第01讲 圆（3个知识点+15大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（浙教版）

第01讲 圆（3个知识点+15大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.圆的基础概念； 2.确定圆的条件； 3.点与圆的位置关系； 1.掌握的圆的基本概念； 2.掌握点与圆的位置关系； 3、掌握确定圆的条件； 知识点01 圆 （1）圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 点拨：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆 的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 【即学即练1】 1．（2022秋·浙江温州·九年级校联考阶段练习）已知的直径长为4，点A，B在上，则的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 【即学即练2】 2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）下列说法中，不正确的是（    ） A．同圆中，直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧 知识点02 点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重 合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 【即学即练3】 3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，点M是⊙O上的任意一点，下列结论： ①以M为端点的弦只有一条； ②以M为端点的直径只有一条； ③以M为端点的弧只有一条． 则（　　） A．①、②错误，③正确 B．②、③错误，①正确 C．①、③错误，②正确 D．①、②、③错误 【即学即练4】 4．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 知识点03 确定圆的条件 1．过已知点作圆 条件 类别 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直 线上的三点作圆 理论 依据 经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个 圆形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 3．三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接 圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【即学即练5】 5．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，，，．则△ABC的外心坐标为（      ） A． B． C． D． 【即学即练6】 6．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）已知在Rt 中， ， 则Rt 的外接圆的半径为（　　） A．4 B．2.4 C．5 D．2.5 题型01 圆的基本概念辨析 1．如图，将一根木棒的一端固定在点，另一端绑一重物．将此重物拉到点后放开，让此重物由点摆动到点．则此重物移动路径的形状为（   ） A．倾斜直线 B．双曲线的一部分 C．圆弧 D．水平直线 2．下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．由所有到已知点O的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形的面积为 ． 4．学校有一个圆形花坛，要求将它三等分，以便在上面种植三种不同的花，你认为下列所给图中符合设计要求的图案是 ．（将所有符合设计要求的图案序号填上） 5．设，作图说明满足下列要求的图形： (1)到点A和点B的距离都等于的所有点组成的图形． (2)到点A的距离小于且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 题型02 求圆中弦的条数1．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 3．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 4．如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有 条． 5．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 题型03 求过圆内一点的最长弦 1．已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ． 4．的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 5．如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值. 题型04 求一点到圆上点距离的最值 1．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是（    ） A．a B． C． D．b 2．在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 3．如果外一点到上所有点的距离中，最大距离是，最小距离是，那么 的半径长等于 ． 4．如图，在矩形中，，，动点P在矩形的边上沿运动．当点P不与点A、B重合时，将沿对折，得到，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为 ．    5．若☉O的半径是12cm，OP=8cm，求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离． 题型05 圆的周长和面积问题 1．周长是的圆，面积是（　　）平方厘米． A．50.24 B．12.42 C．25.12 D．28.26 2．由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（    ） A．π B．2π C．3π D．4π 3．在一个半径为的大圆上，挖去9个半径为的小圆，当，时，剩余部分的面积为 （结果保留． 4．某校社团实践活动中，有若干个同学参加．先到的个同学均匀围成一个以点为圆心，为半径的圆圈，如图所示（每个同学对应圆周上一个点）． （1）若，则相邻两人间的圆弧长是 ．（结果保留） （2）又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移米，再左右调整位置，使这个同学之间的圆弧长与原来个同学之间的圆弧长相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须再往后移米，才能使得这个同学之间的圆弧长与原来个同学之间的圆弧长相同，则 ． 5．为了落实“二十大”报告精神，办人民满意教育，决定重新修建学校运动场，设计图如下：两端是半圆形，中间是长方形．（ 取 ） (1)求这个运动场的周长． (2)求这个运动场的面积． (3)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成，塑胶跑道和草坪的面积比是 ： ，每平方米草坪的价格是元，比每平方米塑胶的价格低，则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元？ 题型06 判断点与圆的位置关系 1．已知的半径为5，圆心的坐标是，点的坐标是，那么点与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 2．如图，在中，，点D在边上，且，以为直径作，设线段的中点为P，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 3．在平面内，的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是点在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）． 4．的圆心是原点，半径为13，点在上，那么 ． 5．已知点P到的最长距离为，最短距离为．试求的半径长． 题型07 利用点与圆的位置关系求半径 1．若点在以为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D．且 2．如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（   ） A． B． C． D． 3．在同一平面内，的半径是8，点不在上，若点到上的点的最小距离是，上的点最大距离是 ． 4．在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ． 5．在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 题型08 三角形外接圆的说法辨析 1．下列说法正确的是：（    ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 2．如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 3．三角形的外接圆与外心 （1） 的三个点确定一个圆； （2）三角形的外接圆：经过三角形的三个 的圆； （3）三角形的外心：三角形 的圆心．它是三角形三边 的交点，到三角形三个 的距离相等． 4．三角形的外接圆： 经过三角形的 的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 ，三角形的外心到三角形 的距离相等． 