专题03二次根式及其运算（6基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（陕西专用）

专题03 二次根式及其运算 二次根式的定义 1. （21-22八年级下·陕西安康·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）要使二次根式有意义，则的值不可以取（） A．4 B．3 C．2 D．6 二次根式的性质 1. （23-24八年级下·陕西安康·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2. （22-23八年级上·陕西西安·期中）化简的结果是（　　） A．3﹣π B．﹣3﹣π C．π﹣3 D．π+3 3. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）化简： ． 4. （22-23八年级上·陕西西安·期中）化简： ； ； ； ； ； ； 5. （22-23八年级上·陕西榆林·期中）已知是整数，则整数n的值可以是（  ） A． B． C． D．0 6. （23-24八年级上·陕西西安·期中）已知在数轴上的对应点如图所示，化简：      最简二次根式与同类二次根式 1. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是(      ) A． B． C． D． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3. （23-24八年级下·陕西渭南·期中）若二次根式与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．3 4. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）如果最简二次根式与能够合并，求的值． 二次根式的混合计算 1. （23-24八年级下·陕西安康·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2. （21-22八年级上·陕西咸阳·期中）计算：． 3. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）计算 (1) (2) 4. （22-23八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2) 5. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）计算：． 6. （23-24八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)． 7. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 8. （23-24八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)． 9. （23-24八年级上·陕西西安·期中）计算：． 10. （23-24八年级上·陕西西安·期中）计算： (1) (2) 11. （23-24八年级上·陕西西安·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 二次根式的大小比较 1. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）比较大小： （填“”、“”、“”）． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 3. （23-24八年级上·陕西渭南·期中）比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 二次根式的简单应用 1. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为，现已知的三边长分别为1，，，则的面积为 ． 2. （19-20八年级上·陕西汉中·期中）王师傅有一根长的钢材，他想将这段钢材锯断后焊成三个面积分别为，的正方形铁框，问王师傅的钢材够用吗?请通过计算说明理由． 3. （23-24八年级下·陕西安康·期中）如图，一块正方形木料的面积为根据实际需求，木工要在这块木料上挖去以边为直径的半圆，求剩下的木料的面积．（，结果精确到0.1） 4. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）如图，从正方形中裁去两个面积分别为和的正方形和正方形． (1)正方形的边长为______，正方形的边长为______； (2)求空白部分的总面积． 5. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期中）小明家装修电视背景墙长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的大理石图案（图中阴影部分），除去大理石图案部分，其他部分贴壁布；若大理石元，壁布元，不计材料损耗，则装修电视墙共花费多少元．（结果化为最简二次根式） 6. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）【素材引入】若一个三角形的三边长分别为，，，记，即为的周长的一半，则（表示的面积），把这个公式称为海伦公式． (1)现有一块三角形空地A，它的三边长分别为，，，求这块地的面积； (2)有一块空地的面积为，则空地A的面积是空地面积的几倍． 7. （22-23八年级上·陕西咸阳·期中）如图是一块正方形纸片．    (1)如图1，若正方形纸片的面积为，则此正方形的边长的长为 ，对角线的长为 ； (2)如图2，若正方形纸片的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？请说明理由． 8. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，请根据实数的相关知识，解决下列问题： (1)如图①，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x，求的值； (2)如图②，在一个长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，求图中阴影部分的面积． 根据已知条件化简求值 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）已知，都是实数，且，则 ． 2. （22-23八年级上·陕西西安·期中）求代数式的值，其中．如图，小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题． (1)___________的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期中）已知，求代数式的值． 4. （22-23八年级上·陕西咸阳·期中）已知，求的值． 