第05讲 圆周角（1个知识点+5大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（浙教版）

第05讲 圆周角（1个知识点+5大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.圆周角的概念； 2.圆周角定理； 3.90°的圆周角所对的弦； 1.掌握圆周角的概念； 2.掌握圆周角定理； 3.掌握90°的圆周角所对的弦； 知识点01：圆周角 1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 【即学即练1】 1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，内接于，连接、，若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【即学即练2】 2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，点A，B，C，D在上，，B是弧的中点，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 题型01 圆周角的概念辨析 1．下列说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等 2．如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 3．如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    4．已知点、、、在圆上，且切圆于点，于点，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是 ． 5．把下面的语句还原成图形： 作图区域： (1)的半径为1cm，是的一条弦（不经过M），、分别是劣弧所对应的圆心角和圆周角； (2)是中的一条弧，且． 题型02 圆周角定理1．如图，在中，是直径，是弦，于点E，且，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，是弦的弦心距，，为，则为（   ） A． B． C． D． 3．如图，点A、B、C在上，D是的中点，交于点E．若，，则的度数为 ． 4．如图，是的外接圆，若，则的度数为 ． 5．如图，内接于，为的中点，在上，连接．若，垂足为，直线分别交，于点， (1)求证：； (2)求证：． 题型03 同弧或等弧所对的圆周角相等 1．如图，在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，是的直径，弦交于点，连接，，若，则的度数是（    ） A．50° B．40° C．70° D．60° 3．如图，在中、三条劣弧、、的长都相等，弦与相交于点，弦与的延长线相交于点，且，则的度数为 ． 4．如图，等边内接于，点P是上一动点（点P不与点B，C重合），则的度数为 ． 5．如图，四边形是圆内接四边形，是对角线上的一点，．求证：． 题型04 半圆（直径）所对的圆周角是直角 1．如图，是的直径，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，以为直径的交于点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则 ． 4．如图，是的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则的直径为 ． 5．如图，是的直径，射线交交于点C． (1)尺规作图：求作弧的中点D．（保留作图痕迹） (2)过点D画垂足为E．若，，求的面积． 题型05 90度的圆周角所对的弦是直径 1．如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长的最小值为（     ） A．2 B．4 C．5 D．7 2．如图，是等边三角形，，点是内一点，且，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 3．已知，D是线段上的动点且于点G，，则的最小值为 ． 4．是直角三角形，，，，则的外接圆半径为 ． 5．如图，在中，，以为直径的分别交于点． (1)求证：点是的中点； (2)若，求的度数． 1．如图，为圆O的直径，弦与交于点E，为等腰三角形，为底，，求圆弧所对的圆心角（   ） A． B． C． D． 2．将量角器和三角板按如图所示的方式放置，三角板与量角器交于B，C两点（点B和点C对应的刻度分别为和），则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，的顶点A，B在上，点C在内（O，C在同侧），，则的度数可能是（    ） A． B． C． D． 4．如图，以的边为直径的分别交，于点，．若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 5．如图，四边形内接于，连接，，是的直径，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，半径弦于点，连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知点A，B，C在上，C为弧的中点．若，则等于 ．    8．如图，是的直径，弦垂直平分，点在上，连接，，则 ． 9．如图，是的直径，为弦，过圆心作交于点，连接．若，则 ． 10．如图，在中，弦和相交于点P，若，弧为，则弧为 ． 11．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 12．如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为 ． 13．如图，是的弦，，求弦所对的圆周角的度数． 14．如图，为的直径，，交于点E，交于点E，，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 15．如图，是的直径，射线交交于点C． (1)尺规作图：求作弧的中点D．（保留作图痕迹） (2)过点D画垂足为E．若，，求的面积． 16．课本再现 如图1，的直径为，弦为，的平分线交于点． （1）分别求和的长． 拓展延伸 （2）如图2，若于点，连接． ①求证：直线垂直平分． ②求的长． 17．如图，在中，，， (1)判断的形状并证明你的结论； (2)求的周长． 18．如图，如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 圆周角（1个知识点+5大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.圆周角的概念； 2.圆周角定理； 3.90°的圆周角所对的弦； 1.掌握圆周角的概念； 2.掌握圆周角定理； 3.掌握90°的圆周角所对的弦； 知识点01：圆周角 1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 【即学即练1】 1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，内接于，连接、，若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，可得是等边三角形，，求得，根据三角形内角和求得的度数，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，    ∵， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【即学即练2】 2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，点A，B，C，D在上，，B是弧的中点，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，如图，利用圆心角、弧、弦的关系，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵B是弧的中点， 即， ∴， ∵和都对， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理：熟练掌握圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理是解决问题的关键． 