第12讲 探索勾股定理（2个知识点+6种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第12讲 探索勾股定理（2个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 题型强化 题型一．勾股定理 1．（2023秋•衢州期末）如图，在中，，分别以点，点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于，，连接交于点，交于点．连接，以为圆心，长为半径作弧，交于点，若，，则的长度为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•宁波期末）如图，在中，，于点，，，则的长为 　　． 3．（2023秋•西湖区校级月考）如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长度． 题型二．勾股定理的证明 4．（2022秋•慈溪市校级月考）课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是　　 A．①行，②不行 B．①不行，②行 C．①，②都行 D．①，②都不行 5．（2021秋•武义县校级月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为和，那么的值为　　． 6．（萧山区校级月考）如图，在梯形中，．利用面积法证明勾股定理． 题型三、用勾股定理解三角形 7．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中，，，，线段的两个端点分别在边上滑动，且，若点分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，A是的中点，连结，以为直角边作等腰，其中． ①的长为 ； ②连结，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，有一块凹四边形的绿地，，，，，，求这块绿地的面积． 题型四、勾股定理与无理数 10．（21-22八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（　　） A．2 B．+1 C．2 D．﹣1 11．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在数轴上O为原点，点A表示的数为2，． 以A为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点C，则点C表示的数为 ．    12．（20-21八年级上·浙江温州·阶段练习）如图1，有五个边长为的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形． （1）拼成的正方形的面积是 ，边长是 ． （2）把个小正方形组成的图形纸（如图2），剪开并拼成正方形． ①请在方格图内画出这个正方形． ②以小正方形的边长为单位长度画一条数轴，并在数轴上画出表示的点． 题型五、利用勾股定理的逆定理求解 13．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（   ）    A．3 B．6 C．10 D．16 14．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）如图，以的每一条边为边，在边的同侧作三个正三角形、和．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和．则 °． 15．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知点是等边内一点，连接，，，为外一点，且，连接，，． (1)求证：． (2)若，，，求∠APB的度数． 题型六、勾股定理逆定理的实际应用 16．（22-23八年级上·浙江温州·期中）下列条件中，能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D．， 17．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了是完全固定的钢架外，，，属于位置可变的定长钢架．如图1所示，，，，伸缩杆的两端分别固定在，两边上，其中，．当伸缩杆打开最大时，如图2所示，成，此时，则可变定长钢架的长度为 ．当伸缩杆完全收拢时，，则此时床高（与之间的距离）为 ． 18．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． (1)求修建的公路的长； (2)若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 分层练习 一、单选题 1．下列数组中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．9，12，15 C．7，24，25 D．1.2，2，2.5 2．下列条件中，不能判定一个三角形是直角三角形的是（  ） A．三个角，，满足关系式 B．三条边的长度之比是 C．三条边的长度之比是 D．三个角的度数之比是 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，，，三点均在格点上，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 4．勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法，如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设，，，证明中用到的面积相等关系是（    ） A． B． C． D． 5．如图，三角形中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．2.4 6．如果梯子的底端离建筑物底部8米，则米长的梯子可以达到建筑物的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．在中，a、b、c分别是三边的长，下列说法：①；②；③；④；⑤．其中，能判断为直角三角形的条件有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 9．如图，在长方形纸片ABCD中，AD= 4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若OC=5cm，则CD的长为（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．10cm 10．