精品解析：四川省仁寿第一中学校南校区2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

2025届高三9月数学考试试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若随机变量，随机变量，则（ ） A. 0 B. C. D. 2 2. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 如图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率为，则从到这部分电源能通电的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知的展开式第3项的系数是60，则展开式所有项系数和是（ ） A. -1 B. 1 C. 64 D. 5. 下列命题不正确的是（ ） A. 正十二边形的对角线的条数是54； B. 身高各不相同六位同学排队，其中三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法； C. 有5个元素的集合的子集共有32个； D. 6名同学被邀请参加晚会（至少一人参加），其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，共有32种去法. 6. 某校团委对“学生性别和喜欢某视频是否有关”做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的一半，男生喜欢该视频的人数占男生人数的，女生喜欢该视频的人数占女生人数的，若依据小概率值的独立性检验，认为喜欢该视频和性别有关，则男生至少有（ ） 附： 0.050 0.010 3.841 6.635 . A. 12人 B. 6人 C. 10人 D. 18人 7. 已知0为函数的极小值点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知过点不可能作曲线的切线．对于满足上述条件的任意的b，函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，） A. B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C 当时， D. 当时， 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则的值域为 B. 若，则过原点有且仅有一条直线与曲线相切 C. 存在，使得有三个零点 D. 若，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 13. 已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是________． 14. 若，，，对任意，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围____________． 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某社区举办“闹元宵，猜灯谜”活动.甲、乙、丙三个家庭同时参加此活动．某一灯谜，已知甲家庭猜对的概率是，甲、丙两个家庭都猜错的概率是，乙、丙两个家庭都猜对的概率是．若各家庭是否猜对互不影响． （1）求乙、丙两个家庭各自猜对此灯谜的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭猜对此灯谜的概率． 16. 已知函数（实数，且），在区间上最大值为1，最小值为. （1）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围； （2）过点作函数图象的切线，求切线方程. 17. 台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得： 44 4.8 10 40.3 1.612 195 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? （2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? 18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 19. 已知函数，且在上的最小值为0. （1）求实数的取值范围； （2）设函数在区间上导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质. （i）求证：函数在上具有性质； （ii）记，其中，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三9月数学考试试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若随机变量，随机变量，则（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再利用两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即，就可以求出结果. 【详解】由可知：， 又因为，所以， ， 则， 故选：B. 2. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】, 故选：B 3. 如图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率为，则从到这部分电源能通电的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由并联和串联电路的性质先求出从A到B电路不能正常工作的概率，再由对立事件的概率求解. 【详解】从A到B电路不能正常工作的概率为 ， 所以从A到B电路能正常工作的概率为 . 故选：A. 【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4. 已知的展开式第3项的系数是60，则展开式所有项系数和是（ ） A. -1 B. 1 C. 64 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意求出的值，然后在中令即可求解. 【详解】由题意，注意到是正整数，所以解得， 则展开式所有项系数和是. 故选：B. 5. 下列命题不正确的是（ ） A. 正十二边形的对角线的条数是54； B. 身高各不相同六位同学排队，其中三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法； C. 有5个元素的集合的子集共有32个； D. 6名同学被邀请参加晚会（至少一人参加），其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，共有32种去法. 【答案】D 【解析】 【分析】利用去杂法可判断AD的正误，利用先选后排可判断B的正误，利用子集个数公式可判断C的正误. 