第03讲 垂径定理（选学）（1个知识点+6大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（浙教版）

第03讲 垂径定理（选学）（1个知识点+6大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.掌握垂径定理的概念； 2.掌握垂径定理的推论； 3.掌握垂径定理的应用； 1.掌握垂径定理的概念； 2.掌握垂径定理的推论； 3.掌握垂径定理的应用； 知识点01：圆的对称性 （1）对称中心 圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。 将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。 1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 3. 将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2）对称轴 经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。 （3）垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 几何语言： 垂径定理的几个基本图形： 垂径定理在基本图形中的应用： 2．其它正确结论： ⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三． 注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 【即学即练1】 1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知的半径为5，是的弦，点P在弦上，若，则（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．（2023·浙江·一模）如图，在水平放置的圆柱形排水管的截面中，圆的半径为5，弓形部分水面宽度，则该截面中水的最大深度是（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 题型01 利用垂径定理求值 1．如图在中，于C，若，，则半径长度为（   ） A．5 B．8 C．10 D．4 2．如图，在中，点，，在圆上，且，垂足为．若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，为的弦，于点．若，，则的半径长为 ． 4．如图，的直径和弦相交于点E，已知 ． 5．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 题型02 利用垂径定理求平行弦问题 1．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（　　） A．7 B．17 C．7或17 D．34 2．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 3．已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 4．已知⊙O的直径为20， AB， CD分别是⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=16，CD=10，则AB，CD之间的距离是 ． 5．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 题型03 利用垂径定理求同心圆问题 1．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 2．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 3．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 4． 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 5．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 题型04 利用垂径定理求解其他问题 1．如图，在中，动弦与直径相交于点E 且总有 ，则 的值（    ）    A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．保持不变 2．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 3．如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则 ． 4．如图，点是的中点，在同侧分别以为直径作半半．直线，与两个半圆依次相交于不同的四点．若，，则与之间的函数表达式为 ． 5．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 题型05 垂径定理的推论 1．如图，为⊙O的直径，是⊙O的弦，点是上的一点，且．若，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 2．如图，点A、B、C三点在上，点为弦的中点，，，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，点是的弦的中点，经过圆心交于点，，求的半径为 ． 4．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，它的形状是以为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，，，则此圆的半径的长为 ．    5．将图中破损的轮子复原，已知点，，在弧上． (1)尺规作图：作出该轮子的圆心（不写作法，用黑色笔将作图痕迹加黑）； (2)连接，若点是弧的中点，，点到的距离是，求轮子的半径． 题型06 垂径定理的实际应用 1．如图所示是一圆弧形拱门，其中路面，拱高，该拱门的半径为（    ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深1寸(寸)，锯道长1尺尺寸），问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根据所学知识计算：圆形木材的直径是（） A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸 3．如图，蔬菜大棚的截面是圆弧形，其水平跨度长米，拱高弧的中点到弦的距离为米，则该圆弧所在圆的半径是 米 4．赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，则赵州桥主桥拱的半径约为 m（结果保留整数）． 5．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小明阿学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于、、、四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径． 1．下列命题正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D．三点确定一个圆 2．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 3．