专题06一次函数综合（5基础题型+4提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（陕西专用）

专题06 一次函数的综合 一次函数应用---方案问题 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）紫阳富硒茶是陕西省著名特产茶叶，此茶叶硒元素含量高，具有特种保健功效．某公司采购员到紫阳茶叶市场购买该种茶叶，商家推出了两种购买方式： 会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元） 方式一：金卡会员 500 1300 方式二：银卡会员 200 1500 设该公司此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元． (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量； (3)若该公司此次购买茶叶的总预算为5375元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？ 2. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）彩灯，又名“花灯”，是起源于我国的一种传统民俗工艺品，据史籍记载，唐宋时已逐步形成新年燃灯、元宵节前后张灯结彩的习俗，深得观灯民众的喜爱，而今，西安的大唐不夜城的中秋灯会也是远近闻名，灯会前夕，文旅局需要采买一批彩灯（采购金额大于200元）．甲、乙两商家平时以同样的价格出售相同的彩灯，现分别推出优惠活动． 甲商家：在购买彩灯总价的基础上打九折． 乙商家：购买彩灯总价超过200元，超出的部分打八折． 设购买彩灯原来的总价为（元），实际付款金额为（元）． (1)请分别写出两种优惠方案中与之间的函数关系式； (2)当购买彩灯原来的总价为多少时，在两个商家购买彩灯的实际付款金额相同？ 3. （23-24八年级上·陕西西安·期中）小丽准备在双十一活动期间网购一些笔记本，甲、乙两商店都在进行打折促销．已知两商店的标价都是每本20元，但甲商店的优惠条件是：若购买不超过5本，则按标价卖．购买5本以上，从第6本开始按标价的七折卖；乙商店的优惠条件是：若关注店铺就可以成为会员并赠送5元优惠券（凡购买物品超过10元均可使用），且会员从第一本开始按标价的八五折卖．设购买笔记本x本，在甲商店购买所需要费用为元，在乙商店购买所需要费用为元． (1)分别写出、与之间的函数关系式； (2)当购买20本的时候，去哪家商店比较划算？为什么？ 4. （23-24八年级上·陕西渭南·期中）某公司计划从厂家采购一批“秦岭四宝国潮档案袋”（以下简称：档案袋）和“秦岭四宝国潮手账本”（以下简称：手账本）， 已知档案袋10元/个，手账本15元/本，经了解，厂家有两种优惠方案： 方案一：购买手账本没有优惠，购买档案袋不超过20个时，每个都按九折优惠，超过20个时，超过部分每个按七折优惠； 方案二：档案袋和手账本都按原价的八折优惠． 若该公司购买个档案袋，10本手账本．    (1)请分别求两种方案下该公司购买档案袋和手账本所需的总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式； (2)当该公司购买多少个档案袋时，选择方案一和方案二所需的总费用相同． 5. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）临近“双十一”，某家电商场特推出优惠大酬宾活动． 方案一：“双十一”当天线上购买家电，所有商品均按原价的七折出售； 方案二：在“双十一”之前线上预订购买家电，并办理酬宾卡（300元一张），双十一当天在原价的基础上可享受五折优惠． 若方案一的实际消费金额为元，方案二的实际消费金额为元，商品原价为元． (1)请写出这两种方案中与之间的函数关系式； (2)若赵老师打算“双十一”在该商场通过线上购买一台冰箱，原价为2200元，则他选择哪种方案比较省钱？ 6. （23-24八年级上·陕西西安·期中）中国羽毛球队在杭州亚运会上，取得了多项冠军，激励着千万中国人们．某校为了增强学生体质，将在甲、乙两家体育用品商店为学生购买部分羽毛球拍和羽毛球．甲、乙两家体育用品商店出售相同品牌的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每个定价3.5元，羽毛球拍每副定价85元．现两家商店都搞促销活动：甲店每买一副球拍赠3个羽毛球；乙店都按九折优惠．学校需购球拍56副，羽毛球x个（一副球拍要配备3个或以上羽毛球）． (1)若在甲店购买付款（元），在乙店购买付款（元），分别写出，与x的函数关系式； (2)若学校购买球拍56副，要求购买1000个羽毛球时，在哪家商店购买合算？ 7. （22-23八年级上·陕西西安·期中）某公司计划组织员工去旅游，参加人数在10至30人之间．甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别提出了各自的优惠方案．甲旅行社的优惠方案是：买3张全票，其余人按半价收费；乙旅行社的优惠方案是：一律按6折收费．已知甲、乙两家旅行社的原价均为每人80元． (1)分别表示出甲旅行社收费，乙旅行社与旅游人数的函数关系式； (2)当参加的人数为12人时，应该选择哪家旅行社比较合算？ (3)若公司计划用1200元作为旅游经费，为了使更多的员工参加，应该选择哪家旅行社？ 8. （21-22八年级上·陕西西安·期中）水是人们赖以生存的重要资源，保护水资源是我们每个人的责任，除了平时节约用水，污水净化也是保护水资源的方法之一．某企业生产的产品每件出厂价为50元，成本价为25元，在生产过程中，平均每生产一件产品就有的污水排出，为了绿色环保达到排污标准，工厂设计了两种处理污水的方案： 方案一：工厂污水先净化处理后再排出，每处理污水的费用为2元，并且每月排污设备损耗为20000元； 方案二：工厂将污水排到污水净化厂统一处理，每处理污水的费用为12元． （1）设工厂每月生产件产品，每月利润为元，分别写出依据方案一和方案二处理污水时，与的关系式； （2）若11月份计划生产5000件该产品，选择哪个方案获得的利润较大？ 一次函数应用---最大利润问题 1. （20-21八年级上·陕西西安·期中）某超市预购进、两种品牌的T恤共200件，已知两种T恤的进价如表所示，设购进种T恤件，且所购进的两种T恤全部卖出，获得的总利润为元． 品牌 进价/（元/件） 售价/（元/件） 50 80 40 65 （1）求关于的函数关系式； （2）如果购进两种T恤的总费用为9500元，那么超市获得的总利润是多少？ （提示：利润=售价-进价） 2. （18-19八年级上·陕西榆林·期中）某商店计划购进A、B两种型号的电动自行车共30辆，其中A型电动自行车不少于20辆，A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元、3000元，售价分别为2800元、3500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元． （1）求出y与m之间的函数关系式； （2）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？ 一次函数应用---行程问题 1. （21-22八年级上·陕西咸阳·期中）2020年全世界都在抗击新冠肺炎，每天疫情大数据牵动着无数人的心，中国疫情虽然得到控制，但国人特别重视疫情的防控．西安要举办中学生科技创新大赛，需要志愿者协助进行大赛期间的疫情防控，小亮作为志愿者，昨天早晨7点乘车从家出发，去西安协助进行中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小亮昨天出行的过程中，他距西安的距离y（千米）与他离家的时间x（时）之间的函数图象．根据图象，解答下列问题： (1)求线段所表示的函数关系式； (2)已知昨天下午3点时，小亮距西安112千米，求他何时到家？ 2. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）周末，小丽一家人驾车到距家150千米的景点旅游．出发前，汽车油箱内的油量为35升，行驶了80千米时，油箱内的剩余油量为25升． (1)汽车行驶过程中，平均每千米的耗油量为______升； (2)直接写出油箱内的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）间的表达式；（） (3)当油箱中剩余油量为3升时，汽车的行驶路程是多少千米？ 3. （23-24八年级下·陕西西安·期中）甲、乙两人在一条直线道路上分别从，两点同时出发，相向而行，当两人相遇后，甲继续向点前进（甲到达点时停止运动），乙也立即向点返回，在整个运动过程中，甲、乙均保持匀速运动，甲、乙两人之间的距离（米与乙运动的时间（秒）之间的关系如图所示， (1)、两点的距离是______米． (2)求甲、乙的速度分别是多少米/秒？ (3)当甲到点时，乙距点的距离是多少米？ 4. （22-23八年级上·陕西榆林·期中）在河道，两个码头之间有客轮和货轮通行．一天，客轮从码头匀速行驶到码头，同时货轮从码头出发，运送一批物资匀速行驶到码头，两船距码头的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，请根据图象解决下列问题：    (1)，两个码头之间的距离是________； (2)求客轮距码头的距离与时间之间的函数关系式； (3)请问两船出发多久相遇？并求出当两船相遇时距离码头的距离． 5. （21-22八年级上·陕西榆林·期中）某中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了，他们距起点的距离（米）与小明出发的时间（秒）之间的关系如图所示（不完整）．根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)朱老师的速度为______米/秒； (2)求段与之间的函数关系式； (3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离． 6. （21-22八年级上·陕西西安·期中）童童到陕西某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发，沿相同路线先后到达观景点，如图，，分别表示童童与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题： (1)童童在小憩屋休息了__________分钟，观光车出发__________分钟后追上童童． (2)求观光车的平均速度． (3)观光车比童童早几分钟到达观景点？请说明理由． 7. （22-23八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两汽车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，0.5 h后乙出发，匀速行驶一段时间后，在途中出现了故障，排除故障用了一个小时，排除故障后，为了行驶安全，速度减少了5 km/h，结果与甲车同时到达B地，甲、乙两车距A地的路程y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示． (1)求甲汽车的速度以及点的坐标． (2)求乙车排除故障后再次出发时，距A地的路程与之间的函数关系式． (3)当时，甲、乙两汽车相距______km． 8. （19-20八年级上·陕西榆林·期中）李华和王力一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后李华做了一会准备活动，王力先跑．当李华出发时，王力已经距起点米了，李华跑了秒开始休息他们距起点的距离（米）与李华出发的时间（秒）之间的关系如图所示（不完整）．根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）王力的速度为 米/秒；李华休息前的速度为 米/秒； （2）求线段所表示的函数表达式及李华和王力第一次相遇时李华所用时间； （3）李华中途休息了秒后以原来的速度的继续前进，结果他与王力同时到达终点，求起点与终点间的距离． 一次函数应用---三角形面积倍数关系 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，直线与分别交x轴于点B和点C，点A是直线与y轴的交点． (1)求点A、B、C的坐标； (2)在直线上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 2. （19-20八年级上·陕西·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． （1）分别求出直线、直线的表达式； （2）在直线上是否存在一点P，使得？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 3. （22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点，与正比例函数的图象相交于点，与轴相交于点．    (1)求、的值； (2)若将一次函数向下平移个单位长度，交轴于点，求的值； (3)点是正比例函数图象上一点，在轴上是否存在一点，使．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 4. （22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点．    (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 一次函数应用---其他问题 1. （21-22八年级上·陕西咸阳·期中）为了学生的身体健康，学校课桌、凳子的高度都是按照一定的比例关系设计的，小明对学校新添置的一批课桌、进行观察研究，发现它们可以根据人的身高调节高度，李老师说：“桌高y是凳高x的一次函数，且，求出这个一次函数的关系式”，于是小明测量了一套桌椅，凳高，配套的桌高． (1)请你写出这个一次函数的关系式（不要求写出x的取值范围）； (2)小明回家后分别测量了家里的写字台和凳子的高度，写字台的高度为，凳子的高度为．请你判断它们是否配套？并说明理由． 2. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期中）某公司销售玉米种子，价格为5元/千克，如果一次性购买10千克以上的种子，超过10千克部分的种子的价格打八折，部分表格如下： 购买种子的数量/千克 2 5 10 12 20 30 … 付款金额/元 10 50 58 130 … (1)直接写出表格中，的值； (2)设购买种子数量为千克，付款金额为元，求与的函数关系式； (3)小李第一次购买种子35千克，第二次又购买了8千克，若两次购买种子的数量合在一起购买，可省多少钱？ 3. （22-23八年级上·陕西西安·期中）为加强道路安全，今年年初西安市对多条道路防护栏进行维修，如图所示的是道路护栏及其简易结构图，护栏由两端立柱和中间栅栏组成，已知立柱宽度为0.1米，当立柱数目为5根时，护栏总长度为12.5米，若护栏总长度（米）与立柱数目（根）满足一次函数关系，写出与的函数关系，并求立柱数目为10根时，护栏的总长度． 4. （21-22八年级上·陕西西安·期中）为积极响应习近平总书记提出的坚决抵制餐饮浪费行为的重要指示，某送餐公司推出“半份餐”服务，餐量是整份餐的一半，价格也是整份餐的一半，整份餐的单价为16元．希望小学每天中午从该送餐公司订200份午餐，其中半份餐订x份（），其余均为整份餐．该小学每天午餐订单总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若希望小学某天半份餐订了50份．求当天该小学午餐订单的总费用； (3)已知某天希望小学午餐订单的总费用为2720元．当天半份餐订了多少份？ 5. （21-22八年级上·陕西咸阳·期中）狗头枣产于陕西省延安市一带，久负盛名，其性味甘平，有润心肺、止咳、补五脏、治虚损的功效，已成为革命圣地延安最为著名的特产．某经销商购进了一批狗头枣，根据以往的销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：当单价为38元/千克时，每天可以销售50千克，单价每下调1元，销量就会增加2千克，若设单价下调了x元/千克，销售量为y千克． （1）y与x之间的关系式为 ； （2）当售价为28元/千克，这天的销售量是多少？ （3）如果这批狗头枣的进价是20元/千克，某天的售价定为30元/千克，则这天的销售利润是多少元？ 一次函数与“将军饮马”最值问题 1. （22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，点在轴上，直线与两坐标轴分别交于，两点，，分别是线段，上的动点，则的最小值为 ． 2. （21-22八年级上·陕西西安·期中）如图，已知点C（﹣2，0），一次函数y＝x＋6的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，E，F分别是线段OB，AB上的动点，当CE＋EF的值最小时，点F的坐标为 ． 3. （19-20八年级上·陕西西安·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点坐标为(5,2)，点在轴上，点在直线上，则的最小值为 ． 4. （19-20八年级上·陕西·期中）在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于两点，点为线段的中点． （1）如图①，点的坐标为（ ， ），点的坐标为（ ， ）， ； （2）如图②，若点是经过点，且与轴平行的直线上的一个动点，求的最小值； （3）如图③，点是线段上一动点，以为边在的下方作等边，连接，求的最小值． 一次函数应用----行程问题分类讨论 1. （22-23八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两位同学对跑步时应该采取什么策略争论不休，甲同学认为应该保持匀速，乙同学认为应该保存体力，先慢后快，他们最终决定进行一次比赛，他们两人同时从起点出发，跑向终点，两人距终点距离（米）与时间（秒）的关系如图所示． 请你根据图象，回答下列问题： (1)两人比赛的全程是____________米，____________同学先到达终点； (2)两人相遇时乙的速度为____________； (3)两人相遇前他们在何时相距30米？ 2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，妈妈先跑．当小明出发时，妈妈已经距离起点200米．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题： (1)小明出发之后，前70秒的速度是 米/秒；妈妈的速度是 米/秒； (2)求小明出发后的110 秒内，两人何时相距60米. 3. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）适当的体育锻炼能增强人体的新陈代谢，促进体内组织细胞对糖的摄取和利用的能力，增加肝糖原和肌糖原的储存，长期体育锻炼，还能提高机体对脂肪的动用能力．晓军和晓宇两位同学为了加强锻炼，增强体质，相约周末一起骑自行车沿同一路线从甲地出发前往乙地，晓军先出发，匀速行驶，途中自行车出现故障后停车维修，修好后继续匀速行驶；晓宇在晓军修好车后，立刻从甲地出发匀速前往乙地．设晓军、晓宇两人距甲地的路程分别为（）、（），晓军离开甲地的时间为（），、与之间的函数图像如图所示（全程），根据图像信息，解答下列问题：    (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)在范围内，当的值为多少时，他们两人之间相距5？ 4. （23-24八年级上·陕西西安·期中）贝贝、欢欢利用遥控器在电子屏上分别玩甲、乙两个小飞机，甲、乙两个小飞机分别从水平线起点5m和距水平线起点高10m处同时出发，匀速上升．如图是甲、乙两个小飞机所在位置的高度y（单位m）与飞机上升时间x（单位：min）的函数图象． (1)求这两个小飞机在上升过程中y关于x的函数解析式； (2)当这两个小飞机的高度相差4m时，求上升的时间． 5. （20-21八年级上·陕西渭南·期中）甲、乙两车分别从两地同时出发，甲车匀速前往地，到达地立即以另一速度按原路匀速返回到地；乙车匀速前往地，设甲、乙两车距地的路程为(千米)，甲车行驶的时间为(时)，与之间的函数图象如图所示． （1）求甲车从地到达地所用的时间； （2）求甲车到达地时乙车距A地的路程； （3）求甲车返回前甲、乙两车相距千米时，甲车行驶的时间． 一次函数综合---特殊三角形存在性问题 1. （21-22八年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点为轴上一动点，连接． (1)求点、的坐标； (2)当点在轴负半轴上，且的面积为6时，求点的坐标； (3)是否存在点使得为等腰三角形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2. （20-21八年级上·陕西宝鸡·期中）如图直线与轴、轴分别交于点两点，点的坐标是，点的坐标为． （1）求的值． （2）若点是直线上的一个动点且在第二象限，当的面积为时，求出此时点的坐标． （3）在轴上是否存在点，使得为等腰三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．    3. （20-21八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，与直线交于点C． （1）求点A，B的坐标． （2）若点C的坐标为，求线段的长． （3）若P是x轴上一动点，是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4. （19-20八年级上·陕西西安·期中）（1）如图1，中，，点在数轴-1处，点在数轴1处，，，则数轴上点对应的数是 ． （2）如图2，点是直线上的动点，过点作垂直轴于点，点是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形时点的坐标为 ．        5. （19-20八年级上·陕西宝鸡·期中）在平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b经过点P（2，2）和点Q（0，﹣2），与x轴交于点A，与直线y2＝mx+n交于点P． （1）求出直线y1＝kx+b的解析式； （2）求出点A的坐标； （3）直线y2＝mx+n绕着点P任意旋转，与x轴交于点B，当△PAB是等腰三角形时，点B有几种位置？请你分别求出点B的坐标． 6. （19-20八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、点，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点．   　　　　 (1)求点的坐标； (2)若直线上存在点，使得，请求出点的坐标； (3)在轴右侧、点左侧有一条平行于轴的动直线，分别与，交于点，，轴上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在；请说明理由． 一次函数与全等三角形 1. （22-23八年级上·陕西西安·期中）问题提出： 如图，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证： ； 问题探究： 如图2，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角，，求点C的坐标； 问题解决： 古城西安已经全面迎来地铁时代！继西安地铁2号线于2011年9月16日通车试运行以来，共有八条线路开通运营，极大促进了西安市的交通运输，目前还有多条线路正在修建中．如图，地铁某线路原计划按OA-AB的方向施工，由于在AB方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将AB段绕点A顺时针或逆时针方向旋转45°至AC或AD方向，则可以绕开此区域．已知OA长为1千米，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线AB与直线平行，请帮助施工队计算出AC和AD所在直线的解析式． 2. （21-22八年级上·陕西西安·期中）如图1，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，过点B在第二象限内作且，连接． (1)求点C的坐标； (2)如图2，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E ①求线段的长； ②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M，C，D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3. （21-22八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋6交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝﹣2x＋9于点C． （1）点C的坐标是　 　． （2）点M是直线AB上一点，点N是直线y＝﹣2x＋9上一点，连接线段MN，若MNx轴，且MN＝6，求出所有符合条件的点M的坐标． （3）在（2）的条件下，平面上是否存在点P，使得△BOP和△MNC全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 4. （20-21八年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象与、轴分别交于、两点，点与点关于轴对称．动点、分别在线段，上（点与点，不重合），且满足． （1）点的坐标为______，点的坐标为______，线段的长度______； （2）当点在什么位置时，？说明理由； （3）当为等腰三角形时，求点的坐标．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一次函数的综合 一次函数应用---方案问题 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）紫阳富硒茶是陕西省著名特产茶叶，此茶叶硒元素含量高，具有特种保健功效．某公司采购员到紫阳茶叶市场购买该种茶叶，商家推出了两种购买方式： 会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元） 方式一：金卡会员 500 1300 方式二：银卡会员 200 1500 设该公司此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元． (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量； (3)若该公司此次购买茶叶的总预算为5375元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？ 【答案】(1)， (2) (3)按照方式一购买可以获得更多的茶叶 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，正确建立函数关系式是解题关键． （1）根据总费用会员卡费用茶叶单价茶叶数量即可得； （2）根据两种方式购买的总费用相同建立方程，解方程即可得； （3）分别求出和时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， ． （2）解：由题意得：， 解得， 答：该公司此次购买茶叶的质量为． （3）解：方式一：，解得， 方式二：，解得， 因为， 所以按照方式一购买可以获得更多的茶叶． 2. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）彩灯，又名“花灯”，是起源于我国的一种传统民俗工艺品，据史籍记载，唐宋时已逐步形成新年燃灯、元宵节前后张灯结彩的习俗，深得观灯民众的喜爱，而今，西安的大唐不夜城的中秋灯会也是远近闻名，灯会前夕，文旅局需要采买一批彩灯（采购金额大于200元）．甲、乙两商家平时以同样的价格出售相同的彩灯，现分别推出优惠活动． 甲商家：在购买彩灯总价的基础上打九折． 乙商家：购买彩灯总价超过200元，超出的部分打八折． 设购买彩灯原来的总价为（元），实际付款金额为（元）． (1)请分别写出两种优惠方案中与之间的函数关系式； (2)当购买彩灯原来的总价为多少时，在两个商家购买彩灯的实际付款金额相同？ 【答案】(1)甲商家与的函数解析式为，乙商家与的函数解析式为； (2)购买彩灯原来的总价为400元时，在两个商家购买彩灯的实际付款金额相同． 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，能用表示出甲乙两商家购买彩灯的费用是解题的关键． （1）甲商家，实际付款额原来总价乘即可；乙商家，实际付款额超出部分乘即可； （2）根据题意列出方程：，解方程即可． 【详解】（1）由题知，甲商家的实际付款金额为：； 乙商家对购买彩灯总价超过200元的部分打八折，且， 乙商家的实际付款金额为：， 甲商家与的函数解析式为，乙商家与的函数解析式为； （2）令，得 答：购买彩灯原来的总价为400元时，在两个商家购买彩灯的实际付款金额相同． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期中）小丽准备在双十一活动期间网购一些笔记本，甲、乙两商店都在进行打折促销．已知两商店的标价都是每本20元，但甲商店的优惠条件是：若购买不超过5本，则按标价卖．购买5本以上，从第6本开始按标价的七折卖；乙商店的优惠条件是：若关注店铺就可以成为会员并赠送5元优惠券（凡购买物品超过10元均可使用），且会员从第一本开始按标价的八五折卖．设购买笔记本x本，在甲商店购买所需要费用为元，在乙商店购买所需要费用为元． (1)分别写出、与之间的函数关系式； (2)当购买20本的时候，去哪家商店比较划算？为什么？ 【答案】(1)，； (2)去甲商店比较划算． 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）根据甲乙两个商店的优惠方案直接得出关系式； （2）把分别代入、的函数关系式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴，； （2）解：当购买20本的时候，即时， ， ； ， ∴去甲商店比较划算． 4. （23-24八年级上·陕西渭南·期中）某公司计划从厂家采购一批“秦岭四宝国潮档案袋”（以下简称：档案袋）和“秦岭四宝国潮手账本”（以下简称：手账本）， 已知档案袋10元/个，手账本15元/本，经了解，厂家有两种优惠方案： 方案一：购买手账本没有优惠，购买档案袋不超过20个时，每个都按九折优惠，超过20个时，超过部分每个按七折优惠； 方案二：档案袋和手账本都按原价的八折优惠． 若该公司购买个档案袋，10本手账本．    (1)请分别求两种方案下该公司购买档案袋和手账本所需的总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式； (2)当该公司购买多少个档案袋时，选择方案一和方案二所需的总费用相同． 【答案】(1)方案一：；方案二： (2)当该公司购买70个档案袋时，选择方案一和方案二所需的总费用相同 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是写出相应的函数解析式，求出相应的函数值． （1）根据题意和题目中的数据，可以分别写出两种方案下该公司购买档案袋和手账本所需的总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式； （2）由“费用相同”可得，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 方案一：， 方案二：． （2）解：令， 解得， 故当该公司购买70个档案袋时，选择方案一和方案二所需的总费用相同． 5. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）临近“双十一”，某家电商场特推出优惠大酬宾活动． 方案一：“双十一”当天线上购买家电，所有商品均按原价的七折出售； 方案二：在“双十一”之前线上预订购买家电，并办理酬宾卡（300元一张），双十一当天在原价的基础上可享受五折优惠． 若方案一的实际消费金额为元，方案二的实际消费金额为元，商品原价为元． (1)请写出这两种方案中与之间的函数关系式； (2)若赵老师打算“双十一”在该商场通过线上购买一台冰箱，原价为2200元，则他选择哪种方案比较省钱？ 【答案】(1)；； (2)他选择方案二比较省钱． 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查的是列函数关系式，最优化选择问题； （1）由方案一：商品总金额乘以可得的关系式，方案二：商品总金额乘以再加上300可得的关系式； （2）把代入（1）中的两个函数关系式进行计算，再比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； ； （2）（元）， （元） ， 答：他选择方案二比较省钱． 6. （23-24八年级上·陕西西安·期中）中国羽毛球队在杭州亚运会上，取得了多项冠军，激励着千万中国人们．某校为了增强学生体质，将在甲、乙两家体育用品商店为学生购买部分羽毛球拍和羽毛球．甲、乙两家体育用品商店出售相同品牌的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每个定价3.5元，羽毛球拍每副定价85元．现两家商店都搞促销活动：甲店每买一副球拍赠3个羽毛球；乙店都按九折优惠．学校需购球拍56副，羽毛球x个（一副球拍要配备3个或以上羽毛球）． (1)若在甲店购买付款（元），在乙店购买付款（元），分别写出，与x的函数关系式； (2)若学校购买球拍56副，要求购买1000个羽毛球时，在哪家商店购买合算？ 【答案】(1)，； (2)买1000个羽毛球时，在乙家商店购买合算，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意，正确的列出函数关系式． （1）根据两家商店的活动方案，列出函数关系式即可； （2）将代入（1）中的函数解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即． ， 即； （2）解：当时，， ． ∵， ∴买1000个羽毛球时，在乙家商店购买合算． 7. （22-23八年级上·陕西西安·期中）某公司计划组织员工去旅游，参加人数在10至30人之间．甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别提出了各自的优惠方案．甲旅行社的优惠方案是：买3张全票，其余人按半价收费；乙旅行社的优惠方案是：一律按6折收费．已知甲、乙两家旅行社的原价均为每人80元． (1)分别表示出甲旅行社收费，乙旅行社与旅游人数的函数关系式； (2)当参加的人数为12人时，应该选择哪家旅行社比较合算？ (3)若公司计划用1200元作为旅游经费，为了使更多的员工参加，应该选择哪家旅行社？ 【答案】(1)， (2)选择乙旅行社比较合算 (3)为了使更多的员工参加，应该选择甲旅行社 【难度】0.65 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据甲，乙旅行社的收费方案，列出函数关系式即可； （2）分别求出时，的值，比较后进行选择即可； （3）分别求出时，的值，比较后，进行选择即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； ； （2）解：当时，，， ∴； 故选择乙旅行社比较合算． （3）解：当时：，解得：； 当时：，解得：； ∵， ∴为了使更多的员工参加，应该选择甲旅行社． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．根据题意，正确的列出一次函数表示式，是解题的关键． 8. （21-22八年级上·陕西西安·期中）水是人们赖以生存的重要资源，保护水资源是我们每个人的责任，除了平时节约用水，污水净化也是保护水资源的方法之一．某企业生产的产品每件出厂价为50元，成本价为25元，在生产过程中，平均每生产一件产品就有的污水排出，为了绿色环保达到排污标准，工厂设计了两种处理污水的方案： 方案一：工厂污水先净化处理后再排出，每处理污水的费用为2元，并且每月排污设备损耗为20000元； 方案二：工厂将污水排到污水净化厂统一处理，每处理污水的费用为12元． （1）设工厂每月生产件产品，每月利润为元，分别写出依据方案一和方案二处理污水时，与的关系式； （2）若11月份计划生产5000件该产品，选择哪个方案获得的利润较大？ 【答案】（1）；；（2）选择方案一获得的利润较大． 【难度】0.85 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据题意分别列出方案一、方案二与的关系式即可； （2）将分别代入（1）中代数式比较大小即可． 【详解】解：（1）， ， （2）当时， （元， （元， ， 方案一获利较多， 答：若11月份计划生产5000件该产品，选择方案一获得的利润较大． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意得出与的关系式是解本题的关键． 一次函数应用---最大利润问题 1. （20-21八年级上·陕西西安·期中）某超市预购进、两种品牌的T恤共200件，已知两种T恤的进价如表所示，设购进种T恤件，且所购进的两种T恤全部卖出，获得的总利润为元． 品牌 进价/（元/件） 售价/（元/件） 50 80 40 65 （1）求关于的函数关系式； （2）如果购进两种T恤的总费用为9500元，那么超市获得的总利润是多少？ （提示：利润=售价-进价） 【答案】（1）；（2）5750元． 【难度】0.65 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）先根据总件数可得购进B种T恤的件数，再根据利润公式求出A、B两种T恤的利润的和即可得； （2）先根据进价和总费用可建立一个关于x的一元一次方程，解方程可求出x的值，再根据（1）的结论即可得． 【详解】（1）由题意得：购进B种T恤件， 则总利润为， 即； （2）由题意得：， 解得， 将代入（1）的结论得：， 答：超市获得的总利润是5750元． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用、一元一次方程的实际应用，依据题意，正确建立函数关系式和方程是解题关键． 2. （18-19八年级上·陕西榆林·期中）某商店计划购进A、B两种型号的电动自行车共30辆，其中A型电动自行车不少于20辆，A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元、3000元，售价分别为2800元、3500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元． （1）求出y与m之间的函数关系式； （2）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？ 【答案】（1）＝﹣200+15000（20≤m＜30）；（2）    购进A型电动自行车20辆，购进B型10辆，最大利润是11000元． 【难度】0.65 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）利润=一辆A型电动自行车的利润×A型电动自行车的数量+一辆B型电动自行车的利润×B型电动自行车的数量，依此列式化简即可； （2）根据一次函数的性质，结合自变量的取值范围即可求解； 【详解】解：（1）计划购进A型电动自行车辆，B型电动自行车（30-）辆， ＝（2800-2500）m+（3500﹣3000）（30﹣m）， ＝﹣200+15000（20≤m＜30）， （2）∵20≤＜30，且随的增大而减小可得，＝20时，有最大值， ＝﹣200×20+15000＝11000，      购进A型电动自行车20辆，购进B型10辆，最大利润是11000元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是求出y与m之间的函数关系式． 一次函数应用---行程问题 1. （21-22八年级上·陕西咸阳·期中）2020年全世界都在抗击新冠肺炎，每天疫情大数据牵动着无数人的心，中国疫情虽然得到控制，但国人特别重视疫情的防控．西安要举办中学生科技创新大赛，需要志愿者协助进行大赛期间的疫情防控，小亮作为志愿者，昨天早晨7点乘车从家出发，去西安协助进行中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小亮昨天出行的过程中，他距西安的距离y（千米）与他离家的时间x（时）之间的函数图象．根据图象，解答下列问题： (1)求线段所表示的函数关系式； (2)已知昨天下午3点时，小亮距西安112千米，求他何时到家？ 【答案】(1) (2)下午时 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）可设线段所表示的函数关系式为：，根据待定系数法列方程组求解即可； （2）先根据速度路程时间求出小明回家的速度，再根据时间路程速度，列出算式计算即可求解． 【详解】（1）解：设线段所表示的函数关系式为：，依题意有：， 解得． 故线段所表示的函数关系式为：； （2）小时， 千米时， 小时， 时． 答：他下午时到家． 2. （23-24八年级上·陕西榆林·期中）周末，小丽一家人驾车到距家150千米的景点旅游．出发前，汽车油箱内的油量为35升，行驶了80千米时，油箱内的剩余油量为25升． (1)汽车行驶过程中，平均每千米的耗油量为______升； (2)直接写出油箱内的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）间的表达式；（） (3)当油箱中剩余油量为3升时，汽车的行驶路程是多少千米？ 【答案】(1)0.125 (2) (3)当油箱中剩余油量为3升时，汽车的行驶路程是256千米 【难度】0.85 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了函数解析式，列代数式，根据数量关系正确列出关系式是解题关键． （1）根据耗油量千米即可求解； （2）根据题意得到每千米耗油量，即可求出油箱内的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）间的表达式； （3）将代入（1）表达式中，求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，车行驶中的每千米的耗油量为， 故答案为：0.125； （2）油箱内的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）间的表达式为； （3）解：当时，， 解得：， 汽车的行驶路程是256千米． 3. （23-24八年级下·陕西西安·期中）甲、乙两人在一条直线道路上分别从，两点同时出发，相向而行，当两人相遇后，甲继续向点前进（甲到达点时停止运动），乙也立即向点返回，在整个运动过程中，甲、乙均保持匀速运动，甲、乙两人之间的距离（米与乙运动的时间（秒）之间的关系如图所示， (1)、两点的距离是______米． (2)求甲、乙的速度分别是多少米/秒？ (3)当甲到点时，乙距点的距离是多少米？ 【答案】(1) (2)甲的速度为，乙的速度为 (3)甲到点时，乙距点的距离为米 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解图象信息是本题的关键． （1）由图象可得A、B两点的距离； （2）由图象可得甲从A到达B运动的时间为375秒，即可求甲的速度，由两人经过200秒相遇，即可求解； （3）分别求出甲、乙从相遇到甲到B点走的路程，即可求解． 【详解】（1）解：由图象可得A、B两点的距离为1500米， 故答案为：1500； （2）解：由题可得，甲从A到达B运动的时间为375秒， ∴甲的速度为：， 又∵甲乙两人从出发到相遇的时间为200秒， ∴乙的速度为：； （3）解：∵甲从相遇的地点到达B的路程为：米， 乙在两人相遇后运动175秒的路程为：米， ∴甲到B点时，乙距B点的距离为：米． 4. （22-23八年级上·陕西榆林·期中）在河道，两个码头之间有客轮和货轮通行．一天，客轮从码头匀速行驶到码头，同时货轮从码头出发，运送一批物资匀速行驶到码头，两船距码头的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，请根据图象解决下列问题：    (1)，两个码头之间的距离是________； (2)求客轮距码头的距离与时间之间的函数关系式； (3)请问两船出发多久相遇？并求出当两船相遇时距离码头的距离． 【答案】(1)80 (2) (3)， 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】（1）由函数图象上点的坐标含义可得答案；    （2）设客轮距码头的距离与时间的函数关系式为，将点代入，得，从而可得答案； （3）设货轮距码头的距离与时间的函数关系式为，将点代入，可得函数解析式，再利用，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可得：，两个码头之间的距离是． （2）因为客轮距码头的距离与时间的函数图象经过点， 故可设客轮距码头的距离与时间的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 所以客轮距码头的距离与时间的函数关系式为． （3）设货轮距码头的距离与时间的函数关系式为， 将点代入，得，解得， 所以货轮距码头的距离与时间的函数关系式为． 令，即， 解得， 将代入，得， 答：两船出发后相遇，当两船相遇时距离码头的距离为． 【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意，熟练的求解一次函数的解析式是解本题的关键． 5. （21-22八年级上·陕西榆林·期中）某中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了，他们距起点的距离（米）与小明出发的时间（秒）之间的关系如图所示（不完整）．根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)朱老师的速度为______米/秒； (2)求段与之间的函数关系式； (3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离． 【答案】(1)2 (2)段与之间的关系式为 (3)当小明第一次追上朱老师时，小明距起点的距离为300米 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】（1）根据速度=路程÷时间，即可算出朱老师的速度； （2）把B的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解函数解析式即可； （3）设段与之间的关系式为，先求解解析式，再利用函数的交点坐标的含义即可解答． 【详解】（1）解：朱老师的速度（米/秒）， 故答案为：2； （2）设段与之间的关系式为， 把代入得：， 解得， 即段与之间的关系式为． （3）设段与之间的关系式为． ∴， 解得， 所以段与之间的关系式为． 令，解得， ∴（米）， 所以当小明第一次追上朱老师时，小明距起点的距离为300米． 【点睛】此题考查一次函数的应用，利用待定系数法求解函数解析式，函数交点坐标的含义，解题的关键是从图中获取信息，通过数形结合来求解． 6. （21-22八年级上·陕西西安·期中）童童到陕西某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发，沿相同路线先后到达观景点，如图，，分别表示童童与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题： (1)童童在小憩屋休息了__________分钟，观光车出发__________分钟后追上童童． (2)求观光车的平均速度． (3)观光车比童童早几分钟到达观景点？请说明理由． 【答案】(1)5，6 (2)300m/min (3)8分钟，见解析 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】（1）观察两直线的交点的横坐标判断即可； （2）由图象可知，观光车6分钟走了1800米，从而求出观光车的平均速度； （3）由（2）可得观光车到达景区的时间，进而得出观光车比童童早到达观景点的时间． 【详解】（1）解：由图象可知，童童在小憩屋休息了（分钟）， 观光车出发：（分钟），追上童童； 故答案为：5，6； （2）解：观光车的平均速度为：（米分）； （3）解：观光车到达景点所用时间为（分钟）， 童童所用时间为33分钟， ， 故观光车比童童早8分钟到达观景点． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，读函数的图象时，首先要理解横纵坐标表示的含义，数形结合思想的应用是解题关键． 7. （22-23八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两汽车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，0.5 h后乙出发，匀速行驶一段时间后，在途中出现了故障，排除故障用了一个小时，排除故障后，为了行驶安全，速度减少了5 km/h，结果与甲车同时到达B地，甲、乙两车距A地的路程y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示． (1)求甲汽车的速度以及点的坐标． (2)求乙车排除故障后再次出发时，距A地的路程与之间的函数关系式． (3)当时，甲、乙两汽车相距______km． 【答案】(1)甲的速度是km/h，． (2) (3)15 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）用路程除以时间求甲汽车的速度；求出乙车出发时，甲车已经行驶可求出点的坐标； （2）先求出P点坐标，然后用待定系数法求解即可； （3）分别求出甲、乙距离A的距离即可求解． 【详解】（1）解：由图象可知，甲车行驶390km用时为h， 所以甲的速度是（km/h）， 所以乙车出发时，甲车已经行驶了（km）， 所以． （2）解：设乙刚开始的速度是v km/h，则后来的速度为km/h， ，解得， 所以， 所以，后来的速度为75 km/h， 设乙车排除故障后再次出发时，距地的路程与之间的函数关系式为， 由题意得 ， ∴， ∴． （3）解：当时， ， ， ． 所以甲、乙两汽车相距． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了从函数图形获取信息，一元一次方程的应用，以及一次函数的应用，数形结合是解答本题的关键． 8. （19-20八年级上·陕西榆林·期中）李华和王力一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后李华做了一会准备活动，王力先跑．当李华出发时，王力已经距起点米了，李华跑了秒开始休息他们距起点的距离（米）与李华出发的时间（秒）之间的关系如图所示（不完整）．根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）王力的速度为 米/秒；李华休息前的速度为 米/秒； （2）求线段所表示的函数表达式及李华和王力第一次相遇时李华所用时间； （3）李华中途休息了秒后以原来的速度的继续前进，结果他与王力同时到达终点，求起点与终点间的距离． 【答案】（1）2；6；（2）y=2x+200，50秒；（3）720米 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据王力在李华出发行驶的路程和时间，列式计算即可得解； （2）根据王力的速度和行驶的路程列式计算即可求出相遇的时间； （3）先求出李华的速度，再设起点与终点间的距离为x米，根据李华出发后两人的时间相等列出方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意可知：AB为王力对应函数图像，C-D-E-F为李华对应函数图像， 王力的速度=（420-200）÷（110-0）=2米/秒， 李华休息前对应的图像为OD， ∴李华休息前的速度=420÷70=6米/秒， 故答案为：2；6； （2）由图可知：A（0，200），B（110，420）， 设线段AB的表达式为：y=kx+b， 则，解得：， ∴线段AB的函数表达式为：y=2x+200， 由题意可知：点C处表示李华和王力第一次相遇， 设线段OD的表达式为：y=mx，将D（70，420）代入， 得：m=6， ∴线段OD的表达式为：y=6x， 令2x+200=6x，解得：x=50， ∴李华所用的时间为50秒； （3）∵李华休息前的速度为6米/秒， ∴休息后的速度为3米/秒， 设起点与终点间的距离为x米， 由题意得，， 解得：x=720， 答：起点与终点间的距离为720米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，在直角坐标系中的读图能力，关键在于确定出等量关系并列出方程． 一次函数应用---三角形面积倍数关系 1. （23-24八年级上·陕西西安·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，直线与分别交x轴于点B和点C，点A是直线与y轴的交点． (1)求点A、B、C的坐标； (2)在直线上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 【难度】0.85 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与几何综合，正确求出A、B、C三点的坐标是解题的关键． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B，C的坐标； （2）存在，由点A，B，C的坐标，可得出的值，结合，可求出点P的纵坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴； （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； 在中，当时，， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 2. （19-20八年级上·陕西·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． （1）分别求出直线、直线的表达式； （2）在直线上是否存在一点P，使得？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线OC表达式: ;直线AB表达式: ;(2)P的坐标(3,2)或(﹣3,6) 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】(1)利用待定系数法求出各表达式即可． (2)先根据题目的条件解出S△OCP,再设出P点横坐标代入求出,再将横坐标代入AB表达式即可． 【详解】(1)设直线OC的表达式为:y=kx, 将代入得:,解得, ∴直线OC的表达式为: ． ∵AB过点(0,4),设直线AB的表达式为:y=kx+4, 将代入得:,解得, ∴直线AB的表达式为: ． (2) 存在, P的坐标为(3,2)或(﹣3,6),理由如下: , 设P点横坐标Px,则, 解得Px=±3, 将x=3代入,解得y=2, 将x=﹣3代入,解得y=6, ∴P的坐标为(3,2)或(﹣3,6)． 【点睛】本题考查一次函数与几何的结合,关键在于利用待定系数法和面积法进行计算． 3. （22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点，与正比例函数的图象相交于点，与轴相交于点．    (1)求、的值； (2)若将一次函数向下平移个单位长度，交轴于点，求的值； (3)点是正比例函数图象上一点，在轴上是否存在一点，使．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】（1）将点坐标代入可求出一次函数解析式，然后可求点坐标，将点坐标代入即可求出正比例函数的解析式； （2）设平移后的函数表达式为，代入点坐标即可求解； （3）首先求出的面积，然后设出点坐标，根据列出方程求解即可. 【详解】（1）解：把点代入函数， 得． 把点代入函数得：， ∴， ∴． ∵过点， ∴， 解得． （2）∵将一次函数向下平移个单位长度， ∴设平移后的函数表达式为． ∵平移后过点， ∴，解得． （3）由得正比例函数的表达式为． ∵点是正比例函数图象上一点， ∴，解得． ∴点E的坐标为． ∵次函数的图象与轴相交于点， 当时，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵点在轴上，故可设的坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴，解得， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质以及一次函数图象交点的求法，解题的关键是利用方程思想解答． 4. （22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点．    (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)的坐标为或 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）由直线可知：令，则， ∴； （2）， ∴点与轴的距离是4， ∵， 的面积； （3）存在； ∵直线， ∴，， ， ， ， 当点在线段上时设， =    ， ， 的横坐标为或2(舍去）， 代入直线得，， 的坐标为， 当点在线段延长线上时，设， =，    ， ， 的横坐标为或6（舍去）， 代入直线得，， 的坐标为． 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 一次函数应用---其他问题 1. （21-22八年级上·陕西咸阳·期中）为了学生的身体健康，学校课桌、凳子的高度都是按照一定的比例关系设计的，小明对学校新添置的一批课桌、进行观察研究，发现它们可以根据人的身高调节高度，李老师说：“桌高y是凳高x的一次函数，且，求出这个一次函数的关系式”，于是小明测量了一套桌椅，凳高，配套的桌高． (1)请你写出这个一次函数的关系式（不要求写出x的取值范围）； (2)小明回家后分别测量了家里的写字台和凳子的高度，写字台的高度为，凳子的高度为．请你判断它们是否配套？并说明理由． 【答案】(1)； (2)不配套．理由见解析 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，运用待定系数法求得函数解析式是解答本题的关键． （1）直接运用待定系数法解答即可； （2）当时，求得；然后再和比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意设桌高与凳高的关系为， ∵凳高，配套的桌高， ∴，解得， 所以桌高与凳高的关系式为； （2）解：不配套．理由如下： 当时，， 所以该写字台与凳子不配套． 2. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期中）某公司销售玉米种子，价格为5元/千克，如果一次性购买10千克以上的种子，超过10千克部分的种子的价格打八折，部分表格如下： 购买种子的数量/千克 2 5 10 12 20 30 … 付款金额/元 10 50 58 130 … (1)直接写出表格中，的值； (2)设购买种子数量为千克，付款金额为元，求与的函数关系式； (3)小李第一次购买种子35千克，第二次又购买了8千克，若两次购买种子的数量合在一起购买，可省多少钱？ 【答案】(1)， (2) (3)一起购买可省8元 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）由题意计算可求解； （2）由付款金额千克的金额超过10千克部分的金额，可求与的函数关系式； （3）分别求出两次购买金额，即可求解． 【详解】（1）， ； （2）； （3）购买35千克付款金额（元， 购买8千克付款金额（元， 一起购买付款金额（元， （元， 答：一起购买可省8元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解题意是本题的关键． 3. （22-23八年级上·陕西西安·期中）为加强道路安全，今年年初西安市对多条道路防护栏进行维修，如图所示的是道路护栏及其简易结构图，护栏由两端立柱和中间栅栏组成，已知立柱宽度为0.1米，当立柱数目为5根时，护栏总长度为12.5米，若护栏总长度（米）与立柱数目（根）满足一次函数关系，写出与的函数关系，并求立柱数目为10根时，护栏的总长度． 【答案】，立柱数目为10根时，护栏的总长度为28米 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】先求出护栏总长度（米）与立柱数目（根）的一次函数关系，再把代入计算即可． 【详解】解：中间栅栏宽度为米， 所以，． 当时，． 答：立柱数目为10根时，护栏的总长度为28米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求出一次函数解析式是解答本题的关键． 4. （21-22八年级上·陕西西安·期中）为积极响应习近平总书记提出的坚决抵制餐饮浪费行为的重要指示，某送餐公司推出“半份餐”服务，餐量是整份餐的一半，价格也是整份餐的一半，整份餐的单价为16元．希望小学每天中午从该送餐公司订200份午餐，其中半份餐订x份（），其余均为整份餐．该小学每天午餐订单总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若希望小学某天半份餐订了50份．求当天该小学午餐订单的总费用； (3)已知某天希望小学午餐订单的总费用为2720元．当天半份餐订了多少份？ 【答案】(1) (2)2800元 (3)60份 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据订单总费用=价格×半份餐数+价格×整份餐数，且半份餐数+整份餐数=200，数学化计算即可． （2）根据函数解析式，计算当x=50时的函数值即可． （3）根据函数解析式，计算当y=2720时的自变量值即可． 【详解】（1）根据订单总费用=价格×半份餐数+价格×整份餐数，且半份餐数+整份餐数=200，整份餐的单价为16元．订200份午餐，其中半份餐订x份（），其余均为整份餐．该小学每天午餐订单总费用为y元，得 y=8x+16(200-x)=，（）． （2）当x=50时， = =2800， 故希望小学某天半份餐订了50份，当天该小学午餐订单的总费用为2800元． （3）当y=2720时， 解得x=60， 故希望小学午餐订单的总费用为2720元．当天半份餐订了60份． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，求自变量，求函数值，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． 5. （21-22八年级上·陕西咸阳·期中）狗头枣产于陕西省延安市一带，久负盛名，其性味甘平，有润心肺、止咳、补五脏、治虚损的功效，已成为革命圣地延安最为著名的特产．某经销商购进了一批狗头枣，根据以往的销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：当单价为38元/千克时，每天可以销售50千克，单价每下调1元，销量就会增加2千克，若设单价下调了x元/千克，销售量为y千克． （1）y与x之间的关系式为 ； （2）当售价为28元/千克，这天的销售量是多少？ （3）如果这批狗头枣的进价是20元/千克，某天的售价定为30元/千克，则这天的销售利润是多少元？ 【答案】（1）；（2）79千克；（3）这天销售利润是660元 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据当单价为38元/千克时，每天可以销售50千克，单价每下调1元，销量就会增加2千克，进行求解即可； （2）当售价为28元/千克时，则单价下调了10元，由此代入（1）中所求关系式求解即可； （3）先根据题意求出x的值，从而求出y的值，然后根据利润=（售价-进价）×数量求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：．                     （2）当售价为28元/千克时，则单价下调了10元， ∴当时，销售量（千克）； （3）当售价定为30元/千克时，则， ∴， （元）． 答：这天销售利润是660元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意正确列出关系式进行求解． 一次函数与“将军饮马”最值问题 1. （22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，点在轴上，直线与两坐标轴分别交于，两点，，分别是线段，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、求最短路径(勾股定理的应用)、几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】作点关于的对称点，过点作于，则的最小值，三角形面积公式得到的长度便可． 【详解】解：如图，点关于的对称点，过点作交于点，连接，，， 则， 当、、三点共线，且、重合时，为的最小值， 直线的解析式为， ∴当时，， 当时，， ∴，， ， ， ， ∴， 即， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题、一次函数与坐标轴的交点、勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是利用对称性找到点、点位置，属于中考常考题型． 2. （21-22八年级上·陕西西安·期中）如图，已知点C（﹣2，0），一次函数y＝x＋6的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，E，F分别是线段OB，AB上的动点，当CE＋EF的值最小时，点F的坐标为 ． 【答案】（-2，4） 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、线段问题(轴对称综合题) 【分析】如图，作点C关于OB的对称点C′（2，0），过点C′作C′F⊥AB交OB于E，则FC′＝FE+CE的最小值，根据直线AB的解析式为y＝x+6，得到∠BAO=45°，可得C′OE是等腰直角三角形，求出点E坐标，求出FC′解析式，联立方程组即可． 【详解】解：作点C关于OB的对称点C′（2，0），过点C′作C′F⊥AB交OB于E，则FC′＝FE+CE的最小值， 一次函数y＝x＋6的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点， 则A点坐标为（-6，0），B点坐标为（0，6）， ∴OB=OA=6， ∴∠BAO=45°， ∴∠E C′O=45°， ∴OE=OC′=2， 设FC′的解析式为y＝kx+b，把（2，0）和（0,2）代入得， ，解得，， FC′的解析式为y＝-x+2，和y＝x＋6联立方程组得， ，解得， 点F的坐标为（-2，4）． 故答案为：（-2，4） 【点睛】本题考查了最短路径和一次函数的交点问题 ，解题关键是利用轴对称和垂线段最短确定点的位置，利用一次函数解析式求出点的坐标． 3. （19-20八年级上·陕西西安·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点坐标为(5,2)，点在轴上，点在直线上，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、轴对称综合题(几何变换) 【分析】利用轴对称求出F关于x轴的对称点，利用垂线段最短说明最小值的位置，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴F关于x轴的对称点D在直线上，则EF=ED，=PE+ED， ∴当PD垂直于直线时P点到直线的距离最短，此时PD交x轴于点E，则∠DOE=∠DEO=45°， 作PM⊥x轴于点M， ∵点坐标为(5,2)， ∴PM=2，OM=5， ∵∠PEM=∠DEO=45°， ∴PM=EM=2，则OE=3， 由勾股定理得DE=，PE=， ∴PD=+=，即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用轴对称求最短线路问题及垂线段的性质，勾股定理，解题的关键是熟知轴对称的性质以及垂线段最短的性质． 4. （19-20八年级上·陕西·期中）在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于两点，点为线段的中点． （1）如图①，点的坐标为（ ， ），点的坐标为（ ， ）， ； （2）如图②，若点是经过点，且与轴平行的直线上的一个动点，求的最小值； （3）如图③，点是线段上一动点，以为边在的下方作等边，连接，求的最小值． 【答案】(1)0,3;,0;60;(2)最小值为:3;(3)最小值为:2 【难度】0.4 【知识点】动点问题的函数图象、几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】(1)分别令x=0,y=0代入求解即可得出A、B的值,再利用正切求出角度即可． (2)作点O关于直线AD的对称点E,连接CE交直线AD于D’,此时OD+CD的值最小,分别求出C点和E点的坐标,利用勾股定理求出CE即可． (3)以OA为边长向下作等边△AOD,可以确定N的运动方向在ON上,再作C点关于ON的点E,连接OE则ON+CN的最小值就是OE． 【详解】(1)令x=0,代入,解得y=3,则B(0,3), 令y=0,代入,解得x=,则A(,0), ,则∠OAB=60°． 故答案为: 0,3;,0;60． (2)作点O关于直线AD的对称点E,连接CE交直线AD于D’,此时OD+CD的值最小． ∵C是AB的中点, ∴C()即C(), ∵OA=, ∴OE=2, CE=． (3)由(1)可知∠OAC=60°,以OA为边长向下作等边△OAD,连接OC,则△AOC也为等边三角形,作C点关于DA直线的对称点E,由于DA恰好是∠CAE的角平分线,故E正好落在x轴上．则OE就为ON+CN的最小值． 根据角平分线的性质,可得AE=AC, 由等边△AOC可得AC=AO=, ∴ON+CN的最小值:OE=2． 【点睛】本题考查一次函数和几何动点问题,关键在于利用作对称点的方法求出最值问题． 一次函数应用----行程问题分类讨论 1. （22-23八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两位同学对跑步时应该采取什么策略争论不休，甲同学认为应该保持匀速，乙同学认为应该保存体力，先慢后快，他们最终决定进行一次比赛，他们两人同时从起点出发，跑向终点，两人距终点距离（米）与时间（秒）的关系如图所示． 请你根据图象，回答下列问题： (1)两人比赛的全程是____________米，____________同学先到达终点； (2)两人相遇时乙的速度为____________； (3)两人相遇前他们在何时相距30米？ 【答案】(1)800，乙 (2)6 (3)36秒或125秒 【难度】0.4 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】（1）根据图象解答即可； （2）由乙同学加速时段的路程除以变速后至到达终点所用时间即可解答； （3）分别解得甲同学直线的解析式，乙同学变速前与变速后直线的解析式，两人相遇前相距30米，有可能在乙同学变速前或在乙变速后，分两种情况解得即可． 【详解】（1）解：由图象可知，两人比赛的全程是800米， 乙同学用时180秒，甲同学用时200秒， 因此乙同学先到达， 故答案为：800，乙； （2）解∶（米/秒） 故答案为：6； （3）解：设甲同学所在直线为： 把代入得： 设乙同学在变速前直线解析式为 代入 设乙同学变速后的直线解析式为，代入 两人相遇前相距30米，有可能在乙同学变速前 或在乙同学变速后 综上所述，在他们出发36秒或125秒时，即两人在相遇前相距30米． 【点睛】本题考查函数的图象、一次函数的实际应用，涉及待定系数法求一次函数的解析式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，妈妈先跑．当小明出发时，妈妈已经距离起点200米．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题： (1)小明出发之后，前70秒的速度是 米/秒；妈妈的速度是 米/秒； (2)求小明出发后的110 秒内，两人何时相距60米. 【答案】(1)6，2 (2)35秒、65秒和80秒时相距60米 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，看懂图象，求得对于函数解析式是解答的关键． （1）根据两人的运动时间和路程可求解； （2）分别求得线段、直线的函数解析式，进而分两人相遇前和相遇后列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据图象，小明出发之后，前70秒的速度是（米/秒）， 妈妈的速度是（米/秒）， 故答案为：6，2； （2）解：设线段的函数解析式为， 将点代入，得， ∴线段的函数解析式为， 设直线的函数解析式为， 将，代入， 得，解得， ∴直线的函数解析式为， 两人相遇前时，由得； 两人相遇后，由得； 由得， 综上，小明出发后的110 秒内，在35秒、65秒和80秒时相距60米． 3. （23-24八年级上·陕西咸阳·期中）适当的体育锻炼能增强人体的新陈代谢，促进体内组织细胞对糖的摄取和利用的能力，增加肝糖原和肌糖原的储存，长期体育锻炼，还能提高机体对脂肪的动用能力．晓军和晓宇两位同学为了加强锻炼，增强体质，相约周末一起骑自行车沿同一路线从甲地出发前往乙地，晓军先出发，匀速行驶，途中自行车出现故障后停车维修，修好后继续匀速行驶；晓宇在晓军修好车后，立刻从甲地出发匀速前往乙地．设晓军、晓宇两人距甲地的路程分别为（）、（），晓军离开甲地的时间为（），、与之间的函数图像如图所示（全程），根据图像信息，解答下列问题：    (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)在范围内，当的值为多少时，他们两人之间相距5？ 【答案】(1) (2)3或5 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，通过函数图像获得所需信息，并正确求得函数解析式是解题关键． （1）当，设与之间的函数关系式为，利用待定系数法求解即可； （2）首先求得在范围内，与之间的函数关系式，然后分晓军、晓宇二人相遇前和晓军、晓宇二人相遇后两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：当，设与之间的函数关系式为， 根据题意，将点，代入， 可得，解得， ∴当，与之间的函数关系式为； （2）在范围内，设与之间的函数关系式为， 根据题意，将点，代入， 可得，解得， ∴在范围内，与之间的函数关系式为， 在晓军、晓宇二人相遇前，若两人相距5， 则有，即， 解得； 在晓军、晓宇二人相遇后，若两人相距5， 则有，即， 解得． 综上所述，在范围内，当的值为3或5时，他们两人之间相距5． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期中）贝贝、欢欢利用遥控器在电子屏上分别玩甲、乙两个小飞机，甲、乙两个小飞机分别从水平线起点5m和距水平线起点高10m处同时出发，匀速上升．如图是甲、乙两个小飞机所在位置的高度y（单位m）与飞机上升时间x（单位：min）的函数图象． (1)求这两个小飞机在上升过程中y关于x的函数解析式； (2)当这两个小飞机的高度相差4m时，求上升的时间． 【答案】(1)甲飞机的函数解析式为，乙飞机的函数解析式为 (2)这两个小飞机的高度相差4m时，上升的时间为4min或 36min． 【难度】0.65 【知识点】绝对值方程、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据函数图象中所给的数据，利用待定系数法即可求解． （2）根据实际情况，列出方程即可求解． 【详解】（1）设甲飞机的函数解析式为，乙飞机的函数解析式为， 将，代入，把，代入，得，， 解得，． ∴甲飞机的函数解析式为，乙飞机的函数解析式为； （2）当这两个小飞机的高度相差4m时， ∴， 整理得：， 解得或． 