【详解】对于A，正十二边形的对角线的条数为，故A正确； 对于B，身高各不相同的六位同学，三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站， 共有，故B正确； 对于C，有5个元素的集合的子集共有个即个，故C正确； 对于D，6名同学被邀请参加晚会，其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去， 甲乙共有中去法，而其余4位同学共有种， 故共有不同的去法种（去除都不去的一种），故D错误. 故选：D. 6. 某校团委对“学生性别和喜欢某视频是否有关”做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的一半，男生喜欢该视频的人数占男生人数的，女生喜欢该视频的人数占女生人数的，若依据小概率值的独立性检验，认为喜欢该视频和性别有关，则男生至少有（ ） 附： 0.050 0.010 3.841 6.635 . A. 12人 B. 6人 C. 10人 D. 18人 【答案】A 【解析】 【分析】设男生人数为，依题意可得列联表；根据表格中的数据，代入求观测值的公式，列不等式即可解出结论. 【详解】解：设被调查的男生人数为，则被调查的女生人数为，则列联表为 性别 付某视频的态度 合 喜欢 不喜欢 计 男生 女生 合计 根据小概率值的独立性检验， 认为喜欢某视频和性别有关，则， 即， 则， 又均为整数， 所以男生至少有12人. 故选：A. 7. 已知0为函数的极小值点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数导数，利用导函数的导数，结合分类讨论，判断其正负，得出的增减性，再结合，判断的符号，得出增减性，验证函数的极小值点为0即可. 【详解】，令的导函数为. 若，，在上单调递增，且， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，符合题意. 若，当时，，在上单调递增， 因为，，所以当时，， 时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意. 若，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，不符合题意. 若，当时，，， 可得时，，时，， 所以在递增，在上单调递减，不符合题意. 综上，的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题求解过程中，需要对再次求导，利用的导函数，分类讨论判断正负，得出的增减性，再结合，得出的正负，据此得出函数的单调性，验证0是否为函数极小值点,解题的关键要具备清晰的逻辑关系，把握，，三者关系. 8. 已知过点不可能作曲线的切线．对于满足上述条件的任意的b，函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知条件求得的取值范围，然后由进行转化，换元后通过构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】设是曲线上的任意一点，， 所以在点处的切线方程为， 代入点得，， 由于过点不可能作曲线的切线， 则直线与函数的图象没有公共点， ， 所以函数在区间上导数大于零，函数单调递增； 在区间上导数小于零，函数单调递减， 所以当时，函数取得极大值也即是最大值， 则． 对于满足此条件的任意的b，函数恒有两个不同的极值点， 等价于恒有两个不同的变号零点， 等价于方程有两个不同的解． 令，则，， 即直线与函数的图象有两个不同的交点． 记，则， 记，则， 所以在上单调递增． 令，得． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，上单调递增． 所以． 所以．因为，所以，所以． 即实数a的取值范围是． 故选：A 【点睛】求解切线有关问题，关键点有3个，第一个是要判断已知点是在曲线上还是在曲线外；第二个是切点的坐标，切点既在曲线上，也在切线上；第三个斜率，斜率可利用导数求得，也可以利用直线上两点坐标来求得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则的值域为 B. 若，则过原点有且仅有一条直线与曲线相切 C. 存在，使得有三个零点 D. 若，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据趋近于0时，函数值趋近于负无穷，当趋近于正无穷时，函数值趋近于正无穷得到A正确；B选项，求导，设出切点，得到切线方程，把点代入切线方程得，此方程只有一个根，故B正确；C选项，分与两种情况，推导出至多两个零点；D选项，先得到不合要求，满足要求，考虑，时，满足要求，故只需时，恒成立，若，，故不合要求，若，结合导函数得到函数单调性和最值，得到满足要求，得到答案. 【详解】A选项，若，则， 故， 当趋近于0时，趋近于负无穷，此时趋近于负无穷， 当趋近于正无穷时，和都趋近于正无穷，函数值趋近于正无穷， 因此函数的值域为R，A正确； B选项，函数定义域为，时，， 因为时，，故， 则，设切点坐标为，故， 则在处，的切线方程为， 把点代入切线方程得，， 化简得， 当时，，此方程无解， 当时，，此方程无解， 当时，，且函数此时为增函数， 故方程只有这1个解， 即过原点有且仅有一条切线和相切，B正确； C选项，，当时，，， 则，故单调递减，故在此区间上函数最多一个零点， 要想这个零点存在，需， 当时，，， 则，显然这是一个增函数， 要想函数零点尽可能多，则需存在一个使得成立， 此时在上单调递减，在上单调递增， 若在上存在一个零点，则， 故此时在上只存在一个零点，此时函数一共有两个零点，不合要求， 若在上不存在零点，则， 又在上单调递减，在上单调递增， 故此时函数最多有两个零点，不合要求， 综上，不存在，使得函数存在三个零点，C错误； D选项，由A知，当时，函数的值域为R，不满足， 当时，，满足要求， 当时，时，，满足要求， 故只需时，恒成立， 若，，故不合要求， 若，， 则，显然这是一个增函数， ， 函数单调递增，则， 故满足题意，又也满足要求， 因此，D正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 13. 已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】函数有3个零点，转化为与有3个交点，利用数形结合，以及导数的几何意义，即可求得实数a的取值范围. 【详解】，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值， 函数有3个零点，转化为方程有3个实数根，即与有3个交点，表示斜率的直线，如图，当直线过原点时，两个函数有3个交点，此时，当直线与相切时，设切点 ，解得：，， 如图，满足条件的的取值范围是 故答案为： 14. 若，，，对任意，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围____________． 【答案】 【解析】 【分析】先分类讨论的最小值，再分类讨论研究函数的单调性，根据题意得到关于的不等式，利用构造函数，使用导数研究不等式的解的情况，从而综合得出实数a的取值范围． 【详解】解：（1）①当时，，，，恒成立， 在上增函数，故当时， ②当时，， ， （I）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数， 故当时，，且此时 （II）当，即时，在时为负数，在时为正数， 所以在区间上为减函数，在上为增函数， 故当时，，且此时 （III）当，即时，在时为负数，所以在区间上为减函数， 故当时，． 