如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，是的弦，点P在弦上，，，则⊙O的半径为（　　） A．5 B． C．4 D． 5．如图所示是一圆弧形拱门，其中路面，拱高，该拱门的半径为（    ） A． B． C． D． 6．七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图，小米同学运用数学知识设计徽标，将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，过该图形的，，三个顶点作圆，则该圆的半径长上（    ） A． B． C． D． 7．如图，是的直径，是的弦，，将沿着折叠后恰好经过点，则的长为 ． 8．如图，中M，N分别是弦的中点，且，和不平行，则与的数量关系是 ． 9．如图，为的直径，弦，垂足为，则的半径为 ． 10．HUAWEI Mate60Pro是华为技术有限公司于2023年8月29日上架的一款全球首款支持卫星通话的大众智能手机，即使在没有地面网络信号的情况下，也可以拨打接听卫星电话，该手机还支持AI隔空操控、智感支付、注视不熄屏等智慧功能等．该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．如图，圆弧对应的弦长，半径，垂足为，弓形高长．则半径的长为 ． 11．如图，的半径是4，点A是圆上一个定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是 ． 12．如图，是中的两条弦，相交于点，且，点为劣弧上一动点，为中点，若，连接，则最小值为 ．    13．如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 14．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥（如图1）．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥（如图2），已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为．求此桥拱圆弧的半径（精确到．） 15．如图所示：残缺的圆形轮片上，弦的垂直平分线交圆形轮片于点C，垂足为D， 解答下列问题： (1)用尺规作图找出圆形轮片的圆心O的位置，并将圆形轮片所在的圆补全； （要求：保留所有的作图痕迹，不写作法） (2)若弦，，求残缺圆形轮片所在圆半径r． 16．如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若． (1)连接，求证：； (2)若，，求的半径． 17．如图1，为的直径，弦于点G，且B为弧的中点，交于点H，若，．    (1)求的长； (2)如图2，连接．求证：． 18．根据背景素材，探索解决问题． 测算石拱桥拱圈的半径 素材1 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由侧面为矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩相应边的中点，如图2）．                  素材2 通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点（不在花岗岩的顶点处），B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．            素材3 如果没有带测量工具，可以用身体上的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和高（如图5）．                  解决问题 任务1 获取数据 通过观察计算，得到B，C两点之间的水平距离为 肘，铅垂距离（高度差）为 肘． 任务2 分析计算 通过观察、计算，得到石拱桥拱圈的半径为 肘． 任务3 预测判断 若水平面位于点C处，一艘宽6肘，水面之上的高为7肘的货船是否能顺利通过此石拱桥？请说明理由． 注：在测量、计算时，都以“肘”为单位． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 垂径定理（选学）（1个知识点+6大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.掌握垂径定理的概念； 2.掌握垂径定理的推论； 3.掌握垂径定理的应用； 1.掌握垂径定理的概念； 2.掌握垂径定理的推论； 3.掌握垂径定理的应用； 知识点01：圆的对称性 （1）对称中心 圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。 将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。 1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 3. 将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2）对称轴 经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。 （3）垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 几何语言： 垂径定理的几个基本图形： 垂径定理在基本图形中的应用： 2．其它正确结论： ⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三． 注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 【即学即练1】 1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知的半径为5，是的弦，点P在弦上，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点O作于点C，根据垂径定理可得，即可求得，再利用勾股定理求得的值，再利用勾股定理即可求得的值． 【详解】如图，过点O作于点C，连接，则，    ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得： ， 在中，根据勾股定理得： , 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理和勾股定理，正确作辅助线，熟练利用勾股定理是解题的关键． 【即学即练2】 2．（2023·浙江·一模）如图，在水平放置的圆柱形排水管的截面中，圆的半径为5，弓形部分水面宽度，则该截面中水的最大深度是（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，过O作于C，并延长交圆于D，则，，，    在在，， ∴， 即该截面中水的最大深度是2， 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理得到是解答的关键． 题型01 利用垂径定理求值 1．如图在中，于C，若，，则半径长度为（   ） A．5 B．8 C．10 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．先根据垂径定理求出的长，设的半径为r，再连接，在中利用勾股定理求出r的值即可． 【详解】解：连接， ∵于C， ∴， 设的半径为r， 则，， ∴，解得， 故选：A． 2．如图，在中，点，，在圆上，且，垂足为．若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题关键． 