第02讲 图形的旋转（6个知识点+15大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（浙教版）

第02讲 图形的旋转（6个知识点+15大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.图形的旋转概念； 2.旋转中心、旋转角； 3.旋转中的坐标问题； 1. 掌握图形的旋转相关概念； 2. 找出旋转中的旋转中心、旋转角和对应点； 3. 掌握旋转中的坐标问题； 知识点1 旋转的概念 把一个图形绕 转动一个 的图形变换叫做旋转．这点叫做 ，转动的角叫做 ，如果图形上的点P经过旋转变为点P＇，那么这两个点叫做这个旋转的 ． 知识点2  旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离 ．（旋转中心就是各对应点所连线段的垂直平分线的交点．） （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ． （3）旋转前、后的图形是 形， 对应边 ，对应角 ． 知识点3旋转作图 1．在画旋转图形时，首先确定 ，其次确定图形的 ，再将这些关键点沿指定的方向旋转 ，然后连接 ，形成 ． 2．作图的步骤： （1）连接图形中的每一个 ； （2）把连线按要求（ ）绕旋转中心旋转一定的角度（ ）； （3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； （4）连接所得到的 ； 【即学即练1】 1．（2023·浙江宁波·校联考一模）如图，是由绕点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．（2023·浙江温州·校联考三模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得，使点恰好落在边上，连结，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 知识点4  中心对称 1．中心对称的定义 把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点 ，这个点叫做 ，这两个图形中的对应点叫做 ． 2．中心对称的性质 （1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被 ． （2）关于中心对称的两个图形是 ． 3．作中心对称的一般步骤 ． 知识点5  中心对称图形 1． 把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么这个图形叫做 ，这个点就是它的 ． 2．中心对称图形的识别： ． 3．两个图形成中心对称和中心对称图形的区别与联系 区别： ； 联系： ． 知识点6  关于原点对称的点的坐标 1．关于原点对称的点的坐标特征：点关于原点的对称点为 ． 2．作关于原点成中心对称的图形的步骤： ． 【即学即练3】 3．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，已知，，，若将绕点C时针方向旋转180º，得到，则，的坐标依次是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【即学即练4】 4．（2023·浙江·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标是，将原点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型01 判断生活中的旋转现象 1．下列物体的运动：①电梯上下迎送顾客；②风车的转动；③钟摆的摆动；④方向盘的转动．属于旋转的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．下列现象中属于旋转的有 （填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 3．我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置运动到位置． (1)上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？ (2)运动有何共同点？ 题型02 判断由一个图形旋转而成的图案1．通过翻折、旋转和平移都能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 2．如图，都是等边三角形．可由绕点 ， 方向，旋转 角度得到． 3．观察图，它可以看成是由哪几个基本图形经过怎样的变换产生的？请用学过的平移、旋转、轴对称变化来分析这个图形的形成过程． 题型03 找旋转中心、旋转角、对应点 1．如图，在的正方形网格中，旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 2．如图，在边长为1的正方形网格中，，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段（旋转后A与D重合，B与C重合），则这个旋转中心的坐标为 ． 3．如图所示，是直角三角形，延长到，使，在上取，连接，旋转后能与重合，那么： (1)旋转中心是哪一点？（直接写出即可，不用写理由） (2)旋转角是多少度？（直接写出即可，不用写理由） (3)与的位置关系怎样？并说明理由． 题型04 旋转中的规律问题 1．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 2．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子按如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2019次后骰子朝下一面的点数是 ．    3．综合性学习小组设计了如图1所示四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图2所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（      ) 题型05 根据旋转的性质求解 1．如图，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当旋转角为，，，三点在同一直线上时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，．将此三角形绕点按顺时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段 上，、交于点，则的度数为 ． 3．如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型06 根据旋转的性质说明线段或角相等 1．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，绕点A按逆时针方向旋转后与重合，则 ． 3．如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点．求证：． 题型07 旋转的性质及辨析 1．下列说法中错误的是（    ） A．中心对称图形的对称中心只有个，而轴对称图形的对称轴可能不止一条 B．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形 C．图形在平移过程中，图形上的每一点都移动了相同的距离 D．图形在旋转过程中，图形上的每一点都绕旋转中心转过了同样长的路程 2．如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点 ，逆时针方向旋转了 度. 3．如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到．    (1)指出旋转中心及旋转角的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为的面积为，求四边形的面积． 