5．如图，已知，利用尺规求作，使圆心O在上，且经过A、C两点．（保留作图痕迹，不写作法）    题型09 求三角形外心坐标 1．如图，在平面直角坐标系中， ，，，则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，，，，，则外心的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为 ． 5．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 题型10 求特殊三角形外接圆的半径 1．已知中，，则外接圆的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．不确定 2．已知，如图，在中，，，，那么这个三角形的外接圆直径是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 3．一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ． 4．在一个直角三角形中，两边长分别是5，12，那么这个三角形的外接圆的半径是 ． 5．已知等腰，，请用圆规和直尺作出的外接圆，并计算此外接圆的半径． 题型11 已知外心的位置判断三角形的形状 1．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 2．点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 3．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 4．如图，点是的外心，且，则 ． 5．如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）． (1)在图1中作出的外心D； (2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得． 题型12 判断三角形外接圆的圆心位置 1．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（    ） A． B． C．2 D． 2．在如图所示的方格型网格图中，取3个格点并顺次连接得到，则的外心是（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 3．若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 4．如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ；    5．如图，平面直角坐标系中有一个．    (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是 ； (3)该圆圆心到弦的距离为 ； (4)最小覆盖圆的半径为 ． 题型13 判断确定圆的条件 1．有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列命题中，真命题是（    ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．过三点一定可以作圆 C．优弧一定大于劣弧 D．任意三角形一定有一个外接圆 3．若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 4．在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 5．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆． 题型14 确定圆心（尺规作图） 1．如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 2．如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 3．将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ． 5．如图，在中，，交的延长线于点C，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)运用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆，且当，时，的外接圆半径为________． 题型15 求能确定的圆的个数 1．平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．平面内有5个点A，B，C，D，E，直线与直线正好相交于点E，在这5个点中，过其中3个点能确定一个圆的概率是 ． 4．如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个． 5．已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 1．已知的半径为，点与在同一平面内，且，则点与的关系是（    ） A．点在上 B．点在O内 C．点在外 D．不能确定 2．如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（   ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 3．已知以坐标轴原点为圆心的半径为2，抛物线的对称轴与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 4．如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（   ） A． B． C． D． 5．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．在平面直角坐标系中，已知、、都在上，则圆心M的坐标为 ． 8．如图，是的直径，是弦，交于点，，则 °．    9．在同一平面内，的半径是8，点不在上，若点到上的点的最小距离是，则点到上的点最大距离是 ． 10．如图，是的直径，A为延长线上一点，点E在上，，交于点B，且，则的度数是 ． 11．在中，，，，是以点为圆心，为半径的圆上一点，连接，为的中点，则线段长度的最大值为 ． 12．如图，是的直径，点C是上一动点，连接，点D在直径上，，连接并延长交于点E，若，则的最大值是 ． 13．设，作图说明满足下列要求的图形： (1)到点A和点B的距离都等于的所有点组成的图形． (2)到点A的距离小于且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 14．如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由． 15．已知：如图，是的直径，点在上，于E，于F，且与相等吗？为什么？ 16．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、M、N均在格点上，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，找一格点C，连接，使； (2)在图②中，在线段上找一点C，连接，使； (3)在图③中，经过点A、B、M作圆，在优弧上找一点C，连接，使． 17．如图，是的直径，是圆心，是圆上一点，且，是延长线上一点，与圆交于另一点，且，求的度数． 18．某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案： 方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π） (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π） (3)如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的，他做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取3） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 圆（3个知识点+15大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.圆的基础概念； 2.确定圆的条件； 3.点与圆的位置关系； 1.掌握的圆的基本概念； 2.掌握点与圆的位置关系； 3、掌握确定圆的条件； 知识点01 圆 （1）圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 点拨：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆 的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 【即学即练1】 1．（2022秋·浙江温州·九年级校联考阶段练习）已知的直径长为4，点A，B在上，则的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据圆上任意两点之间的距离一定小于等于圆的直径进行解答即可． 【详解】解：∵的直径长为4，点A，B在上， ∴， ∴的长不可能是8，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆的基本知识，解题的关键是熟练掌握直径是圆中最长的弦． 【即学即练2】 2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）下列说法中，不正确的是（    ） A．同圆中，直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧 【答案】D 【分析】根据圆的有关概念进行判断可得答案． 