第07讲 正多边形（1个知识点+4大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（浙教版）

第07讲 正多边形（1个知识点+4大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.正多边形的相关概念； 2.正多边形与圆； 1、 了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。 2、能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。  知识点01：正多边形与圆 （一）正多边形及有关概念 （1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。 （2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 （3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。 （4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。 （5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。 （6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 （二）正多边形的有关计算 （1）正边形的每个内角都等于 （2）正边形的每个中心角都等于 （3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示， 设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形 的周长面积 【即学即练1】 1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为S，则纸片的剩余部分的面积为（    ）    A． B． C． D．S 【即学即练2】 2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，正六边形内接于，点是上的一点，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 题型01 求正多边形的中心角 1．正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为（    ） A． B． C． D． 2．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 3．正五边形的一个中心角等于 度． 4．如图，正八边形中，连接，那么的度数为 °． 5．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 题型02 已知正多边形的中心角求边数1．如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 2．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则 ．    4．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的边数是 ． 题型03 正多边形和圆的综合1．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（    ） A． B．3 C． D． 2．风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为为（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．    4．如图，正六边形内接于，连接，则 ． 5．如图，正六边形内接于，半径为．    (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 题型04 尺规作图—正多边形1．如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 2．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 3．如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为 ． 4．如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则 ． 5．如图1，等边内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D． （1）可以证明CD垂直平分AB，写出与的数量关系：___． （2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图： ①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． ②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．          1．如图，在扇形中，是上一点，且分别是的内接正六边形、内接正五边形的边，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．正六边形结构在自然界是广泛存在的．如图，将一个正六边形放在平面直角坐标系中，其中心与原点重合．若正六边形的边长是，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．如图，正五边形内接于，为上一点（点与点、不重合），连接、，，垂足为，的度数为（   ）      A． B． C． D． 4．2023年8月24日，金砖国家宣布扩容，新增六个国家，使金砖国家数量变为十一个．如图是金砖国家的图标，其可近似看作一个圆内接正五边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 6．如图，正六边形与正三角形共顶点，若三角形的边长为，则这个六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． 8．如图，在正八边形中，将绕点E逆时针旋转到，连接，，若，则的面积为 ． 9．如图，正六边形内接于且半径为，则的长为 ． 10．由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为 11．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 12．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ． 13．如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形． 14．已知正六边形的半径是，求正六边形的边长和面积． 15．如图，正八边形内接于，为弧上的一点（点不与点A，重合），求的度数． 16．如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、． (1)图①中的度数是_____； (2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____； (3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____． 17．如图① ② ③ ④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正边形，点，分别从点，开始以相同的速度在上逆时针运动． (1)图①中，______，图②中，______，图③中，______； (2)试探索的度数与正边形的边数的关系（直接写出答案）． 18．如图， 的半径为，正六边形内接于．求： (1)圆心O到的距离； (2)正六边形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 正多边形（1个知识点+4大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.正多边形的相关概念； 2.正多边形与圆； 1、 了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。 2、能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。  知识点01：正多边形与圆 （一）正多边形及有关概念 （1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。 （2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 （3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。 （4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。 （5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。 （6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 （二）正多边形的有关计算 （1）正边形的每个内角都等于 （2）正边形的每个中心角都等于 （3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示， 设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形 的周长面积 【即学即练1】 1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为S，则纸片的剩余部分的面积为（    ）    A． B． C． D．S 【答案】C 【分析】如图所示可将正六边形分为6个全等的三角形，拼成的四边形由两个三角形组成，剩余部分由4个三角形组成，故此可求得剩余部分的面积． 【详解】解：如图所示：    将正六边形可分为6个全等的三角形， ∵拼成的四边形的面积为S， ∴每一个三角形的面积为， ∵剩余部分可分割为4个三角形， ∴剩余部分的面积为． 故选C． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆的含义，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键． 【即学即练2】 2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，正六边形内接于，点是上的一点，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆内接正多边形中心角及同弧所多对的圆周角是圆心角一半定理即可． 【详解】如图，连接，，    ∵六边形是圆内接正六边形， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查圆内接正多边形和圆周角定理，解此题的关键是熟练掌握圆内接正多边形中心角计算和圆周角定理角度计算． 题型01 求正多边形的中心角 1．正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的旋转对称问题，根据正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形与旋转对称图形的性质解答． 【详解】解：∵正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形， ∴顶点处的周角被分成四个相等的角，， ∴这个正方形绕着它的中心旋转的整数倍后，就能与它自身重合， 因此这个角度至少是． 故选C． 2．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和，正多边形的中心角，根据题意列出方程求得边数，即可求得中心角的度数． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∴这个正n边形的中心角为， 故选：D． 3．正五边形的一个中心角等于 度． 【答案】 【分析】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为：，则代入求解即可． 【详解】解：正十边形的中心角为：． 故答案为： 4．如图，正八边形中，连接，那么的度数为 °． 【答案】45 【分析】本题考查了求正多边形性质，等腰三角形的性质等知识，掌握正多边形的性质是关键；设正八边形的中心为O，连接，则；由正多边形的性质得，由得的度数，从而求得结果． 【详解】解：设正八边形的中心为O， 如图，连接，则； ； 又， ，， ； 故答案为：45． 5．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 【答案】周长，面积 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法． 【详解】解：正六边形的周长； 连接，过点O作于点G， ∵该六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， 正六边形的面积． 题型02 已知正多边形的中心角求边数 1．如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【分析】连接，，根据正边形的性质知，得，则正边形中心角为，即可解决问题．本题主要考查了正边形和圆的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，， 多边形是正边形， ， ， 正边形中心角为， ， 故选：B． 2．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论，熟练掌握圆周角定理的应用及正确理解正多边形与圆的关系是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：． 3．如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则 ．    【答案】/十五 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，求出的度数，利用360度除以的度数即可得出结果． 【详解】解：连接，    ∵是的内接正六边形的一边， ∴， ∵是的内接正十边形的一边， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 4．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的边数是 ． 【答案】12 【分析】本题考查正多边形的中心角与边数之间的关系，根据正边形的中心角为，即可解题． 【详解】解：设这个正多边形的边数是，且一个正多边形的中心角等于， 有，解得， 故答案为：12． 题型03 正多边形和圆的综合 1．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的面积，先根据含直角三角形的性质求出，进而求出正十二边形的面积，即圆的面积，再根据圆的面积公式可得答案． 【详解】如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，过A作于， 在正十二边形中，， ， ， 正十二边形的面积为， ， ， 的近似值为3. 故选：B． 2．风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质．利用多边形的内角和及正多边形的性质求得的度数，再利用正六边形的对称性即可求得答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ， 由对称性可知， 故选：C． 3．如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．    【答案】10 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故答案为：10． 4．