题型08 画旋转图形 1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移个单位，得到线段，，则点A的对应点的坐标是______． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． 题型09 旋转对称图形的识别 1．垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.你认识垃圾分类的图标吗？请选出其中的旋转对称图形（    ） A．可回收物   B．有害垃圾   C．厨余垃圾   D．其他垃圾   2．下列图形中是旋转对称图形的是 ，是中心对称图形的是 ，是轴对称图形的是 ． 3．下列图形：线段、等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、圆，其中是旋转对称图形的有哪些？ 题型10 求旋转对称图形的旋转角度 1．图中的风车图案绕点O 旋转，若旋转后的图案与原来的图案重合，则旋转的角度至少为（   ） A． B． C． D． 2．将如图所示的图案绕其中心旋转，当此图案第一次与其自身重合时，其旋转角的大小为 度． 3．如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆． (1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________； (2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）． 题型11 求绕原点旋转90度的点的坐标 1．在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转后得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，把点向左平移4个单位得到点，再将点绕原点O旋转得到点，则点的坐标是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．    (1)将向左平移单位长度得到，画出平移后的； (2)请计算平移结束时，线段扫过的面积； (3)将绕原点顺时针旋转，画出旋转后的，并直接写出的坐标． 题型12 求绕某点旋转90度的点的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，若点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．平面坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O逆时针旋转，则点的对应点的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)将先向右平移5个单位再向下平移2个单位得到，画出，写出点的坐标为___________； (2)画出绕点逆时针旋转后的图形，写出点的坐标为___________． 题型13 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 1．以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，顶点，，的坐标分别为，，，将绕原点旋转，得到，则点的对应点的坐标是 ．    3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将先向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度，得到． (1)指出这一平移的平移方向和平移距离； (2)画出平移后； (3)将绕点O旋转得到，作出． 题型14 坐标与旋转规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，若最后点C的坐标为，则旋转次数可以是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 、2．我们规定：在平面直角坐标系中，设点到原点的距离为（希腊字母读作“柔”），从轴的正半轴出发绕点逆时针旋转度角，用表示点的雷达坐标，则点的雷达坐标为 ． 3．如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的△ABC，请画出将△ABC绕点C旋转180°得到的△A'B'C'．（需写出△A'B'C'各顶点的坐标）． 题型15 旋转综合题 1．如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，，． 将绕点C逆时针旋转n度得到，点D落在边上，则 度．    3．已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明） (1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 1．如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，交于点E，且，则的长为（　　）    A．3 B．2 C． D． 3．如图，在中，，将绕点旋转到的位置，使得，则等于（   ） A． B． C． D． 4．将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，每秒旋转，则第2019秒时（　　） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，若最后点C的坐标为，则旋转次数可以是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 6．如图，边长为6的等边三角形中，是对称轴上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针转得到，连接．则在点运动过程中，的最小值是（   ） A．6 B．3 C．1.5 D．0.75 7．如图，是绕点A旋转后得到的，已知，，则的长为 ． 8．如图，中，，，以点为旋转中心顺时针旋转后得到，且点在边上，则旋转角的度数为 °． 9．已知等边的边长为，点是边上的动点，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接，则的最小值是 ．    10．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点的坐标为，端点的坐标为．点是线段上的点，将点绕点逆时针旋转得到点，若函数 的图象过点，则满足的取值范围是 ． 11．如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，点C的对应点为，点恰好在边上，且，则角度为 ．    12．如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接，将绕点顺时针旋转．若，则在旋转过程中，则线段的最大值为 ． 13．如图，在边长为的正方形网格中，的顶点都在格点上，将绕点逆时针旋转一定角度后，点落在格点处． (1)旋转角为______ ； (2)在图中画出旋转后的，其中、分别是、的对应点； (3)点到直线的距离是______ ． 14．如图，，垂足为C，，，将线段绕点C按顺时针方向旋转得到线段，连接． (1)求线段的长度； (2)求四边形的面积． 15．如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． (1)求证：； (2)当的最小值为时，求正方形的边长． 16．如图，正方形和正方形，点、分别在边、上，将正方形绕点顺时针方向旋转，旋转角为． (1)如图，连接、，求证：； (2)如图，若，，当点旋转到边上时，连接、连接，并将延长交于点，求证：垂直平分． 17．如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，． (1)若，则 °； (2)求证：． 18．