【详解】解：A、同圆中，直径是最长的弦，说法正确，不符合题意； B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确，不符合题意； C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确，不符合题意； D、长度相等的弧是等弧，说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了圆的认识，关键是掌握能重合的弧叫等弧． 知识点02 点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重 合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 【即学即练3】 3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，点M是⊙O上的任意一点，下列结论： ①以M为端点的弦只有一条； ②以M为端点的直径只有一条； ③以M为端点的弧只有一条． 则（　　） A．①、②错误，③正确 B．②、③错误，①正确 C．①、③错误，②正确 D．①、②、③错误 【答案】C 【分析】根据弦的定义对①进行判断；根据直径的定义对②进行判断；根据弧的定义对③进行判断． 【详解】解：以M为端点的弦有无数条，所以①错误； 以M为端点的直径只有一条，所以②正确； 以M为端点的弧有无数条，所以③错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【即学即练4】 4．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先利用勾股定理可得，再根据“点在内且点在外”可得，由此即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ， 点在内且点在外， ，即， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 知识点03 确定圆的条件 1．过已知点作圆 条件 类别 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直 线上的三点作圆 理论 依据 经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个 圆形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 3．三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接 圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【即学即练5】 5．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，，，．则△ABC的外心坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由BC两点的坐标可以得到直线BC∥y轴，则直线BC的垂直平分线为直线y=1，再由外心的定义可知△ABC外心的纵坐标为1，则设△ABC的外心为P（a，-1），利用两点距离公式和外心的性质得到，由此求解即可． 【详解】解：∵B点坐标为（2，-1），C点坐标为（2， 3）， ∴直线BC∥y轴， ∴直线BC的垂直平分线为直线y=1， ∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点， ∴△ABC外心的纵坐标为1， 设△ABC的外心为P（a，1）， ∴， ∴， 解得， ∴△ABC外心的坐标为（-2， 1）， 故选D． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点． 【即学即练6】 6．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）已知在Rt 中， ， 则Rt 的外接圆的半径为（　　） A．4 B．2.4 C．5 D．2.5 【答案】D 【分析】根据三角形外心的性质可知，直角三角形的外心为斜边中点，斜边为直径，先求斜边长，再求半径． 【详解】在中，根据勾股定理得， ， ∵直角三角形的外心为斜边中点， ∴的外接圆的半径为2.5， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的外心的性质，勾股定理的运用，关键是明确直角三角形的斜边为三角形外接圆的直径． 题型01 圆的基本概念辨析 1．如图，将一根木棒的一端固定在点，另一端绑一重物．将此重物拉到点后放开，让此重物由点摆动到点．则此重物移动路径的形状为（   ） A．倾斜直线 B．双曲线的一部分 C．圆弧 D．水平直线 【答案】C 【分析】本题考查了动点的运动轨迹，根据在移动的过程中，木棒的长度始终不变即可知重物移动路径的形状为圆弧，即可求解，掌握圆的定义是解题的关键． 【详解】解：∵在移动的过程中，木棒的长度始终不变， ∴重物移动路径的形状为圆弧， 故选：． 2．下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了圆的定义，半径的概念以及确定一个圆的基本要素，熟悉基本概念是解决本题的关键．根据圆的定义，半径，确定一个圆的基本要素进行判定即可． 【详解】解：同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故①正确； 如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆，故②正确； 圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故③错误． 故选：A． 3．由所有到已知点O的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意调查到点的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形是半径为5和半径为所组成的环形面积即可．本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 【详解】解：如图， 到点的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形是图中环形， 所以 ． 故答案为：． 4．学校有一个圆形花坛，要求将它三等分，以便在上面种植三种不同的花，你认为下列所给图中符合设计要求的图案是 ．（将所有符合设计要求的图案序号填上） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了圆的基本性质，根据圆的旋转不变性即可解决． 【详解】解：∵要求将它三等分 ∴①是不正确的； ②和③都是首先把圆三等分， 根据圆的旋转不变性，在每一部分内做了相同的图形； ④是把圆六等分，每一种占其中的2份． ∴②③④符合要求． 故答案为：②③④ 5．设，作图说明满足下列要求的图形： (1)到点A和点B的距离都等于的所有点组成的图形． (2)到点A的距离小于且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． （1）分别以点为圆心，为半径画和，则到点A和点B的距离都等于的点为两圆的公共部分，即它们的交点； （2）到点A的距离小于的点在以A点为圆心，为半径圆内；到点B的距离大于的所有点在以B点为圆心，为半径的圆外． 【详解】（1）解：如图1， 分别以点为圆心，为半径画和，它们的交点为所求； （2）解：以A点为圆心，为半径画；以B点为圆心，为半径画， 如图2，和相交于P和Q，则在内，除去与的公共部分为所求． 题型02 求圆中弦的条数 1．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 2．如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 3．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 4．如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有 条． 【答案】三/3 【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫做弦）进行分析，即可得出结论． 【详解】解：根据弦的定义可得： 图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故答案为：三． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，充分理解其定义是解题关键． 5．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【详解】解：（1）如图1，DE为所作； 连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键． 题型03 求过圆内一点的最长弦 1．已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．利用圆的直径为圆中最长的弦求解． 【详解】解：∵的半径是， ∴中最长弦长是． 故选：C． 2．如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 3．已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的认识，掌握弦、直径的概念是解题的关键．根据“连接圆上任意两点之间的线段就是圆的弦，直径是圆中最长的弦”，可以求出弦的范围． 【详解】解：A、是上不同的两点，， ， 的半径为，， 的直径为，直径是圆中最长的弦， ， 故答案为：． 4．的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径． 根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个． 