第06讲 圆内接四边形（1个知识点+2大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（浙教版）

第06讲 圆内接四边形（1个知识点+2大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.弧长公式； 2.扇形面积； 1、 理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程，掌握公式并能正确、熟练的运用两个公式进行相关计算。  知识点01：圆的内接四边形 1．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。 【即学即练1】 1．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，四边形内接于，为直径，D是中点，若，则（    ）    A．105° B．110° C．115° D．120° 【即学即练2】 1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为（　　）    A． B． C． D． 题型01 已知圆内接三角形求角度 1．如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形为的内接四边形，，则 的大小是（   ）    A． B． C． D． 3．如图，是的直径，点C是上一点，连接，平分交于点D，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．已知的半径，弦的长为，若在上找一点，则 ． 6．如图，为的劣弧上一点，若，则 ． 7．如图，是半圆O的直径、C、D在半圆O上．若，则的度数为 ． 8．如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点，与的延长线交于点，若，，则的度数为 ． 9．如图，，连接 (1)求的度数； (2)若弧与弧相等，求证：四边形是菱形． 10．如图，四边形是的内接四边形，是等边三角形，，求的度数． 题型02 求四边形外接圆的直径 1．如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 3．若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（    ） A． B．3 C． D． 4．如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接．则长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 5．已知矩形的两边长分别为6和8，则矩形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上． 6．在四边形中，，⊙O是△ABD的外接圆，若，则= ． 7．正方形的边长为，其外接圆半径为 ． 8．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，已知D是⊙O上一动点，连接AD、CD，若圆的半径r＝2，则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为 ．    9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2,∠ADB=45°. 求⊙O半径的长. 10．如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB=10cm，BC=8cm，CD平分∠ACB． (1)求AC与BD的长； (2)求四边形ADBC的面积． 1．如图，是的直径，点C、D、E在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，点C是的劣弧上一点，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 3．如图，点A，，，都在上，，，， （     ）度 A． B．42 C． D．44 4．如图，正方形内接于，E为的中点，直线交于点F，若的半径为，则C点到的距离为（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，A、B、C、D都是圆上的点．连接AO，．延长至点F，连接，．则等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，四边形内接于，，连接圆心O与各顶点，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，四边形是的内接四边形，连接，若，，则的度数为 ． 8．如图，四边形是的内接四边形，，则 ． 9．如图，为的直径，C、D为上的点，，若，则的度数为 ． 10．如图，四边形内接于，是的直径，，则的度数是 ． 11．如图，平面直角坐标系中，O 为坐标原点，以 O 为圆心作，点A 、C分别是 与y轴正半轴、x轴正半轴的交点，点B 、D在 上，那么的度数是 ． 12．如图，四边形是内接四边形，，，连接，于点，连接，若，，则的长为 ．    13．如图，四边形是的内接四边形，是等边三角形，，求的度数． 14．如图，四边形内接于与的延长线交于．求证：． 15．如图，圆内接四边形的对角线交于点平分，． (1)求证：为圆的直径； (2)过点作交的延长线于点，若，求此圆半径的长． 16．如图，中，，以为直径的半圆与交于点D，与交于点E． (1)求证：点D为的中点； (2)求证：． 17．如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 18．如图， 内接于， 点 D在上， 点F在 上， 与交于点 E， ， (1)如图1， 求证： ； (2)如图2， 射线交于点G， 过A作 于点M， 交于点H， 求证： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 圆内接四边形（1个知识点+2大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.弧长公式； 2.扇形面积； 1、 理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程，掌握公式并能正确、熟练的运用两个公式进行相关计算。  知识点01：圆的内接四边形 1．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。 【即学即练1】 1．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，四边形内接于，为直径，D是中点，若，则（    ）    A．105° B．110° C．115° D．120° 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得，，求出，利用四边形对角互补求出答案． 【详解】解：∵D是中点，若， ∴ ∵为直径， ∴ ∴ ∵四边形内接于， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确理解圆周角定理求出是解题的关键． 【即学即练2】 1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆内接四边形的性质证得，再根据圆周角定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解题的关键是准确应用圆的有关性质和定理． 题型01 已知圆内接三角形求角度 1．如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论． 【详解】解：∵四边形内接于，， ， 故选：B 2．如图，四边形为的内接四边形，，则 的大小是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由根据圆内接四边形的性质得，求出，然后由圆周角定理即可求解，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 【详解】∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，是的直径，点C是上一点，连接，平分交于点D，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，角平分线的应用等知识，连接，根据角平分线的性质得出，得到，再利用圆内接四边形的性质即可求出结果． 【详解】解：连接   为直径， ， 平分且， ， 圆内接四边形的对角互补 故选：C． 4．如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆内接四边形的性质即可．证明即可得到答案．本题主要考查圆的内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质即可． 【详解】解：依题意，， ∵， ． 故选：B． 5．已知的半径，弦的长为，若在上找一点，则 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理逆定理，先由勾股定理逆定理求出，分别在优弧和劣弧取点和，连接，，，，则，然后根据圆内接四边形的性质可求出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 如图，分别在优弧和劣弧取点和，连接，，，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：或． 6．如图，为的劣弧上一点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，能正确作辅助线是解此题的关键．作圆周角，根据圆周角定理求出的度数，根据圆内接四边形性质求出即可． 