精品解析：山西省晋中市平遥县部分高中学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

高二数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.2． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，已知点，则线般的中点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设线般的中点坐标为，则，由空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】设线般的中点坐标为， 由可得， 所以可得，所以线般的中点坐标是， 故选：A. 2. 已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据与的夹角为钝角，所以且与不共线，列出不等式组，即可解出． 【详解】由题知，且与不共线，即 ， 解得且． 故选：B． 【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角问题，解题关键是向量夹角大小与数量积符号之间的等价转化． 3. 若是平面的一个法向量，且与平面都平行，则向量等于（　　） A. （） B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，均与法向量垂直，利用空间向量垂直的坐标表示，列出方程组求解即可． 【详解】因为是平面的一个法向量，且与平面都平行， 则，即， 解得， 所以． 故选：D． 4. 已知点，，则经过线段AB的中点，且与直线平行的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出线段AB中点的坐标，根据直线间的平行关系设所求直线方程，代入所过点坐标求得参数，即得答案. 【详解】由点，，得线段AB中点的坐标为， 故过点且与直线平行的直线的方程可设为， 代入点，可得，故所求直线方程为， 故选：B 5. 若直线：的倾斜角为，则“”是“不是钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据一般方程的斜率公式，结合特殊倾斜角情况和充分与必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则的斜率，则不是钝角. 若或，则. 故“”是“不是钝角”的充分不必要条件. 故选：A 6. 已知点，，，若A是直线：和：的公共点，则直线BC的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件说明点与均满足方程，即可得答案. 【详解】由点在：上可知，， 同理由点在：上可知， 故点与均满足方程， 由于两点确定一条直线，因此直线BC的方程为， 故选：B 7. 如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为菱形纸片沿对角线折成直二面角， 所以平面平面， 因为是菱形，是的中点， 所以，， 而平面平面，平面， 所以平面，而平面， 所以， 以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴， 为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 设平面的法向量为， 则得取，则， 得平面的一个法向量为， 易得平面的一个法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 故选：A 8. 正方体的棱长为2，P是空间内的动点，且，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点M，连接，取的中点N，连接，则由已知条件可得动点P的轨迹为正方体的外接球，然后由向量的运算可得，从而可求得结果. 【详解】取的中点M，连接， 则，则，即， 故动点P的轨迹为以M为球心，为半径的球. 由正方体的棱长为2，可知正方体外接球的半径为3， 即动点P的轨迹为正方体的外接球. 取的中点N，连接， 则 . 由题可知，，则，， 则. 所以的最小值为， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间中三点则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 在上投影向量的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算，可得答案. 【详解】对于A，由，则，故A正确； 对于B，由，，因为，所以两向量显然不平行，故B错误； 对于C，由，，则，故C正确； 对于D，在上投影向量的长度为，故D正确. 故选：ACD. 10. 直线l过点，倾斜角为，且，则直线l经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由二倍角的正切公式求斜率，再由点斜式得到直线的方程，代入点的坐标验证可得. 【详解】因为，所以， 则直线l斜率为，又直线l过点， 所以直线l方程为，即. 对方程， 令，得，故A正确； 令，得，故B正确； 令，得，故C正确； 将点代入方程左式得，故D错误. 故选：ABC. 11. 直线：与：在同一平面直角坐标系内的位置可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A选项，利用两条直线斜率和截距的大小关系进行判定；对于B选项当时，符合题意；对于C选项，当或时，符合题意；对于D选项，根据一条直线斜率不存在即可判断. 【详解】对于A选项，两条直线的斜率和截距均大于0，且其中一条直线的斜率和截距均大于另一条直线的斜率和截距，不符合题意，A不正确． 对于B选项，当时，符合题意，B正确． 对于C选项，当或时，符合题意，C正确． 对于D选项，其中一条直线斜率不存在，不符合题意，D不正确． 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，O为底面中心，为中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若，则与底面所成角的正弦值的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先建立坐标系，设出P点坐标，求出，利用，求出OP的最大值和最小值，从而求解. 【详解】由题意，建立空间直角坐标系，如图所示， 面，则即为与底面所成角 则 设， ，， 由，即 得，， 则 则OP的最小值为，最大值为1， PM的最小值为，最大值为， 所以与底面所成角的正弦值的最大值为，最小值为， 故答案为： 13. 如图，已知二面角的平面角大小为，四边形，均是边长为4的正方形，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由，两边平方，利用数量积运算性质计算即可. 【详解】因为， 所以 又二面角的平面角大小为， 四边形，均为边长为4的正方形， 所以， ， ， 所以，则． 故答案为： 14. 某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米．若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用直线方程得出，，再由面积公式结合二次函数的性质求解. 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，娱乐健身区域为矩形． 由题可知，直线的方程为，直线的方程为． 设，其中，则，， 则，， 四边形的面积． 当时，取得最大值． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，．是否存在点D，使四边形ABDC为等腰梯形，且?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在，理由见解析 【解析】 【分析】假设存在点满足条件， 得出向量，的坐标，由四边形是等腰梯形，且，且，求出的值，再检验即可得. 【详解】由已知得，，则三点不共线. 假设存在点满足条件， 则，． 因为四边形是等腰梯形，且，所以． 即 所以， 解得或． 当，，时， ，且三点不共线， 故此时四边形为平行四边形，不合题意； 当，，时，点与点重合，不合题意． 故假设不成立，即不存在满足条件的点． 16. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． （1）求A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等体积法运算即可得解； （2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h， 则， 解得， 所以点A到平面的距离为； 【小问2详解】 取的中点E,连接AE,如图，因为，所以, 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面，平面可得，， 又平面且相交，所以平面， 所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由（1）得，所以，，所以， 则,所以的中点， 则，, 设平面的一个法向量，则， 可取， 设平面的一个法向量，则， 可取， 则， 所以二面角的正弦值为. 17. 已知直线：. （1）证明无论为何值，直线经过定点，并求出点的坐标； （2）若斜率大于0，且经过（1）中点的直线与轴，轴分别交于，两点，为坐标原点，求面积的最小值. 【答案】（1）证明见解析，点的坐标为 （2）4 【解析】 【分析】（1）利用直线系方程即可证明，运算即可得解. （2）利用直线方程、三角形面积公式、基本不等式运算即可得解. 【小问1详解】 解：证明：将直线的方程转化为， 令，解得， 故无论为何值，直线经过定点，且点的坐标为. 【小问2详解】 解：由题意可设该直线的方程为， 令，得；令，得， 因为是直角三角形， 所以的面积 ， 当且仅当即时，等号成立， 故面积的最小值为4. 18. 已知菱形中，，，边所在直线过点．求： （1）边所在直线的方程； （2）对角线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用互相平行的直线斜率相等，利用点斜式即可得直线方程； （2）由互相垂直的直线斜率间关系，以及中点，利用点斜式可得直线方程. 【小问1详解】 由已知得直线， 又， 边所在直线的方程为：， 即 【小问2详解】 由已知得与互相垂直平分， 又，且中点为， ， 所在直线方程为：， 即. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E为BC的中点． （1）证明：． （2）若二面角的平面角为，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取AD的中点F，可证得，，从而平面PEF，根据线面垂直的性质可得结论； （2）过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，可得平面，以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系．写出点的坐标，求出平面PAB的法向量，可得直线DG与平面PAB所成的角的正弦值的表达式，结合换元法及二次函数的性质得出答案. 【小问1详解】 如图，取AD的中点F，连接PF，EF． ∵底面ABCD是正方形，，∴，． ∵，平面PEF，∴平面PEF． 又∵平面PEF，∴． 【小问2详解】 由（1）可知，二面角的平面角为，且为， 过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O， ∵平面PEF，平面PEF，∴， ∵平面，∴平面， 以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 易得，，，， 则，，，，， ，，，， 设平面PAB的法向量为，则 得取，则． 设，，则， 设直线DG与平面PAB所成的角为， 则， 令，则，． 当时，，； 当时，， 当，即，时，取得最大值，且最大值为，此时． 所以直线DG与平面PAB所成角的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.2． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，已知点，则线般的中点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若是平面的一个法向量，且与平面都平行，则向量等于（　　） A. （） B. C. D. 4. 已知点，，则经过线段AB的中点，且与直线平行的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线：的倾斜角为，则“”是“不是钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知点，，，若A是直线：和：的公共点，则直线BC的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 正方体的棱长为2，P是空间内的动点，且，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间中三点则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 在上投影向量的长度为 10. 直线l过点，倾斜角为，且，则直线l经过点（ ） A. B. C. D. 11. 直线：与：在同一平面直角坐标系内的位置可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，O为底面中心，为中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若，则与底面所成角的正弦值的取值范围是______. 13. 如图，已知二面角的平面角大小为，四边形，均是边长为4的正方形，则________． 14. 某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米．若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，．是否存在点D，使四边形ABDC为等腰梯形，且?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 16. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． （1）求A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 17. 已知直线：. （1）证明无论为何值，直线经过定点，并求出点的坐标； （2）若斜率大于0，且经过（1）中点的直线与轴，轴分别交于，两点，为坐标原点，求面积的最小值. 18. 已知菱形中，，，边所在直线过点．求： （1）边所在直线的方程； （2）对角线所在直线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E为BC的中点． （1）证明：． （2）若二面角的平面角为，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $