专题02实数及其运算（8基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（陕西专用）

专题02 实数及其运算 平方根、算数平方根、立方根的定义 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）36的算术平方根为（    ） A． B． C．6 D．3 2. （21-22七年级下·广西百色·期中）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0 3. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期中）下列语句中，错误的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．是的一个平方根 D．9的平方根是 4. （23-24八年级上·陕西西安·期中）9的平方根是 ；的算术平方根是 ； ． 5. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）计算： ； ． 根据条件求代数式的平方根、立方根 1. （23-24八年级上·陕西·期中）已知立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．求的平方根． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）已知的平方根是的立方根是，求的算术平方根． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期中）已知：的平方根是与，且的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的立方根． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期中）一个正数的两个平方根是与，求这个正数． 5. （23-24八年级上·陕西西安·期中）已知正数的两个平方根分别是和 (1)求代数式的值； (2)当时，求的算术平方根． 实数及其相关性质 1. （22-23八年级上·陕西咸阳·期中）在下列实数中，，，0，，3.1415926，，2.121121112……（每两个2之间1的数目每次多一个）中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）下列各数中、是无理数的是（    ） A．面积为16的正方形的边长 B．体积为27的正方体的棱长 C．两直角边分别为2和3的直角三角形斜边长 D．长为4宽为3的长方形的对角线长 3. （23-24八年级上·陕西西安·期中）的相反数是（    ） A．2 B． C． D． 4. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．的绝对值是 B．的倒数是 C．的相反数是 D．4的平方根为 5. （22-23八年级上·陕西西安·期中）的相反数是 ；的绝对值是 ； 6. （23-24八年级上·陕西西安·期中）把下列各数填入相应的集合内： ，0，，，，0.5252252225⋯（相邻两个5之间2的个数逐次加1）． (1)有理数集合：{      …} (2)无理数集合：{      …} (3)负实数集合：{      …}． 算数平方根的估算与实数的大小比较 1. （21-22八年级上·陕西西安·期中）已知，，那么约等于（　　） A． B． C． D． 2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）比较大小： 4（填“>”“<”或“=”）． 3. （22-23八年级上·陕西西安·期中）比较下列各组数的大小： ； 5； ； ； 4. （23-24八年级上·陕西西安·期中）整数a，满足，则 ． 5. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）若，且为整数，则整数的立方根为 ． 算术平方根的整数部分及小数部分 1. （22-23八年级上·陕西咸阳·期中）若的整数部分为 ． 2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分．因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，∴的整数部分为，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的整数部分为，的整数部分为，求的立方根； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期中）阅读下面的文字，解答问题： 【阅读材料】现规定：分别用和表示实数的整数部分和小数部分．例如：实数的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． (1)________________，________________． (2)如果，求的算术平方根． 4. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，王英举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖王英真聪明，肯定了她的说法．现请你根据王英的说法解答下列问题： (1)请表示出的小数部分； (2)若a为的小数部分，b为的整数部分，求的值； (3)已知，其中x是一个正整数，，求的值． 实数的混合运算 1. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）计算： 2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）计算：． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期中）计算：． 4. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期中）计算： 5. （21-22八年级上·陕西宝鸡·期中）计算 （1）     （2） 算数平方根、立方根的实际应用 1. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）物体自由下落的高度（单位：）与下落时间t（单位：）的关系是．如果有一个物体从高的建筑物上自由落下，到达地面需要多长时间？ 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）要生产一种容积为的球形容器，这种球形容器内部的半径是多少分米？（球的体积公式） 3. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）为了丰富学生的课余生活，霖霖同学计划在活动室举行才艺展示活动，由于场地等条件的限制,霖霖同学准备在边长为50dm的正方形规定区域铺设一块面积是2200dm2且长与宽之比为3：2的长方形地毯，请通过计算比较地毯的长与正方形规定区域的边长之间的大小关系． 4. （23-24八年级上·陕西渭南·期中）我国高速公路规定小型汽车行驶的速度不得超过120千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆当时行驶的速度．所用的经验公式是，其中表示车速（单位：千米/小时），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米）表示摩擦系数，经测量，米，，请你帮助判断一下，肇事汽车当时的速度是否超出了规定的速度？ 