专题02 全等三角形与尺规作图（考题猜想，49题15种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版）

专题02 全等三角形与尺规作图（易错必刷49题15种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 图形的全等 · 将图形分割成全等图形 · 全等三角形的概念与性质 · 四种直接证明三角形全等的方法 · 直接三角形的全等证明 · 垂直平分线的性质与证明 · 角平分线的性质与证明 · 一线三等角证明三角形全等 · 半角模型证明三角形全等 · 倍长中线证明三角形全等 · 手拉手模型证明三角形全等 · 截长补短法证明三角形全等 · 角平分线模型证明三角形全等 · 全等三角形的动点问题 · 尺规作图问题 一．图形的全等（共3小题） 1．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）下列各组图形中，不是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（　　） A． B． C． D． 二、将图形分割成全等图形（共2小题） 3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在下列3个的网格中，画有正方形，沿网格线把正方形分分割成两个全等图形，请用三种不同的方法分割，画出分割线．    4．（23-24八年级·江苏·假期作业）在3×3的方格纸中，试用格点连线将方格纸分割成两个大小、形状都相同的多边形．试画出四种不同的分割方法：    三、全等三角形的概念与性质（共5小题） 5．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．全等三角形的周长相等、面积相等 D．所有的等边三角形全等 6．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）在中，，若，则与的关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 7．（22-23八年级上·河南漯河·开学考试）如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是 ，的对应角是 ．    8．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． (1)表示这两个三角形全等； (2)写出对应边及对应角． 9．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，，，，求的长． 四、四种直接证明三角形全等方法（共5小题） 10．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在的边上取一点D，连接，在边的延长线上截取，点F在边下方，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，且的面积为1，则四边形的面积为 ． 11．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图15，在和中，B，E，C，F在同一条直线上．有下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得．（写出所有情况） (2)选择（1）中的一种情况，求证：． 12．（2024·广东·模拟预测）如图，在四边形中，，是的平分线．求证：． 13．（16-17八年级上·江西宜春·阶段练习）如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、．试猜想线段与的关系，并证明你的猜想． 14．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，平分，于点E， (1)求证：； (2)若，求的度数． 五、直角三角形的全等证明（共3小题） 15．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，于点C，于点F，与交于点O，且，．求证：． 16．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，点D在边上，已知，点E在上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 17．（23-24八年级上·四川达州·期末）图，已知，于点G，于点F，且． (1)求证：； (2)吗？请说明理由； (3)若，是什么三角形？ 六、垂直平分线的性质与证明（共4小题） 18．（24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）如图，中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，，的周长为，则的周长是 ． 19．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，若的周长为2，则的长是 ． 20．（23-24八年级下·广东河源·期中）如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接． (1)如图，的周长为18，求的长． (2)求，，求的度数． 21．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知中，，点，分别为，上的点，．    (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 七、角平分线的性质与证明（共4小题） 22．（11-12八年级上·河南周口·期中）如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．    A． B． C． D． 23．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，点，是内角与外角的三等分线的交点，则 ．    24．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 25．（11-12八年级上·天津南开·期中）如图，，是的中点，平分，求证：平分．    八、一线三等角模型证明三角形全等（共3小题） 26．（23-24七年级下·全国·单元测试）在中，，，直线 经过点 C ，且 于 D ，于 E ． (1)当直线绕点 C 旋转到图（1）的位置时，求证： ①： ②： (2)当直线 绕点 C 旋转到图（2）的位置时，求证： ； (3)当直线 绕点 C 旋转到图（3）的位置时，请直接写出 ，， 之间的等量关系． 27．（24-25八年级上·云南文山·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 28．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，在中，，，，三点都在直线上，且，． (1)如图①，若，则与的数量关系为 ； (2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系； (3)如图③，若改变题干中的条件，只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等?若存在，求出相应的的值和的值；若不存在，请说明理由． 九、半角模型证明三角形全等（共3小题） 29．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，分别是上的点，，线段之间的数量关系是 ． 30．（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 31．（22-23八年级上·湖北武汉·开学考试）【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 十、倍长中线证明三角形全等（共3小题） 32．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 33．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 34．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________． 这样就能把线段，，集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决． 【问题解决】 （2）如图，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，直接写出的长． 十一、手拉手模型证明三角形全等（共3小题） 35．（19-20七年级上·山东泰安·期中）如图，在和中，，，，，连接交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是 ．    