【详解】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 5．如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值. 【答案】的最大值为. 【分析】由和组成的弦，在中，弦最长为直径14，而可求，所以的最大值可求. 【详解】连结，， ∵    ∴ ∴为等边三角形， ∵点，分别是，的中点 ∴，∵ 为的一条弦 ∴最大值为直径14    ∴的最大值为. 【点睛】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题. 题型04 求一点到圆上点距离的最值 1．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是（    ） A．a B． C． D．b 【答案】B 【分析】此题主要考查线段长度的最值， 只有空间站A与星球B、飞船C在同一直线上，且点C在之间时，S取到最小值，据此求解即可． 【详解】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最小值． 故选：B． 2．在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据题意可知圆上的点到直线的最短距离为，最长距离为，据此判断即可，掌握直线与圆的位置与圆心到直线的距离之间的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，    由题意得，，， 当点在的延长线与的交点时，点到直线的距离最大， 此时，点到直线的最大距离是， 当点在与的交点时，点到直线的距离最小， 此时，点到直线的最小距离是， 点到直线的距离， 故点到直线的距离不可能是， 故选：． 3．如果外一点到上所有点的距离中，最大距离是，最小距离是，那么 的半径长等于 ． 【答案】 【分析】根据最大距离与最小距离之差等于直径即可得． 【详解】解：外一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，理解最大距离与最小距离之间的关系是解题关键． 4．如图，在矩形中，，，动点P在矩形的边上沿运动．当点P不与点A、B重合时，将沿对折，得到，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，解题的关键是：根据折叠的性质得出在为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点在上时，当点在上时，当在上时，即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ，， 如图所示，当点在上时，    ， 在为圆心，2为半径的弧上运动， 当，，三点共线时，最短， 此时， 当点在上时，如图所示，    此时， 当在上时，如图所示，此时，    综上所述，的最小值为， 故答案为：． 5．若☉O的半径是12cm，OP=8cm，求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离． 【答案】4cm，20cm 【分析】依据题意画出图形，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定． 【详解】解：如图，∵点P到圆心的距离OP＜r， ∴点P在圆内， 点P到圆上各点的距离中最短距离为：12-8=4(cm)； 最长距离为：12+8=20(cm)． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，正确进行讨论是关键． 题型05 圆的周长和面积问题 1．周长是的圆，面积是（　　）平方厘米． A．50.24 B．12.42 C．25.12 D．28.26 【答案】D 【分析】根据圆的周长公式，，得出，将周长18.84厘米代入，由此即可求出圆的半径，根据圆的面积公式，，将半径代入，即可求出圆的面积． 此题主要考查了圆的周长公式的灵活应用与圆的面积公式的实际应用．熟练掌握圆的周长公式和面积公式是解题的关键． 【详解】解：（厘米）， （平方厘米） 故选：D． 2．由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（    ） A．π B．2π C．3π D．4π 【答案】C 【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可． 【详解】解：由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为以2为半径的圆与以1为半径的圆组成的圆环的面积， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆的认识、圆的面积的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键． 3．在一个半径为的大圆上，挖去9个半径为的小圆，当，时，剩余部分的面积为 （结果保留． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积．熟练掌握圆的面积是解题的关键． 根据剩余部分的面积为：，计算求解即可． 【详解】解：由题知，剩余部分的面积为：， 故答案为：． 4．某校社团实践活动中，有若干个同学参加．先到的个同学均匀围成一个以点为圆心，为半径的圆圈，如图所示（每个同学对应圆周上一个点）． （1）若，则相邻两人间的圆弧长是 ．（结果保留） （2）又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移米，再左右调整位置，使这个同学之间的圆弧长与原来个同学之间的圆弧长相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须再往后移米，才能使得这个同学之间的圆弧长与原来个同学之间的圆弧长相同，则 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的周长和弧长， （1）先计算出圆的周长，再计算出圆的弧长即可； （2）先计算出半径往后移米的圆的周长，求出弧长，根据弧长相等建立等式即可求出a，再计算出b，即可得到答案． 【详解】解：（1）当时，圆的周长为：， ∴相邻两人间的圆弧长是， 故答案为：； （2）又来了两个同学后圆的周长为：， ∴， ∴， 当又有一个同学要加入队伍后，圆的周长为：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．为了落实“二十大”报告精神，办人民满意教育，决定重新修建学校运动场，设计图如下：两端是半圆形，中间是长方形．（ 取 ） (1)求这个运动场的周长． (2)求这个运动场的面积． (3)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成，塑胶跑道和草坪的面积比是 ： ，每平方米草坪的价格是元，比每平方米塑胶的价格低，则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)（元） 【分析】（1）用长方形的两条长边加上一个圆的周长即可； （2）用长方形的面积加上圆的面积； （3）根据等量关系列方程求出塑胶的单价，然后按比例分配求出塑胶跑道的面积和草坪的面积，进而求得结果； 【详解】（1）解：运动场的周长： 答：这个运动场的周长为米． （2）解：运动场的面积： 答：运动场的面积为： （3）解：设平方米塑胶的价格为元 根据题意得： 解得： 该运动场塑胶跑道的面积为： 该运动场草坪的面积为： 故总费用为： （元） 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，圆的基本知识；熟练根据等量关系列方程式解题的关键． 题型06 判断点与圆的位置关系 1．已知的半径为5，圆心的坐标是，点的坐标是，那么点与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的长．根据圆心的坐标是，点的坐标是，可以求得的长，然后用的长与圆的半径比较大小即可判断点与的位置关系． 【详解】解：圆心的坐标是，点的坐标是， ， 的半径为5，， 点与的位置关系是点在外， 故选：C． 2．如图，在中，，点D在边上，且，以为直径作，设线段的中点为P，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，三角形中位线定理等知识．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．首先根据三角形中位线的性质得出，进而利用点与圆的位置关系得出即可． 【详解】解：连接， ∵以为直径作，线段的中点为P， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴点P与的位置关系是点P在外． 故选：C． 3．在平面内，的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是点在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）． 【答案】圆外 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内；据此即可判断求解，掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为， ∴， ∴点在圆外， 故答案为：圆外． 4．的圆心是原点，半径为13，点在上，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理．根据题意画出图形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作轴，    则， 根据勾股定理可得， 点或， ． 故答案为：． 5．已知点P到的最长距离为，最短距离为．试求的半径长． 