【详解】解：如图作圆周角，使在优弧上， ， ， 、、、四点共圆， ， ， 故答案为：． 7．如图，是半圆O的直径、C、D在半圆O上．若，则的度数为 ． 【答案】/118 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据直径所对的圆周角是直角，可得，从而求出，再根据圆内接四边形对角互补，即可解答． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ． 故答案为：． 8．如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点，与的延长线交于点，若，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形的内角和定理，外角性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键，由圆内接四边形的性质得，利用三角形的外角性质得，进而利用三角形的内角和定理即可得解。 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，，连接 (1)求的度数； (2)若弧与弧相等，求证：四边形是菱形． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）先由圆内接四边形得出再结合圆周角定理，即可作答． （2）因为弧与弧相等，所以，则，证明等边三角形，所以，即可证明四边形是菱形； 【详解】（1）∵四边形内接于， ∴ ∴ （2）解：如图：连接 ∵弧与弧相等 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴等边三角形， ∴ 四边形是菱形； 【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 10．如图，四边形是的内接四边形，是等边三角形，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先求解，，再利用圆的内接四边形的对角互补即可得到答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 题型02 求四边形外接圆的直径 1．如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可． 【详解】解：连接OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠A=60°， ∵OD=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=OD=OA， ∵AD=2， ∴OA=OD=OB=2， ∴AB=2+2=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键． 3．若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】运用正方形的性质，以及与外接圆的关系，可求出边心距． 【详解】解：∵一个正方形的周长为24， ∴正方形的边长为6， 由中心角只有四个可得出360°÷4=90°， ∴中心角是：90°， ∴边心距是边长的一半，为3， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质与正方形与它的外接圆的关系，题目比较典型． 4．如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接．则长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】取的中点K，连接，根据即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，取的中点K，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的外接圆的半径为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴CF的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定的最小值是解决本题的关键． 5．已知矩形的两边长分别为6和8，则矩形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上． 【答案】 对角线交点 5 【分析】根据矩形的性质可知矩形的对角线是圆的直径．所以两条对角线的交点为圆心，半径为5． 【详解】解：在矩形中，根据勾股定理求得：， 则， 如图， ∵， ∴是直径，即矩形的四个顶点在以对角线交点为圆心，以5为半径的圆上． 故答案是：对角线交点；5． 【点睛】本题考查了四边形的外接圆，勾股定理，矩形的性质．根据圆周角定理推知为直径是解题的关键． 6．在四边形中，，⊙O是△ABD的外接圆，若，则= ． 【答案】5 【分析】根据已知条件得到点A，B，C，D四点共圆，推出点C在上，然后利用勾股定理可得，于是得到结论． 【详解】解：∵如图，在四边形ABCD中，， ∴点A，B，C，D四点共圆， ∵是的外接圆， ∴点C在上， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 7．正方形的边长为，其外接圆半径为 ． 【答案】1 【分析】如下图，连接AC，则AC为圆的直径，求得AC的长，即得出半径． 【详解】如下图，连接AC 则AC为圆的直径 ∵正方形的边长为 ∴AB=BC= ∴在Rt△ABC中，AC=2 ∴圆的半径为1 故答案为：1． 【点睛】本题考查外接圆的半径，解题关键是连接AC，并求出AC的长． 8．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，已知D是⊙O上一动点，连接AD、CD，若圆的半径r＝2，则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为 ．    【答案】4． 【分析】连接BO并延长交AC于E，交于D，根据垂径定理得到点D到AC的距离最大，根据直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】连接BO并延长交AC于E，交于D，连接AD、CD，    ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC， ∴， ∴OE⊥AC，点D为的中点， 此时点D到AC的距离最大， ∴△ADC的面积最大，即以A、B、C、D为顶点的四边形的面积最大， 在Rt△BAD中，∠ABD＝30°， ∴AD＝BD＝2， 由勾股定理得，AB＝＝2， ∴以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积＝×2×2×2＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质，掌握垂径定理、等边三角形的性质是解题的关键． 9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2,∠ADB=45°. 求⊙O半径的长. 【答案】. 【分析】根据圆周角定理得∠ABC=90°，∠ACB=∠ADB=45°，然后在Rt△ABC利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°， ∵∠ADB=45°， ∴∠ACB=∠ADB=45°， ∴BC=AB=2， ∴AC=， ∴⊙O半径的长为：. 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 10．如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB=10cm，BC=8cm，CD平分∠ACB． (1)求AC与BD的长； (2)求四边形ADBC的面积． 【答案】(1)5cm；(2)49cm2． 【分析】（1）根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，根据勾股定理计算即可； （2）根据三角形的面积公式计算． 【详解】(1)∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴AC= =6（cm）， ∵CD平分∠ACB， ∴BD=AD= AB= （cm）； (2)四边形ADBC的面积=△ABC的面积+△ADB的面积= ×6×8+ ××=49（cm2）． 【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理以及勾股定理．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用． 1．如图，是的直径，点C、D、E在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，连接，利用圆内接四边形性质得到，结合圆周角定理得到，进而推出，最后根据，结合弧、弦、圆心角的关系即可解题． 【详解】解：连接， ， ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 2．如图，点C是的劣弧上一点，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，正确作辅助线是解此题的关键． 在优弧上取一点D，连接，，根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形性质即得． 【详解】在优弧上取一点D，连接，， ∵， ∴， ∴． 故选：C．    3．如图，点A，，，都在上，，，， （     ）度 A． B．42 C． D．