利用开平方、开立方解方程 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）解方程 (1)； (2)． 2. （19-20八年级上·陕西宝鸡·期中）求下列各式中的x （1） (x-1)2=9                (2)8(x+1)3=-27 3. （23-24八年级上·陕西西安·期中）解方程 (1)； (2)． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期中）解方程： (1)； (2)． 5. （22-23八年级上·陕西西安·期中）解下列方程 (1) (2) 新定义或程序框图下的实数运算 1. （22-23八年级上·陕西咸阳·期中）现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有，则的值为 ． 2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）一个数值转换器，如图所示：    (1)当输入的为时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请求出两个满足要求的值． 3. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）定义：如果一个三角形两边的平方和等于第三边平方的2倍，则称这个三角形为奇异三角形．例如等边三角形就是一种奇异三角形．在中，，，，，且，若是奇异三角形，则的值为 ． 4. （23-24八年级上·陕西汉中·期中）我们规定用表示一个数对，给出如下定义：记，，将与称为数对的一对“对称数对”，例如：因为，，所以的一对“对称数对”为与． (1)求数对的一对“对称数对”； (2)若数对的一对“对称数对”中的一个数对是，求的值． 算术平方根非负性应用 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）已知实数，满足，则等于 ． 2. （22-23八年级上·陕西西安·期中）若，则 ． 3. （22-23八年级上·陕西西安·期中）已知，则的算术平方根是 ． 4. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）若，为实数，且，求的值． 用数轴表示无理数 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，数轴上的点C所表示的数为a，，则a的值为（    ）    A． B． C． D． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）若点A在数轴上和原点相距2个单位长度，点B在数轴上和原点相距个单位长度，则A、B两点之间的距离为（    ） A． B． C．或 D．或 3. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，，，在数轴上，点表示的数是1，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是 ．    4. （23-24八年级上·陕西西安·期中）在如图所示的数轴上，点与点关于点对称，A，B两点对应的实数分别是和1，则点所对应的实数是 ． 5. （23-24八年级上·陕西西安·期中）每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，无理数也可以在数轴上表示出来．    (1)如图1，点表示的数是________； (2)如图2，直线垂直数轴于原点，请用尺规在数轴上作出表示的点（不写作法，保留作图痕迹）． 6. （23-24八年级上·陕西西安·期中）实数与数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来．请在如图所示的数轴上用尺规作出表示的点A，并说明理由．（保留作图痕迹，不写作法） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 实数及其运算 平方根、算数平方根、立方根的定义 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）36的算术平方根为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：36的算术平方根是6， 故选：C． 2. （21-22七年级下·广西百色·期中）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根与算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义逐项判断即可，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、负数没有平方根，故原说法错误，不符合题意； B、负数没有算术平方根，故原说法错误，不符合题意； C、，的平方根是，故原说法错误，不符合题意； D、0的平方根与算术平方根都是0，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 3. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期中）下列语句中，错误的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．是的一个平方根 D．9的平方根是 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解 【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，根据平方根的意义解题即可． 【详解】A．的平方根是，该选项正确，故本选项不符合题意； B．的平方根是，该选项错误，故本选项符合题意； C．是的一个平方根，该选项正确，故本选项不符合题意； D．9的平方根是，该选择正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期中）9的平方根是 ；的算术平方根是 ； ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】此题考查的是求一个数的平方根、算术平方根和立方根，根据平方根的定义、算术平方根的定义和立方根的定义即可得出结论． 【详解】解：9的平方根是；的算术平方根是；， 故答案为：；；． 5. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）计算： ； ． 【答案】 4 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】根据平方根和立方根的定义求出即可． 【详解】解： 故答案为：，4． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握定义并准确计算是解题的关键． 根据条件求代数式的平方根、立方根 1. （23-24八年级上·陕西·期中）已知立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、平方根概念理解 【分析】本题考查了数的开方，熟记“如果一个数的平方等于a那么这个数叫做a的平方根；正数a的正平方根加a的算术平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根”是解题关键． 【详解】解：立方根是3，的算术平方根是4， ， 解得：， ， ， 的整数部分是3， ， ， 的平方根是． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）已知的平方根是的立方根是，求的算术平方根． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根，根据平方根及立方根的定义求得的值，然后将其代入中计算后根据算术平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：∵的平方根是的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期中）已知：的平方根是与，且的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)2 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根的定义． （1）根据平方根与算术平方根的定义即可求得，的值； （2）将，的值代入中计算后利用立方根的定义即可求得答案． 熟练掌握其定义及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：的平方根是与，且的算术平方根是3， ，， 解得：，； （2）解：，， ， 的立方根是2． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期中）一个正数的两个平方根是与，求这个正数． 【答案】49 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查平方根的概念和一元一次方程，根据概念和方程求出解．一个数的平方根互为相反数，它们的和为0．求出平方根后，它们的平方就是被开方数，就是要求的正数． 【详解】解：由题意得：， ， ，． 这个正数的平方根为． 所以这个正数的值为：． 即这个正数的值为49 5. （23-24八年级上·陕西西安·期中）已知正数的两个平方根分别是和 (1)求代数式的值； (2)当时，求的算术平方根． 【答案】(1)； (2)的算术平方根是． 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根和相反数的应用，注意：正数有两个平方根，它们互为相反数． （1）根据正数有两个平方根，它们互为相反数得出，再整体代入即可求解； （2）把代入，求得，进而可求出x的值，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：∵正数x的两个平方根是和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，解得， ∴， ∴正数x的值为， ∴， ∴的算术平方根是． 实数及其相关性质 1. （22-23八年级上·陕西咸阳·期中）在下列实数中，，，0，，3.1415926，，2.121121112……（每两个2之间1的数目每次多一个）中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数，根据无理数定义判断即可，也考查了求算术平方根． 【详解】解：， 观察各数，无理数有，，2.121121112……（每两个2之间1的数目每次多一个）共3个， 故选：C． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）下列各数中、是无理数的是（    ） A．面积为16的正方形的边长 B．体积为27的正方体的棱长 C．两直角边分别为2和3的直角三角形斜边长 D．长为4宽为3的长方形的对角线长 【答案】C 【知识点】算术平方根的实际应用、立方根的实际应用、无理数、用勾股定理解三角形 【分析】根据算术平方根，立方根，勾股定理，分别计算，进而根据无理数的定义进行判断，即可求解． 【详解】A选项：面积为16的正方形的边长为，是有理数，故该选项不符合题意； B选项：体积为27的正方体的棱长为3，是有理数，故该选项不符合题意； C、两直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长为 ，是无理数，故该选项符合题意； D、长为4，宽为3的长方形的对角线长为，是有理数，故该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，勾股定理，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期中）的相反数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数的性质 【分析】本题考查了相反数的定义：“只有符号不同的两个数是互为相反数”，据此解答即可． 【详解】解：∵像和这样，只有符合不同的两个数叫做相反数， ∴的相反数是． 故选：C． 4. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．的绝对值是 B．的倒数是 C．的相反数是 D．4的平方根为 【答案】B 【知识点】求一个数的平方根、实数的性质 【分析】根据实数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答即可． 【详解】解：A、的绝对值是，故本选项不符合题意； B、的倒数是，故本选项符合题意； C、的相反数是，故本选项不符合题意； D、4的平方根为，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了实数的性质，关键是要熟练掌握实数的绝对值、平方根、倒数和相反数等知识点． 5. （22-23八年级上·陕西西安·期中）的相反数是 ；的绝对值是 ； 【答案】 【知识点】实数的性质 【分析】根据相反数和绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：的相反数是，的绝对值是， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了实数的性质，数值相反数和绝对值的定义是解题的关键：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 6. （23-24八年级上·陕西西安·期中）把下列各数填入相应的集合内： ，0，，，，0.5252252225⋯（相邻两个5之间2的个数逐次加1）． (1)有理数集合：{      …} (2)无理数集合：{      …} (3)负实数集合：{      …}． 【答案】(1) (2)，（相邻两个5之间2的个数逐次加1） (3) 【知识点】实数的分类 【分析】（1）根据有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即可得到答案； （2）根据无理数的概念，无理数就是无限不循环小数，即可得到答案； （3）根据负实数的概念即可得到答案． 【详解】（1）解：有理数集合：{}； （2）解：无理数集合：{，（相邻两个5之间2的个数逐次加1）}； （3）解：负实数集合：{}． 【点睛】本题考查了实数的分类，熟练掌握有理数、无理数、负实数的概念是解此题的关键． 算数平方根的估算与实数的大小比较 1. （21-22八年级上·陕西西安·期中）已知，，那么约等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算 【分析】根据无理数的估算，求一个数的算术平方根的计算方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，掌握其估算方法解题的关键． 2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）比较大小： 4（填“>”“<”或“=”）． 【答案】< 【知识点】实数的大小比较 【分析】由求解即可． 【详解】解：． 故答案为：<． 【点睛】本题考查比较实数的大小．掌握实数的大小比较方法是解题关键． 