36．（19-20七年级下·河南郑州·期末）在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下探究： （1）如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此时BD和CE的数量关系是 ； （2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数． 37．（17-18八年级·北京·期中）在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上，且时，那么 度； (2)设，． ①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）． 十二、截长补短法证明三角形全等（共3小题） 38．（19-20八年级上·山东济宁·期中）现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 39．（20-21八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，AD平分，．求证：． 李老师给出了如下简要分析：“要证就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截长法’如图2，在AC上截取，连接DE，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题__________为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及_________，再证出_____________________，进而得出，则结论成立．此种证法的基础是‘已知AD平分，将沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处’成为可能． 方法二：“补短法”如图3，延长AB至点F，使．只要证即可．此时先证__________，再证出__________________，则结论成立．” “截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法． 40．（23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，， ，求的长． 十三、角平分线模型证明全等（共3小题） 41．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）如图中，分别平分相交于点． （1）求的度数； （2）求证： 42．（19-20八年级上·湖北恩施·期末）（1）如图，AE是∠MAD的平分线，点C是AE上一点，点B是AM上一点，在AD上求作一点P，使得△ABC≌△APC，请保留清晰的作图痕迹.    （2）如图a，在△ABC中, ∠ACB=，∠A=，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O.请探究线段BC、BF、CE之间的关系，直接写出结论，不要求证明.    （3）如图b，若（2）中∠ACB为任意角，其它条件不变，请探究BC、BF、CE之间又有怎样的关系，请证明你的结论. 43．（23-24七年级下·河南郑州·期末）综合与实践： (1)如图1是小华设计的一个角平分仪，其中（，．将点O放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则射线就是这个角的平分线，请证明此仪器的合理性． (2)如图2，在中，，、分别是和的平分线，、相交于点 G． ①求的度数； ②如图3，在上截取，在上截取．若为等腰三角形，则的度数为 ． 十四、全等三角形的动点问题（共2小题） 44．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，在长方形中，厘米，厘米．动点P从点A出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点Q从点C出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)求为何值时，与的面积相等； (3)求为何值时，与全等； (4)是否存在值，使，且?若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 45．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动，同时点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动．设运动时间为（秒）． (1)线段______，线段______（用含的代数式表示） (2)若点、的运动速度相等，时，与是否全等，请说明理由． (3)若点、的运动速度不相等，与全等时，求的值． 十五、尺规作图问题（共4小题） 46．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知线段a，b和，求作三角形，使其有一内角等于，且此角的对边等于a，另一边等于b．保留作图痕迹，不写作法． 47．（21-22七年级下·甘肃白银·期中）作图题．已知，，且大于，求作（不写作法，保留作图痕迹，不在原图上作图） 48．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知，请用尺规作图法求作，使，，．（不写作法，保留作图痕迹） 49．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，用尺规作图，作的角平分线，的垂直平分线．（要求：保留作图痕迹，不写作法） $$专题02 全等三角形与尺规作图（易错必刷49题15种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 图形的全等 · 将图形分割成全等图形 · 全等三角形的概念与性质 · 四种直接证明三角形全等的方法 · 直接三角形的全等证明 · 垂直平分线的性质与证明 · 角平分线的性质与证明 · 一线三等角证明三角形全等 · 半角模型证明三角形全等 · 倍长中线证明三角形全等 · 手拉手模型证明三角形全等 · 截长补短法证明三角形全等 · 角平分线模型证明三角形全等 · 全等三角形的动点问题 · 尺规作图问题 一．图形的全等（共3小题） 1．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）下列各组图形中，不是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等图形的识别，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据能够完全重合的两个图形是全等图形，再对各选项分析即可得解． 【详解】解：A. 选项中两个图形不可能完全重合，故它们不是全等图形，故选项正确； B. 选项中两个图形能够完全重合，故它们是全等图形，故选项错误； C. 选项中两个图形能够完全重合，故它们是全等图形，故选项错误； D. 选项中两个图形能够完全重合，故它们是全等图形，故选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查全等图形的识别，熟练掌握概念是解题关键。 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是全等形的识别．利用全等图形的概念（两个图形能够完全重合，就是全等图形）可得答案． 【详解】解：A、两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； C、两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查全等图形的室别，熟练掌握概念是解题关键。 二、将图形分割成全等图形（共2小题） 3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在下列3个的网格中，画有正方形，沿网格线把正方形分分割成两个全等图形，请用三种不同的方法分割，画出分割线．    【答案】见解析 【分析】根据全等图形的性质，按照题意作图即可． 【详解】．   【点评】本题考查作图-全等图形，熟练掌握全等图形的性质是解答本题的关键． 4．（23-24八年级·江苏·假期作业）在3×3的方格纸中，试用格点连线将方格纸分割成两个大小、形状都相同的多边形．试画出四种不同的分割方法：    【答案】见解析 【分析】根据全等图形的定义和方格的特点解答即可． 【详解】解：如图：    【点评】本题考查了图形的分割和全等图形的定义，熟练掌握方格纸的特点是解答本题的关键． 三、全等三角形的概念与性质（共5小题） 5．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．全等三角形的周长相等、面积相等 D．