先根据勾股定理得，再根据垂径定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．如图，为的弦，于点．若，，则的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴为的中点， ∴ 在中，， ∴． ∴的半径为． 故答案为： 4．如图，的直径和弦相交于点E，已知 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，作，连接，先求出半径，进而得出，再根据直角三角形的性质得，然后根据勾股定理求出，最后根据垂径定理得出答案． 【详解】过点O作于点F，连接． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 5．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，三角形的内角和定理，勾股定理、等腰三角形的性质等知识，掌握垂径定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，求出，再利用等腰三角形的性质解决问题即可． （2）如图，过点A作，垂足为F．利用面积法求出，再利用勾股定理求出，进而利用垂径定理可得结论； 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，过点A作，垂足为F． ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴． 题型02 利用垂径定理求平行弦问题 1．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（　　） A．7 B．17 C．7或17 D．34 【答案】C 【分析】先作出图象根据勾股定理分别求出弦AB,CD的弦心距OE,OF,再根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧两种情况讨论. 【详解】解：如图, 设E、F为AB、CD的中点， AE=AB=24=12, CF=CD=10=5, OE===5, OF===12, ①当两弦在圆心同侧时,距离=OF-OE=12-5=7; ②当两弦在圆心异侧时,距离=OE+OF=12+5=17. 所以距离为7或17. 故选C. 【点睛】本题主要考查勾股定理及垂径定理的应用. 2．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 3．已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【答案】2或14 【分析】作于E，延长交于F，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图       ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 4．已知⊙O的直径为20， AB， CD分别是⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=16，CD=10，则AB，CD之间的距离是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC，由，得到，利用垂径定理得到E与F分别为CD与AB的中点，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的长，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的长，由即可求出EF的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由求出EF的长即可． 【详解】解：分两种情况考虑： 当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示， 过O作，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC， ，， ∴F、分别为AB、CD的中点， ，， 在中，，， 根据勾股定理得：， 在中，，， 根据勾股定理得：， 则；    当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得， 综上，弦AB与CD的距离为或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 5．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 题型03 利用垂径定理求同心圆问题 1．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 2．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点， C点是AB的中点，即AC=BC==6； 并且OC⊥AB，在中， 由勾股定理得， 所以；AO=8cm， 所以， 所以OC= 故选： 【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容. 3．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 【答案】 【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 4． 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 【答案】134 【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 5．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即小圆的半径r为 题型04 利用垂径定理求解其他问题 1．如图，在中，动弦与直径相交于点E 且总有 ，则 的值（    ）    A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，作于点，连接，，则，设半径为，在直角三角形和中，利用勾股定理整理化简，是解决问题的关键． 【详解】解：作于点，连接，，则，    设半径为， ∵，则， ∴， ∴ ∴的值保持不变． 故选：D． 2．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 由题意得：米，， （米，， （米， 米， 故选：B 3．如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，垂径定理的应用，作于点，于点，利用垂径定理得到，，且易得四边形为矩形，进而得到，再利用等量代换即可得到． 【详解】解：作于点，于点， ，，， ， 易得四边形为矩形， ， ， ， 故答案为：． 4．如图，点是的中点，在同侧分别以为直径作半半．直线，与两个半圆依次相交于不同的四点．若，，则与之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，矩形的判定和性质，求函数表达式，过B点作，过D点作平H点，连接，得到，四边形为矩形，进而得到，推出，再根据，进行求解即可． 【详解】解：过B点作，过D点作平H点，连接，如图，则， ∵， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴； 故答案为：． 5．