44 【答案】C 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 连接，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理分别求出、，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ，， ， ， ， 四边形为的内接四边形， ， ， 故先：C． 4．如图，正方形内接于，E为的中点，直线交于点F，若的半径为，则C点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题综合运用了勾股定理，圆内接四边形，正确作出辅助线是解题的关键． 根据正方形的性质以及圆的性质可得出正方形边长，再利用勾股定理以及三角形面积关系得出即可． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵正方形内接于的半径为， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则C点到的距离为， 故选：C． 5．如图，是的直径，A、B、C、D都是圆上的点．连接AO，．延长至点F，连接，．则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，连接，得到，求出，利用三角形内角和定理求出，熟练掌握圆内接四边形的性质及圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∵ ∴ 故选A． 6．如图，四边形内接于，，连接圆心O与各顶点，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记与的交点为，利用圆内接四边形性质和平行线性质，得到，利用圆周角定理得到，进而得到，利用直角三角形性质得到，，进而得到，最后利用等腰三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：记与的交点为， 四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形性质，平行线性质，圆周角定理，直角三角形性质，等边三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 7．如图，四边形是的内接四边形，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，由，求出，然后根据圆内接四边形的性质即可求解，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 【详解】∵，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形 ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，四边形是的内接四边形，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 9．如图，为的直径，C、D为上的点，，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，正确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键；连接，由于为的直径，由圆周角定理可知，则，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，由四边形是的内接四边形得到，由此得解． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴，即； 又∵，， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴ 故答案为：． 10．如图，四边形内接于，是的直径，，则的度数是 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，由圆周角定理得出，从而求出，再由圆内接四边形对角互补计算即可得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故答案为：． 11．如图，平面直角坐标系中，O 为坐标原点，以 O 为圆心作，点A 、C分别是 与y轴正半轴、x轴正半轴的交点，点B 、D在 上，那么的度数是 ． 【答案】/135度 【分析】本题主要考查了坐标与图形，圆周角定理，利用“在同圆中，同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”求得；然后由圆内接四边形的对角互补来求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵点A、B、C、D共圆， ∴， ∴． 故答案是：． 12．如图，四边形是内接四边形，，，连接，于点，连接，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接，由，得到，求得是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，求得，推出，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 13．如图，四边形是的内接四边形，是等边三角形，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先求解，，再利用圆的内接四边形的对角互补即可得到答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 14．如图，四边形内接于与的延长线交于．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，平行线的性质，等角对等边；根据圆内接四边形可得，进而可得根据可得，则，根据等角对等边，即可得证． 【详解】证明：∵是圆内接四边形， ∴， ∵ ∴． ， ， ， ， 15．如图，圆内接四边形的对角线交于点平分，． (1)求证：为圆的直径； (2)过点作交的延长线于点，若，求此圆半径的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)圆的半径长是6 【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，即可得出是直径； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即平分． ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴是直径； （2）解：∵，， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形，则． ∵平分， ∴． ∵是直径， ∴，则． ∵四边形是圆内接四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是直径， ∴此圆半径的长为． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16．如图，中，，以为直径的半圆与交于点D，与交于点E． (1)求证：点D为的中点； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质： （1）连接，利用等腰三角形的“三线合一”性质即可求证结论； （2）方法一：根据圆内接四边形的性质及等腰三角形的判定即可求证结论； 方法二：利用等腰三角形的性质及圆周角定理即可求证结论； 熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：连结，如图： 为半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴点D为AB的中点． （2）方法一：证明：∵， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴， ∴． 方法二：证明：连结，， ∵，， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． 17．如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴，即平分． ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴是直径， ∴； （2）解：∵，， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形，则． ∵平分， ∴． ∵是直径， ∴，则． ∵四边形是圆内接四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是直径， ∴此圆半径的长为． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．如图， 内接于， 点 D在上， 点F在 上， 与交于点 E， ， (1)如图1， 求证： ； (2)如图2， 射线交于点G， 过A作 于点M， 交于点H， 求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形外角性质求得，再利用利用等腰三角形与三角形内角和定理求得，然后根据等腰三角形的性质得到，则，从而得出，即可得出结论； （2）证明，得到，则，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． （2）证明：∵于点M ∴ ∴ 由（1）知 ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∵点A、B、D、H四点共圆， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，圆内接四边形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和圆周角定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$