P不与点C 、O、B重合），过点C作于点E，过点B作于点F， 连接，． 【问题探究】如图1，当P点在线段上运动时，延长交于点G， （1）求证： ； （2）与的数量关系为： （直接写结论，不需说明理由）； 【拓展延伸】 （3）①如图2，当P点在线段上运动，的延长线与的延长线交于点G，的大小是否变化?若不变，求出的度数；若变化，请说明理由； ②当P点在射线上运动时，若 直接写出的面积，不需证明． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①的大小不变，；②满足条件的的面积为或 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据等角的余角相等得出，证明； （2）证明得出，则，等量代换可得； （3）①证明，进而证明证明得出；②根据题意画出图形，分类讨论，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1中，   ，， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：结论：． 理由：，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． （3）解：①如图中，结论：的大小不变，．    理由：，， ， ，， ， 在和中， ， ； ，， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 根据可得： ； ②如图中，当，时， ∴， ∴，   ； 如图中，当，时，，    综上所述，满足条件的的面积为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的动点问题以及三角形求面积的问题，正确掌握知识点是解题的关键； 5．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧，且．    (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于H， ①找出始终与相等的角　　，与相等的线段　　； ②直接写出，，的关系　　； (2)如图2，连接，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，求证：； (3)当点D在射线上时，连接交直线于M，若，则的值． 【答案】(1)①，；② (2)见解析 (3)或 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）①由，，，得，所以，即可证明，则， ②根据全等三角形的性质解答即可； （2）作交的延长线于点，先证明，得，再证明，得； （3）作交的延长线于点，先证明，得，，所以，可证明，得，再分两点情况，一是点在的延长线上，设，则，由得，则，于是得，，所以；二是点在线段上，设，则，则，于是得，，所以． 【详解】（1）解：①如图1，，，，   ， ， 在和中， ， ， ，． 故答案为：；； ②由①可知，， ，， ， ， 即， 故答案为：； （2）证明：如图2，作交的延长线于点，   ，，， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：如图3，点在的延长线上，作交的延长线于点，则，   ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 的值为； 如图4，点在线段上，设，则，   ， ， ， ，， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】此题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、有关三角形的面积问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 等腰（等边）三角形中旋转问题 1．（23-24七年级下·四川成都·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：__________， ； (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长BE，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展应用：在和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，求此时的度数． 【答案】(1)，30 (2)，理由见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）设交于点G，由可得，而、，即可根据“”证明，所以，，则即可解答； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明可得，然后再根据等腰三角形的性质即可解答； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明可得，再说明即可． 【详解】（1）解：如图1，设交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：，30． （2）解：，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图3所示： ∵和都是等腰三角形， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴． 2．（23-24七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ； (2)【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 【答案】(1)； (2)；；理由见解析 (3)4；4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． （1）由，可得，根据可得，则可得出结论； （2）由，得，即可证，有，，而是等腰三角形且，知，故，即可得，； （3）证明，当有最小，即最小，即垂线段最短，当轴时，最小，则可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 故答案为：；； （2）解：与的数量关系是，位置关系是 ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵是等腰直角三角形， ∴， 将绕M点顺时针旋转得（N与重合）， 连接， ∴， ∴，， ∴， 当有最小，即最小，当轴时， 由，， ∴，， ∴，最小值为4． 3．（23-24八年级下·河南焦作·期中）综合实践课上，某数学兴趣小组对特殊三角形的旋转进行了探究． (1)问题发现 如图1，和均为等边三角形，将绕点A 旋转，当点 B，D，E在同一直线上时，连接，．填空: ①的值为 ； ②的度数为 ． (2)类比探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，于M，将绕点A 旋转，当点 B，D，E 在同一直线上时，连接，． ①求的度数； ②请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 在(2)的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)①1；② (2)①；② (3)35 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质得到，，，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②根据全等三角形的性质解答； （2）①仿照（1）①的作法解答； ②根据等腰直角三角形的性质得到，结合图形得到答案； （3）由（2）可知：，，，然后可得，进而根据割补法可进行求解． 【详解】（1）①证明：∵和为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ∴ ， ∴； ②解：∵， ， ； 故答案为1；； （2）解：①∵和均为等腰直角三角形， ，，， ， ，即， 在和中， ， ∴， ，， ； ②， 理由如下：为等腰直角三角形，， ， ∴； （3）解：由（2）可知：，，， ∵，， ∴， ∴． 等腰（等边）三角形新定义型问题 1．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）我们定义：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”． (1)如图1，在中，是边上一点，若，，则________的“等角分割线”．（填“是”或“不是”）； (2)如图2，中，； 利用直尺和圆规，作出的“等角分割线”（保留作图痕迹，不写做法） 若，则中画出的“等角分割线”的长度为____________； (3)在中，，若存在“等角分割线”，且是等腰三角形，试求出所有符合要求的的度数． 【答案】(1)是 (2)①见解析；② (3)或 【知识点】三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图)、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】（1）证明出的三个内角与的三个内角的度数分别相等，是等腰三角形，即可得出答案； （2）①画的角平分线，交于点，线段即为所求，再证明出的三个内角与的三个内角的度数分别相等，是等腰三角形，即可得出答案；②设，则，列出方程，解方程即可得出答案； （3）分和；利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ， 的三个内角与的三个内角的度数分别相等， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形， 是的“等角分割线”， 故答案为：是； （2）解：①画的角平分线，交于点，线段即为所求，如图所示： ， 理由如下： ，， ， 平分， ， ， ， 的三个内角与的三个内角的度数分别相等， ， ， 是等腰三角形， 是的“等角分割线”； ②设， 中，，， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：； （3）解：当时，， ，； 当时，，， ，； 当的情况不存在； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了新定义“等角分割线”的定义，等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，理解新定义“等角分割线”，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 2．（23-24八年级上·河南新乡·期中）定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．如图，在中，，，将沿边所在的直线翻折得到，延长到点，连接． (1)若，求证：是“倍角三角形”； (2)点P在线段上，连接．若，分所得的两三角形中，是“倍角三角形”，是等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题、等边对等角、根据等边对等角证明 【分析】（1）由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （2）由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解． 【详解】（1）证明：， ， 将沿边所在的直线翻折得到， ，，， ， ， ， ， ， 是“倍角三角形”； （2）解：由①可得， 如图， 若是等腰三角形，则是“倍角三角形”， 或或或， 或或或， 或或或， 是等腰三角形， 或或或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，新定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，理解“倍角三角形”的定义并运用是解题的关键． 3．（23-24八年级下·河南焦作·期中）阅读下列材料，解答问题： 材料  从等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个三角形都是等腰三角形，我们把这条线段叫做三角形的完美分割线．例如：线段把等腰分成与（如图1），如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． 解答下列问题： (1)如图1，已知中，，，为的完美分割线，且，则________°，________°； (2)如图2，已知中，，，，求证：为的完美分割线； (3)如图3，已知是一等腰三角形纸片，，是它的一条完美分割线，且，将沿直线折叠后，点C落在点处，交于点M，求证：． 【答案】(1)72，108 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、折叠问题 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和可求出，由已知条件可得出，再利用三角形内角和可求出． （2）根据两底角相等的三角形为等腰三角形证、均为等腰三角形，即可得证结论； （3）根据完美分割线的定义可得出，， ，根据折叠的性质可得出，进而可得出，根据证，即可得证结论． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∵为的完美分割线，且， ∴， ∴ 故答案为：72，108； （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、均为等腰三角形， ∴为的完美分割线； （3）∵是的一条完美分割线，且 ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得出， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定以及性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$