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于、两点，直线分别交、于D、E点，连接，若，，，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．6 二、填空题 11．如图是楼梯截面，其中AC＝3m，BC＝4m，AB＝5m，要在其表面铺地毯，地毯长至少需 米． 12．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为 ． 13．如图，在 中，于点D，于点E，交AD于点F，已知，则线段BF的长是 ． 14．若一个三角形的三边长分别是a，b，c，满足|a﹣12|++（c﹣15）2＝0，则此三角形最长边上的高为 ． 15．如图，已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上一点，CP＝3，则AP＝ ，若点Q是边AC上一点，BQ＝AP，则AQ＝ ． 16．如图，已知矩形的顶点，，，按以下步骤作图： ①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交于点D、E； ②分别以点D、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F； ③作射线，交边于点G．则点G的坐标为 ．    三、解答题 17．如图，一块四边形草地，其中，，，，，求这块草地的面积． 18．如图，一架米长的梯子斜靠在一座建筑物上，梯子底部与建筑物距离为米．    (1)求梯子上端A到建筑物的底端C的距离（即的长）； (2)如果梯子的顶端A沿建筑物的墙下滑米（即米），则梯脚B将外移（即的长）多少米？ 19．随着去年冬天哈尔滨的冰雪旅游火爆出圈后，全国各地旅游局都开始更加重视当地的旅游建设．鸡西市文旅局发现一条笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个漂流点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点（在一条直线上），并新修一条路测得千米，千米，千米． (1)问是否为从旅游地到河的最近的路线？请通过计算加以说明； (2)求原来路线的长． 20．2023年10月15日，泰州半程马拉松在泰州体育公园鸣枪开跑，比赛赛道穿越泰州主城区，串联了天德湖公园、人民广场、老街、梅园、凤城河、光孝寺等城市地标及人文景观．小明家住在补给点C处，他发现补给点A、B、C组成一个三角形，青年路的一段恰好与边垂直，垂足为D．如图，若千米，千米，小明用速度为每分钟1千米的无人机M紧贴地面从C处出发沿着线段匀速飞行，用了10分钟到达终点A处． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若N是的中点，连接，在M运动过程中，是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出时间t；若不存在，请说明理由． 21．如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距1000米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为600米，与B地的距离为800米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C 周围半径520米范围内不得进入． (1)山地C距离公路的垂直距离为多少米? (2)在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁?若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 22．如图，已知：大风把一颗大树刮断，[来源:学．科．网Z．X．X．K]折断的一端恰好落在地面上的A处，量得BC=6m，AC=8m，试计算这棵大树的高度． 23．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上； (1)画出一个以为一边的，点E在小正方形的顶点上，且； (2)画出以为一腰的等腰，点F在小正方形的顶点上，且的面积为，连接，请直接写出线段的长． 24．“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一个重要性质．即：如图①，中，，为斜边上的中线，则解决下列问题： (1)如图①，△中，，为斜边上的中线，且．试求出的长度； (2)四边形中，，．如图②，点、分别是、的中点，．求证：； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 探索勾股定理（2个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 题型强化 题型一．勾股定理 1．（2023秋•衢州期末）如图，在中，，分别以点，点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于，，连接交于点，交于点．连接，以为圆心，长为半径作弧，交于点，若，，则的长度为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，求出，设 ，则，根据勾股定理得出，求出，最后求出结果即可． 【解答】解：连接，如图所示： 根据作图可知，垂直平分， ，， 为直角三角形， ， ， 根据勾股定理得：， ， 设 ，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了勾股定理，尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 2．（2023秋•宁波期末）如图，在中，，于点，，，则的长为 　5　． 【分析】根据，，设，则，然后根据勾股定理，即可求得的值． 【解答】解：设，则， ， ， ， 即， 解得， 即， 故答案为：5． 【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答． 3．（2023秋•西湖区校级月考）如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长度． 【分析】（1）根据题意和图形，可以求得，然后即可证明结论成立； （2）根据勾股定理可以求得的长，再根据等面积法和等腰三角形的性质，即可求得的长． 【解答】（1）证明：平分， ， ，， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：作于点，如图所示， ，平分， ， ，，， ， ， ， 即， 解得， 由（1）知：， ， 即的长度为3． 【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型二．勾股定理的证明 4．