旋转是初中数学图形变换很重要的内容．通过旋转将已知条件这种分散的边或角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题． (1)【发现问题】如图1，点E，F分别是正方形的边上的点，若，则有怎样的数量关系？为什么？ (2)【类比探究】如图2，P为正方形内一点，，，，则______； (3)【拓展延伸】如图3，在四边形中，，，证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 图形的旋转（6个知识点+15大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.图形的旋转概念； 2.旋转中心、旋转角； 3.旋转中的坐标问题； 1. 掌握图形的旋转相关概念； 2. 找出旋转中的旋转中心、旋转角和对应点； 3. 掌握旋转中的坐标问题； 知识点1 旋转的概念 把一个图形绕 转动一个 的图形变换叫做旋转．这点叫做 ，转动的角叫做 ，如果图形上的点P经过旋转变为点P＇，那么这两个点叫做这个旋转的 ． 知识点2  旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离 ．（旋转中心就是各对应点所连线段的垂直平分线的交点．） （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ． （3）旋转前、后的图形是 形， 对应边 ，对应角 ． 知识点3旋转作图 1．在画旋转图形时，首先确定 ，其次确定图形的 ，再将这些关键点沿指定的方向旋转 ，然后连接 ，形成 ． 2．作图的步骤： （1）连接图形中的每一个 ； （2）把连线按要求（ ）绕旋转中心旋转一定的角度（ ）； （3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； （4）连接所得到的 ； 【即学即练1】 1．（2023·浙江宁波·校联考一模）如图，是由绕点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质可得旋转角为，即可求解． 【详解】∵是由绕A点旋转得到的， ∴旋转角为， ∵，， ∴ ∵ ∴， 即旋转角的度数为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键． 【即学即练2】 2．（2023·浙江温州·校联考三模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得，使点恰好落在边上，连结，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，找出旋转角和旋转前后的对应边得出等腰三角形是解答此题的关键． 知识点4  中心对称 1．中心对称的定义 把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点 ，这个点叫做 ，这两个图形中的对应点叫做 ． 2．中心对称的性质 （1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被 ． （2）关于中心对称的两个图形是 ． 3．作中心对称的一般步骤 ． 知识点5  中心对称图形 1． 把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么这个图形叫做 ，这个点就是它的 ． 2．中心对称图形的识别： ． 3．两个图形成中心对称和中心对称图形的区别与联系 区别： ； 联系： ． 知识点6  关于原点对称的点的坐标 1．关于原点对称的点的坐标特征：点关于原点的对称点为 ． 2．作关于原点成中心对称的图形的步骤： ． 【即学即练3】 3．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，已知，，，若将绕点C时针方向旋转180º，得到，则，的坐标依次是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据题意，将绕点C按顺时针方向旋转180°，得到，即可得到答案． 【详解】如图，A点的对应点A′的坐标是(2，0)，B点的对应点B′的坐标是(1，3)． 故选A． 【点睛】本题主要考查图形的中心对称变换与点的坐标，根据题意画出中心对称变换后的图形，是解题的关键． 【即学即练4】 4．（2023·浙江·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标是，将原点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转变换的性质画出图象即可解决问题． 【详解】解：观察图象可知O′（−4，2）， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，学会用图象法解决问题． 题型01 判断生活中的旋转现象 1．下列物体的运动：①电梯上下迎送顾客；②风车的转动；③钟摆的摆动；④方向盘的转动．属于旋转的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的判断，根据旋转的概念解答即可．解题的关键是掌握旋转的概念：在平面内，将一个图形沿某一个定点转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 【详解】解：根据旋转的概念，可知： ①电梯上下迎送顾客属于平移； ②风车的转动属于旋转； ③钟摆的摆动属于旋转； ④方向盘的转动属于旋转． 故其中属于旋转的有3个． 故选：C． 2．下列现象中属于旋转的有 （填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 【答案】②④⑤ 【分析】旋转变换：把一个图形绕着某个点旋转一定的角度，得到另一个图形，即为旋转变换；平移变换：把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，即为平移变换． 【详解】解：①火车在笔直行驶，③地下水位下降；是平移； ②荡秋千运动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆,属于旋转， 故答案为：②④⑤． 【点睛】本题考查旋转和平移的概念，熟练掌握这两个基础概念是解题的关键． 3．我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置运动到位置． (1)上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？ (2)运动有何共同点？ 【答案】(1)曲线运动 (2)见解析 【分析】本题考查了生活中的旋转． （1）根据几种运动的路线分析得出答案； （2）根据运动方式得出几种运动都属于旋转，根据旋转的性质，即可解答． 【详解】（1）解：上述几种运动是做曲线运动； （2）解：运动的共同点是都属于旋转，运动前后对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中线的距离相等． 题型02 判断由一个图形旋转而成的图案 1．通过翻折、旋转和平移都能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折、旋转和平移，根据翻折及旋转的定义即可求解． 【详解】解： A、图形只能通过旋转变换得到，故不符合题意； B、图形通过翻折、旋转和平移都能得到，故符合题意； C、图形只可以通过旋转得到，不符合题意； D、图形可以通过平移得到，故不符合题意； 故选B． 2．如图，都是等边三角形．可由绕点 ， 方向，旋转 角度得到． 【答案】 顺时针 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，旋转的定义，由等边三角形的性质可得，，，进而得到，即可根据旋转的定义求解，掌握等边三角形的性质和旋转的定义是解题的关键． 【详解】解：∵都是等边三角形， ∴，，， ∴ 即， ∴， ∴可由绕点顺时针方向旋转得到， 故答案为：，顺时针，． 3．