第04讲 圆心角（1个知识点+4大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（浙教版）

第04讲 圆心角（1个知识点+4大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.圆心角的概念； 2.弧、弦、圆心角的关系； 3.圆心角的应用； 1.掌握圆心角的概念； 2.理解弧、弦、圆心角的关系； 3.掌握圆心角的应用； 知识点01：圆心角相关概念 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 与弧、弦、弦心距的关系 在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，则对应的其余各组量也相等。 理解：(定义） (1)等弧对等圆心角 (2)把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角． (3)因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧． (4)圆心角的度数和它们对的弧的度数相等． 推论： 在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等 性质： ①顶点是圆心； ②两条边都与圆周相交。 ③圆心角性质：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等。在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弦、圆心角所对的弧和对应弦的弦心距，四对量中只要有一对相等，其他三对就一定相等。 [2]  ④一条弧的度数等于它所对的圆心角的度数。 [3]  ⑤半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 【即学即练1】 1．（2023·浙江·模拟预测）已知弦AB把圆周分成两部分，则弦AB所对圆心角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分优弧，劣弧两种情况，求解即可． 【详解】解：∵弦AB把圆周分成两部分， ∴劣弧的度数为：，即：劣弧所对的圆心角的度数为， 优弧的度数为：，即：优弧所对的圆心角的度数为， ∴弦AB所对圆心角的度数为或； 故选C． 【点睛】本题考查弦，弧，角之间的关系．注意弦分弧为优弧和劣弧两种情况． 【即学即练2】 2．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）如图，是的直径，弦垂直平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，在直角中，即可求得的度数为，所以，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ， ， ， ， 的度数为． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线的定义，圆心角、弧、弦的关系，正确解直角三角形，求得的度数是关键． 题型01 利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．下列语句中正确的有（ ） 相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； 半圆是弧． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理推论，圆的对称性，弧的定义，根据圆心角、弧、弦的关系即可判断；根据垂径定理推论，即可判断；根据对称轴是直线，即可判断；根据弧的定义，即可判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故不正确； 平分不是直径的弦的直径垂直于弦；故不正确； 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；故不正确； 半圆是弧，故正确； 综上可知正确的有，共个， 故选：． 2．如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，点 ，，， 在上． （）若，则 ； （）若，则 ． 【答案】 = = 【分析】本题题考查了圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等，即四者有一个相等，则其它三个都相等． 【详解】解：（1）∵， ∴． 故答案为：=； （2）∵， ∴． 故答案为：=． 4．如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ． 【答案】/54度 【分析】本题主要考了圆心角、弧、弦的关系．注意掌握数形结合思想的应用． 根据圆心角与弧的关系可求得的度数，从而即可求解． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴， ∴弧度数等于． 故答案为：． 5．已知是的弦，点在上，连接，． (1)如图①，当时，___________°； (2)如图②，当时，___________°； (3)如图③，当时，___________°． 【答案】(1)70 (2)100 (3)100 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理． （1）根据等弧所对圆心角相等，求得，再利用等边对等角即可求解； （2）利用平行线的性质求得，再利用等腰三角形的性质即可求解； （3）先证明是等边三角形，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：70； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：100； （3）解：∵，又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：100． 题型02 利用弧、弦、圆心角的关系求证 1．在中，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据等弧对等角，进行判断即可． 【详解】解：取的中点，连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 2．如图，在中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系，由逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∴， ∴，故B不符合题意； ∴，故C不符合题意； ∵不一定为的中点， ∴不一定成立，故D符合题意； 故选D 3．如图，中，分别是弦，的中点，且，和不平行，则与的数量关系是 ．    【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，，根据垂径定理可得，，从而可得，然后根据圆心角、弧、弦的关系可得，从而可得，然后利用等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，，    ，分别是弦，的中点， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．如图所示，A、B是半径为2的上的两点，若，点C是弧的中点，则四边形的周长为 ． 【答案】8 【分析】通过等弧所对的圆心角相等和，得到和都是等边三角形，再求出四边形的周长． 【详解】解：∵C是的中点， ∴，而， ∴， ∵， ∴和都是等边三角形， ∴， 所以四边形的周长等于8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是等弧所对的圆心角相等；等边三角形的判定和性质，熟练的运用等弧所对的圆心角相等是解本题的关键． 5．如图，中，弦，相交于点，． (1)比较与的长度，并证明你的结论； (2)求证：． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质． （1）由圆心角、弧、弦的关系推出，即可得到． （2）由证明，即可推出． 【详解】（1）解：与的长度相等，理由如下： ， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ． 题型03 圆心角概念辨析 1．如图，的半径等于4，如果弦所对的圆心角等于，那么圆心到弦的距离为（　　） A． B．2 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，勾股定理，圆心角的相关知识，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．过作于，则，对运用勾股定理即可求解． 【详解】解：过作于，由题意得， ， ∴， ∵， ， ， ∴， 故选：C． 2．如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（    ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到BC∥AD，即可根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， ∵∠AOE＝40°，∠AOE＝∠DOC， ∴∠DOC＝40°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AD， ∴∠OCB＝∠DOC＝40°， 故选：B． 【点睛】此题考查了矩形的性质，熟记矩形的对边平行是解题的关键． 3．已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质， 连接、，证明为等边三角形得到即可，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，    直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 4．如图，是的直径，，，则的度数为 ．    【答案】144°/144度 【分析】根据同弧所对的圆心角相等求出，进而求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同弧所对的圆心角相等，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 5．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 题型04 求圆弧的度数 1．如图是两个大小不同的量角器．小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清．现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）．如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，根据三角形外角的性质可得，根据等边对等角可得，进而可得． 【详解】 由题意知 ∴ ∵量角器为半圆 ∴ ∴ ∴ 故选D． 【点睛】本题考查量角器的使用、三角形外角的性质、等腰三角形的性质、圆的性质等知识点，难度较小，解题的关键是读懂题意，得出小量角器上对应的度数为的度数． 2．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，连接 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的度数为： 故选B． 【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键． 3．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 【答案】/150度 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 4．如图，一把三角尺，，．将其放置在量角器上，点O与圆心重合，若三角尺的直角边和量角器所在圆的半径相等，点C是斜边与量角器边缘的交点，若B点的对应刻度为，则C点的对应刻度为 ． 【答案】/82度 【分析】本题考查圆心角与它所对弧关系，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理．关键是由等边三角形的性质得到． 连接，由，，推出是等边三角形，得到，由B点的对应刻度为，即可求出D点的对应刻度． 【详解】解：连接，如图， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵B点的对应刻度为， ∴D点的对应刻度是． 故答案为：． 5．如图所示，若扇形DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1：2．求这五个圆心角的度数． 【答案】54°，90°，108°，36°，72° 【分析】求出每个扇形所占的百分比，再根据所有扇形所对应的圆心角的和为360°，按比例进行计算即可． 【详解】解：由题意得，扇形DOE所占的百分比为：（1﹣30%﹣25%﹣15%）×＝10%， 扇形AOE所占的百分比为：（1﹣30%﹣25%﹣15%）×＝20%， ∴∠AOB＝360°×15%＝54°， ∠BOC＝360°×25%＝90°， ∠COD＝360°×30%＝108°， ∠DOE＝360°×10%＝36°， ∠AOE＝360°×20%＝72°， 答：这五个圆心角的度数依次为54°，90°，108°，36°，72°． 【点睛】本题考查求圆心角度数，求出各个扇形所占的百分比是正确解答的关键． 1．下列语句中，正确的有（    ） （1）相等的圆心角所对的弧相等； （2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧 （4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理，圆的对称轴，熟练掌握以上知识是解题的关键． 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，据此判断（1）；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断（2）；能重合的弧叫做等弧，据此判断（3）；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴，据此判断（4）． 【详解】解：（1）、不符合题意，需要添加前提条件，即在同圆或等圆中； （2）、不符合题意，平分的弦不能是直径； （3）、不符合题意，等弧是指长度和度数都相等的弧； （4）、不符合题意，圆的对称轴是直径所在的直线． 故答案为：A． 2．下列叙述正确的是（    ） A．平分弦的直径必垂直于弦 B．同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．相等的弧所对的弦相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据垂径定理，三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故A错误； B．同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧或优弧相等，故B错误； C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C错误； D．等弧所对的弦相等，故D正确． 故选：D． 3．如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间等分关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意正确作出辅助线．如图，取弧的中点，连接，．证明，再利用三角形的三边关系解决问题． 【详解】解：如图，取弧的中点，连接，． ，， ， ， ， ． 故选：B． 4．如图，在中，，那么（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理．可过作半径于，由垂径定理可知，因此只需比较和的大小即可；易知，在中，是斜边，是直角边，很显然，即，由此可判断出和的大小关系，即可得解． 【详解】解：如图，过作半径于，连接； 由垂径定理知：，； ； 在中，，则； ，即； 故选：A． 5．如图，已知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴，，故A正确；， ∴， , ∴，故B正确；, ∴，故C错误； ∵， ∴，故D正确； 故选：C． 6．如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连结交于点E，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握以上知识点并能灵活运用．连接，可得，进一步求得，再根据是的中点即可求出． 【详解】解：连接，   是直径， ， ， ， 是的中点， ． 故选：D． 7．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 【答案】/150度 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 8．将按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，若阴影部分的面积为2，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】 本题考查图形的面积，由图形可知按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，阴影部分占其中一份，即的面积是阴影部分的面积的八倍，据此数量关系计算即可． 【详解】解：按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，且阴影部分的面积为2， 的面积为， 故答案为：． 9．如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，由三角形两边之和大于第三边即可得出此时最小，连接，根据点是半圆上一个三等分点、点是的中点，即可得出，再利用勾股定理即可求出的值，此题得解． 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，轴对称中最短路线问题，三角形的三边关系以及勾股定理，根据三角形的三边关系确定取最小值时点的位置是解题的关键． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时最小，连接，如图所示．   点和点关于对称， ． 点是半圆上一个三等分点，点是的中点， ，， ． ， ． 故答案为：． 10．如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则的直径长为 ． 【答案】15 【分析】根据点是弧的中点，得到；根据为的直径，，得到，从而得到，得到，得到，得到，设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，计算2R的值即可． 【详解】如图，因为点是弧的中点， 所以； 因为为的直径， ， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到， 解得． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 11．如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 ． 【答案】/度 【分析】连接，根据三角形内角和定理求出的度数，根据等边对等角得出的度数，然后根据三角形外角的性质得出的度数，则结果可得． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，弧的度数，熟练掌握相关知识点是解本题的关键． 12．如图，在中，已知，，是半圆弧的中点，连接． 线段把图形分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值为 【答案】9 【分析】设半圆弧所在圆的圆心为，连接，过点作，交延长线于点，连接，先根据圆心角定理可得，再根据矩形的判定与性质可得，然后利用三角形的面积公式、圆的面积公式分别求出两部分的面积，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，设半圆弧所在圆的圆心为，连接，过点作，交延长线于点，连接，则， 是半圆弧的中点， ， ， ， 又，， 四边形是矩形， ， 设， 则图形的面积为， ， ， 图形的面积为， ， ， 图形的面积为， ， ， 所以这两部分面积之差的绝对值为， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了圆心角定理、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆心角定理是解题关键． 13．如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．连接，构建全等三角形和；然后利用全等三角形的对应边相等证得． 【详解】证明：连接． 在中，， ， ，、分别是半径和的中点， ， ， ， ． 14．如图，是的直径，点C、D在上，，，垂足分别为E，F，且，与相等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质及圆心角、弧、弦的关系．在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．连接，欲证与相等，先证、关系，证明即可． 【详解】，连接 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵， ∴． 15．如图，中，弦，相交于点，． (1)比较与的长度，并证明你的结论； (2)求证：． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质． （1）由圆心角、弧、弦的关系推出，即可得到． （2）由证明，即可推出． 【详解】（1）解：与的长度相等，理由如下： ， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ． 16．如图，点A，B，C在上，顺次连结，，，且，， (1)求的度数； (2)若的半径为3．求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系，垂径定理以及勾股定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据即可求解； （2）求出的度数可得，过点作交于点连接，分别求出即可求解． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， 如图，过点作交于点连接， 则过， 由（1）可得． ∴， ∵的半径为3， ∴， ∴， ∴ 17．如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，垂足为． (1)若，求的度数； (2)若，，求圆O的半径长． 【答案】(1)的度数是； (2)圆的半径长为． 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理可得，从而可得，即可解答； （2）根据垂径定理可得，然后设圆的半径长为，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）解：是圆的一条弦，， ， ， 的度数是； （2）解：是圆的一条弦，， ， 设圆的半径长为， 在中，， ， ， ∴圆的半径长为． 18．如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．    (1)若的度数为，求的度数． (2)求证：． (3)连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了圆心角、弦、弧之间的关系，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，根据弧的度数求出，再利用等边对等角结合三角形内角和定理即可得出的度数； （2）利用平行线的性质可得，，结合从而得出，即可得证； （3）连接，交于点，先根据勾股定理得出，再利用勾股定理求出，最后再利用勾股定理进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：连接，   ，的度数为， ， ， ； （2）证明：， ，， 又∵， ， ； （3）解：连接，交于点，   ，弦是直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 圆心角（1个知识点+4大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.