专题04 一元一次方程中的含参问题（五大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年六年级数学上册压轴题攻略（沪教版2024）

专题04一元一次方程中的含参问题 目录 压轴题型讲练 1 类型一、利用定义求参数 1 类型二、利用方程的解求参数 3 类型三、已知两个方程的解之间的关系求参数 4 类型四、含参方程的解为整数解 6 类型五、新定义运算的含参问题 8 压轴能力测评 11 类型一、利用定义求参数 【例1】已知是关于的一元一次方程，则 ． 【例2】如果是关于的一元一次方程，试求，的值． 【变式1-1】已知关于的方程是一元一次方程，则多项式：的值是 ． 【变式1-2】关于x的一元一次方程有唯一解，则该方程的解是 ． 【变式1-3】若关于x的方程是一元一次方程，则其解为 ． 类型二、利用方程的解求参数 【例3】若关于y的一元一次方程的解是，则a的值是（　　） A． B． C．40 D．50 【例4】已知a，b为定值，x的方程，无论k为何值，它的解总是2．则 ． 【变式2-1】已知是关于x的方程的解，n满足关系式，则的值是 ． 【变式2-2】已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是，则 = ． 【变式2-3】已知关于的方程的解是，求的值． 类型三、已知两个方程的解之间的关系求参数 【例5】已知关于x的方程与方程的解相同，则a的值为（    ） A．2 B． C．5 D． 【例6】若关于的两个方程与的解互为相反数，求的值． 【变式3-1】已知关于的方程的解比关于的方程的解大3，则 ． 【变式3-2】若方程的解比关于的方程的解小1，则的值为（    ） A． B． C．5 D．3 【变式3-3】已知关于x的方程与方程 的解互为相反数，则m 的值为 ． 类型四、含参方程的解为整数解 【例7】若关于的方程的解为正整数，则所有符合条件的整数的和为（　　） A．0 B．3 C． D． 【例8】若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值和为 ． 【变式4-1】若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ． 【变式4-2】若关于x的方程的解是整数，则非负整数m的值为 ． 【变式4-3】设k为整数，且关于x的方程的解为自然数，则k的值为 ． 类型五、新定义运算的含参问题 【例9】对于有理数，定义了一种“”的新运算，具体为： (1)计算：①；②； (2)若是关于的一元一次方程的解，求的值． 【例10】定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于方程与是“美好方程”，则关于的方程的解是 ． 【变式5-1】定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“互补方程”．例如：方程和为“互补方程”． (1)方程与方程______“互补方程”（填“是”或“不是”）． (2)若关于的方程与方程是“互补方程”，求的值． (3)若关于的方程与是“互补方程”，求的值． 【变式5-2】定义一种新运算“”：，比如：． (1)若，求的值， (2)若关于的方程的解为正整数，则满足条件所有整数的和为_____． 【变式5-3】定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)【定义理解】若方程与方程互为“反对方程”，则______． (2)【知识应用】若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值． (3)【拓展提高】若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，直接写出常数b的值． 1．若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．若关于的方程有整数解，则所有符合条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 3．关于的方程的解比关于的方程的解大2，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．若一元一次方程的解是，则的关系为（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为负倒数 5．按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是，则输出y的值为；若输出 y 的值为，则输入x的值是（ ）    A．1 B． C．1或 D．无法确定 6．小明在解方程去分母时，方程右边的没有乘以 2，因而求得的解为，则原方程的解为（    ） A． B． C．0 D．2 7．已知m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．有一道解一元一次方程的题：，“□”处为运算符号，在印刷时被油墨盖住了，查阅后面的答案得知这个方程的解是，那么“□”处应该是（    ） A．× B．＋ C．÷ D．－ 9．小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6，因而求得的解是，试求原方程的解为 ． 10．关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为_______． 11．对于非零自然数a和b，规定符号的含义是：（m是一个确定的整数）．如果，那么等于 12．已知关于的方程的解与的解互为相反数， ． 13．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值． 14．阅读材料题 定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求，的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04一元一次方程中的含参问题 目录 压轴题型讲练 1 类型一、利用定义求参数 1 类型二、利用方程的解求参数 3 类型三、已知两个方程的解之间的关系求参数 4 类型四、含参方程的解为整数解 6 类型五、新定义运算的含参问题 8 压轴能力测评 11 类型一、利用定义求参数 【例1】已知是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】1 【详解】解：根据题意得： ， 解得或， 因为， 所以， 综上可知：． 故答案为：1． 【例2】如果是关于的一元一次方程，试求，的值． 【答案】，或 【详解】解：是关于的一元一次方程， ，， 解得：，或． 【变式1-1】已知关于的方程是一元一次方程，则多项式：的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且， ∴， 则原式 ， 故答案为：． 【变式1-2】关于x的一元一次方程有唯一解，则该方程的解是 ． 【答案】 【详解】解：∵关于x的一元一次方程有唯一解， ∴且， 解得，， ∴原方程变形为：， 解得，， 故答案为：． 【变式1-3】若关于x的方程是一元一次方程，则其解为 ． 【答案】或 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得或， 当时，原方程为，解得， 当时，原方程为，解得， ∴原方程的解为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义求得m的值是解题的关键：只含有一个未知数（元），并且未知数的最高次是1（次）的整式方程叫做一元一次方程． 类型二、利用方程的解求参数 【例3】若关于y的一元一次方程的解是，则a的值是（　　） A． B． C．40 D．50 【答案】A 【详解】解：把代入方程， 得：， 解得：． 则的值为． 故选：A． 【例4】已知a，b为定值，x的方程，无论k为何值，它的解总是2．则 ． 【答案】 【详解】∵方程的解总是2， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 【变式2-1】已知是关于x的方程的解，n满足关系式，则的值是 ． 【答案】或1 【详解】解：将代入方程中， 得． 解得． 将代入关系式中，得． 解得或． 所以的值为或1． 【变式2-2】已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是，则 = ． 【答案】 【详解】方程两边都乘14，去分母得 ， 整理得， ∵无论k为何值，方程的解总是， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列出方程是解题的关键． 【变式2-3】已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【详解】解：将代入，得：， 解得：， ． 类型三、已知两个方程的解之间的关系求参数 【例5】已知关于x的方程与方程的解相同，则a的值为（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】C 【详解】解：解方程， 得，， 把代入， 得，， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次方程的解法以及方程的解的定义，解决的关键是正确理解方程解的含义． 【例6】若关于的两个方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【详解】解：由，解得：， 由， ， 解得：， ∵两个方程的解互为相反数， ∴ 解得：． 【变式3-1】已知关于的方程的解比关于的方程的解大3，则 ． 【答案】 【详解】解：解方程得：， 解方程得：， 关于的方程的解比关于的方程的解大3， ， 解得：， 故答案为：． 【变式3-2】若方程的解比关于的方程的解小1，则的值为（    ） A． B． C．5 D．3 【答案】A 【详解】解：解方程，得， 则方程的解为， 代入方程可得：， 解得； 故选：A. 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键. 【变式3-3】已知关于x的方程与方程 的解互为相反数，则m 的值为 ． 【答案】 【详解】解：，得， 是方程的解， 由，得， ， 解得：， 故答案为：． 类型四、含参方程的解为整数解 【例7】若关于的方程的解为正整数，则所有符合条件的整数的和为（　　） A．0 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】 ∵关于的方程的解为正整数， ∴整数， ∴所有符合条件的整数的和为：， 故选：A 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【例8】若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值和为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ∵方程有非负整数解，且为整数， ∴或或， 解得：为或或， ∴的值和为， 故答案为：． 【变式4-1】若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ． 【答案】2或3或4或7 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 关于的方程的解为正整数， 为正整数， 或或或 或或或． 故答案为：2或3或4或7 【变式4-2】若关于x的方程的解是整数，则非负整数m的值为 ． 【答案】0或1或3 【详解】解：由方程， 解得：， ∵方程的解是整数， ∴非负整数m的值为0或1或3． 故答案为：0或1或3． 【变式4-3】设k为整数，且关于x的方程的解为自然数，则k的值为 ． 【答案】或0或2 【详解】解：， ， ， ∵k为整数，且关于x的方程的解为自然数， ∴或或， 解得或0或2， 故答案为：或0或2． 类型五、新定义运算的含参问题 【例9】对于有理数，定义了一种“”的新运算，具体为： (1)计算：①；②； (2)若是关于的一元一次方程的解，求的值． 【答案】(1)①5；②； (2)的值为1 【详解】（1）解：①， ， ②， ； （2）解：分两种情况讨论： ①若，则， 解得； ②若，则， 解得； 不满足， 应舍去， 综上所述：的值为1． 【例10】定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于方程与是“美好方程”，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【详解】解：解方程得，， ∵方程与是“美好方程”， ∴方程的解为， 将方程变形为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“互补方程”．例如：方程和为“互补方程”． (1)方程与方程______“互补方程”（填“是”或“不是”）． (2)若关于的方程与方程是“互补方程”，求的值． (3)若关于的方程与是“互补方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【详解】（1）由，解得； 由，解得． ， 方程与方程是“互补方程”． 故答案为：是； （2）由，解得； 由解得． 