观察图，它可以看成是由哪几个基本图形经过怎样的变换产生的？请用学过的平移、旋转、轴对称变化来分析这个图形的形成过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了几何变换的类型：平移变换；轴对称变换；旋转变换． 先把基本图形向左平移，再利用轴对称变换得到，然后把旋转即可得到题中图形． 【详解】 解：先把图案先向左平移得到，再利用轴对称变换得到，然后利用旋转变换得到 题型03 找旋转中心、旋转角、对应点 1．如图，在的正方形网格中，旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】A 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为点P， 旋转中心是点P， 故选：A． 2．如图，在边长为1的正方形网格中，，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段（旋转后A与D重合，B与C重合），则这个旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，根据点的坐标建立平面直角坐标系，点的坐标，掌握确定旋转中心的方法：连接对应点的线段的垂直平分线的交点是旋转中心是解题的关键．根据确定旋转中心的方法：连接对应点的线段的垂直平分线的交点是旋转中心，作出旋转中心，由坐标系写出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：如图所示，旋转中心的坐标为． 故答案为：． 3．如图所示，是直角三角形，延长到，使，在上取，连接，旋转后能与重合，那么： (1)旋转中心是哪一点？（直接写出即可，不用写理由） (2)旋转角是多少度？（直接写出即可，不用写理由） (3)与的位置关系怎样？并说明理由． 【答案】(1)B (2)90度 (3)，理由见解析 【分析】本题考查旋转的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握旋转的性质和三角形内角和定理． （1）由条件易得和，和为对应边．而旋转后能与重合，于是可判断旋转中心为点B； （2）根据旋转的性质得等于旋转角，从而得到旋转角度； （3）延长交于F，根据旋转的性质得到，再由三角形内角和定理即可判断． 【详解】（1）解：∵， ∴和，和为对应边． ∵旋转后能与重合， ∴旋转中心为点B； （2）解：∵，旋转后能与重合， ∴等于旋转角， ∴旋转角是90度； （3）解：．理由如下： 延长交于F． ∵绕点B顺时针旋转后能与重合， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 题型04 旋转中的规律问题 1．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】B 【分析】探究规律后利用规律解决问题即可． 【详解】观察图形可知每4次循环一次，， ∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称、旋转变换，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题． 2．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子按如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2019次后骰子朝下一面的点数是 ．    【答案】5 【分析】观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案． 【详解】解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且滚动四次一循环， ∵2019÷4=504…3， ∴滚动第2019次后与第三次相同， ∴朝下的数字是2的对面5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字及图形的变化类问题，解题的关键是发现规律． 3．综合性学习小组设计了如图1所示四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图2所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（      ) 【答案】B 【分析】根据车轮中心在运动过程中中心位置的变化情况判断即可. 【详解】解：圆的中心在运动过程中位置始终不变，正方形中心的变化每循环一次，五边形中心的变化每循环一次，六边形中心的变化每循环一次，用量角器量得图2中一个弧所对的圆心角为，故该轨迹对应的车轮为正方形的. 故答案为B 【点睛】本题考查了图形中心的运动轨迹问题，正确理解图形中心的变化规律是解题的关键. 题型05 根据旋转的性质求解 1．如图，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当旋转角为，，，三点在同一直线上时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据旋转的性质可知，，即可得出答案． 【详解】由旋转可知，， ∴． 故选：C． 2．如图，在中，，．将此三角形绕点按顺时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段 上，、交于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得： ，从而有 ，然后由三角形的内角和可求出，最后根据互余求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ， 在 中， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形全等判定和性质是解题的关键． （1）利用边角边原理证明即可 ． （2）利用三角形全等的性质计算即可 ． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵线段绕A点旋转到的位置， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． （2）∵，， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． 题型06 根据旋转的性质说明线段或角相等 1．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查利用旋转的性质，出现等腰三角形，利用好三角形的外角和三角形内角和是解决问题的关键，直接设,利用方程思想可以直接算出的度数． 【详解】解：设； ∵； ∴； ∴； ∵； ∴； ∵； ∴； ∴； 即，； 由旋转的性质可知，； ∴； 故选：C． 2．如图，绕点A按逆时针方向旋转后与重合，则 ． 【答案】/62度 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟知旋转角的定义与旋转后对应边相等是解题的关键． 根据旋转的性质知，，然后利用三角形内角和定理进行求解． 【详解】∵绕点按逆时针方向旋转后与重合， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，根据旋转角求出，然后利用“边角边”证明和全等． 【详解】证明：绕点按逆时针方向旋转得到， ， ， 又， ， 在与中， ， ∴． 题型07 旋转的性质及辨析 1．下列说法中错误的是（    ） A．中心对称图形的对称中心只有个，而轴对称图形的对称轴可能不止一条 B．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形 C．图形在平移过程中，图形上的每一点都移动了相同的距离 D．图形在旋转过程中，图形上的每一点都绕旋转中心转过了同样长的路程 【答案】D 【分析】运用图形的轴对称性、中心对称性、旋转及平移的性质逐一判断． 