（2022秋•慈溪市校级月考）课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是　　 A．①行，②不行 B．①不行，②行 C．①，②都行 D．①，②都不行 【分析】根据图①可以得到，然后化简即可；根据图②，无法确定、、的关系． 【解答】解：由图①可得， ， 化简，得：， 故图①可以证明勾股定理； 根据图②中的条件，无法证明勾股定理； 故选：． 【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．（2021秋•武义县校级月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为和，那么的值为　29　． 【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到的值，由已知条件得到的值，根据完全平方公式即可求解． 【解答】解：大正方形的面积为16，得到它的边长为4， 即得， 由题意， ， 所以， 故答案为：29． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和，的关系． 6．（萧山区校级月考）如图，在梯形中，．利用面积法证明勾股定理． 【分析】先利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再求出，然后根据梯形的面积公式和梯形的面积等于三个直角三角形的面积列出方程整理即可得证． 【解答】证明：在和中， ， ， ， ， ， ， 梯形的面积， 整理得，． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，求出是解题的关键，难点在于利用梯形的面积列出方程． 题型三、用勾股定理解三角形 7．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中，，，，线段的两个端点分别在边上滑动，且，若点分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、两点之间线段最短 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边中线的性质求得，，当在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为，根据两点之间线段最短得到在同一直线上时取最小值是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，点分别是的中点， ∴，， 当在同一直线上时，取最小值， ∴的最小值为． 故选：． 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，A是的中点，连结，以为直角边作等腰，其中． ①的长为 ； ②连结，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】①根据勾股定理先计算，再根据，解答即可； ②过E点分别作，的垂线，垂足分别为G，F，根据等面积法可以求得的长，再根据勾股定理求得的长，最后计算出的长即可． 本题考查勾股定理、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出和的长． 【详解】解：①∵，，A是的中点， ∴ 根据勾股定理，得， ， 故答案为：； ②过E点分别作，的垂线，垂足分别为G，F， ∵，，A是的中点， ∴， 四边形是矩形， ∴， 根据勾股定理，得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，有一块凹四边形的绿地，，，，，，求这块绿地的面积． 【答案】这块空地的面积是 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理说明，最后根据得出答案． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形面积为： ． 答：这块空地的面积是． 题型四、勾股定理与无理数 10．（21-22八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（　　） A．2 B．+1 C．2 D．﹣1 【答案】D 【知识点】勾股定理与无理数 【分析】由题意可知，CD=CB=1，AD=AE，利用勾股定理求出AC的长，即可得到AE的长. 【详解】由题意可得CD=CB=1，AD=AE， ∵点A，B表示的数分别为0，2， ∴AB=2， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC=90°， ∴， ∴， ∴E表示的数为：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和数轴，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 11．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在数轴上O为原点，点A表示的数为2，． 以A为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点C，则点C表示的数为 ．    【答案】/ 【知识点】勾股定理与无理数、实数与数轴 【分析】本题考查勾股定理与无理数，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，利用即可得出点C表示的数．掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴点C表示的数为； 故答案为：． 12．（20-21八年级上·浙江温州·阶段练习）如图1，有五个边长为的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形． （1）拼成的正方形的面积是 ，边长是 ． （2）把个小正方形组成的图形纸（如图2），剪开并拼成正方形． ①请在方格图内画出这个正方形． ②以小正方形的边长为单位长度画一条数轴，并在数轴上画出表示的点． 【答案】（1），；（2）①见解析；②见解析 【知识点】勾股定理与无理数、勾股定理与网格问题 【分析】（1）依据正方形的面积即可得到正方形的边长； （2）依据10个小正方形组成的图形纸剪开并拼成正方形的边长为，即可得到该正方形，并在数轴上画出表示的点． 【详解】解：（1）拼成的正方形的边长是， ∴拼成的正方形的面积是5，边长是， 故答案为：5，； （2）①10个小正方形组成的图形纸剪开并拼成正方形的边长为，如图所示： ②表示的点如图所示： 【点睛】本题考查了图形的剪拼，勾股定理与网格问题，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．