所有的等边三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的概念及性质，根据三角形全等的概念和性质逐一判断即可. 【详解】A选项：形状和大小完全相同的两个三角形全等，故形状相同的两个三角形不一定全等，本选项说法错误； B选项：全等的两个三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项说法错误； C选项：全等三角形的周长相等，面积相等，本选项说法正确； D选项：等边三角形的形状相同，但大小不同，故本选项说法错误. 故选：C 【点评】本题考查全等三角形的概念以及性质，熟练掌握相关知识是解题关键。 6．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）在中，，若，则与的关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的性质及三角形内角和定理，根据，利用三角形内角和定理求出，再根据，可得，即可得出结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 故选：A． 【点评】本题考查全等三角形的性质以及三角形的内角和，熟练利用相关知识是解题关键。 7．（22-23八年级上·河南漯河·开学考试）如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是 ，的对应角是 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的对应边与对应角．解题的关键是牢记“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可．解题时要找对对应边，对应角即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的对应边是，的对应角是． 故答案为：，． 【点评】本题考查全等三角形的对应边和对应角，熟记全等三角形的性质是本题解题关键。 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． (1)表示这两个三角形全等； (2)写出对应边及对应角． 【答案】(1) (2)与，与，与；与，与，与 【分析】本题主要考查全等三角形的对应边，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据题意写出全等三角形即可； （2）根据全等三角形的表示找出对应边与对应角． 【详解】（1）解：点与点，点与点是对应顶点， ； （2）解： ， 故与，与，与为对应边；与，与，与为对应角． 【点评】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形相关概念是本题解题关键。 9．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，，，，求的长． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据，得，再代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：5． 【点评】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是本题解题关键。 四、四种直接证明三角形全等方法（共5小题） 10．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在的边上取一点D，连接，在边的延长线上截取，点F在边下方，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，且的面积为1，则四边形的面积为 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)4 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，平行线的判定与性质，与三角形高相关的计算． （1）根据，得到，结合，利用即可证明； （2）由（1）知，推出，即可证明； （3）根据，且的面积为1，可求出的面积为，再根据（2）知得到点到的距离与点到的距离相等，推出的面积与的面积相等，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明： ， ，即， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ； （3）解： ，且的面积为1， 的面积为， 由（2）知， 点到的距离与点到的距离相等， 的面积与的面积相等， 四边形的面积为． 【点评】本题考查三角形的全等判定，平行线的性质，三角形的高计算，熟练掌握相关概念并灵活运用是本题解题关键。 11．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图15，在和中，B，E，C，F在同一条直线上．有下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得．（写出所有情况） (2)选择（1）中的一种情况，求证：． 【答案】(1)①②③或①②④或②③④ (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定． （1）根据全等三角形的判定方法选择合适的条件即可； （2）利用全等三角形的判定进行证明即可． 【详解】（1）由题知，选择的三个条件是①②③或①②④或②③④． （2）选择①②③． 证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． 在和中， ∵， ∴． 选择①②④． 证明：∵， ∴． 在和中， ∵，，， ∴． 选择②③④． 证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． 在和中， ∵， ∴． 【点评】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握相关知识是本题解题关键。 12．（2024·广东·模拟预测）如图，在四边形中，，是的平分线．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．首先由角平分线的概念得到，然后由角角边即可证得． 【详解】证明：∵是的平分线， ， 在和中， ， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握三角形的全等判定是解题关键。 13．（16-17八年级上·江西宜春·阶段练习）如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、．试猜想线段与的关系，并证明你的猜想． 【答案】猜想：，，证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．①利用可得出，由全等三角形的对应边相等可得出，②利用全等得出，再利用三角形的外角和定理得到，又，利用等量代换可得出，即与垂直． 【详解】解：猜想：，，证明如下： 证明：①， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴(全等三角形的对应边相等)； ②， ∴， 又∵， ∴， ∴． 综上所述：，． 【点评】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是关键。 14．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，平分，于点E， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由角平分线的定义得出，再得出，利用证明即可． （2）由线段垂直平分线的性质可得出，则可得出，然后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵E为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点评】本题主要考查了 全等三角形的判定，角平分线的定义，垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 五、直角三角形的全等证明（共3小题） 15．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，于点C，于点F，与交于点O，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据等式的性质得出，先证明，得出，再证明，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵于点C，于点F， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【点评】本题考查直角三角形全等的判定，熟练掌握HL的知名方法是解题关键。 16．