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识； （1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，为的弦， ， ，， ， ， ； （2）如图，连接， ，为的弦， ，， ∴ 设的半径是， ∴， 解得， 的半径是5． 题型05 垂径定理的推论 1．如图，为⊙O的直径，是⊙O的弦，点是上的一点，且．若，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交于，根据垂径定理推论，再由垂径定理，再由勾股定理计算，的长，从而求得的长，此题考查了圆周角定理，垂径定理和勾股定理的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，交于，    ∵， ∴点是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，点A、B、C三点在上，点为弦的中点，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 连接，设，根据的长计算出的长，根据点为弦的中点，为圆心得到，从而求出的长，在中利用勾股定理求出的值，即可求出的长． 【详解】 解：连接， 设， 则， 点为弦的中点，为圆心， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 故选：B． 【点睛】 本题考查了垂径定理及推论，熟知：垂直于弦的直径平分这条弦，熟练掌握勾股定理的计算． 3．如图，点是的弦的中点，经过圆心交于点，，求的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接常用的辅助线是解题关键．连接，根据垂径定理的推论可得出，．设的半径为r，则，，根据勾股定理可列出关于r的等式，再求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵点是的弦的中点，且经过圆心， ∴，． 设的半径为r，则，， 在中，， ∴， 解得：． 故答案为：5． 4．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，它的形状是以为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，，，则此圆的半径的长为 ．    【答案】13 【分析】首先根据题意确定，结合垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧”，可得；设圆的半径为，则，在中，由勾股定理列式求解，即可获得答案． 【详解】解：∵是中弦的中点，，， ∴， ∵经过圆心交于点， ∴， 设圆的半径为，即，则， ∴在中，可有， 即， 解得， ∴此圆的半径的长为13． 故答案为：13． 5．将图中破损的轮子复原，已知点，，在弧上． (1)尺规作图：作出该轮子的圆心（不写作法，用黑色笔将作图痕迹加黑）； (2)连接，若点是弧的中点，，点到的距离是，求轮子的半径． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理的推论，分别作弦和的垂直平分线，两垂直平分线交点即为所求； （2）连接，，利用垂径定理推论和勾股定理可求出圆片的半径． 【详解】（1）解：如图，分别作垂直平分、垂直平分，交于点， ∴和都经过弧所在圆的圆心， ∴点为该轮子的圆心． 则点即为所作． （2）如图，连接交于，连接， ∵点是的中点，， ∴，， ∵点到的距离是，轮子的半径， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 解得：， ∴轮子的半径为． 【点睛】本题考查垂径定理的推论，可以把垂径定理的题设和结论叙述为：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧，在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立．掌握垂径定理的推论是解题的关键． 题型06 垂径定理的实际应用 1．如图所示是一圆弧形拱门，其中路面，拱高，该拱门的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了拱高的定义，垂径定理，勾股定理；圆心为，连接，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解；理解拱高的定义，能结合垂径定理熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：圆心为，连接， 设， ， ， ， 在中， ， ， 解得：； ； 故选：B． 2．《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深1寸(寸)，锯道长1尺尺寸），问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根据所学知识计算：圆形木材的直径是（） A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设圆的半径为寸，利用勾股定理列出方程是解题的关键．利用垂径定理和勾股定理求得圆的半径即可得出结论． 【详解】解：， （寸）． 设圆的半径为寸，则寸， 寸， ， ， 解得：． 圆柱形木材的直径是（寸）． 故选：C 3．如图，蔬菜大棚的截面是圆弧形，其水平跨度长米，拱高弧的中点到弦的距离为米，则该圆弧所在圆的半径是 米 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．设圆心为，连接，过点作由点交于点，构建方程求解即可． 【详解】解：设圆心为，连接，过点作由点交于点． 设米， ， 米， 在中，， ， ． 故答案为：． 4．赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，则赵州桥主桥拱的半径约为 m（结果保留整数）． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 如图，由题意可知，，，点是的中点，由垂径定理可知，，且，设半径为，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，点是的中点， 由垂径定理可知，，且， 设半径为，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 答：桥拱的半径约为． 故答案为：． 5．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小明阿学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于、、、四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径． 【答案】纸杯的直径为． 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，，过圆心，连接，， ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 1．下列命题正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D．三点确定一个圆 【答案】B 【分析】要明确命题的概念：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．根据矩形、平行四边形、垂径定理、过三点的圆的有关知识即可作出判断． 