圆心角的概念； 2.弧、弦、圆心角的关系； 3.圆心角的应用； 1.掌握圆心角的概念； 2.理解弧、弦、圆心角的关系； 3.掌握圆心角的应用； 知识点01：圆心角相关概念 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 与弧、弦、弦心距的关系 在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，则对应的其余各组量也相等。 (1)等弧对等圆心角 (2)把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角． (3)因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧． (4)圆心角的度数和它们对的弧的度数相等． 在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等 ①顶点是圆心； ②两条边都与圆周相交。 ③圆心角性质：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等。在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弦、圆心角所对的弧和对应弦的弦心距，四对量中只要有一对相等，其他三对就一定相等。 [2]  ④一条弧的度数等于它所对的圆心角的度数。 [3]  ⑤半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 【即学即练1】 1．（2023·浙江·模拟预测）已知弦AB把圆周分成两部分，则弦AB所对圆心角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【即学即练2】 2．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）如图，是的直径，弦垂直平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型01 利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．下列语句中正确的有（ ） 相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； 半圆是弧． A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点 ，，， 在上． （）若，则 ； （）若，则 ． 4．如图，已知是的直径， ，，那么弧度数等于 ． 5．已知是的弦，点在上，连接，． (1)如图①，当时，___________°； (2)如图②，当时，___________°； (3)如图③，当时，___________°． 题型02 利用弧、弦、圆心角的关系求证1．在中，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 2．如图，在中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，分别是弦，的中点，且，和不平行，则与的数量关系是 ．    4．如图所示，A、B是半径为2的上的两点，若，点C是弧的中点，则四边形的周长为 ． 5．如图，中，弦，相交于点，． (1)比较与的长度，并证明你的结论； (2)求证：． 题型03 圆心角概念辨析 1．如图，的半径等于4，如果弦所对的圆心角等于，那么圆心到弦的距离为（　　） A． B．2 C．2 D．3 2．如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（    ） A．30° B．40° C．50° D．60° 3．已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为 ． 4．如图，是的直径，，，则的度数为 ．    5．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 题型04 求圆弧的度数 1．如图是两个大小不同的量角器．小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清．现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）．如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 4．如图，一把三角尺，，．将其放置在量角器上，点O与圆心重合，若三角尺的直角边和量角器所在圆的半径相等，点C是斜边与量角器边缘的交点，若B点的对应刻度为，则C点的对应刻度为 ． 5．如图所示，若扇形DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1：2．求这五个圆心角的度数． 1．下列语句中，正确的有（    ） （1）相等的圆心角所对的弧相等； （2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧 （4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴 A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列叙述正确的是（    ） A．平分弦的直径必垂直于弦 B．同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．相等的弧所对的弦相等 3．如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 4．如图，在中，，那么（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法比较 5．如图，已知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连结交于点E，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 7．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 8．将按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，若阴影部分的面积为2，则的面积为 ． 9．如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是 ．    10．如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则的直径长为 ． 11．如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 ． 12．如图，在中，已知，，是半圆弧的中点，连接． 线段把图形分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值为 13．如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 14．如图，是的直径，点C、D在上，，，垂足分别为E，F，且，与相等吗？为什么？ 15．如图，中，弦，相交于点，． (1)比较与的长度，并证明你的结论； (2)求证：． 16．如图，点A，B，C在上，顺次连结，，，且，， (1)求的度数； (2)若的半径为3．求的面积． 17．如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，垂足为． (1)若，求的度数； (2)若，，求圆O的半径长． 18．如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．    (1)若的度数为，求的度数． (2)求证：． (3)连接，若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$