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，点D在边上，已知，点E在上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：证明，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可解答． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：，，， ，， ， 是直角三角形， ， ； （2）解：， ∴， ∵，， ， ∴ ． 17．（23-24八年级上·四川达州·期末）图，已知，于点G，于点F，且． (1)求证：； (2)吗？请说明理由； (3)若，是什么三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)是等边三角形 【分析】（1）由，，，，即可证明， （2）由，即可证明， （3）根据题意由余角的性质可得，即可得到是等边三角形． 本题考查全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定，熟练掌握并证明三角形全等是解题的关键． 【详解】（1）解：证明：∵，， ∴， 在和中，， ∴， （2）解：∵， ， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点评】本题考查全等三角形的判定和等边三角形的判定，熟练掌握相关概念并运用是解题关键。 六、垂直平分线的性质与证明（共4小题） 18．（24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）如图，中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，，的周长为，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，即，求出即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题关键。 19．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，若的周长为2，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，，再结合的周长为2即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵的周长为2， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是本题解题关键。 20．（23-24八年级下·广东河源·期中）如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接． (1)如图，的周长为18，求的长． (2)求，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算； （2）由对顶角相等得，根据垂直的定义得到，由（1）知，可得又，最后根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）垂直平分， ， ， 又， ， 又的周长， ， ； （2）， ， 又垂直平分， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是本题解题关键。 21．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知中，，点，分别为，上的点，．    (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，可得，利用，进而证明； （2）由则在的中垂线上，再证明可得，故在的中垂线上，则垂直平分． 本题考查三角形全等的判定和性质定理、中垂线的判定定理，理解题意是解决问题的关键． 【详解】（1）解： 与全等； 理由：，， 即， 在与中， ， ； （2）解：如图：连接，    由（1）， 在的中垂线上， ， ， 在与中， ， ， ， 在的中垂线上， 垂直平分． 【点评】本题考查三角形的全等以及垂直平分线的判定，熟练掌握相关知识是本题解题关键。 七、角平分线的性质与证明（共4小题） 22．（11-12八年级上·河南周口·期中）如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证 ，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，    由角平分线的性质定理得：， 的三边，，长分别是20，30，40， ． 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键． 23．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，点，是内角与外角的三等分线的交点，则 ．    【答案】． 【分析】过点作于点，于点，，根据角平分线的性质可得，，再由内角和即可求解． 【详解】如图，过点作于点，于点，，交的延长线于点，    ∵点，是内角与外角的三等分线的交点， ∴是的平分线， 又∵，， ∴ ，同理可得， ∴ ， 又∵，， ∴是的平分线， ∵，， ∴， ∵点，是内角与外角的三等分线的交点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的的性质定理和判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质． 24．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质及，证得，即可得出结论 （2）过P作，，，利用角平分线的点到角两边的距离相等得，再利用角平分线的逆定理即可得结论． 【详解】（1） ， ， ， 在和中 ， 平分； （2）如图：过P作，，， ，平分，平分， ，， ， 点P在的平分线上． 平分， 点P在的平分线上． 【点评】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的性质以及判定是本题解题关键。 25．（11-12八年级上·天津南开·期中）如图，，是的中点，平分，求证：平分．    【答案】见解析 【分析】过点M作于点E，根据角平分线的性质及判定，即可证得． 【详解】证明：如图：过点作，垂足为， 平分，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又， ， ，， 平分（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． 【点评】本题考查了角平分线的性质及判定，熟练掌握和运用角平分线的性质及判定是解决本题的关键． 八、一线三等角模型证明三角形全等（共3小题） 26．（23-24七年级下·全国·单元测试）在中，，，直线 经过点 C ，且 于 D ，于 E ． (1)当直线绕点 C 旋转到图（1）的位置时，求证： ①： ②： (2)当直线 绕点 C 旋转到图（2）的位置时，求证： ； (3)当直线 绕点 C 旋转到图（3）的位置时，请直接写出 ，， 之间的等量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． （1）①利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用“”证明三角形全等，即可解题； ②利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明： （2）由（1）①同理可证，利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明： （3）解题方法与（2）类似． 【详解】（1）证明①在中，， ， 于 D ，于 E， ， ， ， ， ； ② ， ，， ； （2）证明：由（1）①同理可证， ，， ； （3）解：， 理由如下： 由（1）①同理可证， ，， ． 【点评】本题考查三角形内角和，三角形全等的证明，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键。 27．（24-25八年级上·云南文山·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 28．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，在中，，，，三点都在直线上，且，． (1)如图①，若，则与的数量关系为 ； (2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系； (3)如图③，若改变题干中的条件，只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等?若存在，求出相应的的值和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，或，． 