3. （22-23八年级上·陕西西安·期中）比较下列各组数的大小： ； 5； ； ； 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】根据实数比较大小的方法进行求解即可． 【详解】解：； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；；；． 【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期中）整数a，满足，则 ． 【答案】2 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握无理数的估算方法是正确解答的前提． 根据算术平方根的定义估算无理数、的大小，进而确定的整数值． 【详解】解：，，而整数，满足， ， ， 故答案为：． 5. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）若，且为整数，则整数的立方根为 ． 【答案】2 【知识点】无理数的大小估算、求一个数的立方根 【分析】根据二次根式的性质，被开方数越大，值越大，由此即可求出a的值，再求出整数的立方根即可． 【详解】解：∵，且为整数， ∴， ∵8的立方根为2， ∴整数的立方根为2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，立方根的定义，掌握二次根式的性质，得出是解题的关键． 算术平方根的整数部分及小数部分 1. （22-23八年级上·陕西咸阳·期中）若的整数部分为 ． 【答案】1 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的估算，先利用夹逼法估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可找出其整数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴的整数部分为1， 故答案为：1． 2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分．因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，∴的整数部分为，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的整数部分为，的整数部分为，求的立方根； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【知识点】求一个数的立方根、无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（）利用算术平方根估算出的范围即可求解； （）利用算术平方根估算出和的范围，确定出的值，代入代数式求出代数式的值，进而即可求解； （）利用算术平方根估算出的范围，得到的范围，根据是整数，且，即可确定的值，代入代数式即可求解； 此题考查了无理数的估算，代数式求值，正确掌握无理数估算的方法是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴的立方根为； （3）∵， ∴， ∴， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期中）阅读下面的文字，解答问题： 【阅读材料】现规定：分别用和表示实数的整数部分和小数部分．例如：实数的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． (1)________________，________________． (2)如果，求的算术平方根． 【答案】(1)1； (2)2 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】（1）用夹逼法估算，即可求解； （2）先用夹逼法估算和，得出a和b的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的算术平方根是2． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是掌握用用夹逼法估算无理数的方法和步骤． 4. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，王英举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖王英真聪明，肯定了她的说法．现请你根据王英的说法解答下列问题： (1)请表示出的小数部分； (2)若a为的小数部分，b为的整数部分，求的值； (3)已知，其中x是一个正整数，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)117 【知识点】无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算 【分析】（1）估算出的取值范围，进而可得出结论； （2）估算出和的大致范围，然后可求得、的值，然后再求代数式的值即可． （3）算出的大致范围，然后表示出x和y，最后进行计算即可． 【详解】（1）， ， 的小数部分是； （2）， ， ∴， ， ， ． ； （3）∵ ∴ ∴ ∵x是一个正整数，， ∴x是的整数部分，y是的小数部分， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，正确估算无理数的大小是解题的关键． 实数的混合运算 1. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）计算： 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算立方根、算术平方根和绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解： 2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）计算：． 【答案】1 【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键，根据完全平方公式、算术平方根的定义、立方根的意义求解即可． 【详解】解：原式 ． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期中）计算：． 【答案】0 【知识点】实数的混合运算 【分析】先由立方根的性质，算术平方根的性质化简，再合并计算可得结果； 【详解】解：原式． 【点睛】此题主要是考查了实数的运算，能够熟练运用算术平方根性质，立方根性质是解答此题的关键． 4. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期中）计算： 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】先计算乘方运算，求解算术平方根，立方根，绝对值，再合并即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是算术平方根与立方根的含义，实数的混合运算，掌握“实数的混合运算的运算顺序”是解本题的关键． 5. （21-22八年级上·陕西宝鸡·期中）计算 （1）     （2） 【答案】（1）；（2） 【知识点】实数的混合运算 【分析】根据实数的计算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）原式==2； （2）原式==． 【点睛】本题考查实数的计算，熟练掌握实数的计算法则是解题关键． 算数平方根、立方根的实际应用 1. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）物体自由下落的高度（单位：）与下落时间t（单位：）的关系是．如果有一个物体从高的建筑物上自由落下，到达地面需要多长时间？ 【答案】到达地面需要 【知识点】算术平方根的实际应用、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际，根据所给的关系式，把代入中求出t的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 把代入，得， ∵， ∴ ∴到达地面需要． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）要生产一种容积为的球形容器，这种球形容器内部的半径是多少分米？（球的体积公式） 【答案】球形容器内部的半径是． 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根的应用，利用球的体积公式计算出球的半径，熟练掌握立方根的概念是解题的关键． 【详解】解：设球形容器内部的半径是，根据题意，得， ∴， ∴， 答：球形容器内部的半径是． 3. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）为了丰富学生的课余生活，霖霖同学计划在活动室举行才艺展示活动，由于场地等条件的限制,霖霖同学准备在边长为50dm的正方形规定区域铺设一块面积是2200dm2且长与宽之比为3：2的长方形地毯，请通过计算比较地毯的长与正方形规定区域的边长之间的大小关系． 【答案】地毯的长大于正方形规定区域的边长． 【知识点】无理数的大小估算、算术平方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根，关键是求出长方形地毯的长． 设长方形地毯的长与宽分别为，，得到，于是求出长方形地毯的长，即可得到答案． 【详解】解：设长方形地毯的长与宽分别为，， 由题意得：， ， ， ∴长方形地毯的长是， ， ∴地毯的长大于正方形规定区域的边长． 4. （23-24八年级上·陕西渭南·期中）我国高速公路规定小型汽车行驶的速度不得超过120千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆当时行驶的速度．所用的经验公式是，其中表示车速（单位：千米/小时），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米）表示摩擦系数，经测量，米，，请你帮助判断一下，肇事汽车当时的速度是否超出了规定的速度？ 【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握运算法则，把d与f代入公式计算求出v的值是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：（千米/小时）， ∵， ∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度． 利用开平方、开立方解方程 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】（）利用平方根的定义即可求解； （）移项后，利用立方根的定义即可求解； 本题考查了平方根和立方根的应用，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 2. （19-20八年级上·陕西宝鸡·期中）求下列各式中的x （1）(x-1)2=9                (2)8(x+1)3=-27 【答案】（1），；（2）. 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． （2）两边开立方，即可得出一个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：（1）， ∴， 解得：，； （2）， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了平方根和立方根的应用，关键是能根据平方根和立方根定义得出一元一次方程． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】（）利用平方根的定义即可求解； （）移项后，利用立方根的定义即可求解； 本题考查了平方根和立方根的应用，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】求一个数的立方根、利用平方根解方程 【分析】本题考查平方根与立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据平方根的定义进行解题即可； （2）根据立方根的定义进行解题即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 或． （2）， ， ． 5. （22-23八年级上·陕西西安·期中）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】（1）利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴或 （2）∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键． 新定义或程序框图下的实数运算 1. （22-23八年级上·陕西咸阳·期中）现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数x，y，都有，则的值为 ． 【答案】8 【知识点】新定义下的实数运算、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】根据新运算要求可知两个数进行新运算等于这两个数和的算术平方根，再加上这两个数的乘积与1的和的立方根，再代入计算即可． 【详解】． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的计算，理解新定义是解题的关键． 2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）一个数值转换器，如图所示：    (1)当输入的为时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请求出两个满足要求的值． 【答案】(1) (2)或，理由见解析 (3)5或 【知识点】程序设计与实数运算、求一个数的算术平方根 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，的算术平方根为， 而是有理数，的算术平方根为， 而是有理数，的算术平方根为， 故答案为：； （2）或，理由如下： 因为的算术平方根是，的算术平方根是， 无论进行多少次运算都不可能是无理数； （3）若次运算就是无理数，则输入的数为， 若次运算输出的数是无理数，则输入的数是， ∴满足要求的值可以是：5或． 【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 3. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）定义：如果一个三角形两边的平方和等于第三边平方的2倍，则称这个三角形为奇异三角形．例如等边三角形就是一种奇异三角形．在中，，，，，且，若是奇异三角形，则的值为 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、用勾股定理解三角形 【分析】由三角形为直角三角形，利用勾股定理列出关系式①，再由新定义两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，列出关系式②，或③，联立①②或①③，即可求出． 