【详解】解：A、中心对称图形的对称中心只有一个，而轴对称图形的对称轴可能不只一条，说法正确，不符合题意； B、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，绕其中心每次旋转能与其本身重合，说法正确，不符合题意； C、图形平移时，对应点的连线平行且相等，说法正确，不符合题意； D、图形在旋转过程中，图形上的每一点都绕旋转中心转过了同样角度，说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的对称轴、中心对称，旋转及平移相关知识的运用；熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点 ，逆时针方向旋转了 度. 【答案】 N 90 【分析】根据对应点到旋转中心的距离相等可确定旋转中心，对应点与旋转中心的连线所形成的角为旋转角进行解答即可． 【详解】解：如图，连接N与两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且对应点与N的连线所成的角是直角，故旋转中心是点N，逆时针方向旋转了90°， 故答案为：N，90． 【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 3．如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到．    (1)指出旋转中心及旋转角的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为的面积为，求四边形的面积． 【答案】(1)旋转中心是，旋转角是 (2) (3) 【分析】（1）将旋转后得到，要确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪个点是对应点，即可确定； （2）根据旋转的性质可知，旋转前后两个图形一定全等，根据全等三角形的对应角相等，即可作出判断； （3）根据得出的面积，可得四边形的面积就是正方形的面积与的面积的差． 【详解】（1）解：旋转中心是，旋转角是； （2）延长交于点．    由旋转可知：， ，． 又，， ， ． （3）， 的面积是， 四边形的面积是． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，旋转前后的两个图形一定全等． 题型08 画旋转图形 1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转作图的知识及旋转后坐标的变化，解答本题的关键是根据题意所述的旋转三要素画出图形，然后结合直角坐标系解答． 【详解】根据题意作图如下：    则点的坐标为， 故选：A 2．如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移个单位，得到线段，，则点A的对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，平移变换等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．根据题意画出图形，即可可得结论． 【详解】解：如图，． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． 【答案】(1)图见解析，点坐标为 (2)见解析 【分析】此题主要考查了作中心对称图形与旋转图形，点的坐标，正确得出对应点位置是解题关键． （1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；然后根据点位置写出坐标即可； （2）分别作出点、绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得． 【详解】（1）解：如图所示，为所求，点坐标为； （2）解：如图所示，即为所求． 题型09 旋转对称图形的识别 1．垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.你认识垃圾分类的图标吗？请选出其中的旋转对称图形（    ） A．可回收物   B．有害垃圾   C．厨余垃圾   D．其他垃圾   【答案】A 【分析】本题考查了旋转对称图形，正确记忆相关概念是解题关键．如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，由此即可判断． 【详解】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，所以都是旋转对称图形； 选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，所以不是旋转对称图形． 故选：A． 2．下列图形中是旋转对称图形的是 ，是中心对称图形的是 ，是轴对称图形的是 ． 【答案】 正三角形，正方形，正五边形，正六边形 正方形，正六边形 正三角形，正方形，正五边形，正六边形，等腰梯形 【分析】本题主要考查了旋转对称图形，中心对称图形，轴对称图形．根据旋转对称图形，中心对称图形，轴对称图形的定义，即可求解． 【详解】解：旋转对称图形有正三角形，正方形，正五边形，正六边形， 中心对称图形有正方形，正六边形， 轴对称图形有正三角形，正方形，正五边形，正六边形，等腰梯形． 故答案为：正三角形，正方形，正五边形，正六边形；正方形，正六边形；正三角形，正方形，正五边形，正六边形，等腰梯形 3．下列图形：线段、等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、圆，其中是旋转对称图形的有哪些？ 【答案】线段、等边三角形、正方形、正五边形、圆都是旋转对称图形 【分析】本题考查旋转对称图形的定义，根据：“把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，”进行判断即可． 【详解】解：线段、等边三角形、正方形、正五边形、圆都是旋转对称图形． 题型10 求旋转对称图形的旋转角度 1．图中的风车图案绕点O 旋转，若旋转后的图案与原来的图案重合，则旋转的角度至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该图形被平分成四部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合．本题考查了旋转对称图形的概念，熟练掌握旋转对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知该图形被平分成四部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故旋转角最少为． 故选：B． 2．将如图所示的图案绕其中心旋转，当此图案第一次与其自身重合时，其旋转角的大小为 度． 【答案】60 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该图形被平分成六部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转60度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成六部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故当此图案第一次与自身重合时，其旋转角的大小为． 故答案为：60． 3．如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆． (1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________； (2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）． 【答案】(1)是，O， (2)周长为，阴影部分的面积为 【分析】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的概念以及最小旋转角的求法是解答此题的关键．旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心．