正方形的面积是由组成正方形的面积的小正方形的个数决定的；边长为面积的算术平方根． 题型五、利用勾股定理的逆定理求解 13．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（   ）    A．3 B．6 C．10 D．16 【答案】C 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了勾股定理，求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．首先求得，利用勾股定理的逆定理证明，，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答． 【详解】解：∵正方形的面积为13， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：C 14．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）如图，以的每一条边为边，在边的同侧作三个正三角形、和．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和．则 °． 【答案】150 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质 【分析】先根据甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和，可得出，再结合等边三角形的面积由勾股定理的逆定理可得出，进而可得出答案． 【详解】解：过点作， ∵甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和， ∴，则， ∴， ∵、和为等边三角形， ∴，， 则中边上的高为：， ∴， 同理可得：，， ∴． 从而　． 所以，． 故答案为：150． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形的面积及等边三角形的性质，解答此题时要注意把三角形面积之间的关系转化为三边之间的关系，再由直角三角形及等边三角形的性质即可得出结论． 15．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知点是等边内一点，连接，，，为外一点，且，连接，，． (1)求证：． (2)若，，，求∠APB的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，，根据勾股定理的逆定理得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ， ， 在与中， ， ； （2）解：， ，， 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ． 题型六、勾股定理逆定理的实际应用 16．（22-23八年级上·浙江温州·期中）下列条件中，能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D．， 【答案】C 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】根据直角三角形的判定可判断选项A和B，C选项中根据三角形的内角和定理以及三个角的比例关系可求出为，根据勾股定理的逆定理可判断选项D，即可得出答案． 【详解】解：A．由无法得到为直角三角形，故本选项不符合题意； B．， ，无法得到为直角三角形，故本选项不符合题意； C．，， 最大角， 是直角三角形，故本选项符合题意； D．，，，， ， 不是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 17．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了是完全固定的钢架外，，，属于位置可变的定长钢架．如图1所示，，，，伸缩杆的两端分别固定在，两边上，其中，．当伸缩杆打开最大时，如图2所示，成，此时，则可变定长钢架的长度为 ．当伸缩杆完全收拢时，，则此时床高（与之间的距离）为 ． 【答案】 8 12 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形、利用平行线间距离解决问题 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，平行线间的距离，理解题意将实际问题转化为数学模型是解题的关键． 当伸缩杆打开最大时，先证明是直角三角形，由勾股定理，得，即可由求得长；当伸缩杆完全收拢时，，过点C作于H，过点D作于F，由平行线间的距离，可得，，，再由勾股定理，得，即，即可求得，即可由求解． 【详解】解：如图2， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵成， ∴是直角三角形，由勾股定理，得 ∴； 当伸缩杆完全收拢时，，过点C作于H，过点D作于F，如图， ∵，于H，过点D作于F， ∴，， ∴， ∴ 由勾股定理，得 ∴ ∴ ∴ 故答案为：8；12． 18．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． (1)求修建的公路的长； (2)若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，再结合三角形的面积求出的长即可； （2）先利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差求解即可。 【详解】（1）解：∵，， ∴是直角三角形，， ∵， ∴． 故修建的公路的长是； （2）解：在中，， 一辆货车从C处经过D点到B处的路程． 故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是． 分层练习 一、单选题 1．下列数组中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．9，12，15 C．7，24，25 D．1.2，2，2.5 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此即可求解． 【详解】解：， ∴A、B、C均为勾股数，不符合题意； D选项中各数不全是整数，故不是勾股数，符合题意； 故选：D 2．下列条件中，不能判定一个三角形是直角三角形的是（  ） A．三个角，，满足关系式 B．三条边的长度之比是 C．三条边的长度之比是 D．三个角的度数之比是 【答案】B 【知识点】三角形的分类、判断三边能否构成直角三角形 【分析】通过边长判定直角三角形根据勾股定理的逆定理即可，通过角度判断直角三角形只要可以得到一个角是90°即可． 