【详解】解：A、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项是假命题； B、相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形，故本选项是真命题； C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故本选项是假命题； D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项是假命题； 故选：B． 2．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 3．如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，先根据垂径定理得出的长，再利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】是的直径，且， ． 在中， ， ． 故选：B． 4．如图，是的弦，点P在弦上，，，则⊙O的半径为（　　） A．5 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，过O作于H，连接，由垂径定理得到，由勾股定理求出，，得到圆的半径长． 【详解】解：过O作于H，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的半径长是5． 故选：A． 5．如图所示是一圆弧形拱门，其中路面，拱高，该拱门的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了拱高的定义，垂径定理，勾股定理；圆心为，连接，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解；理解拱高的定义，能结合垂径定理熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：圆心为，连接， 设， ， ， ， 在中， ， ， 解得：； ； 故选：B． 6．七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图，小米同学运用数学知识设计徽标，将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，过该图形的，，三个顶点作圆，则该圆的半径长上（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了七巧板，正方形的性质，确定圆的条件以及三角形的外接圆与外心，先求得，，利用垂径定理求得的长，在中，由勾股定理求解即可，解题的关键是作出适当的辅助线，构造直角三角形． 【详解】解：∵将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，如图，连接， ∴，， ∴， 设该圆的半径长是，则，， 在中，由勾股定理得，解得， ∴该圆的半径长是， 故选：． 7．如图，是的直径，是的弦，，将沿着折叠后恰好经过点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，垂径定理，勾股定理；正确做出辅助线是解决本题的关键． 过点作，垂足为，由折叠得，再在中利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点， ， 由折叠得：， ， ， 在中，， ， 解得：或（舍去）， ， 故答案为：． 8．如图，中M，N分别是弦的中点，且，和不平行，则与的数量关系是 ． 【答案】 【分析】连接，根据垂径定理可得，从而可得，然后根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系可得，从而可得，然后利用等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：连接， ∵M，N分别是弦的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦、弦心距的关系，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 9．如图，为的直径，弦，垂足为，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理得出关于是方程，再求出方程的解即可． 【详解】解：连接，设的半径为，则， 为的直径，弦，， ，， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即的半径是5， 故答案为：5． 10．HUAWEI Mate60Pro是华为技术有限公司于2023年8月29日上架的一款全球首款支持卫星通话的大众智能手机，即使在没有地面网络信号的情况下，也可以拨打接听卫星电话，该手机还支持AI隔空操控、智感支付、注视不熄屏等智慧功能等．该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．如图，圆弧对应的弦长，半径，垂足为，弓形高长．则半径的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键在于利用垂径定理和勾股定理构造关于半径的方程． 先根据证明，然后设半径，最后利用勾股定理列出关于的方程，求出即可． 【详解】解：，， ，， 设半径，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故答案为：． 11．如图，的半径是4，点A是圆上一个定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】设交于，连接、、，过作于，连接，由题意易证明是等边三角形，即得出，，从而由勾股定理可求出．再根据直角三角形斜边中线的性质可知，最后利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：设交于，连接、、，过作于，连接， ， ， ， 是等边三角形， ，， 由勾股定理得：． ， ． ， ， 在中，， ， 的最小值是， 故答案为： 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质和三角形三边关系的应用．圆的基本性质，正确的作出辅助线是解题关键． 12．如图，是中的两条弦，相交于点，且，点为劣弧上一动点，为中点，若，连接，则最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查的重点是垂径定理，解直角三角形，中位线等知识，难点是找点的运动轨迹，当找到点的运动轨迹以后再利用两点之间直线最短就可以计算出的最小值． 连接，过点作，交于点，，交于点，构造正方形，计算圆的半径，然后作的中点，连接，连接，推导出点的运动轨迹是以为圆心的圆，连接与圆的交点就是的最小值． 【详解】解：如图所示，连接，过点作，交于点，，交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 如图所示，作的中点，连接，连接，    ∵点是的中点，为中点， ∴， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动， 连接交于点，过点作， ∴当点三点共线时，即点和点重合时，的值最小， ∵点是的中点，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴的最小值为 ， 故答案为：． 13．