综上所述，． 由于当趋近于时，的趋近于， ①当时，在上,，单调递增， 在的取值范围是[g, 由题意得， 解得； ②当时，. ，即时，在上减，在上增，当趋近于时，g的趋近于， 由题意得， 即(*) 设，， ，，所以单调递增, ∴，当且仅当时取等号. ∴由得,即， ∴时符合题意； ③当时在递增，在递减，在递增，当趋近于时，g的趋近于， 若时，由题意得 得（**）， 设，. 则，所以递增，且， 所以恒成立， ∴此时不等式（**）无解； 若当时，由题意得得， 即（***） 由于，∴,而， ∴不等式（***）无解． 综上，所求a的取值范围是． 故答案为： 【点睛】本题关键是先利用导数讨论函数的单调性，求得在不同情况下的最小值；然后结合二次函数的性质研究函数的单调性，利用数形结合思想得出关于的不等式，并注意利用构造函数方法，利用导数作为工具研究不等式时恒成立还是恒不成立. 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某社区举办“闹元宵，猜灯谜”活动.甲、乙、丙三个家庭同时参加此活动．某一灯谜，已知甲家庭猜对的概率是，甲、丙两个家庭都猜错的概率是，乙、丙两个家庭都猜对的概率是．若各家庭是否猜对互不影响． （1）求乙、丙两个家庭各自猜对此灯谜的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭猜对此灯谜的概率． 【答案】（1）甲家庭猜对的概率为，乙家庭猜对的概率为 （2） 【解析】 【分析】（1）记甲家庭猜对此灯谜为事件，乙家庭猜对此灯谜为事件，丙家庭猜对此灯谜为事件，根据相互独立事件的概率公式得到方程组，解得即可； （2）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【小问1详解】 记甲家庭猜对此灯谜为事件，乙家庭猜对此灯谜为事件，丙家庭猜对此灯谜为事件， 则，，， 又、、两两相互独立，所以， 解得，即甲家庭猜对的概率为，乙家庭猜对的概率为. 【小问2详解】 记甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭猜对此灯谜为事件， 则 . 16. 已知函数（为实数，且），在区间上最大值为1，最小值为. （1）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围； （2）过点作函数图象的切线，求切线方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据导数的符号判断函数的单调性，根据最值可求参数的值，从而可得，根据导数非负可求参数的取值范围； （2）设切点坐标为，则由题设条件可得关于切点横坐标的方程，求出其解后可得切线方程. 【小问1详解】 ， ，，； 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递增， ， ，，，，解得：，； 所以，； 在上为减函数，在上恒成立，， 又当时，，，即实数的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）得：， 设切点为，则切线斜率， 切线方程为：， 又切线过点，， 整理得到： ， 故或，解得：或； 当时，切线方程为：，即； 当时，切线方程为：，即. 综上其切线方程为或. 17. 台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得： 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? （2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? 【答案】（1）模型②的拟合程度更好 （2），13（百万辆） 【解析】 【分析】（1）分别求出两种模型的相关系数，再根据相关系数的几何意义即可得出结论； （2）先利用最小二乘法求出关于的回归方程，再令，即可得解. 【小问1详解】 设模型①和②的相关系数分别为，， 由题意可得：， ， 所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好； 【小问2详解】 因为， 又由，， 得， 所以，即回归方程为. 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. 18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】（1） （2）（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【解析】 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【小问1详解】 甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. 【小问2详解】 （i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论. 19. 已知函数，且在上的最小值为0. （1）求实数的取值范围； （2）设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质. （i）求证：函数在上具有性质； （ii）记，其中，求证：. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，可得在上单调递增，所以，再分和两种情况讨论，得到的单调性，进而求出的最小值，判断是否符合题意； （2）（i）要证函数在上具有性质，即证当时，，令，，求得可得在上的单调递增，所以，得证； （ii）由（i）得，当当时，，再利用导数证明两个不等式：①，其中，②，其中，在利用不等式放缩证明即可. 【小问1详解】 ，，， ，，令 ，等号不同时取， 所以当时，，在上单调递增， ①若，即，，在上单调递增， 所以在上的最小值为，符合题意. ②若，即，此时， ， 又函数在的图象不间断， 据零点存在性定理可知，存在，使得， 且当时，，在上单调递减， 所以，与题意矛盾，舍去. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问2详解】 （i）由（1）可知，当时，. 要证函数在上具有性质. 即证：当时，. 即证：当时，. 令，，则， 即，，， 所以在上单调递增，. 即当时，，得证. （ii）法一：由（i）得，当时，， 所以当时，. 下面先证明两个不等式：①，其中；②，其中. ①令，，则，在上单调递增，所以，即当时，. ②令，，则， 所以在上单调递增，故， 即当时，，故，得. 据不等式②可知，当时，， 所以当时， 结合不等式①可得，当时， . 所以当时， 当，时，，有. 所以 又， 所以 法二：要证：. 显然，当时，，结论成立. 只要证：当，时，. 即证：当，时，. 令，. 所以，， 所以，在上单调递减， 所以，在上单调递增， 所以，在上单调递增， 所以，即当时，. 所以当，时，，有， 所以当，时，. 所以 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$