故当这两个小飞机的高度相差4m时，上升的时间为4min或 36min． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与实际应用，关键是在于能够正确利用题干中所给的数据，结合数形结合的思想解答． 5. （20-21八年级上·陕西渭南·期中）甲、乙两车分别从两地同时出发，甲车匀速前往地，到达地立即以另一速度按原路匀速返回到地；乙车匀速前往地，设甲、乙两车距地的路程为(千米)，甲车行驶的时间为(时)，与之间的函数图象如图所示． （1）求甲车从地到达地所用的时间； （2）求甲车到达地时乙车距A地的路程； （3）求甲车返回前甲、乙两车相距千米时，甲车行驶的时间． 【答案】（1）甲车从地到达地所用的时间为小时；（2）此时乙车距地的路程为100 千米；（3）甲车行驶的时间为小时或小时． 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）利用待定系数法求出甲车匀速前往B地的函数表达式，再代入求值即可； （2）利用待定系数法求出乙车从B地开往A地的函数表达式，再将m值代入求解即可； （3）分两种情况：甲车与乙车相遇前和甲车与乙车相遇后，根据函数关系式建立方程计算即可． 【详解】解：（1）设甲车匀速前往B地的函数表达式为， 把代入得：， 解得， 所以， 把代入得， 解得， 故甲车从A地到达B地所用的时间为小时； （2）设乙车从B地开往A地的函数表达式为， 把代入得：， 解得：， 所以， 由（1）知，甲车到达B地所用时间为小时，即此时乙车行驶了小时， 所以此时乙车距A地的路程为：(千米)； （3）①甲，乙两车相遇前相距千米：， 解得：， ②甲，乙两车相遇后相距千米：， 解得：， 故甲车返回前甲、乙两车相距千米时，甲车行驶的时间为小时或小时． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练运用待定系数法求出表达式是解题的关键． 一次函数综合---特殊三角形存在性问题 1. （21-22八年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点为轴上一动点，连接． (1)求点、的坐标； (2)当点在轴负半轴上，且的面积为6时，求点的坐标； (3)是否存在点使得为等腰三角形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【难度】0.4 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】（1）令和即可求得点的坐标 （2）由为的边上的高，利用的面积即可求得点的坐标 （3）分三种情况讨论，即可求得点的坐标 【详解】（1）在中， 令，得，所以点的坐标为； 令，得，所以点的坐标为． （2）设点的坐标为， 易得，． 因为为的边上的高， 所以， 解得， 所以点的坐标为． （3）因为，， 所以． 当为等腰三角形时，需分以下三种情况： ①当时，因为， 所以． 又因为， 所以此时点的坐标为或； ②当时，因为， 所以， 所以此时点的坐标为； ③当时，如图． 设，则，， 所以，， 所以 解得， 所以此时点的坐标为． 综上所述，存在点使得为等腰三角形，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，属于综合题，解题的关键是根据等腰三角形的性质求得点的坐标 2. （20-21八年级上·陕西宝鸡·期中）如图直线与轴、轴分别交于点两点，点的坐标是，点的坐标为． （1）求的值． （2）若点是直线上的一个动点且在第二象限，当的面积为时，求出此时点的坐标． （3）在轴上是否存在点，使得为等腰三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2）点P的坐标为（-4，3）；（3）点M的坐标为（-18，0），，（2，0）或（8，0）． 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）由点B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点C的坐标，设点P的坐标为，由S△PAC=S△BOC-S△BAP-S△AOC结合△PAC的面积为3，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出点P的坐标； （3）利用勾股定理求出BC的长度，分CB=CM，BC=BM，MB=MC三种情况考虑：①当CB=CM时，由OM1=OB=8可得出点M1的坐标；②当BC=BM时，由BM2=BM3=BC=10结合点B的坐标可得出点M2，M3的坐标；③当MB=MC时，设OM=t，则M4B=M4C=8-t，利用勾股定理可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出点M4的坐标．综上，此题得解． 【详解】解：（1）∵直线l：y=kx+6过点B（-8，0）， ∴0=-8k+6， ∴ （2）当x=0时， ∴点C的坐标为（0，6）． 设点P的坐标为 ∴S△PAC=S△BOC-S△BAP-S△AOC， ∴x=-4， ∴点P的坐标为（-4，3）．    （3）在Rt△BOC中，OB=8，OC=6， 分三种情况考虑（如图2所示）： ①当CB=CM时，OM1=OB=8， ∴点M1的坐标为（8，0）； ②当BC=BM时，BM2=BM3=BC=10， ∵点B的坐标为（-8，0）， ∴点M2的坐标为（2，0），点M3的坐标为（-18，0）； ③当MB=MC时，设OM=t，则M4B=M4C=8-t， ∴CM42=OM42+OC2，即（8-t）2=t2+62， 解得： ∴点M4的坐标为 综上所述：在x轴上存在一点M，使得△BCM为等腰三角形，点M的坐标为（-18，0），，（2，0）或（8，0）．    【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是分类讨论的数学思想． 3. （20-21八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，与直线交于点C． （1）求点A，B的坐标． （2）若点C的坐标为，求线段的长． （3）若P是x轴上一动点，是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为（0，4）； （2）；（3）存在，当点P的坐标为或时，是直角三角形． 【难度】0.4 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）分别令y=0和x=0求得A、B两点的横坐标和纵坐标，即可确定点A，B的坐标； （2）过点C作于点H．然后求得AH和CH，最后运用勾股定理解答即可； （3）分AB为斜边、AB为直角边且点B为直角顶点和点A为直角顶点三种情况解答即可 【详解】解：（1）∵， ∴令，则，解得，点A的坐标为； 令，则，所以点B的坐标为； （2）如图1，过点C作于点H． ∵点在直线上， ∴，解得． ∴点C的坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得； （3）存在． 理由如下： ①当是斜边时，． ∵， ∴当点P与原点O重合时，， ∴当点P的坐标为时，是直角三角形； ②设是直角边，点B为直角顶点，即，如图2． ∵线段在第一象限， ∴这时点P在x轴负半轴． 设点P的坐标为，则． ∵， ∴，，． ∵， ∴，解得， ∴当点P的坐标为时，是直角三角形； ③设是直角边，点A为直角顶点，即． ∵点A在x轴上，P是x轴上的动点，∴． 综上，当点P的坐标为或时，是直角三角形． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与及几何变换、一次函数的性质及直角三角形的判定等知识点，掌握分类讨论思想和一次函数图像的性质是解答本题的关键． 4. （19-20八年级上·陕西西安·期中）（1）如图1，中，，点在数轴-1处，点在数轴1处，，，则数轴上点对应的数是 ． （2）如图2，点是直线上的动点，过点作垂直轴于点，点是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形时点的坐标为 ．        【答案】（1）；（2）M坐标是（-3，-3），（-1，1），（，）． 【难度】0.15 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）通过勾股定理求出线段MB，而线段MA=MB，进而知道点A对应的数，减去1即可得出答案． （2）分四种情况考虑：当M运动到（-1，1）时，ON=1，MN=1，由MN⊥x轴，以及ON=MN；又当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN时；若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，求出此时M坐标；又当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°，求出此时M坐标，综上，得到所有满足题意M的坐标． 【详解】解：在Rt△MBC中，∠MCB=90°， ∴ ∴， ∵MA=MB， ∴， ∵点M在数轴-1处， ∴数轴上点A对应的数是； （2）①如图1，    当M运动到（-1，1）时，ON=1，MN=1， ∵MN⊥x轴，所以由ON=MN可知，△MNP为等腰直角三角形； ②如图2，    当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN， 设点M（x，2x+3），则有：-x=-（2x+3）， 解得：x=-3， 所以点M坐标为（-3，-3）． 若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，设点M（x，2x+3）， 则有，化简得-2x=-2x-3， 这方程无解，所以这时不存在符合条件的M点； ③如图2， ∵当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°， 设点M′（x，2x+3），则OP=ON′，而， ∴有， 解得：， ∴M′（，）， 综上，符合条件的点M坐标是（-3，-3），（-1，1），（，）． 【点睛】此题考查了实数与数轴，通过勾股定理，在数轴寻找无理数和一次函数综合题，涉及的知识有：实数与数轴，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，利用了分类讨论的思想，分类讨论时注意考虑问题要全面，做到不重不漏． 5. （19-20八年级上·陕西宝鸡·期中）在平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b经过点P（2，2）和点Q（0，﹣2），与x轴交于点A，与直线y2＝mx+n交于点P． （1）求出直线y1＝kx+b的解析式； （2）求出点A的坐标； （3）直线y2＝mx+n绕着点P任意旋转，与x轴交于点B，当△PAB是等腰三角形时，点B有几种位置？请你分别求出点B的坐标． 【答案】（1）y1＝2x﹣2；（2）A（1，0）；（3）点B有4种位置使得△PAB为等腰三角形，坐标分别为（+1，0）、（3，0）、（3.5，0）、（1﹣，0） 【难度】0.4 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式； （2）令y＝0，可求解； （3）对于本题中的等腰△PAB的腰不确定，需要分类讨论：以PA为底和PA为腰．由两点间的距离公式和方程思想解答． 【详解】解：（1）把P（2，2）和点Q（0，﹣2）分别代入y1＝kx+b，得． 解得． 则直线y1＝kx+b的解析式为：y1＝2x﹣2； （2）∵直线y1＝2x﹣2与x轴交于点A， ∴当y＝0时，0＝2x﹣2 ∴x＝1， ∴点A（1，0）； （3）解：过点P作PM⊥x轴，交于点M， 由题意可知A（1，0），M（2，0），AP＝，AM＝1 当m＞0时，点B有3种位置使得△PAB为等腰三角形 ①当AP＝AB时，AB＝， ∴B（+1，0） ②当PA＝PB时，AB＝2AM＝2， ∴B（3，0） ③当BA＝BP时，设AB＝x，由等面积法可得S△ABP＝×2x＝××， 解得x＝2.5， ∴B（3.5，0） 当m＜0时，点B有1种位置使得△PAB为等腰三角形． 当AB＝AP时，OB＝﹣1， ∴B（1﹣，0）． 综上所述，点B有4种位置使得△PAB为等腰三角形，坐标分别为（+1，0）、（3，0）、（3.5，0）、（1﹣，0）． 【点睛】本题考查一次函数与三角形的综合题型,关键在于结合一次函数图象与三角形的性质. 6. （19-20八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、点，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点．   　　　　 (1)求点的坐标； (2)若直线上存在点，使得，请求出点的坐标； (3)在轴右侧、点左侧有一条平行于轴的动直线，分别与，交于点，，轴上是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在；请说明理由． 【答案】（1）；（2），；（3）存在．满足条件的所有点的坐标为，，． 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）联立与，即可求解； （2）设点，根据，可得关于m的方程，解方程即可求解； （3）分三种情况：①当，∠QMN＝90°时，②当，∠QNM＝90°时，③当，∠NQM＝90°时，分别根据等腰直角三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：（1）联立与得：， ∴ （2）设 ∵直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、点， ∴点C（6，0），OC=6， ∴，即 解得：或， ∴点的坐标为：或； （3）存在， 分三种情况：①当，∠QMN＝90°时， 设点Q的坐标为（0，a），则M的坐标为（a+1，a）、N的坐标为（a+1，）， ∴ 解得：， ∴；    ②当，∠QNM＝90°时， 设点Q的坐标为（0，b），则N的坐标为（6-2b，b），M的坐标为（6-2b，5-2b）， ∴， 解得：， ∴；    ③当，∠NQM＝90°时， 设点N的坐标为（c，），则M的坐标为（c，c-1）， 过作，则QT=TM=c， ∴点Q的坐标为（0，2c-1）， ∵， ∴， 解得：， ∴.    综上，满足条件的所有点的坐标为，，. 【点睛】本题考查一次函数的综合运用，涉及到三角形面积的计算、等腰直角三角形的性质等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏． 一次函数与全等三角形 1. （22-23八年级上·陕西西安·期中）问题提出： 如图，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证： ； 问题探究： 如图2，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角，，求点C的坐标； 问题解决： 古城西安已经全面迎来地铁时代！继西安地铁2号线于2011年9月16日通车试运行以来，共有八条线路开通运营，极大促进了西安市的交通运输，目前还有多条线路正在修建中．如图，地铁某线路原计划按OA-AB的方向施工，由于在AB方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将AB段绕点A顺时针或逆时针方向旋转45°至AC或AD方向，则可以绕开此区域．已知OA长为1千米，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线AB与直线平行，请帮助施工队计算出AC和AD所在直线的解析式． 【答案】问题提出：见解析；问题探究：；问题解决：直线，直线 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】问题提出：利用同角的余角相等和AAS证明即可； 问题探究：先求出的坐标，过点作轴，交轴与点，证明 ，即可得解； 问题解决：求出点坐标和直线的解析式，延长交轴与点，延长至点，使，设，过点分别作轴，得到，表示出的坐标，利用的中点在直线上，求出的坐标，再用待定系数法求解析式即可． 【详解】问题提出： 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴（AAS）； 问题探究： 解：， 当时：； 当时：； ∴，， ∴， 过点作轴，交轴与点， 同上法可证：（AAS）， ∴， ∴， ∴； 问题解决： 解：由题意得：， ∵射线AB与直线平行， 设直线的解析式为：， 则：，解得：； ∴； 延长交轴与点，延长至点，使，设，过点分别作轴， 由问题提出可知：（AAS）， ∴， ∴， ∴的中点坐标为：， 由题意可知在直线AB上， ∴， 解得：， ∴，， 设的解析式为：， 则：， 解得：， ∴； 设的解析式为：， 则：， 解得：， ∴； 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及一次函数与几何的综合应用．根据问题提出，理解并掌握一线三直角的全等模型，然后通过构建全等模型探究和解决问题是解题的关键． 2. （21-22八年级上·陕西西安·期中）如图1，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，过点B在第二象限内作且，连接． (1)求点C的坐标； (2)如图2，过点C作直线轴交于点D，交y轴于点E ①求线段的长； ②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M，C，D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（-4，1） (2)①；②（-1，2）或（，0）或（，2） 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）证明△BCH≌△ABO（AAS），则CH=BO=1，BH=AO=3，OH=BH+BO=4，即可求解； （2）①由（1）知点C的坐标为（-4，1），CDx轴交AB于点D，则点D的纵坐标为1，将y=1代入y=3x+3得1=3x+3，即可求解； ②存在，理由：以点M，C，D为顶点的三角形与△BCD全等，点M与点B对应，有如图2的三种情况，即可求解； 【详解】（1）解：在y=3x+3中，当x=0时，y=3， ∴点A的坐标为（0，3）， ∴AO=3， 在y=3x+3中，当y=0时，0=3x+3，x=-1， ∵点B的坐标为（-1，0）， ∴BO=1， 如图1，过点C作CH⊥x轴于点H，则∠BHC=90°， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC=90°， ∴∠CBH+∠ABO=180°-∠ABC=90°， ∵∠AOB=90°， ∴∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠CBH=∠BAO， ∵∠BHC=∠ABO=90°，BC=AB， ∴△BCH≌△ABO（AAS）， ∴CH=BO=1，BH=AO=3， ∴OH=BH+BO=4， ∵点C在第二象限， ∴点C的坐标为（-4，1）； （2）解：①由（1）知点C的坐标为（-4，1）， ∵CDx轴交AB于点D，∴点D的纵坐标为1， 将y=1代入y=3x+3得1=3x+3， ∴x＝， ∴点D的坐标为（，1）， ∴CD＝； ②存在，理由： 以点M，C，D为顶点的三角形与△BCD全等，点M与点B对应，有如图2的三种情况： 当△≌△BDC时， 则点和点B关于直线CE对称， ∴点的坐标为：（-1，2）； 当△≌△BDC时， 则点和点B关于CD的中垂线对称， ∴点（，0）即（，0）； 当△≌△BDC时， 则点和点关于直线CE对称， ∴点的坐标为：（，2）； 综上：M坐标为（-1，2）或（，0）或（，2）时，以点M，C，D为顶点的三角形与全等． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等等，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏． 3. （21-22八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋6交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝﹣2x＋9于点C． （1）点C的坐标是　 　． （2）点M是直线AB上一点，点N是直线y＝﹣2x＋9上一点，连接线段MN，若MNx轴，且MN＝6，求出所有符合条件的点M的坐标． （3）在（2）的条件下，平面上是否存在点P，使得△BOP和△MNC全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（1，7）（2）M（-3，3）或M（5，11）（3）P（4，4）或（-4，4）或（4，2）或（-4，4） 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）联立两直线即可求解； （2）设点M的横坐标为a，分别求出M、N点的坐标，根据MN＝6，得到故可求解； （3）先求出B点坐标，得到MN=OB=6，故当△BOP和△MNC全等时，对应线段相等，求出MC，NC，设点P（x1，x2），得到BP=，OP=，根据BP= NC，OP= MC或BP= MC，OP= NC分别列出方程即可求解． 【详解】（1）联立两直线 解得 ∴点C的坐标是（1，7） 故答案为：（1，7）； （2）设点M的横坐标为a，则M（a，a+6）， ∵MNx轴 ∴N点的纵坐标为a+6，代入直线y＝﹣2x＋9 ∴a+6＝﹣2x＋9 ∴x= ∴N（，a+6） ∵MN＝6， ∴ 解得a=-3或a=5 ∴M（-3，3）或M（5，11） （3）存在 令直线y＝x＋6中x=0，y=6 故B（0，6） ∴OB=6 故MN=OB=6 故当△BOP和△MNC全等时，对应线段相等 ①当M（-3，3）、N（3，3）时 在△MNC中，MC=，NC=， 设点P（x1，x2），故BP=，OP= 当BP= NC，OP= MC时，则，解得或； 当BP= MC，OP= NC时，则，解得或； ∴P点坐标为（4，4）或（-4，4）或（4，2）或（-4，2）； ②当M（5，11）、N（-1，11）时，四种情况与①一致； 综上，P点坐标为（4，4）或（-4，4）或（4，2）或（-4，2）． 【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、一次函数的图像与性质及勾股定理的运用． 4. （20-21八年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象与、轴分别交于、两点，点与点关于轴对称．动点、分别在线段，上（点与点，不重合），且满足． （1）点的坐标为______，点的坐标为______，线段的长度______； （2）当点在什么位置时，？说明理由； （3）当为等腰三角形时，求点的坐标．    【答案】（1）（−4，0），（0，2），2．（2）当P的坐标是（2−4，0）时，△APQ≌△CBP，（3）（2−4，0）或（−，0）． 【难度】0.85 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）把x＝0和y＝0分别代入一次函数的解析式，求出A、B的坐标，根据勾股定理求出BC即可． （2）求出∠PAQ＝∠BCP，∠AQP＝∠BPC，根据点的坐标求出AP＝BC，根据全等三角形的判定推出即可． （3）分为三种情况：①PQ＝BP，②BQ＝QP，③BQ＝BP，根据（2）即可推出①，根据三角形外角性质即可判断②，根据勾股定理得出方程，即可求出③． 【详解】（1）∵， ∴当x＝0时，y＝2， 当y＝0时，x＝−4， 即点A的坐标是（−4，0），点B的坐标是（0，2）， ∵C点与A点关于y轴对称， ∴C的坐标是（4，0）， ∴OA＝4，OC＝4，OB＝2， 由勾股定理得：BC＝＝2． 故答案为：（−4，0），（0，2），2． （2）当P的坐标是（2−4，0）时，△APQ≌△CBP， 理由是：∵OA＝4，P（2−4，0）， ∴AP＝4＋2−4＝2＝BC， ∵∠BPQ＝∠BAO， ∠BAO＋∠AQP＋∠APQ＝180°， ∠APQ＋∠BPQ＋∠BPC＝180°， ∴∠AQP＝∠BPC， ∵A和C关于y轴对称， ∴∠BAO＝∠BCP， 在△APQ和△CBP中， ， ∴△APQ≌△CBP（AAS）， ∴当P的坐标是（2−4，0）时，△APQ≌△CBP； （3）分为三种情况： ①当PB＝PQ时，由（2）知，△APQ≌△CBP， ∴PB＝PQ， 即此时P的坐标是（2−4，0）； ②当BQ＝BP时，则∠BPQ＝∠BQP， ∵∠BAO＝∠BPQ， ∴∠BAO＝∠BQP， 而根据三角形的外角性质得：∠BQP＞∠BAO， ∴此种情况不存在； ③当QB＝QP时，则∠BPQ＝∠QBP＝∠BAO， 即BP＝AP， 设此时P的坐标是（x，0）， ∵在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2＝OP2＋OB2， ∴（x＋4）2＝x2＋22， 解得：x＝−， 即此时P的坐标是（−，0）． ∴当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是（2−4，0）或（−，0）． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，涉及一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，题目综合性比较强，难度偏大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！69 学科网（北京）股份有限公司 $$