题型01 圆周角的概念辨析 1．下列说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等 【答案】D 【分析】本题题考查了圆周角定理、以及弦、弧、圆心角的概念和联系．解题的关键是熟记与正确理解定义与定理．根据相关概念与知识点之间的联系，逐项判断．即可解题． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧相等，所对的劣弧相等，故选项错误，不符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； D、等弧一定是在同圆或等圆中， 等弧所对的弦相等，故选项正确，符合题意； 故选：D． 2．如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【详解】解：所对的圆周角是与， 故选：D． 3．如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 4．已知点、、、在圆上，且切圆于点，于点，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是 ． 【答案】①②③⑤ 【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可 【详解】解：，都是大于半圆的弧，故①②正确， 在圆上，则线段是弦；故③正确； 都在圆上， 是圆周角 而点不在圆上，则不是圆周角 故④不正确； 是圆心，在圆上 是圆心角 故⑤正确 故正确的有：①②③⑤ 故答案为：①②③⑤ 【点睛】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角． 5．把下面的语句还原成图形： 作图区域： (1)的半径为1cm，是的一条弦（不经过M），、分别是劣弧所对应的圆心角和圆周角； (2)是中的一条弧，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）画非直径的弦，在优弧上取点C，连接，，即可解答； （2）在上取一点D，以为半径画弧，交于点E，即可． 【详解】（1）解：如图，和为所作； 作图区域：        （2）解：如图，在上取一点D，以为半径画弧，交于点E，根据等弦对等弧，可得，即为所作， 作图区域：    【点睛】本题考查了作图-复杂作图，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解乘基本作图，逐步操作即可． 题型02 圆周角定理 1．如图，在中，是直径，是弦，于点E，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出的度数，再根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径，是弦，于点E， ∴， ∴； 故选D． 2．如图，是的直径，是弦的弦心距，，为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本定义，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键．先利用为，得出，再利用直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵为， ∴， ∴， ∵是弦的弦心距， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，点A、B、C在上，D是的中点，交于点E．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆心角与弧之间的关系，三角形外角的性质，连接，根据D是的中点，得到，再由圆周角定理得到，据此根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵D是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．如图，是的外接圆，若，则的度数为 ． 【答案】65 【分析】本题考查了圆周角定理.根据等腰三角形的性质由得，再根据三角形内角和定理计算出，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：65． 5．如图，内接于，为的中点，在上，连接．若，垂足为，直线分别交，于点， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，垂直平分线的判定以及圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接、，先得，则，因为半径相等，得出、都在的垂直平分线上，即可作答． （2）先由直角三角形的两个锐角互余，得，运用圆周角定理得，然后结合等角对等边，则．故是等腰三角形，再结合三线合一，即可作答． 【详解】（1）证明：连接、，如图， 为优弧的中点， ， ， 又， 、都在的垂直平分线上， 即是垂直平分线， ； （2）证明：连接，如图， ，， ，， ， ∵， ， ， ． ∴是等腰三角形， 又， ； 题型03 同弧或等弧所对的圆周角相等 1．如图，在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理等，连接，根据圆周角定理求出，根据可求得的度数．掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， ． 故选：． 2．如图所示，是的直径，弦交于点，连接，，若，则的度数是（    ） A．50° B．40° C．70° D．60° 【答案】D 【分析】本题主要考查圆周角定理及直角三角形两锐角互余，熟练掌握直径所对的圆周角是直角是解题关键．根据直径所对的圆周角是直角得出，感觉直角三角形两锐角互余，结合圆周角定理即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 3．如图，在中、三条劣弧、、的长都相等，弦与相交于点，弦与的延长线相交于点，且，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记定理并灵活运用，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．连接，根据弧相等，得到，设出，根据外角的性质得出，进而利用三角形的内角和求出即可解答． 【详解】解：连接，如图所示：   弧、、的长相等， ， 设， ， ， ， 在中，， 解得， ， ． 故答案为：． 4．如图，等边内接于，点P是上一动点（点P不与点B，C重合），则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了等边三角形的性质和圆周角定理，根据等边三角形的性质得到，再根据同弧所对圆周角相等即可得到答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，四边形是圆内接四边形，是对角线上的一点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等等等，根据题意可得B、E、D都在以A为圆心，的长为半径的圆上，则由圆周角定理得到，再由同弧所对的圆周角相等得到，进而可得，则． 【详解】证明：∵， ∴B、E、D都在以A为圆心，的长为半径的圆上， 如下图所示，连接， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型04 半圆（直径）所对的圆周角是直角 1．如图，是的直径，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，利用直径所对的圆周角是直角求出，则可求，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解∶∵是的直径， ∴ 又， ∴， ∴， 故选∶B． 