【答案】或 【分析】分两种情况进行讨论：①点P在圆内；②点P在圆外，进行计算即可 【详解】解：①当P在外时，如图， ∵P当的最长距离是为，最短距离为， ∴， ∴， ∴的半径为'； 当P在内时， ， 此时， 的半径为． 即的半径长为或． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，分类讨论是解此题的关键． 题型07 利用点与圆的位置关系求半径 1．若点在以为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，点与圆的位置关系，根据点在圆内，在点到圆心的距离小于半径可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵点在以为圆心，2为半径的圆内， ∴点A到点B的距离小于2， ∴， ∴， 故选C． 2．如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键 连接交于，根据勾股定理求出的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位置关系得出的范围即可． 【详解】解：连接交于，如图，    在中，由勾股定理得：， 则， ， ， 与相交，且点在外，必须， 即只有选项B符合题意， 故选：B． 3．在同一平面内，的半径是8，点不在上，若点到上的点的最小距离是，上的点最大距离是 ． 【答案】13或19 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解； 当点在内，如图1， ∴，， ∴， ∴最大距离是13； 当点在外，如图2， ∴，， ∴， ∴最大距离是19； 综上所述，的半径是13或19； 故答案为：13或19． 4．在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ． 【答案】3或8 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解； 当点在内，如图1， ∴， ∴， ∴半径为8； 当点在外，如图2， ∴， ∴， ∴半径为3； 综上所述，的半径是3或8； 故答案为：3或8． 5．在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 【答案】(1)点在内，点在外，点在上 (2) 【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解； （2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解． 【详解】（1）解：连接， ，， ， 的半径为8， 点在内，点在外，点在上； （2）解：，，， 又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， 的半径的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键． 题型08 三角形外接圆的说法辨析 1．下列说法正确的是：（    ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系及三角形外外心的知识．根据垂径定理、圆周角定理及确定圆的条件，结合各选项进行判断即可． 【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法不正确； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法不正确； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法不正确； D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故原说法正确． 故选：D． 2．如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键，找出不在同一条直线上的三个点的所有组合即可． 【详解】解：依题意A，B；A，C；A，D；B，C；B，D；C，D加上点P可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：B． 3．三角形的外接圆与外心 （1） 的三个点确定一个圆； （2）三角形的外接圆：经过三角形的三个 的圆； （3）三角形的外心：三角形 的圆心．它是三角形三边 的交点，到三角形三个 的距离相等． 【答案】 不在同一直线上 顶点 外接圆 垂直平分线 顶点 【分析】不在同一条直线上的三个点确定一个圆；经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．外心到三角形任意一顶点的距离即为外接圆的半径．据此填空即可． 【详解】解：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆； （2）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆； （3）三角形的外心：三角形外接圆的圆心．它是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等． 故答案为：不在同一直线上；顶点；外接圆；垂直平分线；顶点． 【点睛】本题考查三角形的外接圆和内心的确定等，熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点是解题的关键． 4．三角形的外接圆： 经过三角形的 的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 ，三角形的外心到三角形 的距离相等． 【答案】 三个顶点 三条边垂直平分线 外心 三个顶点 【分析】根据三角形外心的定义以及性质完成填空即可求解． 【详解】解：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 故答案为：三个顶点；三条边垂直平分线；外心；三个顶点． 【点睛】本题考查了三角形外心的定义以及性质，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 5．如图，已知，利用尺规求作，使圆心O在上，且经过A、C两点．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】直接作出线段的垂直平分线，进而得出答案． 【详解】解：即为所求．    【点睛】此题主要考查了复杂作图，正确掌握垂直平分线的性质是解题关键． 题型09 求三角形外心坐标 1．如图，在平面直角坐标系中， ，，，则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求． 【详解】解：作和的垂直平分线，交点为所求， 的外心坐标为， 故选：D． 2．如图，，，，，则外心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，取格点，，，，且直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形，则可得，的交点为为的外心，再分别求解，的解析式即可得到答案． 【详解】解：如图，取格点，，，，则直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形， ∴直线是线段的垂直平分线， 记，的交点为，则为的外心， ∵，，， ∴直线为，，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，， ∴，即的外心坐标为：． 故选C． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，正方形的性质，三角形的外心的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握“三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点”是解本题的关键． 3．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的性质，两点之间距离公式，确定外心的性质是解题的关键． 先根据点坐标建立平面直角坐标系，由外心的性质得到点为与垂直平分线的交点，设，通过两点之间距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴建立如图所示平面直角坐标系， 则， 设外心为，连接， ∴点为与垂直平分线的交点， ∴点在直线上，， 设， 由得，， 解得：， ∴， 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，可得点是的外心．解决本题的关键是掌握外心定义． 【详解】解：如图，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点， 点是的外心， 的外心的坐标为， 故答案为：． 5．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 【答案】(1) (2)在圆外 【分析】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系，根据垂径定理得出圆心位置是解答本题的关键． （1）连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，就是过，，三点的圆的圆心，由图形可得的坐标； （2）分别求出和的长度进行比较即可作出判断． 【详解】（1）解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点， 是过，，三点的圆的圆心，    ． （2），，， ，， ， 点在的外部． 题型10 求特殊三角形外接圆的半径 1．已知中，，则外接圆的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，在中，利用勾股定理求出的长，然后根据直角三角形外接圆的直径等于斜边的长即可解答． 【详解】解：在中，， ∴， ∴外接圆的半径， 故选：C． 2．