如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为． (1)求圆弧形拱顶的半径的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)13m (2)10m 【分析】本题考查了垂径定理的应用： （1）设与交于G，与交于H，根据题意和垂径定理可得，，，利用勾股定理求半径即可； （2）利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：设与交于G，与交于H． ，，，， ，，， 设圆拱的半径为r， 在中，， ， 解得， 圆弧形拱顶的半径的长度为； （2）解：， ， 在中，， ， 解得， ， ． 14．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥（如图1）．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥（如图2），已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为．求此桥拱圆弧的半径（精确到．） 【答案】此桥拱圆弧的半径约为 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．设弦所在圆的圆心为，弧的中点为，弦的中点为，连接，，，圆的半径为，由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图2所示，设弦所在圆的圆心为，弧的中点为，弦的中点为，连接，，，圆的半径为， 由垂径定理可知，， ，，三点共线， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 此桥拱圆弧的半径约为． 15．如图所示：残缺的圆形轮片上，弦的垂直平分线交圆形轮片于点C，垂足为D， 解答下列问题： (1)用尺规作图找出圆形轮片的圆心O的位置，并将圆形轮片所在的圆补全； （要求：保留所有的作图痕迹，不写作法） (2)若弦，，求残缺圆形轮片所在圆半径r． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题考查圆的垂径定理，勾股定理，熟练掌握通过垂径定理找圆心，通过勾股定理构造方程求边长是解题的关键． （1）由于是弦的垂直平分线，则圆心在上，因此连接，圆心在的垂直平分线上，故作的垂直平分线，交于点O，则点O就是所求的圆心，然后补全圆即可； （2）连接，设半径为x，即，则，根据是的垂直平分线，得到，，因此在中，根据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径． 【详解】（1）解：如图，点O为所求的圆心． （2）连接， 设半径为x，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴ ∴在中，， 即， 解得：， ∴此残片所在圆的半径为13． 16．如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若． (1)连接，求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆的相关性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些性质． （1）连接，由圆的性质可得，根据，可得，由垂径定理可得，然后借助角关系转化可得结论； （2）在由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：连接， ， ， ， ， 为的下半圆弧的中点， ， ， ， ； （2）在中，， ， （不合题意舍去）或， 的半径为． 17．如图1，为的直径，弦于点G，且B为弧的中点，交于点H，若，．    (1)求的长； (2)如图2，连接．求证：． 【答案】(1)4 (2)见详解 【分析】（1）由于垂径定理，得，结合三角形的外角性质，得，即可通过证明，则，即可作答． （2）结合半径相等，得点O在的垂直平分线上，由（1）知，则，得到，点H在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】（1）解：连接，交于一点，如图所示：    ∵B为弧的中点 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解： 连接，交于一点，如图所示：    ∵ ∴，点O在的垂直平分线上 由（1）知， ∴ ∴，点H在的垂直平分线上 ∴所在的直线是的垂直平分线上 ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，垂直平分线的判定、垂直平分线的性质，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18．根据背景素材，探索解决问题． 测算石拱桥拱圈的半径 素材1 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由侧面为矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩相应边的中点，如图2）．                  素材2 通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点（不在花岗岩的顶点处），B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．            素材3 如果没有带测量工具，可以用身体上的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和高（如图5）．                  解决问题 任务1 获取数据 通过观察计算，得到B，C两点之间的水平距离为 肘，铅垂距离（高度差）为 肘． 任务2 分析计算 通过观察、计算，得到石拱桥拱圈的半径为 肘． 任务3 预测判断 若水平面位于点C处，一艘宽6肘，水面之上的高为7肘的货船是否能顺利通过此石拱桥？请说明理由． 注：在测量、计算时，都以“肘”为单位． 【答案】任务1：5，5；任务2：；任务3：货船不能顺利通过此石拱桥 【分析】 任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘、宽为1肘，根据素材1、素材2，观察图形，得出B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）即可； 任务2：作过点C的水平线，过点A作该水平线的垂线，垂足为E，作于点D，记圆心为O，连结，．观察图形，得出，，的长，设，则，根据勾股定理，，，半径，得到方程，求解方程得出，计算，即可得出石拱桥拱圈的半径； 任务3：根据垂径定理可知（肘），利用勾股定理求出，的长，即可判断答案． 【详解】任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘、宽为1肘， 根据素材1、素材2，观察图形，B，C两点之间的水平距离有块花岗岩的长，则（肘）， B，C两点之间的铅垂距离（高度差）有5块花岗岩的宽，则（肘）， 故答案为：5，5． 任务2：如图，作过点C的水平线，过点A作该水平线的垂线，垂足为E，作于点D， 记圆心为O，连结，， A是拱圈的最高点， 圆心O在的延长线上， 观察图形，（肘），（肘），（肘）， 设，则， ，，， ， 解得：， ， 石拱桥拱圈的半径为肘， 故答案为：． 任务3： 货船不能通过此石拱桥．理由如下： 由垂径定理得，（肘）， （肘）， （肘）， ， ， 即（肘）， 所以货船不能通过此石拱桥． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握知识点、观察图形、作辅助线计算是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！46 学科网（北京）股份有限公司 $$