【详解】解：三个角满足关系式 ，所以∠A=90°，是直角三角形，故A选项不符合题意； 三条边的长度之比是， ，不是直角三角形，故B选项符合题意； 三条边的长度之比是，，是直角三角形，故C选项不符合题意； 三个角的度数之比是，最大角的度数是90°，是直角三角形，故D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，能够熟练的通过边和角来判定直角三角形是解决本题的关键． 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，，，三点均在格点上，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】根据勾股定理以及其逆定理即可得到问题答案． 【详解】解：， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．熟记勾股定理的内容是解题得关键． 4．勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法，如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设，，，证明中用到的面积相等关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质、勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，等腰直角三角形的判定，表示出图形面积的不同表达形式，建立等量关系是解题的关键．通过用两种方法计算梯形的面积即可证明勾股定理． 【详解】解：矩形旋转得出矩形， ， ，，，， ， ， 是等腰直角三角形， 由题意知：， ， ， ， 故选：C． 5．如图，三角形中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．2.4 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】先根据勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°，再由当CP⊥AB时，线段PC的值最小，根据三角形的面积的求法，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴∠ACB=90°， 当CP⊥AB时，线段PC的值最小， 此时， 即，解得：． 即线段PC的最小值为2.4 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，垂线段最短，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 6．如果梯子的底端离建筑物底部8米，则米长的梯子可以达到建筑物的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由题意知，如图，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，如图，，，    由勾股定理得，， ∴米长的梯子可以达到建筑物的高度是米， 故选：D． 7．在中，a、b、c分别是三边的长，下列说法：①；②；③；④；⑤．其中，能判断为直角三角形的条件有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据直角三角形的判定进行解答即可． 【详解】①若，则，所以，所以是直角三角形，正确，符合题意； ②若，所以，所以是直角三角形，正确，符合题意； ③，最大角为，错误，不符合题意； ④若，设，则，则是直角三角形，正确，符合题意； ⑤若，，则是直角三角形，正确，符合题意； 故能判断为直角三角形的条件有：①②④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟知如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 8．如图，长方形中，，，将长方形折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】设，则，根据长方形，，得到，根据勾股定理，得，解得，解答即可． 本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵长方形，，点与的中点重合， ∴，， 根据折叠的性质，得 ∴， 解得， 故选B． 9．如图，在长方形纸片ABCD中，AD= 4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若OC=5cm，则CD的长为（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【知识点】等腰三角形的定义及性质、勾股定理与折叠问题 【分析】根据折叠前后角相等可证AO=CO，在直角三角形ADO中，运用勾股定理求得DO，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：根据折叠前后角相等可知∠BAC=∠EAC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACD， ∴∠EAC=∠ACD， ∴AO=CO=5cm， 在直角三角形ADO中，DO==3cm， CD = AB =DO+CO=3+5=8cm． 故选C． 【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 10．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于、两点，直线分别交、于D、E点，连接，若，，，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．6 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，再结合已知易得，然后利用三角形内角和定理可得，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：是的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 故选：D． 二、填空题 11．如图是楼梯截面，其中AC＝3m，BC＝4m，AB＝5m，要在其表面铺地毯，地毯长至少需 米． 【答案】7． 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】根据图形可知，由三角形三边长可知，满足勾股数，△ABC是直角三角形，需要铺的地毯的长度即为AC+BC的长度，数值代入计算即可． 【详解】根据题意结合图形可知，△ABC三边长满足勾股数，是直角三角形，所以要铺的地毯的长度即为AC+BC， ∴4+3＝7（米）． 答：地毯长至少需7米． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了勾股数判定直角三角形，图形的折叠和展开图与水平距离和竖直距离之间的关系，理解立体图展开成平面图形的关系是解题的关键． 12．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为 ． 【答案】10 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】如图，先根据正方形的面积公式可得的值，再利用勾股定理可得的值，由此即可得． 【详解】解：如图，∵， ∴， 则A所代表的正方形的面积为100， ∴A所代表的正方形的边长为10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 13．如图，在 中，于点D，于点E，交AD于点F，已知，则线段BF的长是 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】首先证明AD＝BD，求出AC，再证明∠1＝∠2，再加上条件∠BDA＝∠ADC＝90°，即可利用ASA证明△BFD≌△ACD，再根据全等三角形对应边相等可得AC＝BF． 【详解】解：∵AD⊥BC，∠ABD＝45°， ∴∠BAD＝45°， ∴AD＝BD=4， ∴AC= ∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°， ∵∠3＝∠4， ∴∠1＝∠2， 在△BFD和△ACD中 ， ∴△BFD≌△ACD（ASA）， ∴BF＝AC＝． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，关键是证明△BFD≌△ACD． 14．若一个三角形的三边长分别是a，b，c，满足|a﹣12|++（c﹣15）2＝0，则此三角形最长边上的高为 ． 【答案】 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】首先根据非负数的性质求得a、b、c，然后根据勾股定理的逆定理判断这个三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求最长边上的高． 【详解】解：∵|a﹣12|++（c﹣15）2＝0， ∴a＝12，b＝9，c＝15， ∵92+122＝152， ∴△ABC是直角三角形， ∴这个三角形最长边上的高为：＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，三角形的面积，以及利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状，具有一定的综合性． 15．如图，已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上一点，CP＝3，则AP＝ ，若点Q是边AC上一点，BQ＝AP，则AQ＝ ． 【答案】 3或1/1或3 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】根据等边三角形的性质推出BC=AB=AC=4，过A作AH⊥BC于H，求出CH、PH，利用勾股定理求出求出AH，再利用勾股定理求出答案即可；过B作BE⊥AC于E，分两种情况：当点Q在线段CE之间时，连接BQ，利用勾股定理求出EQ，再求出AQ；当在线段AE之间时，B，由勾股定理求出E，再得到A． 【详解】解： ∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AB=AC=4， 如图，过A作AH⊥BC于H， ∴BH=CH=2， ∵CP＝3， ∴PH=PC-CH=1， ∵， ∴； 过B作BE⊥AC于E， 当点Q在线段CE之间时，连接BQ， ∴CE=AE=2，BE=AH=， ∵BQ＝AP=， ∴， ∴AQ=AE+EQ=2+1=3； 当在线段AE之间时，B， ∴， ∴A=AE-E=2-1=1， ∴AQ＝3或1， 故答案为：，3或1． 【点睛】此题考查等边三角形的性质：三线合一，勾股定理，熟记等边三角形的性质是解题的关键． 16．如图，已知矩形的顶点，，，按以下步骤作图： ①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交于点D、E； ②分别以点D、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F； ③作射线，交边于点G．则点G的坐标为 ．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】过点作，由角平分线的性质可得：，设，由即可建立方程求解． 【详解】解：由题意得： ∴ 由作图可知：平分 过点作，如图所示：    由角平分线的性质可得：，设 则 解得： ∴点G的坐标为 故答案为： 【点睛】本题重点考查了角平分线的性质定理．熟记角平分线的尺规作图是解题关键． 三、解答题 17．如图，一块四边形草地，其中，，，，，求这块草地的面积． 【答案】 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．根据勾股定理可求出，即可求出，还可由勾股定理逆定理判断为直角三角形，且、为直角边，从而可求出，最后根据这块草地的面积求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且、为直角边， ∴， ∴这块草地的面积． 18．如图，一架米长的梯子斜靠在一座建筑物上，梯子底部与建筑物距离为米．    (1)求梯子上端A到建筑物的底端C的距离（即的长）； (2)如果梯子的顶端A沿建筑物的墙下滑米（即米），则梯脚B将外移（即的长）多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【知识点】用勾股定理解三角形、求一个数的算术平方根、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理求出结果即可； （2）先根据勾股定理求出米，然后再求出的长即可． 【详解】（1）解：在中，，米，米， 根据勾股定理可知（米）， 答：梯子上端A到建筑物的底端C的距离为米． （2）解：在中，，米，（米）， 根据勾股定理可知：（米）， （米） 答：梯脚B将外移0.8米． 19．随着去年冬天哈尔滨的冰雪旅游火爆出圈后，全国各地旅游局都开始更加重视当地的旅游建设．鸡西市文旅局发现一条笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个漂流点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点（在一条直线上），并新修一条路测得千米，千米，千米． (1)问是否为从旅游地到河的最近的路线？请通过计算加以说明； (2)求原来路线的长． 