5. （21-22八年级上·陕西西安·期中）已知a＝2＋，b＝2﹣，求下列式子的值： （1）a2﹣3ab＋b2； （2）（a＋1）（b＋1）． 6. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）阅读下列材料，解答提出的问题： 原题：已知 求 的值．佳佳先将 利用完全平方公式转化为： ∵ ∴，，∴原式 (1)若 求： 的值； (2)若 求： 的值． 7. （22-23八年级上·陕西咸阳·期末）阅读理解：已知，求代数式的值．佳佳的做法是：根据得，，得．把作为整体代入，得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 复合二次根式的化简 1. （2021-2022陕西省渭南市潼关县·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使，，使得，，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，，由于， 即， ∴ （1）填空：= ，= ； （2）化简：． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）阅读材料： 材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,如： 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式, 利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常 用到． 如： ∵，∴，即 ∴的最小值为 阅读上述材料解决下面问题： （1） ， ； （2）求的最值； （3）已知，求的最值． 分母有理化 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）在二次根式的计算中，经常会出现，这样的式子，其实可以将其进一步化简．例如：；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 根据以上化简方法，解答下列问题： (1)化简：______； (2)请通过计算比较与的大小； (3)计算． 2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）阅读材料： 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式. 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含二次根式，这种变形叫做分母有理化． 例如：， ． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式为_______，的有理化因式为______；（均写出一个即可） (2)将下列各式分母有理化（要求：写出变形过程）： ①； ②； (3) 计算：的结果． 3. （22-23八年级上·陕西咸阳·期中）先观察下列的计算，再完成练习． (1)； (2)； (3)． 请你分析、归纳上面的解题方式，解决如下问题： （1）化简：； （2）已知n是正整数，求的值： （3）计算：． 4. （21-22八年级上·陕西西安·期中）像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出以下代数式的一个有理化因式：　　，　　； (2)化简：； (3)当时，直接写出代数式的最大值：　　． 5. （19-20八年级上·陕西西安·期中）阅读材料：像（+）（）＝3，•＝a（a≥0），（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0），……，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式例如：与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；； 解答下列问题： （1）3﹣与　 　互为有理化因式，将分母有理化得　 　． （2）计算：2﹣； （3）观察下面的变形规律并解决问题． ①＝﹣1，＝，＝，…，若n为正整数，请你猜想：＝　 　． ②计算：（+++…+）×（+1）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次根式及其运算 二次根式的定义 1. （21-22八年级下·陕西安康·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次根式的值 【分析】根据二次根式的定义即可得出正确选项． 【详解】A、是三次根式，不合题意； B、的被开方数是负数，不合题意； C、是二次根式，符合题意； D、中，当时，不是二次根式，不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是本题的关键． 2. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）要使二次根式有意义，则的值不可以取（） A．4 B．3 C．2 D．6 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案． 【详解】解：要使二次根式有意义，则， 解得：，故的值不可以取2． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 二次根式的性质 1. （23-24八年级下·陕西安康·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2. （22-23八年级上·陕西西安·期中）化简的结果是（　　） A．3﹣π B．﹣3﹣π C．π﹣3 D．π+3 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】直接利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟知是解题的关键． 3. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）化简： ． 【答案】 【知识点】分母有理化、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先根据商的算术平方根等于算术平方根的商计算，再分母有理数化即可． 【详解】解： 故答案为：． 4. （22-23八年级上·陕西西安·期中）化简： ； ； ； ； ； ； 【答案】 7 【知识点】二次根式的除法、二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简、求一个数的立方根 【分析】根据二次根式的性质，立方根和二次根式的乘除法等计算法则求解即可． 【详解】解：； ； ； ； ； ； 故答案为：7；；；；；． 【点睛】本题主要考查了化简二次根式，二次根式的乘除法计算，立方根，熟知相关计算法则是解题的关键． 