如图，正六边形内接于，连接，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了正多边形和圆，根据内角和定理求出，再根据正六边形的轴对称性可知平分，即可求出答案． 【详解】解：由正六边形可得， ∵正六边形是轴对称性图形， ∴平分，即． 故答案为： 5．如图，正六边形内接于，半径为．    (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，根据正六边形的性质可得，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而可求解． （2）连接，，由为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解． 【详解】（1）解：连接，，如图：   六边形是正六边形， ， 又，是的半径，且半径为， ， 是等边三角形， ． （2）连接，，如图：    则为的直径， ，， 由（1）得：， 在中，， ， G为的中点， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理及圆周角，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 题型04 尺规作图—正多边形 1．如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 【答案】D 【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等 【详解】甲： ∵BF是中垂线   ∴四边形OCDE是菱形    ∴△OCD, △OED都是等边三角形， 同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 乙： ∵AB=AO=BO=AF=OF ∴△OAB, △OAF都是等边三角形， 同理可得△OCD, △OED也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 故选D 【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等 2．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 3．如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为 ． 【答案】． 【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可． 【详解】连接OD,OC,OE, ∵八边形ABCDEFGH是正八边形, ∴∠COD=∠DOE==45°, ∴∠COE=45°+45°=90°, ∴∠CPE=∠COE =45°. 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键． 4．如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则 ． 【答案】12 【分析】如图，连接OA、OC、OB，根据角的转换求出中心角即可解决问题． 【详解】如图，连接OA、OC、OB． ∵若AC、AB分别是内接正三角形、正方形的一边， ∴，， ∴， 由题意得：， ∴12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，一次连接各分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆，熟练的掌握正多边形的有关概念是解答本题的关键． 5．如图1，等边内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D． （1）可以证明CD垂直平分AB，写出与的数量关系：___． （2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图： ①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． ②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．          【答案】（1）；（2）①见解析，②见解析 【分析】（1）结合外心的定义和等边三角形的性质推断出CD垂直平分AB，从而利用垂径定理得出结论即可； （2）①结合（1）的结论，可直接连接AO，BO，分别延长与圆相交，再顺次连接各交点即可； ②如图，延长AF，EC，交于一点，此时可构成等边三角形，从而连接交点与圆心的直线即为所求的对称轴． 【详解】（1）， ∵O为三角形的外心， ∴O为三角形三边中垂线的交点， 又∵三角形为等边三角形， ∴可得CD垂直平分AB， 根据垂径定理可得：； （2）①如图所示，在（1）的基础之上，连接AO，并延长至E，连接BO，并延长至F，顺次连接圆周上各点即可； ②如图所示：（方法不唯一） 【点睛】本题主要考查复杂作图，以及正多边形与圆之间的关系，熟练掌握正多边形的性质是解题关键． 1．如图，在扇形中，是上一点，且分别是的内接正六边形、内接正五边形的边，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆、等腰三角形的性质，根据正多边形和圆的关系，利用正n边形的中心角为分别求得，，再根据等腰三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】解：连接， ∵分别是的内接正六边形、内接正五边形的边， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故选：C． 2．正六边形结构在自然界是广泛存在的．如图，将一个正六边形放在平面直角坐标系中，其中心与原点重合．若正六边形的边长是，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，连接，令交轴于，由正多边形的性质可得，，即得为等边三角形，得到，，进而得到，再根据正六边形的轴对称性可得，据此求出即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，令交轴于， ∵为正六边形，点是中心， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 由正六边形关于轴对称可得，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，正五边形内接于，为上一点（点与点、不重合），连接、，，垂足为，的度数为（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的性质，圆周角定理等知识，连接．求出正五边形的中心角，再利用圆周角定理可得结论． 【详解】解：连接．      在正五边形中，， ， ， ， 故选：B． 4．2023年8月24日，金砖国家宣布扩容，新增六个国家，使金砖国家数量变为十一个．如图是金砖国家的图标，其可近似看作一个圆内接正五边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，由是正五边形可得，，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求出，从而得解． 【详解】解：五边形是正五边形， ，， ， ， 故选：C． 5．如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，矩形，掌握正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，即可． 【详解】解：如图，连接，，，过点作于点，则， 点是正六边形的中心， ， ， 是正三角形， ， 在中，，， ， ， 四边形的周长是， 故选：C 6．如图，正六边形与正三角形共顶点，若三角形的边长为，则这个六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，设交于点G，根据正六边形性质证明是等边三角形， 推出，，推出，得到,． 【详解】连接、，设交于点G， ∵正六边形中，，， ∴是等边三角形， ∴ ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正三角形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正多边形．