已知，如图，在中，，，，那么这个三角形的外接圆直径是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的外接圆半径，根据勾股定理求得斜边的长，进而即可求解，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆． 【详解】解：在中，，，， ∴ ∴这个三角形的外接圆直径是 故选：D． 3．一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆，先求出解一元二次方程的根，再分和是直角三角形的两直角边和是直角边，是斜边两种情况解答，根据直角三角形的外接圆的直径即为斜边长即可求解，明确直角三角形的外接圆的直径即为斜边长并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， 当和是直角三角形的两直角边时， 直角三角形的斜边， ∴此直角三角形的外接圆的直径为； 当是直角边，是斜边时， 此直角三角形的外接圆的直径为； 综上，此直角三角形的外接圆的直径为或， 故答案为：或． 4．在一个直角三角形中，两边长分别是5，12，那么这个三角形的外接圆的半径是 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．熟练掌握直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三角形外接圆半径即可． 【详解】解：在一个直角三角形中，两边长分别是5，12， 当5，12是直角三角形的两条直角边时， 根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为， 此三角形的外接圆的半径是； 当12是直角三角形的斜边时， 此三角形的外接圆的半径是； 综上所述，这个三角形的外接圆的半径是6或． 故答案是：6或． 5．已知等腰，，请用圆规和直尺作出的外接圆，并计算此外接圆的半径． 【答案】作图见解析，的外接圆的半径为4 【分析】由三角形的外接圆的圆心是线段垂直平分线的交点，确定圆心，然后作外接圆即可，由等腰三角形的性质可求，证明是等边三角形，然后作答即可． 【详解】解：作的垂直平分线，交点即为的外接圆的圆心，连接，以为圆心，为半径画圆，则即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的外接圆的半径为4． 【点睛】本题考查了作三角形的外接圆，作垂线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质．熟练掌握三角形的外接圆，作垂线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 题型11 已知外心的位置判断三角形的形状 1．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置． 【详解】解：∵的外心为O， ∴， ∵， ∴， ∵B、C是方格纸格线的交点， ∴B、C的位置如图所示，    ∴． 故选：D． 2．点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答． 【详解】解：点I是的外心，则点I是的三条垂直平分线交点， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理是解题的关键． 3．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 4．如图，点是的外心，且，则 ． 【答案】 【分析】根据点是的外心，可得，从而，再利用三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵点为的外心， ∴点、、均在以点为圆心，长为半径的圆上， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的外心，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的外心位置是解题的关键． 5．如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）． (1)在图1中作出的外心D； (2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． （1）如图1中，分别作及的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求． （2）如图2中，过点A作的垂线，垂足即为点F，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一亲，可得． 【详解】（1）如图1，点D即为的外心； （2）如图2，点F即为所作； 题型12 判断三角形外接圆的圆心位置 1．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，得出外接圆圆心位置是解题关键． 根据题意得出的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理求出半径即可． 【详解】解：如图所示：点O为外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：． 故选：D． 2．在如图所示的方格型网格图中，取3个格点并顺次连接得到，则的外心是（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，三角形的外心，熟练掌握三角形的外心到各个顶点的距离相等是解题关键． 【详解】解：如图，， ∴三角形的外心为点， 故选A． 3．若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形讨论：①当圆心O在内部时．②当点O在外时．分别求解即可． 【详解】解：①当圆心O在内部时，作于E． ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． ②当点O在外时，连接交于E． ， 故答案为：或． 4．如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ；    【答案】 【分析】先根据点A的坐标建立坐标系，再根据圆心一定是线段和线段垂直平分线的交点进行画图求解即可． 【详解】解：如图所示，建立坐标系， 由图可知该圆弧所在圆的圆心坐标是， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了坐标与图形，确定圆心的位置，熟知圆心一定在圆中弦的垂直平分线上是解题的关键． 5．如图，平面直角坐标系中有一个．    (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是 ； (3)该圆圆心到弦的距离为 ； (4)最小覆盖圆的半径为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了三角形外心的性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，熟练掌握以上知识点并利用数形结合思想是解题的关键． （1）根据三角形外心的性质，分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心； （2）根据（1）所求，可由坐标系直接得到答案； （3）取的中点，连接，根据等腰三角形三线合一可知，利用勾股定理求出即为所求； （4）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心，如图即为所求：    （2）解：由（1）可知，点坐标为 故答案为：． （3）解：取的中点，连接，如图，    则 该圆圆心到弦的距离为 故答案为：． （4）解：由图可知，最小覆盖圆的半径为长 如图所示，可知为所求，利用网格    故答案为：． 题型13 判断确定圆的条件 1．有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了确定圆的条件，三角形外心的性质等知识， 根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据三角形外心的性质对④⑤进行判断． 【详解】解：（1）不共线的三个点确定一个圆，故错误； （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误； （3）同弧或等弧所对的圆周角相等，故正确； （4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误； （5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故正确； 故选：B． 2．下列命题中，真命题是（    ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．过三点一定可以作圆 C．优弧一定大于劣弧 D．任意三角形一定有一个外接圆 【答案】D 【分析】本题考查判断命题的真假，涉及切线的判定、圆的确定、弧的定义、三角形的外接圆，熟练掌握相关知识是解答的关键．根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、垂直于半径并且垂足在圆上的直线是圆的切线，故本选项假命题，不符合题意； B、过不在同一直线上的三点一定可以作圆，故本选项假命题，不符合题意； C、在等圆或同圆中，优弧一定大于劣弧，故本选项假命题，不符合题意； D、任意三角形一定有一个外接圆，故本选项真命题，符合题意； 故选：D． 3．若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，圆的确定，根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点不在直线上，三个点确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：∵、， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴当时，平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆， 故答案为：4 4．