第08讲 弧长及扇形面积（2个知识点+7大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（浙教版）

第08讲 弧长及扇形面积（2个知识点+7大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.弧长公式； 2.扇形面积； 1、 理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程，掌握公式并能正确、熟练的运用两个公式进行相关计算。  知识点01：弧长及扇形的面积 设的半径为，圆心角所对弧长为， （一）弧长的计算 （1）弧长公式： （2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所 对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为 注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角 所对弧长时，不要错写成 （2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。 【即学即练1】 1．（2023·浙江·九年级假期作业）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据弧长公式计算即可． 【详解】解：该扇形的弧长. 故选：D． 【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式：，n为弧所对的圆心角，r为弧所在圆的半径． 【即学即练2】 2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，的半径为，则劣弧的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，由圆内接四边形性质可得的度数，再由及三角形内角和定理可求得的度数，由圆周角定理可得的度数，最后由弧长公式即可求得结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形性质，等腰三角形性质，弧长公式等知识，综合运用这些知识是解题的关键． 知识点二 扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 【即学即练3】 3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理求得，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：B. 【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键． 【即学即练4】 4．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等六边形的性质计算出的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可． 【详解】解：过B点作垂线，垂足为G    根据正六边形性质可知， ∴ ∴， ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，含30度角的直角三角形等知识，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键． 题型01 求弧长 1．如图，已知在半径为6的中，点A，B，C在上且，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，弧长公式．利用圆周角定理得出的度数，再利用弧长公式计算即可．正确记忆公式是重点．熟练掌握圆周角定理是关键． 【详解】解：连接、， ∵， ∴， ∴的长度为：， 故选：B． 2．如图，四边形内接于，连接，是的直径，，若，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式的计算．连接，先求得，再利用弧长公式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴劣弧的长为， 故选：A． 3．如图，在扇形中，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查求弧长，把已知数据代入弧长公式计算即可，掌握弧长公式的应用是解题的关键． 【详解】解：的长=， 故答案为：． 4．如图，内接于，是的直径且长为4，与相交于点E，，则劣弧的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧长公式，圆周角定理，熟练掌握弧长公式是解题的关键，连接，根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵是的直径且长为4， ∴ ∴劣弧的长为：， 故答案为：． 5、如图，在中，，以边为直径的与边分别交于点D、E．求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查圆周角定理，三线合一，求弧长，连接，根据圆周角定理和三线合一，推出，进而利用弧长公式进行求解即可． 【详解】解：连接，则． 是直径， ，即． ， ． ， ． ， ． 的长． 题型02 求扇形半径 1．已知一条圆弧的度数为，弧长为，则此圆弧的半径为（　　） A．15 B．30 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式的变形计算，根据公式，变形计算即可． 【详解】根据题意，得， 解得， 故选B． 2．传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，该款裙子可以近似地看作扇环，如图2所示，其中，长度为米，长度为米，则裙长AB为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查通过弧长计算半径，熟练掌握弧长公式是解题关键． 通过的长度算出，通过的长度算出，两者相减即可． 【详解】∵米，， ∴， ∴米， ∵米，， ∴， ∴米， ∴米． 故选：B． 3．已知圆上的一段弧长为，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径是 cm． 【答案】 【分析】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设圆的半径为， ， 解得：， 故答案为：． 4．如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键．根据弧长公式，计算得到答案． 【详解】解：设扇形的半径是R， 则 解得：． 故答案为：． 5．一弧长为18.84厘米，所对的圆心角为270°，求该弧所在圆的半径．（取3.14） 【答案】4cm 【分析】根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】解：设该弧所在圆的半径为rcm，由弧长公式，得 解得：； ∴该弧所在圆的半径为4cm． 【点睛】本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键． 题型03 求圆心角 1．如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则为（    ） A．90 B．108 C．120 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的公式的应用，根据传送的距离等于转动了的圆弧的长，进而即可求得． 【详解】， 解得． 故选：B． 2．图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（    ） A．． B．． C．． D．． 【答案】D 【分析】根据题意的长就是边的长，由弧长公式即可求解． 【详解】解：设， ， ， 解得：， 圆心角的度数为： 故选：D． 【点睛】本题考查了弧长公式的应用，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键． 3．半径为厘米的扇形，其弧长为厘米，这个扇形的圆心角为 ． 【答案】 【分析】此题考查了弧长公式，设这个扇形的圆心角度数为，半径为厘米的扇形，其弧长为厘米，则，解方程即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角度数为，则 ， 解得 故答案为： 4．