5. （22-23八年级上·陕西榆林·期中）已知是整数，则整数n的值可以是（  ） A． B． C． D．0 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的定义以及性质，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件， 先求出n的取值范围，再根据已知条件得出答案即可． 【详解】解：根据题意可得， 解得：， ∴A、B、C不符合题意；     D、当时，，是整数，故D符合题意．     故选：D． 6. （23-24八年级上·陕西西安·期中）已知在数轴上的对应点如图所示，化简：      【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、求一个数的立方根、化简绝对值、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】由数轴可得出a ，b ，c的大小关系，可得，可得，，再化简即可． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值，化简二次根式，立方根的含义，整式的加减运算的应用，熟练的化简绝对值是解本题的关键． 最简二次根式与同类二次根式 1. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是(      ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、中被开方数含有开的尽方的因数4，不是最简二次根式，不符合题意； D、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简、最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握：“被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式”，根据最简二次根式的定义依次判断即可． 【详解】解：A．不是最简二次根式，故A不符合题意； B．是最简二次根式，故B符合题意； C．不是最简二次根式，故C不符合题意； D．不是最简二次根式，故D不符合题意． 故选：B． 3. （23-24八年级下·陕西渭南·期中）若二次根式与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】C 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式．先将化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可得． 【详解】解：， ∵即与最简二次根式能合并， ∴， 解得， 故选C． 4. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）如果最简二次根式与能够合并，求的值． 【答案】 【知识点】同类二次根式 【分析】利用同类二次根式的概念即可求出． 【详解】∵两个最简二次根式只有同类二次根式才能合并， ∴与是同类二次根式， ∴， 解得． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，掌握同类二次根式的概念为关键． 二次根式的混合计算 1. （23-24八年级下·陕西安康·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的除法、二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质化简，根据二次根式的加减乘除的运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意， 故选：B． 2. （21-22八年级上·陕西咸阳·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练运用相关运算法则是解题的关键．先化简成最简二次根式，再去括号后，合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 3. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1)0 (2)3 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先计算二次根式乘法，再计算加减法即可． 【详解】（1）解；原式 ； （2）解：原式 ． 4. （22-23八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）利用二次根式的性质和混合运算法则求解即可； （2）先利用完全平方公式、绝对值的性质和二次根式的性质化简各数，再加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟记完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质和混合运算法则是解答的关键． 5. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算．利用二次根式的性质化简，先算乘除，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解： ． 6. （23-24八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简各式，然后计算加减即可； （2）先化简各式，然后计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、运用平方差公式进行运算、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了平方差公式，二次根式的乘除，算术平方根等知识．熟练掌握平方差公式，二次根式的乘除，算术平方根是解题的关键． 利用平方差公式计算二次根式的乘法，根据二次根式的除法计算，求算术平方根，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 8. （23-24八年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）先化简各二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算； （2）先利用完全平方公式和平方差公式展开，再进一步计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9. （23-24八年级上·陕西西安·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法是解本题的关键，选利用平方差公式计算，然后把化简后合并即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 