在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查确定圆的条件，不在同一直线上的三个点确定一个圆．判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 5．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆． 【答案】A，B，C三点可以确定一个圆． 【分析】先设出过A，B两点函数的解析式，把A（2，3），B（-3，-7）代入即可求出其解析式，再把C（5，11）代入解析式看是否与A，B两点在同一条直线上即可． 【详解】设经过A，B两点的直线解析式为y=kx+b， 由A（2，3），B（-3，-7）， 得， 解得． ∴经过A，B两点的直线解析式为y=2x-1； 当x=5时y=2x-1=2×5-1=9≠11， 所以点C（5，11）不在直线AB上，即A，B，C三点不在同一直线上， 所以A，B，C三点可以确定一个圆． 【点睛】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式及三点能确定圆的条件,解题的关键是熟练掌握用待定系数法求一次函数的解析式． 题型14 确定圆心（尺规作图） 1．如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（    ） A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断． 【详解】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心． 故选：B． 【点睛】本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键． 2．如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题考查了尺规确定圆的圆心，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握尺规确定圆的圆心的方法． 首先利用尺规做出和所在圆的圆心，进而求解即可． 【详解】如图所示，点P为所在圆的圆心，点Q为所在圆的圆心， ∵点P到线段的距离小于点Q到线段的距离 ∴所在圆的圆心到线段的距离更小． 故选：B． 3．将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查确定圆的圆心，由题意可知，，，取的中点，连接，，，由勾股定理可得，可知点为、、三点所作圆的圆心，进而可得答案． 【详解】解：由题意可知，，， 取的中点，则，， 连接，，， 由勾股定理可得：，， ∴， 即：点为、、三点所作圆的圆心， 则该圆的半径为， 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ． 【答案】（2，1） 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是（2，1）． 故答案为（2，1）． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 5．如图，在中，，交的延长线于点C，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)运用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆，且当，时，的外接圆半径为________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键. （1）由“”可证 （2）分别作的垂直平分线，两条直线交于点，以点为圆心，长为半径画圆即可画出的外接圆，由勾股定理可求的长， 即可求解. 【详解】（1）)证明：， ， 又 ， 在 和 ， ， ； （2） ∵，， ∴， ， ∴， 的外接圆半径 ， 故答案为： 题型15 求能确定的圆的个数 1．平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当三点在一直线上时，③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆，画出图形，即可得出答案． 【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时， ②当三点在一直线上时，如图2， 分别过或或作圆，共3个圆，即， ③当四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时， 分别过或或或作圆，共4个圆，即此时， 即不能是2， 故选：C． 2．如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件； 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故选：C． 3．平面内有5个点A，B，C，D，E，直线与直线正好相交于点E，在这5个点中，过其中3个点能确定一个圆的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查确定圆的条件：经过不在同一条直线上的三个点确定一个圆；概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率． 首先求出五个点任意选取3个点有10种情况，然后根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，所以过其中3个点能确定一个圆的情况有8种，由此求出概率． 【详解】解答：解：平面内有五个点A、B、C、D、E，任选3点有10种情况：：A、E、B；A、E、C；A、E、D；A、B、C；A、B、D；C、D、E；B、E、C；B、E、D；A、D、C；B、D、C， 在这五个点中，过其中3个点能确定一个圆的情况是：A、E、C；A、E、D；A、B、C；A、B、D；B、E、C；B、E、D；A、D、C；B、D、C，共8种； ∴概率为：． 故答案为：． 4．如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个． 【答案】3 【分析】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”确定圆的个数即可． 【详解】过A、B、M；A、C、M；B、C、M共能确定3个圆， 故答案为3． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，注：过三点作圆，分两种情况：①三点共线；②三点不共线． 5．已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 【答案】（1）1个；（2）0个；（3）无数个． 【分析】（1）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点，据此可得答案； （2）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点； （3）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心． 【详解】解：（1）如图1，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点， ∴当直线l与直线AB不垂直时，只能作1个圆； （2）如图2，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点， ∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，不能作圆；   （3）如图3，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心， ∴当直线l是线段AB的垂直平分线时，能作无数个圆． 【点睛】本题主要考查确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆．即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 1．已知的半径为，点与在同一平面内，且，则点与的关系是（    ） A．点在上 B．点在O内 C．点在外 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系，进行判断即可，正确理解点到圆心的距离为，圆的半径为，当时，点在圆内；当时，点在圆上；当时，点在圆外是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为， ∴， ∴点在圆外， 故选：． 2．如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（   ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 【答案】C 【分析】连接，作和的垂直平分线，交点为，则圆心的坐标为，然后求出的半径，比较即可解答． 【详解】解：如图： 连接，作和的垂直平分线，交点为， ∴圆心M的坐标为， ∵， ∴， ∵线段， ∴半径， ∴点D在内， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理的应用，确定圆心的位置是解题的关键． 3．已知以坐标轴原点为圆心的半径为2，抛物线的对称轴与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，二次函数的性质，关键是掌握圆心到直线的距离与半径的关系．先求出抛物线对称轴，再求出圆心到对称轴的距离，然后与半径比较即可． 