(1)已知扇形的圆心角为，弧长等于，则该扇形的半径是 ； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为 ． 【答案】 2 /60度 【分析】此题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用扇形弧长公式代入求解即可． 【详解】解：（1）设扇形的半径为R， 则根据题意，得， 解得. 故该扇形的半径是2． （2）根据弧长公式得， 解得， 故扇形圆心角的大小为． 故答案为：2；． 5．半径为的圆，一圆心角所对的弧长为，这个圆心角多少度？ 【答案】 【分析】根据弧长公式求解即可． 【详解】解：，， ∴． ∴这个圆心角为． 【点睛】本题考查了弧长公式，灵活应用弧长公式是解题的关键． 题型04 求某点的弧形运动路径长度 1．如图，在中，，把绕点A顺时针旋转后，得到，则点B走过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，求弧长，旋转的性质，先利用勾股定理得到，再由由旋转的性质可得，据此利用弧长公式求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 由旋转的性质可得， ∴点B走过的路径长为， 故选：D． 2．如图，在扇形纸片中，，，在桌面内的直线上，将扇形沿按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当第一次落在上时，停止旋转，则旋转过程中点O所经过的路线长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算公式，理解O运动的路线是关键．O点运动的路径是：旋转的路程的和是以为半径的半圆的弧长，平移的路线是的长，进行求解即可． 【详解】解：的长为； 以为半径的半圆的弧长：， ∴旋转过程中点O所经过的路线长为； 故选C． 3．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，与交于点C，若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查旋转的性质，弧长公式．根据旋转的性质得，，，根据弧长公式即可求解． 【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转后得到，， ，， ， 的长为． 故答案为：． 4．如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动．则重物上升了 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）． 利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，重物的高度为 故答案为：． 5．已知正三角形的边长为1，按如图所示位置放在直线m上，然后无滑动地滚动，当它滚动一个周期时，顶点 A 所经过的路线长为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意可知，点A所经过的这两段弧所在圆的半径为1，所对圆心角均为，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵点A所经过的这两段弧所在圆的半径为1，所对圆心角均为， ∴点A所经过的路线长为 题型05 求扇形面积 1．如图，是半圆O的直径，，B，C是半圆O上两点．若，则图中阴影部分的面积是（    ） D A． B． C． D． 【答案】A 【解题分析】本题考查的知识点是扇形面积的计算，根据圆心角与弧的关系得到，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴阴影部分面积 故选A． 2．如图，边长为4的正方形的顶点B在上，顶点A，C在内，的延长线交于点D，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查求不规则图形的面积，掌握扇形的面积公式，是解题的关键．根据正方形的性质和勾股定理得的半径为，结合扇形与三角形的面积公式，即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴， 即：的半径为， ∴． 故选：B． 3．如图，是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：正八边形和正六边形， ，， ， ． 故答案为：． 4．如图，外侧大圆的半径是10，在里边有两条互相垂直的直径和两个同心圆，其中阴影部分的面积是，请问中间圆的半径是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 设中间圆的半径为r，通过旋转可将阴影部分转化为最大圆的和中间圆的，然后根据圆的面积公式得到，再解方程即可． 【详解】解：设中间圆的半径为r， 根据题意得， 解得 (舍去)， 即中间圆的半径为 故答案为：6． 5．扇子最早称“翣(shà)”，已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一个竹扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，扇面的长为，求扇面面积．(保留π)    【答案】扇面的面积为 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式．根据扇形面积公式分别求出两个扇形的面积，然后作差即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，      ∴扇面的面积为： ． 答：扇面的面积为． 题型06 求弓形面积 1．如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，求得，得到，因为，根据，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，    ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、扇形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 2．如图，直径为的圆内有一个圆心角为的扇形，则与弦围成的弓形面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，再根据即可得到解答． 【详解】解：∵扇形， ∴， 又∵， ∴为大圆的直径， ∴， ∴， ∴ ， 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质和扇形面积公式，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 3．如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，熟练掌握圆的性质，扇形面积公式是解题的关键．根据圆周角定理可得，再根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，，为的直径． ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为： 4．如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弓形面积计算，阴影面积计算，勾股定理，设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为，得到；正确分割表示阴影的面积是解题的关键． 【详解】设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为， 根据题意，得，， ∴， ∵， ∴ ， ∵中，，， ∴， ． 故答案为：24． 5．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧的中点，交弦于点，若，求：    (1)的长． (2)阴影部分的面积． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理及扇形面积计算，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． （1）由E是弧的中点，可得．根据垂径定理得：，在中，运用勾股定理可将的长求出，由即可求解； （2）利用阴影部分面积等于扇形面积减去面积即可求出． 【详解】（1）解：∵E是弧的中点，， ∴， ∴， ∵为半圆O的直径，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的长为1； （2）解：连接，    在中，， ， ， ， ， ． 题型07 求其他不规则图形的面积 1．如图，在矩形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算、切线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是能够正确运用割补法将不规则图形转化成规则图形面积的和差． 利用割补法将阴影部分分成三部分，即，然后分别求每部分的面积即可． 【详解】解：由题意可知，与扇形只有一个交点，则与扇形相切，设这个切点为G， 连接，，则． 过点E作，交于点H． 四边形是矩形， ，． 由题意可得，， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， ， ， 即扇形的圆心角为． 在和中， ， ， ， ， ， 即扇形的圆心角为． ， ， ， 故选：A． 3．如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，点，分别为，的中点．以为圆心，为半径作圆弧，再分别以，为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．连接，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形面积减去直角三角形的面积之差． 【详解】解：连接，，如图， 正方形的边长为2，为对角线的交点， 由题意可得：，经过点，且，． 点，分别为，的中点， ， ，． 以为弦的两个弓形面积相等． ． 故选：C． 4．如图，在边长为3的等边三角形中，以为直径构造半圆，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，，，根据等边三角形的判定与性质求出、、是边长相等的等边三角形，再根据阴影部分的面积求解即可．此题考查了扇形的面积、等边三角形的性质，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，， 是等边三角形的边长为3， ，， 以为直径构造半圆， ， 、是等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 28．如图所示，在直角三角形中，，，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的面积和扇形的面积的计算，用直角三角形的面积减去两个半径相等的扇形的面积，就是剩余部分的面积． 【详解】解：， ， 故答案为：． 5．如图，是的弦，经过圆心交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的基本性质，切线定理，勾股定理的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线定理，勾股定理的应用，即可． （1）连接，根据，求出，根据，则，即可； （2）根据，则，再根据，，求出，；根据勾股定理求出，根据三角形的外角，则，阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积，即可． 【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）∵是的切线，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 1．如图，若的半径是，、两点在上，且，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键； 根据弧长公式计算即可； 【详解】解：； 故选：B 2．若扇形面积为，圆心角为，则它的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形的面积公式，弧长公式等知识，利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式计算即可．解题的关键是记住扇形的面积公式以及弧长公式． 【详解】解：设扇形的半径为， 由题意：， 解得， ∴扇形的弧长， 故选：C． 3．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了扇形的面积公式，应用与设计作图．连接，则阴影部分面积，依此计算即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得，阴影部分面积． 故选：A． 4．如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先根据题意可知，，从而证明，最后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积，进行解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积=弓形的面积， ∴阴影部分的面积 =扇形的面积的面积 ， 故选：C． 5．如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形外接圆与外心，扇形面积的计算，添加正确的辅助线是解题的关键．作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点，连接，证明，根据阴影部分面积的面积即可得到答案． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点，连接，则点是外接圆的圆心， 由题意得：， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 阴影部分面积 ， ， 故选D． 6．如图，是的直径，，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点D的对应点E落在上，延长，交于点F，则图中阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，不规则图形的面积，解直角三角形，过点D作直径，过点F作于H，连接，，推出，，由圆周角定理证得，即可求得，则，进而求得，解直角三角形求得，根据扇形面积减去三角形面积计算即可． 【详解】解：如图，过点D作直径，过点F作于H，连接，，    由旋转知：，， ，， 是的直径， ， ， ， ， ∴， ， ， ． 故选：D． 7．已知圆心角为 的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形面积公式：、弧长公式：是解题的关键．设扇形的半径为，根据弧长公式求出，根据扇形面积公式计算． 【详解】设扇形的半径为， 扇形的圆心角为，弧长为， 则， 解得，， 扇形的面积， 故答案为：． 8．如图，为圆的直径，为圆弧上的三等分点，已知，求阴影部分的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查求不规则图形面积，涉及等边三角形的判定与性质、平行线的判定、同底等高三角形面积及扇形面积公式等知识，连接，如图所示，由等边三角形的判定与性质及平行线的判定得到，进而确定阴影部分的面积，利用扇形面积公式代值求解即可得到答案，根据题意，准确作出辅助线，数形结合将不规则图形面积转化为规则图形面积是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 为圆弧上的三等分点， ， ， 是等边三角形，则， ， ， ， 线段与构成的弓形面积始终不变， 阴影部分的面积， 故答案为：． 9．如图，已知六边形 是的内接正六边形，的半径为，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接多边形的性质，扇形的面积，如图，连接，，证明即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，连接，， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∴， ∴，，三点共线， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，在中，．