【答案】(1)CH是从旅游地C到河的最近的路线，理由见解析 (2)千米 【知识点】垂线段最短、勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用． （1）由千米，千米，千米，用勾股定理的逆定理可得即可； （2）设千米，则 千米，用勾股定理得即可解出． 【详解】（1）解：是从旅游地到河的最近的路线，     理由为： 在中，，， ∴是直角三角形且 所以是从旅游地到河的最近的路线； （2）解：设千米，则 千米 在中，已知千米 由勾股定理得： 解这个方程，得． 答：原来的路线的长为千米． 20．2023年10月15日，泰州半程马拉松在泰州体育公园鸣枪开跑，比赛赛道穿越泰州主城区，串联了天德湖公园、人民广场、老街、梅园、凤城河、光孝寺等城市地标及人文景观．小明家住在补给点C处，他发现补给点A、B、C组成一个三角形，青年路的一段恰好与边垂直，垂足为D．如图，若千米，千米，小明用速度为每分钟1千米的无人机M紧贴地面从C处出发沿着线段匀速飞行，用了10分钟到达终点A处． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若N是的中点，连接，在M运动过程中，是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2)不存在，见解析 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理及逆定理，等腰三角形的性质： （1）先根据勾股定理求出和，再判断是否等于即可； （2）根据等腰三角形三线合一，可得若，则，用含t的代数式表示出相关线段长度，列方程求出t值，判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 由题意知：，， ，，， ， ，， ， ， 是直角三角形； （2）解：不存在， 当时，点M和点N在D点异侧，假设时间为t， 则，，，， ，， ， ， 解得， 故不存在． 21．如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距1000米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为600米，与B地的距离为800米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C 周围半径520米范围内不得进入． (1)山地C距离公路的垂直距离为多少米? (2)在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁?若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 【答案】(1)山地C距离公路的垂直距离为米 (2)需要封锁的公路长为400米 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，过点C作于点D，再由三角形面积求出的长即可； （2）过C作于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交于点E、F，连接，，根据480米米可以判断有危险，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． 【详解】（1）解：由题意可知，米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，且， 如图1，过点C作于点D， （米） 答：山地C距离公路的垂直距离为米． （2）公路有危险需要暂时封锁，理由如下： 如图2，过C作于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交于点E、F，连接，， 则米，， 由（1）可知，米， ∵480米米， ∴有危险需要暂时封锁， 在中，由勾股定理得： （米） ∴（米）， 即需要封锁的公路长为400米． 22．如图，已知：大风把一颗大树刮断，[来源:学．科．网Z．X．X．K]折断的一端恰好落在地面上的A处，量得BC=6m，AC=8m，试计算这棵大树的高度． 【答案】16m． 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【详解】试题分析：在Rt△ABC中，根据勾股定理先求出AB的长，然后计算AB+BC即可． 试题解析：由题意可知  BC⊥AC 在Rt△ABC中，∠C=900 AB2=BC2+AC2 =62+82 =100 ∴AB=10 ∴大树的高度为16m． 考点：勾股定理的应用 23．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上； (1)画出一个以为一边的，点E在小正方形的顶点上，且； (2)画出以为一腰的等腰，点F在小正方形的顶点上，且的面积为，连接，请直接写出线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解； 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、格点图中画等腰三角形 【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定． （1）以为直角边作等腰直角三角形即可得； （2）以为一腰的等腰，高为3，依据面积确定为5即可；由勾股定理可得线段的长． 【详解】（1）解：如图， ， ， ∴是以为腰的等腰直角三角形， ， 故即为所求； （2）如图，，， ， 的面积为，， 故高为3， 故即为所求； ． 24．“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一个重要性质．即：如图①，中，，为斜边上的中线，则解决下列问题： (1)如图①，△中，，为斜边上的中线，且．试求出的长度； (2)四边形中，，．如图②，点、分别是、的中点，．求证：； 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质求出的长，再利用勾股定理求出长即可； （2）延长、相交于点，连结、，利用题干的性质可求证在同一条直线上，且，，进行等量代换即可求证； 【详解】（1）解：∵，为斜边上的中线， ∴， ∵， ∴，在中， ∵，， ∴ ； （2）证明：延长、相交于点，连结、， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证：，， ∵， ∴， ∴， 又∵在的同一侧， ∴在同一条直线上， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质、平行线的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线． 学科网（北京）股份有限公司 $$