【详解】解：， 抛物线对称轴为直线， 原点到直线的距离为1， ， 直线与以坐标轴原点为圆心的半径为2相交， 故选：A 4．如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键 连接交于，根据勾股定理求出的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位置关系得出的范围即可． 【详解】解：连接交于，如图，    在中，由勾股定理得：， 则， ， ， 与相交，且点在外，必须， 即只有选项B符合题意， 故选：B． 5．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 6．如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时的最小值． 【详解】解： 将沿所在直线折叠，得到， ， ， E是直角边的中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示， ， 当、、共线时，即与重合时，取得最小值， 又， 此时的值最小， D是斜边的中点， 是的中位线， ， 此时，， 的最小值为4． 故选：C． 7．在平面直角坐标系中，已知、、都在上，则圆心M的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标与图形性质，圆的基本性质，解二元一次方程组，两点距离公式，关键是正确列出圆心的横纵坐标两个未知数的二元一次方程组． 设M点的坐标为，由题意知，，据此列出x、y的二元一次方程组，解方程组便可得出答案． 【详解】解：设M点的坐标为， 由题意知，，， 化简得：， 解得：， 故答案为：． 8．如图，是的直径，是弦，交于点，，则 °．    【答案】30 【分析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等．也考查了三角形内角和．连接，利用等腰三角形的性质得到，，即，然后利用三角形内角和计算的度数． 【详解】解：连接，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：30． 9．在同一平面内，的半径是8，点不在上，若点到上的点的最小距离是，则点到上的点最大距离是 ． 【答案】13或19 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解； 当点在内，如图1， ∴，， ∴， ∴最大距离是13； 当点在外，如图2， ∴，， ∴， ∴最大距离是19； 综上所述，的半径是13或19； 故答案为：13或19． 10．如图，是的直径，A为延长线上一点，点E在上，，交于点B，且，则的度数是 ． 【答案】/27度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角定理，正确作出辅助线是解题的关键．由得到，则，而，因此，即可求出． 【详解】 解：连，如图， ，， ， ， 而， ， ， ， ， 而， ， 所以． 故答案为：． 11．在中，，，，是以点为圆心，为半径的圆上一点，连接，为的中点，则线段长度的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，直角三角形的性质及中位线的性质，利用三角形三边关系确定线段的最值问题，构造一个以为边，另两边为定值的的三角形是解答此题的关键和难点．作的中点，连接，，根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出和长，再根据三角形的三边关系确定长度的范围，从而确定的最小值． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ∵是的中点，是的中点，， ∴为的中位线， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， ∵为斜边的中线， ∴， 在中，，即， ∴的最大值为． 故答案为：． 12．如图，是的直径，点C是上一动点，连接，点D在直径上，，连接并延长交于点E，若，则的最大值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，圆的基本概念，连接，根据，当O，D重合时，则有最大值，有． 【详解】解：如图，连接， ∴， 当O，D不重合时，在中，两边之和大于第三边， ∴． 又，即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 ∴当O，D重合时，如图，有， 故综上得：， 故答案为：8． 13．设，作图说明满足下列要求的图形： (1)到点A和点B的距离都等于的所有点组成的图形． (2)到点A的距离小于且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． （1）分别以点为圆心，为半径画和，则到点A和点B的距离都等于的点为两圆的公共部分，即它们的交点； （2）到点A的距离小于的点在以A点为圆心，为半径圆内；到点B的距离大于的所有点在以B点为圆心，为半径的圆外． 【详解】（1）解：如图1， 分别以点为圆心，为半径画和，它们的交点为所求； （2）解：以A点为圆心，为半径画；以B点为圆心，为半径画， 如图2，和相交于P和Q，则在内，除去与的公共部分为所求． 14．如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．求得到圆心的距离，与圆的半径进行比较即可作出判断． 【详解】解：连接． C在上； 在直角中，， 则A在的外部； ，则E在内部； ，则在直角中，，则F在的外部． 15．已知：如图，是的直径，点在上，于E，于F，且与相等吗？为什么？ 【答案】与相等，理由见解析 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了直角三角形全等的判定与性质．连接，由，，得到，由得到，再根据“HL”可判断，则，所以弧弧，． 【详解】解：与相等．理由如下： 连接，如图， ∵， ∴ ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、M、N均在格点上，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，找一格点C，连接，使； (2)在图②中，在线段上找一点C，连接，使； (3)在图③中，经过点A、B、M作圆，在优弧上找一点C，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出符合题意的等腰直角三角形． （1）结合格点图的特点，以为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形，即可求解； （2）结合格点图的特点，以为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形，则与交于点，即可求解； （3）结合网格图的特点，以为直角边，点为顶角作出等腰直角三角形，则与圆交于点，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，以为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形，即为所求； （2）解：如图所示，以为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形，则与交于点，即为所求； （3）解：如图所示，以为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形，则与圆交于点，即为所求． 17．如图，是的直径，是圆心，是圆上一点，且，是延长线上一点，与圆交于另一点，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本题的关键． 连接，利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及等量代换得到，由三角形外角性质可得，进而求解即可． 【详解】如图，连接 ． ∵，， ∴， ∴， ∴． 又∵ ， ∴， ∴ ∴， ∴． 18．某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案： 方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π） (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π） (3)如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的，他做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取3） 【答案】(1)米 (2)不能省材料，理由见解析 (3)甲得到280元，乙得到320元 【分析】本题考查圆的周长公式，有理数混合运算解决实际问题． （1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可； （2）求出B方案中两个小花坛的直径，再根据圆的周长公式即可两个小花坛的周长之和，与（1）进行比较即可； （3）根据甲每天能完成工程的可求出甲原来每天的效率，进而可求出甲总共修花坛的工作量，进而求出其所得钱数，同理求出乙总共修花坛的工作量，进而求出其所得钱数． 【详解】（1）解：∵大圆花坛的半径为10米，则直径为20米， ∴两个小圆花坛的直径为（米）， ∴修两个花坛的周长为（米）． 故答案为：米 （2）解：不能省材料，理由如下： 根据B方案，两个小圆花坛的直径分别为： （米）， （米）， 它们的周长之和为（米） ∴方案B与方案A修的花坛的周长相等， ∴按照方案B修，与方案A比，不能省材料． （3）解：整项工程为（米）， 甲原来每天可以修（米）， 甲总共修了（米）， 甲得到的工资为（元）； 乙总共修了（米）， 乙得到的工资为（元）， 答：甲得到280元，乙得到320元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$