2．如图，在中，以为直径的交于点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，先求解，证明是的垂直平分线，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵以为直径的交于点， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． ∴； 故选：D． 3．如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 由是的直径的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，继而求得的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案． 【详解】解：∵是的直径的直径， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，是的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则的直径为 ． 【答案】 【分析】先利用圆周角定理得到，再根据角平分线的性质得到点到的距离等于，则利用三角形面积得到，设，，利用勾股定理得到，然后解方程得到的长，从而得到的半径．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形面积公式． 【详解】解：是的直径， ， 平分， 点到的距离等于， ， ， ， 设，， 在中，， 解得，（舍去）， ， 的直径为． 故答案为：． 5．如图，是的直径，射线交交于点C． (1)尺规作图：求作弧的中点D．（保留作图痕迹） (2)过点D画垂足为E．若，，求的面积． 【答案】(1)图形见解析 (2)的面积 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理， 矩形的性质与判定，圆周角定理，熟知垂径定理是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于D，点D即为所求； （2）设交于F，由是的直径，得到，由垂径定理可得，证明四边形为矩形，得到，则，由勾股定理得，则的面积． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求； 作的垂直平分线交于D，点D即为所求； （2）解：设交于F， 是的直径， ， 由（1）得， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，由勾股定理得， 的面积． 题型05 90度的圆周角所对的弦是直径 1．如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长的最小值为（     ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、勾股定理首先证明点在以为直径的上，当、、共线时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图所示 ， ， ， ， 点在以为直径的上，当、、共线时最小， 在中，，， ， ， ． 最小值为． 故选：A． 2．如图，是等边三角形，，点是内一点，且，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质得到，，继而推出，可得点P在以为直径的圆上，得知当C，D，P三点共线时，最小，再利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 则， ∴点P在以为直径的圆上， 如图，设的中点为D，连接，即长度不变，      ∴， ∴当C，D，P三点共线时，最小，此时， ∵， ∴，， ∴的最小值为， 故选D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系的应用，解题的关键是根据已知条件推出，得到点P在以为直径的圆上． 3．已知，D是线段上的动点且于点G，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理．根据，可得点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，当点O，G，B三点共线时，的最小，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：∵， 即， ∴点G在以为直径的圆上， 取的中点O，当点O，G，B三点共线时，的最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 4．是直角三角形，，，，则的外接圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角，根据“的圆周角所对的弦是直径”，即可求得答案． 【详解】∵，，， ∴． ∵为的外接圆的圆周角，， ∴为的外接圆直径． ∴的外接圆半径为． 故答案为：． 5．如图，在中，，以为直径的分别交于点． (1)求证：点是的中点； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质： （1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得到，再根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质可得，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， 即点E为的中点； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 1．如图，为圆O的直径，弦与交于点E，为等腰三角形，为底，，求圆弧所对的圆心角（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质．连接，，根据圆周角定理可得，再由，可得，从而得到，再由圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵为等腰三角形，为底，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴圆弧所对的圆心角为． 故选：A 2．将量角器和三角板按如图所示的方式放置，三角板与量角器交于B，C两点（点B和点C对应的刻度分别为和），则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．本题根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到，即可得出结果． 【详解】解：如图，设量角器的中心为O， 由题意，得：， ∴． 故选：B． 3．如图，的顶点A，B在上，点C在内（O，C在同侧），，则的度数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理和三角形外角的性质，延长交于点D，连接，根据圆周角定理求得，结合是的一个外角，则，即可求得可能的度数． 【详解】解：延长交于点D，连接，如图， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴的度数可能是， 故选：B． 4．如图，以的边为直径的分别交，于点，．若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了圆周角定理．连接，根据圆周角定理可得，所以，，再根据直角三角形角所对的边等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：连接，如图， 为直径， ，， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．