10. （23-24八年级上·陕西西安·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的乘除混合运算、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算，对式子进行化简，计算是解答本题的关键． （1）先计算二次根式的除法，二次根式的乘法，然后化成最简形式，合并得到最终结果； （2）先利用平方差公式和完全平方公式，将两个括号展开，再计算出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 11. （23-24八年级上·陕西西安·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算 【分析】（1）直接利用二次根式的性质计算得出答案； （2）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； （3）直接利用二次根式的乘法运算法则化简计算得出答案； （4）直接利用乘法公式化简，计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 二次根式的大小比较 1. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）比较大小： （填“”、“”、“”）． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查比较二次根式的大小，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的方法是解本题的关键． 【详解】解：∵，而， ∴， 故答案为：． 3. （23-24八年级上·陕西渭南·期中）比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】此题主要考查了二次根式大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，被开方数大的数就大． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 二次根式的简单应用 1. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为，现已知的三边长分别为1，，，则的面积为 ． 【答案】3 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用．把a、b、c的值代入所给公式即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：3． 2. （19-20八年级上·陕西汉中·期中）王师傅有一根长的钢材，他想将这段钢材锯断后焊成三个面积分别为，的正方形铁框，问王师傅的钢材够用吗?请通过计算说明理由． 【答案】不够用，理由见详解. 【知识点】求一个数的算术平方根、二次根式的应用 【分析】根据正方形的面积公式求出各边的长，再根据每个正方形有4条边，从而求出每个正方形所耗费的钢材，再把三个耗费的钢材加起来，和40米进行比较即可． 【详解】解：∵正方形的面积是3m2， ∴它的边长是， ∴所耗费的钢材是（m）， ∵正方形的面积是12m2， ∴它的边长是， ∴所耗费的钢材是：（m）， ∵正方形的面积是48m2， ∴它的边长是， ∴所耗费的钢材是：（m）， ∴所耗费的钢材的总长度是：（m）， ∵，， ∴王师傅的钢材不够用． 【点睛】此题考查了二次根式的应用，关键是根据正方形的面积公式求出各边的长，每个正方形有4条边，求出每个正方形耗费的钢材． 3. （23-24八年级下·陕西安康·期中）如图，一块正方形木料的面积为根据实际需求，木工要在这块木料上挖去以边为直径的半圆，求剩下的木料的面积．（，结果精确到0.1） 【答案】 【知识点】求一个数的近似数、二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用，先求出正方形的边长，进一步得到半圆的半径，再用正方形的面积减去半圆的面积即可求解． 【详解】解：根据题意，得正方形的边长为，则半圆的半径为， 则剩下的木料的面积为， 答：剩下的木料的面积约为． 4. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）如图，从正方形中裁去两个面积分别为和的正方形和正方形． (1)正方形的边长为______，正方形的边长为______； (2)求空白部分的总面积． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】二次根式的应用 【分析】（）根据正方形的面积计算公式即可求解； （）根据空白部分的总面积长方形的面积长方形的面积，进行计算即可求解； 本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵正方形和正方形的面积分别为和， ∴正方形的边长为， 正方形的边长为， 故答案为：，； （2）解：空白部分的总面积长方形的面积长方形的面积 ， ， ， ∴空白部分的总面积为． 5. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期中）小明家装修电视背景墙长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的大理石图案（图中阴影部分），除去大理石图案部分，其他部分贴壁布；若大理石元，壁布元，不计材料损耗，则装修电视墙共花费多少元．（结果化为最简二次根式） 【答案】总费用为元 【知识点】二次根式的应用、二次根式的乘法、二次根式的混合运算 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， 总费用（元）， 答：总费用为元． 【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． 6. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）【素材引入】若一个三角形的三边长分别为，，，记，即为的周长的一半，则（表示的面积），把这个公式称为海伦公式． (1)现有一块三角形空地A，它的三边长分别为，，，求这块地的面积； (2)有一块空地的面积为，则空地A的面积是空地面积的几倍． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的应用 【分析】（1）由海伦公式计算即可； （2）用空地A的面积除以空地面积求解即可． 【详解】（1）解：， ∴三角形空地A的面积为； （2）解：． ∴空地A的面积是空地面积的倍． 【点睛】本题属于二次根式应用类型的题，解题的关键是掌握二次根式的性质和正确的代入公式并进行计算． 7. （22-23八年级上·陕西咸阳·期中）如图是一块正方形纸片．    (1)如图1，若正方形纸片的面积为，则此正方形的边长的长为 ，对角线的长为 ； (2)如图2，若正方形纸片的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？请说明理由． 