以点C为圆心，长为半径画弧，分别交于点D，E，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】π﹣ 【分析】本题主要考查扇形的面积与解直角三角形，判断出三角形为等边三角形是解题的关键． 如图：连接，由扇形面积减三角形面积即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 11．如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质等，先证明是等边三角形，根据求出半径，进而利用勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ，，即， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，在中，，分别以点A，B为圆心．大于长度为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再以点C为圆心，长度为半径画弧，交于点E，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是作图﹣基本作图，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，熟知角平分线的作法和扇形的面积公式是解答此题的关键．由题意可知是的平分线，根据角平分线的定义可知，根据等腰三角形的三线合一的性质得：，再由直角三角形斜边中线的性质得，最后由面积差可得结论． 【详解】解：由题意可知：是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积的面积扇形的面积． 故答案为：． 13．如图，在中，，，将绕点O顺时针旋转后得． (1)求点A扫过的弧的长； (2)求线段AB扫过的面积． 【答案】(1) (2)4π 【分析】本题考查扇形的面积，弧长的计算，旋转的性质，关键是掌握弧长公式，由图形得到阴影的面积． （1）由旋转的性质得到：，，根据弧长公式即可解答； （2）由旋转的性质得到阴影的面积，结合扇形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：由旋转的性质得到：，， ∴， ∴点A扫过的弧长是； （2）解：由旋转的性质得到：，，的面积的面积， ∵阴影的面积 ∴阴影的面积 14．如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上，，垂足为D，，分别交于点F，G． (1)求证： ； (2)若，求弧的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了圆周角定理和应用，以及弧长的计算方法，要熟练掌握． （1）根据是 的直径，，，推出，即可推得． （2）连接、，根据，，求出，再根据，求出，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：∵是 的直径， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，连接、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的长度． 15．如图，在中，弦相交于点，连结，已知． (1)求证：； (2)连结，若，的半径为2，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)的长为 【分析】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键． （1）先证明，再证明，最后根据圆周角定理即可得证； （2）根据圆周角定理求出，然后根据弧长公式计算即可得解 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴的长． 16．如图，四边形内接于，是的直径，平分，交于点H． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)当，，时，求劣弧的长度． 【答案】(1)，见解析； (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，圆周角定理的应用，等腰三角形的性质，圆的内接四边形的性质，勾股定理的应用，弧长的计算，掌握以上基础知识是解本题的关键． （1）先证明，再证明，可得，可得； （2）先求解，证明，设半径为r，则，由，可得：，再利用弧长公式计算即可． 【详解】（1），理由如下： ∵是的直径， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 设半径为r，则， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴劣弧的长度． 17．如图，四边形是正方形，以边为直径作，点E在边上，连接交于点F，连接并延长交于点G，． (1)求证：； (2)若，求劣弧的长．（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据四边形是正方形，为的直径，得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据三角形的内角和得到，根据圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，为的直径， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的长度为． 【点睛】本题考查了弧长的计算，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 18．如图，在中，，以为直径的半圆交于点D，交于点 (1)若弧的度数为，求的度数； (2)若点D、E是半圆弧的三等分点，，求弧的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）设圆的圆心为O，如图，连接，根据圆周角定理和等腰三角形的性质即可得到结论； （2）连接，求出，可得是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）解：设圆的圆心为O，如图，连接， ∵是圆O的直径， ∴， 又∵， ∴， ∵弧的度数为， ， ， ∵，即， ∴， ∵， ； （2）解：连接， ∵点D、E是半圆弧的三等分点， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ， ∴， 弧的长为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！43 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 弧长及扇形面积（2个知识点+7大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.弧长公式； 2.扇形面积； 1、 理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程，掌握公式并能正确、熟练的运用两个公式进行相关计算。  知识点01：弧长及扇形的面积 设的半径为，圆心角所对弧长为， （一）弧长的计算 （1）弧长公式： （2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所 对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为 注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角 所对弧长时，不要错写成 （2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。 【即学即练1】 1．（2023·浙江·九年级假期作业）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，的半径为，则劣弧的长为（　　） 知识点二 扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 【即学即练3】 3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是(    )    A． B． C． D． 