关于的方程与方程是“互补方程”， ， 解得． （3）由，解得； 由，解得； 关于的方程与是“互补方程”， ， 解得． 【变式5-2】定义一种新运算“”：，比如：． (1)若，求的值， (2)若关于的方程的解为正整数，则满足条件所有整数的和为_____． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 则， 解得； （2）， 则， 整理得：， ∵关于x的方程的解为正整数，且为整数， ∴或或或， 故答案为：12． 【变式5-3】定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)【定义理解】若方程与方程互为“反对方程”，则______． (2)【知识应用】若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值． (3)【拓展提高】若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，直接写出常数b的值． 【答案】(1)4 (2)， (3)或 【详解】（1）解： 方程与方程互为“反对方程”， ． （2）解： 关于x的方程与方程互为“反对方程”， ，， 解得，， （3）解：关于x的方程的“反对方程”为， 由方程，得， 方程有整数解， ，得， 和都为整数， 或， 解得或． 1．若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是正整数， ∴是整数，且 ∴或2或4， ∵是二次三项式， ∴， ∴且， ∴所有满足条件的整数a的值为1，4， ∴所有满足条件的整数a的值之积是， 故选：C． 2．若关于的方程有整数解，则所有符合条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 关于的方程有整数解，且a为整数， 或或1或， 或或或， 所有符合条件的整数的和为， 故选：D． 3．关于的方程的解比关于的方程的解大2，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：解方程得：x=， 解方程得：x=m， 根据题意得：﹣m=2， 解得：m=， 故选：A． 【点睛】本题考查方程的解的定义、解一元一次方程，理解方程的解的定义，会解一元一次方程是解答的关键． 4．若一元一次方程的解是，则的关系为（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为负倒数 【答案】B 【详解】∵关于x的方程的解是， ∴, 解得， 故选B． 5．按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是，则输出y的值为；若输出 y 的值为，则输入x的值是（ ）    A．1 B． C．1或 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：， 把代入，得， 解得：， 或 当输出y的值为，分两种情况， ①当时，，解得：， ②当时，，解得：（舍去）， 输出y的值为时，输入x的值是1， 故选：A． 6．小明在解方程去分母时，方程右边的没有乘以 2，因而求得的解为，则原方程的解为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【详解】解：按照小明的错解方法如下所示： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得，系数化为1得：， 错解的结果为， ， 原方程为， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得，系数化为1得：， 故选：C． 7．已知m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：把代入方程化简得： 化简，得， 由于k可以取任意值，则，解得：， ∴． 故选B． 8．有一道解一元一次方程的题：，“□”处为运算符号，在印刷时被油墨盖住了，查阅后面的答案得知这个方程的解是，那么“□”处应该是（    ） A．× B．＋ C．÷ D．－ 【答案】B 【详解】解：把代入得：， ， ∵ ∴处应该是“”， 故选：B． 9．小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6，因而求得的解是，试求原方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：把代入得 ， ， ． 将代入得， ， 解得， 故答案为： 10．关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为_______． 【答案】8或10 【详解】解：， ， ， ， ∵原方程解是正整数， ∴且为整数， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或10． 11．对于非零自然数a和b，规定符号的含义是：（m是一个确定的整数）．如果，那么等于 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 12．已知关于的方程的解与的解互为相反数， ． 【答案】1 【详解】解：解方程，得：， 解方程， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 已知两方程的解互为相反数， ， ， ， ． 13．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：解方程得， ∵关于x的方程：与方程是“兄弟方程”， ∴关于x的方程：的解为， ∴， ∴； （2）解：∵两个“兄弟方程”的两个解中有一个解为n， ∴另一个解为， ∵这两个解的差为6， ∴或， 解得； （3）解：解方程得，解方程得， ∵关于x的方程和是“兄弟方程”， ∴， 解得． 14．阅读材料题 定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求，的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)3； (2)，； (3)． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：3． （2）解：与互为“反对方程”， ，， 解得，； （3）解：的“反对方程”为， 由得，，由，得， 与的解均为整数， 与都为整数． 也为整数， 当时，，，都为整数； 当时，，，都为整数， 的值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$