【答案】(1)，2 (2)他不能裁出，理由见解析 【知识点】算术平方根的实际应用、二次根式的应用、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由正方形面积，确定出正方形边长，即可利用勾股定理确定正方形的对角线长； （2）利用方程思想求出长方形的长边，然后与正方形边长比较大小即可． 【详解】（1）解：∵正方形纸片的面积为， ∴此正方形的边长的长为 ∴正方形的对角线长为：， 故答案为：，2． （2）解：他不能裁出，理由如下： 根据题意设长方形的长和宽分别为和． ∴， 解得：， ∴长方形的长为． ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴他不能裁出． 【点睛】本题考查了二次根式和算术平方根在长方形和正方形面积中的应用，勾股定理，灵活的进行二次根式和算术计算及无理数大小比较是解题的关键． 8. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，请根据实数的相关知识，解决下列问题： (1)如图①，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x，求的值； (2)如图②，在一个长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式的应用 【分析】本题考查了数轴上的两点距离，二次根式混合运算及应用； （1）由数轴上的两点距离得，可得，求出代入计算即可求解； （2）求出阴影部分的长和宽，由二次根式乘法法则进行计算即可求解； 能熟练进行二次根式混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点A，B分别表示1，， ， ，， ， 解得：， ； （2）解：根据题意得 阴影部分的长为 （） 宽为，                               ∴阴影部分的面积为 （）． 根据已知条件化简求值 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）已知，都是实数，且，则 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，先根据二次根式有意义的条件得到，解不等式组得到，进而得到，代入代数式计算即可求值，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 2. （22-23八年级上·陕西西安·期中）求代数式的值，其中．如图，小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题． (1)___________的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小亮 (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简 【分析】(1)根据二次根式的性质，完全平方公式进行化简即可． （2）先化简，代入计算即可． 【详解】（1）因为 =， 因为， 所以， 所以原式=， 所以小亮的解法错误， 故答案为：小亮． （2）因为 =， 因为， 所以， 所以原式=， 当时， 原式=． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，绝对值的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．把代入，再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 4. （22-23八年级上·陕西咸阳·期中）已知，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】分别求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确求出的值是解题的关键． 5. （21-22八年级上·陕西西安·期中）已知a＝2＋，b＝2﹣，求下列式子的值： （1）a2﹣3ab＋b2； （2）（a＋1）（b＋1）． 【答案】（1）26；（2）3． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】（1）根据完全平方公式的形式对a2﹣3ab＋b2变形为，然后代入求值即可； （2）化简（a＋1）（b＋1）得，然后代入求值即可． 【详解】解：（1）a2﹣3ab＋b2 =， ∵a＝2＋，b＝2﹣，代入得， 原式= ； （2）（a＋1）（b＋1）=， ∵a＝2＋，b＝2﹣，代入得， 原式= ． 【点睛】此题考查了二次根式代数求值，解题的关键是先根据整式的乘法运算法则化简原式． 6. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）阅读下列材料，解答提出的问题： 原题：已知 求 的值．佳佳先将 利用完全平方公式转化为： ∵ ∴，，∴原式 (1)若 求： 的值； (2)若 求： 的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、完全平方公式分解因式、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值， （1）利用完全平方公式将所求代数式转化后直接代入即可； （2）将所求代数式利用完全平方公式和提取公因式后整体代入即可； 【详解】（1）原式， （2）∵， ∴原式 7. （22-23八年级上·陕西咸阳·期末）阅读理解：已知，求代数式的值．佳佳的做法是：根据得，，得．把作为整体代入，得．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 请你用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查代数式求值，二次根式的运算．理解并掌握题干中的解题方法，利用整体代入法求解，是解题的关键． （1）根据，得到，进而得到，整体代入求值即可； （2）根据，推出，利用整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 复合二次根式的化简 1. （2021-2022陕西省渭南市潼关县·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使，，使得，，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，，由于， 即， ∴ （1）填空：= ，= ； （2）化简：． 【答案】（1），；（2） 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】（1）（2）由条件对式子进行变形，利用完全平方公式对＝|a| 的形式化简后即可得出结论． 【详解】解：（1） = =； = =； 故答案为：，； （2）原式= = = = 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方根式的运用及二次根式性质的运用． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）阅读材料： 材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,如： 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式, 利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常 用到． 如： ∵，∴，即 ∴的最小值为 阅读上述材料解决下面问题： （1） ， ； （2）求的最值； （3）已知，求的最值． 【答案】（1）；（2）-；（3）-4. 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】（1）利用完全平方公式及二次根式的性质即可求解； （2）利用完全平方公式配方即可求解； （3）先化简x,再代入代数式化简，最后求出其最值即可求解. 【详解】（1），； 故答案为：； （2）∵==≥-1 ∴的最小值为-； （3）∵= ∴ = = =≤-4 故的最大值为-4. 【点睛】此题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式及配方法的应用. 分母有理化 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）在二次根式的计算中，经常会出现，这样的式子，其实可以将其进一步化简．例如：；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 根据以上化简方法，解答下列问题： (1)化简：______； (2)请通过计算比较与的大小； (3)计算． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键． （1）利用分母有理化，化简即可求解； （2）利用分母有理化，比较与的大小，即可求解； （3）利用分母有理化，化简即可求解． 【详解】（1）解： ； 故答案为：2； （2）解：因为，， 且， 所以， 所以； （3）解： ． 2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）阅读材料： 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式. 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含二次根式，这种变形叫做分母有理化． 例如：， ． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式为_______，的有理化因式为______；（均写出一个即可） (2)将下列各式分母有理化（要求：写出变形过程）： ①； ②； (3)计算：的结果． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、运用平方差公式进行运算 【分析】（1）根据题目中的材料，可以直接写出的有理化因式和的有理化因式； （2）①分子分母同时乘，然后化简即可； ②分子分母同时乘，然后化简即可； （3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：由题意可得，的有理化因式为，的有理化因式为， 故答案为：；． （2）解：①； ②； （3）解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法，可以找出相应的有理化因式． 3. （22-23八年级上·陕西咸阳·期中）先观察下列的计算，再完成练习． (1)； (2)； (3)． 请你分析、归纳上面的解题方式，解决如下问题： （1）化简：； （2）已知n是正整数，求的值： （3）计算：． 【答案】(1) (2) (3)2022 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】 （1）根据分母有理数方法化简即可； （2）由题干中的例题过程归纳结果即可； （3）利用（2）中归纳的结果，进行化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【点睛】题目主要考查二次根式的化简求值及分母有理数，熟练掌握运算法则是解题关键． 4. （21-22八年级上·陕西西安·期中）像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出以下代数式的一个有理化因式：　　，　　； (2)化简：； (3)当时，直接写出代数式的最大值：　　． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、分母有理化 【分析】（1）根据有理化因式的定义和平方差公式求解； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）利用有理化因式得到，由于当时，有最小值，所以有最大值． 【详解】（1）解： 的有理化因式为； 的的有理化因式为； 故答案为；； （2）解：原式 ； （3）解：， ， 当时，有最小值，最小值为， 此时的值最大，最大值为， 即代数式的最大值为； 故答案为． 【点睛】本题考查新定义，二次根式乘法，二次根式化简，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 5. （19-20八年级上·陕西西安·期中）阅读材料：像（+）（）＝3，•＝a（a≥0），（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0），……，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式例如：与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；； 解答下列问题： （1）3﹣与　 　互为有理化因式，将分母有理化得　 　． （2）计算：2﹣； （3）观察下面的变形规律并解决问题． ①＝﹣1，＝，＝，…，若n为正整数，请你猜想：＝　 　． ②计算：（+++…+）×（+1）． 【答案】（1）3+，；（2）2﹣；（3）①﹣；②2019． 【知识点】分母有理化、复合二次根式的化简 【分析】（1）根据互为有理化因式的式子特征即可写出3﹣的有理化因式，将分子、分母同时乘即可； （2）将该式分母有理化，然后化简即可； （3）①根据规律即可求出； ②根据以上规律化简并求值即可. 【详解】解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，将分母有理化得； （2）原式＝2﹣﹣2＝2﹣； （3）①＝﹣； ②原式＝（﹣1++…+）（+1） ＝（﹣1）（+1） ＝2020﹣1 ＝2019． 【点睛】此题考查的是二次根式的混合运算，掌握分母有理化因式的定义和将分母有理化是解决此题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 $$