【详解】解：∵中，，，，， ∴根据勾股定理得： ①， 又是奇异三角形， ∴②或③， 将①代入②得：， ， 不符合题意舍去， 将①代入③得：， ， ， 把代入①中得： ， ． 故答案为： ． 【点睛】此题考查了勾股定理，以及新定义，弄清题中的新定义，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 4. （23-24八年级上·陕西汉中·期中）我们规定用表示一个数对，给出如下定义：记，，将与称为数对的一对“对称数对”，例如：因为，，所以的一对“对称数对”为与． (1)求数对的一对“对称数对”； (2)若数对的一对“对称数对”中的一个数对是，求的值． 【答案】(1)与 (2)或 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】（1）根据“对称数对”的定义求解． （2）根据“对称数对”的定义建立关于，的方程求解． 【详解】（1）解：根据题意可得：，， ∴的一对“对称数对”为与． （2）解：根据题意可得：，或，， ∴，或，， 故，或． 【点睛】本题考查了用新定义解题，理解新定义是求解本题的关键． 算术平方根非负性应用 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）已知实数，满足，则等于 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数相加等于零，则每个非负数都等于零是解答本题的关键． 根据非负数的性质列式求出实数，的值，然后代入代数式进行计算，得到结果． 【详解】解：由题意得：，， ，， 故答案为． 2. （22-23八年级上·陕西西安·期中）若，则 ． 【答案】/ 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知式子的值，求代数式的值 【分析】根据被开方数，绝对值的非负性可得，，代入式子求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根，绝对值的非负性，代数式的代入求值，掌握以上知识是解题的关键． 3. （22-23八年级上·陕西西安·期中）已知，则的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的算术平方根、绝对值非负性 【分析】首先根据非负数的性质列方程组求得a和b的值，然后求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了非负数的性质，几个非负数的和等于0，则每个数是0，初中范围内的非负数有：数的偶次方、绝对值以及算术平方根． 4. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）若，为实数，且，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，根据算术平方根的非负性求得，，代入代数式，即可求解． 【详解】解：由题意，得， 则且， 解得． 故，   解得． 则． 用数轴表示无理数 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，数轴上的点C所表示的数为a，，则a的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查实数与数轴、勾股定理，利用勾股定理求出的长，可得，推出即可解决问题． 【详解】解：在中，， ， ， 点在轴负半轴， 点表示的数． 故选：B． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期中）若点A在数轴上和原点相距2个单位长度，点B在数轴上和原点相距个单位长度，则A、B两点之间的距离为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】根据数轴上两点的距离求解即可． 【详解】解：∵点A在数轴上和原点相距2个单位长度，点B在数轴上和原点相距个单位长度，且， ∴当A、B两点同在原点的右侧或左侧时，A、B两点之间的距离为， 当A、B两点在原点的两侧时，A、B两点之间的距离为， ∴A、B两点之间的距离为或， 故选：D． 【点睛】本题考查实数与数轴、数轴上两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离，分类讨论是解答的关键． 3. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，，，在数轴上，点表示的数是1，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是 ．    【答案】/ 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上点与实数的对应关系．先根据勾股定理求出的长，即可得出的长，再求出点到原点的距离，即可得出点表示的数． 【详解】解：，，， 由勾股定理得， 由题意得， 点表示的数是1， 点到原点的距离是， 点在数轴的负半轴， 点表示的数是， 故答案为： 4. （23-24八年级上·陕西西安·期中）在如图所示的数轴上，点与点关于点对称，A，B两点对应的实数分别是和1，则点所对应的实数是 ． 【答案】/ 【知识点】实数与数轴、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了实数及数轴上两点间距离的定义，根据题意列出关于x的方程是解答此题的关键.设点C所对应的实数是x.根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可. 【详解】解：数轴上两点关于某一点对称，这两点到对称点的距离相等，设点C表示实数x，由此可得，解得， 故答案为：. 5. （23-24八年级上·陕西西安·期中）每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，无理数也可以在数轴上表示出来．    (1)如图1，点表示的数是________； (2)如图2，直线垂直数轴于原点，请用尺规在数轴上作出表示的点（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出斜边长度即可得答案； （2）先作出长为的线段，再以表示的点为圆心，在原点左侧截取点P，使P到表示1的点距离为即可求解． 【详解】（1）解：如图：    ∵ ∴点表示的数是， 故答案为：． （2）如图所示，点即为所求．    6. （23-24八年级上·陕西西安·期中）实数与数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来．请在如图所示的数轴上用尺规作出表示的点A，并说明理由．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】答案见解析 【知识点】实数与数轴、作线段(尺规作图)、勾股定理与无理数 【分析】在数轴上取的直角三角形，点C所表示的数是1，以C为圆心，为半径画圆，交数轴于A点（A点在C点左侧），即可得到答案．本题考查了勾股定理、实数与数轴，先根据勾股定理求得所要用的直角三角形，再用圆规画图． 【详解】解：由勾股定理得，， 在数轴上取的直角三角形，点C所表示的数是1，如图，以C为圆心，为半径画圆，交数轴于A点（A点在C点左侧）， ，A点在C点左侧，点C所表示的数是1， ∴点A所表示的数为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！30 学科网（北京）股份有限公司 $$