根据定义可知，最小旋转角等于周角除以正多边形的边数． 【详解】（1）解：根据题意，可知这个图案是旋转对称图形，点是旋转对称中心， 这个图案的最小旋转角为； 故答案为：是，O， （2）由题意得，阴影部分的周长为， 阴影部分的面积为． 题型11 求绕原点旋转90度的点的坐标 1．在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转后得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与旋转：根据旋转的性质，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：∵点在轴， ∴绕原点O顺时针旋转后，落在轴的正半轴上，对应点的坐标为， 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，把点向左平移4个单位得到点，再将点绕原点O旋转得到点，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，先根据平移方式得到，再分顺时针和逆时针旋转，两种情况结合图形求解即可． 【详解】解：∵把点向左平移4个单位得到点， ∴， 当将点绕原点O顺时针旋转得到点时，则， 当将点绕原点O逆时针旋转得到点时，则， 综上所述，点的坐标是或， 故答案为：或． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．    (1)将向左平移单位长度得到，画出平移后的； (2)请计算平移结束时，线段扫过的面积； (3)将绕原点顺时针旋转，画出旋转后的，并直接写出的坐标． 【答案】(1)图形见解析 (2)线段扫过的面积为 (3)图形见解析， 【分析】本题考查平移和旋转的知识，解题的关键是掌握平移的性质和旋转的性质，进行解答，即可． （1）根据平移的性质，画出图形，即可； （2）根据平移的轨迹可知，线段扫过的图形为平行四边形，根据平行四边形的面积，即可； （3）根据图形旋转的性质，画出图形，即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求．    （2）如图所示，线段扫过的图形为平行四边形， ∴线段的面积为：．    （3）解：如图所示，即为所求，．    题型12 求绕某点旋转90度的点的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，若点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，分别过点A和点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则，，证明得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， 分别过点A和点作x轴的垂线，垂足分别为C、D， ∴， ∵点的坐标是，若点的坐标为， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．平面坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O逆时针旋转，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与旋转变换，掌握旋转的性质及全等三角形的性质是解题的关键．根据旋转的性质利用一线三垂直构造全等三角形，即过作轴于点，过作轴于点，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点， 则，，， 又， ， ， 又， ， ，， ， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)将先向右平移5个单位再向下平移2个单位得到，画出，写出点的坐标为___________； (2)画出绕点逆时针旋转后的图形，写出点的坐标为___________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】本题考查作图旋转变换，作图平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质找到对应的，，，连线即可得出答案； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1所示，△即为所求． 由图可得，点， 故答案为：； （2）解：如图2所示，即为所求． 由图可得，点， 故答案为：． 题型13 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 1．以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一个点绕原点旋转后对应的点的坐标，根据以原点为中心逆时针旋转，得到的点与该点关于原点对称，即可求得答案． 【详解】解：依题意，点关于原点的对称点为， 即把点逆时针旋转，得到点B，点B的坐标为， 故选：B． 2．如图，顶点，，的坐标分别为，，，将绕原点旋转，得到，则点的对应点的坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．根据成中心对称的图形的性质即可解决问题． 【详解】解：由题知，由绕原点旋转得到， 所以与关于坐标原点成中心对称， 则点与其对应点关于坐标原点对称． 又因为点坐标为， 所以点坐标为． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将先向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度，得到． (1)指出这一平移的平移方向和平移距离； (2)画出平移后； (3)将绕点O旋转得到，作出． 【答案】(1)向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转： （1）根据所给平移方式和平移方向求解即可； （2）根据所给平移方式和平移方向求出A、B、C对应点的坐标，然后描出，最后顺次连接即可； （3）绕原点旋转180度后和关于原点对称，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出A、B、C对应点的坐标，然后描出，最后顺次连接即可． 【详解】（1）解：由题意得，向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 题型14 坐标与旋转规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，若最后点C的坐标为，则旋转次数可以是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】此题考查了点的坐标变化规律．每旋转4次则回到原位置，根据点C的坐标为，可得图形旋转次，即可求解． 【详解】解：如图， 由题可知，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转4次则回到原位置， ∵点C的坐标为， ∴旋转后点C在第二象限内， ∴图形旋转次点C的坐标为， ∵，，，， ∴最后点C的坐标为，则旋转次数可以是2025． 故选：C 2．我们规定：在平面直角坐标系中，设点到原点的距离为（希腊字母读作“柔”），从轴的正半轴出发绕点逆时针旋转度角，用表示点的雷达坐标，则点的雷达坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：． 先计算出点到原点的距离，再求出点与x轴的正半轴的夹角，然后利用新定义表示出雷达坐标． 【详解】点到原点的距离为， 因为点在第二象限的角平分线上，所以点与轴的正半轴的夹角为， 所以点的雷达坐标为， 故答案为：． 3．如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的△ABC，请画出将△ABC绕点C旋转180°得到的△A'B'C'．（需写出△A'B'C'各顶点的坐标）． 【答案】A'（-1，-3），B'（1，-1），C'（-2,0），画图见解析． 【分析】先画出点A，B关于点C中心对称的点A'，B'，再连接A'，B'，C即可解题． 【详解】解： A关于点C中心对称的点A'（-1，-3），B关于点C中心对称的点B'（1，-1），C关于点C中心对称的点C'（-2,0），如图，△A'B'C'即为所求作图形． 【点睛】本题考查中心对称图形，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 题型15 旋转综合题 1．如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可得是等腰直角三角形，再根据，即得结果． 【详解】解：由旋转的性质得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 2．如图，在中，，． 将绕点C逆时针旋转n度得到，点D落在边上，则 度．    【答案】60 【分析】先根据三角形的内角和定理求出的度数，然后根据旋转的性质得出，再根据等边对等角得出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解： ， 旋转到， ， ， ， 即旋转角n是， 故答案为：60． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，正确求出的度数是解题的关键． 3．已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明） (1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 【答案】(1)图2成立，，证明见解析 (2)图3不成立，、、的关系是，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证是关键． （1）将顺时针旋转，可得，证，即可求解； （2）将顺时针旋转，可得，证，即可求解． 【详解】（1）解：将顺时针旋转，如图，    ∵，， ∴A与点C重合， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：不成立，新结论为， 将顺时针旋转，如图，    ∵，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1．如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转求角度，涉及旋转性质，根据是由绕点顺时针旋转后得到的图形，得到，数形结合即可得到，从而得到答案，熟记旋转性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 是由绕点顺时针旋转后得到的图形， ， ， ， 故选：C． 2．如图，在矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，交于点E，且，则的长为（　　）    A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转和矩形的性质得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质及勾股定理解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得：，即的长为． 故选：D． 3．如图，在中，，将绕点旋转到的位置，使得，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质：先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，即可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点A旋转到的位置， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，每秒旋转，则第2019秒时（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，垂足为，根据含30度的直角三角形和勾股定理求出和，得到点坐标，根据的长度结合旋转的性质即可得出第3秒时，点的对应点的坐标，再由三角板每秒旋转，可得出点的位置6秒一循环，由此即可得出第2019秒时，点的对应点的坐标与第3秒时相同，此题得解．本题考查了坐标与图形的变化中的旋转以及规律型中点的坐标，根据每秒旋转的角度，找出点的位置6秒一循环是解题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为， ，， ， ， ， 将三角板绕原点逆时针旋转，每秒旋转， 第3秒时，旋转了， 则与关于原点对称，的坐标为， 三角板每秒旋转， 点的位置6秒一循环． ， 第2019秒时，点的对应点的坐标为． 故选：C． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，若最后点C的坐标为，则旋转次数可以是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】此题考查了点的坐标变化规律．每旋转4次则回到原位置，根据点C的坐标为，可得图形旋转次，即可求解． 【详解】解：如图， 由题可知，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转4次则回到原位置， ∵点C的坐标为， ∴旋转后点C在第二象限内， ∴图形旋转次点C的坐标为， ∵，，，， ∴最后点C的坐标为，则旋转次数可以是2025． 故选：C 6．如图，边长为6的等边三角形中，是对称轴上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针转得到，连接．则在点运动过程中，的最小值是（   ） A．6 B．3 C．1.5 D．0.75 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形，取的中点，连接，证明，进而得到，得到最小时，最小，根据垂线段最短，得到时，最小，进行求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， ∵边长为6的等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形的对称轴， ∴，， ∴， ∵线段绕点逆时针转得到， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵是对称轴上的一个动点， ∴当时，最小，此时， ∴， ∴最小为， ∴最小为； 故选C． 7．如图，是绕点A旋转后得到的，已知，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了旋转的性质，含度角的直角三角形的性质，根据题意得出，进而根据旋转的性质，即可求解． 【详解】在中，， ∴． 又因为是绕点A旋转后得到的， 所以，且C，A，三点共线， 所以 故答案为：4． 8．如图，中，，，以点为旋转中心顺时针旋转后得到，且点在边上，则旋转角的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的运用，掌握旋转的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理可得的度数，根据旋转的性质，可得是等腰三角形，由此即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 绕点旋转得到， ，， ， 在中，， 旋转角的度数为， 故答案为：． 9．已知等边的边长为，点是边上的动点，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．根据旋转的性质，即可得到，当时，的长最小，再根据勾股定理，即可得到的最小值． 【详解】点是边的中点， ， 当时，的长最小（如图），    由旋转可得， 此时，， ， ， 的最小值是， 故答案为． 10．