熟练掌握正六边形性质，等边三角形的判断和性质，垂径定理，圆周角定理，含的直角三角形性质，是解决问题的关键． 7．如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． 【答案】18 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据正五边形的性质，可得，由此得到，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点O是正五边形的中心， ∴， 在中，，， ∴． 故答案为：18． . 8．如图，在正八边形中，将绕点E逆时针旋转到，连接，，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形，等边三角形的判定与性质，解直角三角形；连接，，作，，，根据题意得出，，进而根据，即可求解． 【详解】 解：如图，连接，，作，，， 由正八边形性质得，，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， 由正八边形性质得， ∴， ∵， ∴，同理， ∴， ∴ ． 故答案为：． 9．如图，正六边形内接于且半径为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是正六边形和圆、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握正六边形的性质是本题的关键． 如图：连接，证出是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵多边形是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为3． 10．由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆，含有角的直角三角形，求出内部留的小正六边形的边长，再根据正六边形的面积的计算方法进行计算即可，掌握含有角的直角三角形的边角关系以及正多边形与圆的有关计算方法是解决问题的前提． 【详解】解：根据拼图可知，内部留下一个小的正六边形的边长为1， ∴小正六边形的面积为： ， 故答案为：． 11．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键． 连接，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵多边形是正六边形， ， ， ， 故答案为：． 12．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．过点A作，求得，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】 如图，是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作， 在正八边形中， ∴ ∵，，解得： ∴ ∴正八边形为 ∴ ∴ ∴的估计值为 故答案为：． 13．如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查运用所学的基本尺规作图，实际作图问题，掌握好基本的尺规作图，与实际问题的结合． 【详解】解：方法一：（1）用量角器画圆心角，； （2）连接，，，则为圆内接正三角形． 方法二：（1）用量角器画圆心角； （2）在上用圆规截取； （3）连接，，，则为圆内接正三角形． 方法三：（1）作直径； （2）以为圆心，以长为半径画弧，交于，； （3）连接，，，则为圆内接正三角形． 方法四：（1）作直径； （2）分别以，为圆心，长为半径画弧与分别交于点，，，； （3）连接，，（或连接，，， 则（或为圆内接正三角形． 14．已知正六边形的半径是，求正六边形的边长和面积． 【答案】，． 【分析】本题考查了正多边形和圆，过点作于，先求出正多边形的中心角，再根据等腰三角形的性质和勾股定理解答即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， ∵是正六边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即， 在中，， ∴， ∴． 15．如图，正八边形内接于，为弧上的一点（点不与点A，重合），求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是正多边形和圆、圆周角定理的应用，连接、、，根据正多边形和圆的知识求出正八边形的中心角的度数，根据圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图，连接、、， ∵八边形是正八边形， ∴， ∴， ∴． 16．如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、． (1)图①中的度数是_____； (2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____； (3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】此题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角的计算，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）连接，由圆周角定理即可求出，由全等三角形的判定与性质即可得到； （2）连接，分别求出图②③中的的度数，由全等三角形的判定与性质即可得到； （3）由前三个图可得到规律在正n边形中，的度数为． 【详解】（1）解：如图1中，连接． ， 分别为的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图②，连接， 为正方形， ， 同（1）中的证明方法可得， ， ； 如图③，连接， 为正五边方形， ， 同（1）中的证明方法可得， ， ， 故答案为：，； （3）在图①中，， 在图②中，， 在图③中，， 故在正n边形中，的度数为， 故答案为：． 17．如图① ② ③ ④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正边形，点，分别从点，开始以相同的速度在上逆时针运动． (1)图①中，______，图②中，______，图③中，______； (2)试探索的度数与正边形的边数的关系（直接写出答案）． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了多边形内角和，图形的变化规律，圆周角定理，等边三角形性质，三角形外角性质，利用解答中反映长的规律解答是解题的关键． （1）利用等弧所对的圆周角相等和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和解答即可； （2）利用（1）中解答过程反映出的规律解答即可． 【详解】（1）解：图①中， ∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是正三角形， ∴， ∴， 同理图②中，， ， 图③中，， ， 故答案为：；；； （2）由（1）知：的度数等于圆内接正多边形的一个内角， ∵正n边形的每一个内角等于， ． 18．如图， 的半径为，正六边形内接于．求： (1)圆心O到的距离； (2)正六边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点O作于点H，连结、，则可得，，在根据垂径定理和勾股定理即可求出的长； （2）由，，可得是等边三角形，先求出的面积，即可得正六边形的面积． 本题考查的是正多边形与圆、垂径定理，掌握正六边形的性质、垂径定理是解题的关键． 【详解】（1） 如图，过点O作于点H，连结、， 则，， ， 在中， ， ， ， 故圆心O到的距离为． （2），， 是等边三角形， ， ， ∴正六边形的面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$