【即学即练4】 4．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为(    )    A． B． C． D． 题型01 求弧长 1．如图，已知在半径为6的中，点A，B，C在上且，则的长度为（　　） A． B． C． D． 2．如图，四边形内接于，连接，是的直径，，若，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在扇形中，，，则的长为 ． 4．如图，内接于，是的直径且长为4，与相交于点E，，则劣弧的长为 ． 5、如图，在中，，以边为直径的与边分别交于点D、E．求的长． 题型02 求扇形半径1．已知一条圆弧的度数为，弧长为，则此圆弧的半径为（　　） A．15 B．30 C． D． 2．传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，该款裙子可以近似地看作扇环，如图2所示，其中，长度为米，长度为米，则裙长AB为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．已知圆上的一段弧长为，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径是 cm． 4．如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为 ． 5．一弧长为18.84厘米，所对的圆心角为270°，求该弧所在圆的半径．（取3.14） 题型03 求圆心角 1．如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则为（    ） A．90 B．108 C．120 D．无法判断 2．图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（    ） A．． B．． C．． D．． 3．半径为厘米的扇形，其弧长为厘米，这个扇形的圆心角为 ． 4．(1)已知扇形的圆心角为，弧长等于，则该扇形的半径是 ； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为 ． 5．半径为的圆，一圆心角所对的弧长为，这个圆心角多少度？ 题型04 求某点的弧形运动路径长度 1．如图，在中，，把绕点A顺时针旋转后，得到，则点B走过的路径长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在扇形纸片中，，，在桌面内的直线上，将扇形沿按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当第一次落在上时，停止旋转，则旋转过程中点O所经过的路线长为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，与交于点C，若，，则的长为 ． 4．如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动．则重物上升了 ．（结果保留） 5．已知正三角形的边长为1，按如图所示位置放在直线m上，然后无滑动地滚动，当它滚动一个周期时，顶点 A 所经过的路线长为多少？ 题型05 求扇形面积 1．如图，是半圆O的直径，，B，C是半圆O上两点．若，则图中阴影部分的面积是（    ） D A． B． C． D． 2．如图，边长为4的正方形的顶点B在上，顶点A，C在内，的延长线交于点D，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积是 ． 4．如图，外侧大圆的半径是10，在里边有两条互相垂直的直径和两个同心圆，其中阴影部分的面积是，请问中间圆的半径是 ． 5．扇子最早称“翣(shà)”，已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一个竹扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，扇面的长为，求扇面面积．(保留π)    题型06 求弓形面积 1．如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，直径为的圆内有一个圆心角为的扇形，则与弦围成的弓形面积为（    ）． A． B． C． D． 3．如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 4．如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是 ． 5．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧的中点，交弦于点，若，求：    (1)的长． (2)阴影部分的面积． 题型07 求其他不规则图形的面积 1．如图，在矩形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F，再以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 3．如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，点，分别为，的中点．以为圆心，为半径作圆弧，再分别以，为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在边长为3的等边三角形中，以为直径构造半圆，则图中阴影部分的面积为 ． 28．如图所示，在直角三角形中，，，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 5．如图，是的弦，经过圆心交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 1．如图，若的半径是，、两点在上，且，则的长度是（    ） A． B． C． D． 2．若扇形面积为，圆心角为，则它的弧长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点D的对应点E落在上，延长，交于点F，则图中阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 7．已知圆心角为 的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 ． 8．如图，为圆的直径，为圆弧上的三等分点，已知，求阴影部分的面积 ． 9．如图，已知六边形 是的内接正六边形，的半径为，连接，则图中阴影部分的面积是 ． 10．如图，在中，．以点C为圆心，长为半径画弧，分别交于点D，E，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 11．如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则图中阴影部分的面积为 ． 12．如图，在中，，分别以点A，B为圆心．大于长度为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再以点C为圆心，长度为半径画弧，交于点E，则阴影部分的面积为 ． 13．如图，在中，，，将绕点O顺时针旋转后得． (1)求点A扫过的弧的长； (2)求线段AB扫过的面积． 14．如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上，，垂足为D，，分别交于点F，G． (1)求证： ； (2)若，求弧的长度． 15．如图，在中，弦相交于点，连结，已知． (1)求证：； (2)连结，若，的半径为2，求的长． 16．如图，四边形内接于，是的直径，平分，交于点H． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)当，，时，求劣弧的长度． 17．如图，四边形是正方形，以边为直径作，点E在边上，连接交于点F，连接并延长交于点G，． (1)求证：； (2)若，求劣弧的长．（结果保留π） 18．如图，在中，，以为直径的半圆交于点D，交于点 (1)若弧的度数为，求的度数； (2)若点D、E是半圆弧的三等分点，，求弧的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$