如图，四边形内接于，连接，，是的直径，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 根据圆周角定理得到，，再根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，是的直径，半径弦于点，连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，连接，设圆的半径是，由勾股定理得到，求出，得到，由勾股定理求出，即可得到． 【详解】连接， 设圆的半径是， ， 弦于点， ， ， ， ， ， 是圆的直径， ， ， ． 故选：B． 7．如图，已知点A，B，C在上，C为弧的中点．若，则等于 ．    【答案】/140度 【分析】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，连接，根据等弧所对的圆心角相等，可得，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得，由此可解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，是的直径，弦垂直平分，点在上，连接，，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理．连接，根据垂直平分线的性质可得，由等边三角形的性质可得，再根据圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 是的直径，弦垂直平分， ， 是等边三角形，则， ， ， 故答案为：． 9．如图，是的直径，为弦，过圆心作交于点，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理．由圆周角定理可知，，由为直径可知， ，又，可知，利用平行线的性质可求． 【详解】解：与为所对的圆心角和圆周角，， ， 是的直径， ， 又， ， ， 故答案为：． 10．如图，在中，弦和相交于点P，若，弧为，则弧为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形外角的定义及性质，连接，由圆周角定理可得，由三角形外角的定义及性质得出，再由圆周角定理即可得解，解题的关键是掌握：圆周角等于它所对圆心角度数的一半． 【详解】解：如图，连接，   为，即对的圆心角是 ， ， ， 即对的圆心角是 为， 故答案为：50． 11．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、直径所对的圆周角是直角、求一点到圆上点距离的最值，分析得出“动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动”是解题的关键． 根据勾股定理计算，由直径所对的圆周角是直角，推出，推出动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动，当，，在同一直线上时，最小，根据勾股定理求出，则，计算得出答案即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 如图，连接， ∵以为直径作， ∴， ∴， ∴如图，动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动， ∴， ∴当，，在同一直线上时，最小，， ∴，即的最小值， 故答案为：． 12．如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形度角的判定和性质，熟练掌握性质定理，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，连接．得到点在的延长线上时，的长度的最小，最小值，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的上， ， 点在的延长线上时，的长度的最小，最小值， 故答案为：． 13．如图，是的弦，，求弦所对的圆周角的度数． 【答案】或 【分析】本题考查圆周角定理，首先根据，可得，然后根据三角形的内角和定理，判断出，最后根据圆周角定理，判断出弦所对的圆周角是多少即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴弦所对的圆周角的度数是：； ∵弦所对的优弧的度数为：， ∴弦所对的圆周角的度数是：； 综上，可得弦所对的圆周角的度数是或． 14．如图，为的直径，，交于点E，交于点E，，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质： （1）等边对等角，求出的度数，根据直径所对的圆周角为直角，得到，进而得到，再根据角的和差关系即可得出结果； （2）连接，圆周角定理，得到，三线合一，得到即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵为的直径， ∴， 又∵， ∴． 15．如图，是的直径，射线交交于点C． (1)尺规作图：求作弧的中点D．（保留作图痕迹） (2)过点D画垂足为E．若，，求的面积． 【答案】(1)图形见解析 (2)的面积 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理， 矩形的性质与判定，圆周角定理，熟知垂径定理是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于D，点D即为所求； （2）设交于F，由是的直径，得到，由垂径定理可得，证明四边形为矩形，得到，则，由勾股定理得，则的面积． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求； 作的垂直平分线交于D，点D即为所求； （2）解：设交于F， 是的直径， ， 由（1）得， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，由勾股定理得， 的面积． 16．课本再现 如图1，的直径为，弦为，的平分线交于点． （1）分别求和的长． 拓展延伸 （2）如图2，若于点，连接． ①求证：直线垂直平分． ②求的长． 【答案】（1）；；（2）①见解析；② 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、圆周角定理： （1）根据圆周角定理得，在和中，利用勾股定理即可求解； （2）①连接，延长交与点，根据等角对等边可证得，再根据可证得，进而可证得，根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论； ②由（1）得：，由①得：，点是的中点，进而可得，根据即可求解； 添加适当的辅助线解决问题是解题的关键． 【详解】解：（1）为的直径， ， 在中，，， ， 是的角平分线， ， ， 在中，， ； （2）①连接，延长交与点，如图： 为的直径， ， 是的角平分线，且， ， ， ，（公共边）， ， ， ，, 直线垂直平分; ②由（1）得：， 由①得：，点是的中点， 是的中位线， ， ． 17．如图，在中，，， (1)判断的形状并证明你的结论； (2)求的周长． 【答案】(1)为等边三角形，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用圆周角定理可求得，再结合题意，继而可得形状； （2）首先过点作于点，连接，由垂径定理，易求得的长，继而求得答案； 此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理以及勾股定理，熟练掌握辅助线的作法，采用数形结合思想是解题的关键. 【详解】（1）解：为等边三角形，证明如下： 和都是弧所对的圆周角， ， 为等边三角形 （2）过点作于点，连接 ， 为等边三角形， 设，则， 在中，有， 解得 ， 即的周长 18．如图，如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了圆周角定理以及垂径定理和勾股定理； （1）根据垂径定理得到，然后利用圆周角定理得到； （2）根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，又， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$