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点的坐标为，端点的坐标为．点是线段上的点，将点绕点逆时针旋转得到点，若函数 的图象过点，则满足的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变换—旋转，二次函数的性质，表示出点的坐标是解题的关键． 由题意设，则，代入得，根据二次函数的性质即可求出的取值． 【详解】由题意设， ， ，即， 函数 的图象过点， ， 当时，有最大值为， 时，时，， 当时，． 11．如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，点C的对应点为，点恰好在边上，且，则角度为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是旋转的性质；设，则，根据旋转的性质推出所以，再根据三角形内角和定理求出x的值即可推出结果． 【详解】解：设，则， ∴， ∵将绕点A按逆时针方向旋转得到，点C的对应点，点恰好在边上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接，将绕点顺时针旋转．若，则在旋转过程中，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形中位线定理，等边三角形的性质，勾股定理．由三角形中位线定理可得，由勾股定理可求的长，由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ∵是等边三角形， ∴ ， 在中，， 当点在的延长线上时，有最大值为， 故答案为：． 13．如图，在边长为的正方形网格中，的顶点都在格点上，将绕点逆时针旋转一定角度后，点落在格点处． (1)旋转角为______ ； (2)在图中画出旋转后的，其中、分别是、的对应点； (3)点到直线的距离是______ ． 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查作图旋转变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）连接、，利用网格特点推导出旋转角； （2）依次找出、的对应点、，连接即可； （3）利用等腰三角形的性质，在等腰直角三角形计算即可． 【详解】（1）解：连接、，，交格点， 网格为正方形， ，， 旋转角， 故答案为：； （2）解：旋转后的如图所示： （3）解：如图，作，点到直线的距离为的长， 在等腰直角三角形中，， ∴． 故答案为：． 14．如图，，垂足为C，，，将线段绕点C按顺时针方向旋转得到线段，连接． (1)求线段的长度； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，可求，由勾股定理和直角三角形的性质可求的长． （2）利用面积和差关系可求解． 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 【详解】（1）解：由旋转得，， 是等边三角形， 过点作于点， ， ， 在中，，，， 在中，． （2）解：， ． 15．如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． (1)求证：； (2)当的最小值为时，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)正方形的边长为 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，，由旋转的性质可得，，据此利用即可证明； （2）证明是等边三角形，得到，则根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为．过点作交的延长线于，求出，设正方形的边长为，则，．再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明，是等边三角形， ，． 由旋转的性质可得， ．即， ． （2）解：由（1）知，， ， ，， 是等边三角形． ． ． 根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为． 过点作交的延长线于， ． 设正方形的边长为，则，． 在中， ， ． 解得，（舍去负值）． 正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定等等，证明是解题的关键． 16．如图，正方形和正方形，点、分别在边、上，将正方形绕点顺时针方向旋转，旋转角为． (1)如图，连接、，求证：； (2)如图，若，，当点旋转到边上时，连接、连接，并将延长交于点，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据四边形和为正方形可得，，，再证明即可得到结论； （2）证明，即可得出结论． 本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，线段垂直平分线的判断，全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形和为正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ； （2）解：连接，，如图，   四边形和为正方形， ， ，，， ，， ， 垂直平分． 17．如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，． (1)若，则 °； (2)求证：． 【答案】(1)50 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质，得到，进而得到，即可求出的度数； （2）根据旋转和矩形的性质，易证四边形是平行四边形，即可证明结论． 【详解】（1）解：矩形和矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：50； （2）证明：连接， 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定，等边对等角，熟练掌握旋转和矩形的性质是解题关键． 18．旋转是初中数学图形变换很重要的内容．通过旋转将已知条件这种分散的边或角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题． (1)【发现问题】如图1，点E，F分别是正方形的边上的点，若，则有怎样的数量关系？为什么？ (2)【类比探究】如图2，P为正方形内一点，，，，则______； (3)【拓展延伸】如图3，在四边形中，，，证明：． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由正方形的性质得，将绕点顺时针旋转，得到，可证明，得，因为，所以； （2）由正方形的性质得，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则，所以，，由，根据勾股定理的逆定理得，则，由此得解； （3）以为一边在的右侧作等边三角形，连接，，由，证明是等边三角形，则，，所以，即可证明，由，求得，则，而，所以． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1， 四边形是正方形， ， 将绕点顺时针旋转，得到，则，，， ， ， 三点在同一条直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， . （2）解：如图2， 四边形是正方形， ， 将绕点逆时针旋转，得到，连接， ，， ，， ， ，， ， 是直角三角形，且， ． （3）证明：如图3，以为一边在的右侧作等边三角形，连接，， 则，， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关的判定和性质，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！58 学科网（北京）股份有限公司 $$