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，推出，证明，通过全等三角形的对应边相等，得到； （2）由（1）同理可得，得，，通过可得答案； （3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题． 【详解】（1）解：，理由如下： 故答案为： （2）解：，理由如下 又 ， 故答案为： （3）解：①点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动， ，， ，点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动， ， 当时，， ， ， 当，，满足， 故，符合题意 ②点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动， ，， 当时，， ， ， ，点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动， ， 当，时，满足， 故，符合题意； 综上，，或， 【点评】本题属于三角形的压轴题，熟练掌握三角形的一线三等角模型是本题解题关键。 九、半角模型证明三角形全等（共3小题） 29．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，分别是上的点，，线段之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，延长至点，使得，连接，可证得到，，进而由可得，即可证得，得到，即可由得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴． 【点评】本题考查全等三角形的证明，正确做出辅助线是本题解题关键。 30．（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍成立，理由见解答过程；（3）．理由见解答过程． 证明见解析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）根据可判定，进而得出，，再根据判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先根据判定，进而得出，，再根据判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先根据判定，再根据判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，延长到点，使，连接， ， ， 又， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 即， ； 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ； （3）． 证明：如图3，延长到点，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【点评】本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形的证明，合理添加辅助线是本题解题关键。 31．（22-23八年级上·湖北武汉·开学考试）【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 【答案】【基本模型】；【模型运用】：，证明见解析；【拓展延伸】：． 【分析】（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）； （3）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，根据旋转变换的性质可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，，对应角相等可得，再根据证明，并证明、、三点共线，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 故答案为：； （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图3，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则， ，，，， 又， ， ， 又， ， 、、三点共线， 在和中，， ， ， 又， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质。本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形。 十、倍长中线证明三角形全等（共3小题） 32．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题． 【详解】解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 【点评】本题考查三角形全等的判定和性质，做出正确的辅助线是本题解题关键。 33．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证； （2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，由三边关系可得，即， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，掌握三角形的全等判定与性质是解题关键。 34．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________． 这样就能把线段，，集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决． 【问题解决】 （2）如图，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）8 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）根据点是的中点，延长到点，得到，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到中的两个角相等，然后用等角对等边证明等于． （3）延长交于，证明，则，所以，根据线段垂直平分线的性质可得的长． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点，使得，连接． ∵是边上的中线(已知)， ∴， 在和中， ， ， 又， ， ， ， ， 即：， ． （3）解：如图3，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴． 【点评】本题考查三角形的倍长中线问题，考查三角形的全等证明与性质，掌握三角形的全等证明与性质，正确添加辅助线是本题解题关键。 十一、手拉手模型证明三角形全等（共3小题） 35．（19-20七年级上·山东泰安·期中）如图，在和中，，，，，连接交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是 ．    【答案】①②④ 【分析】由SAS证明得出，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作，如图所示：则，由AAS证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ∴， ，①正确； ∴， 由三角形的外角性质得：， ，②正确； 作于，于，如图2所示：    则， 在和中， ， ， ， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，才平分， 假设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 与矛盾， ∴③错误； 正确的①②④； 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．属于填空中的压轴题． 36．（19-20七年级下·河南郑州·期末）在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下探究： （1）如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此时BD和CE的数量关系是 ； （2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数． 【答案】（1）△AEC，BD=CE；（2）BD=CE且BD⊥CE，理由见解析；（3）作图见解析，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°． 【分析】（1）根据SAS证明两个三角形全等即可证明； （2）通过条件证明△DAB≌△EAC（SAS），得到∠DBC+∠ECB=90°，即可证明BD⊥CE，从而得到结果； （3）根据已知条件证明△DAC≌△BAE(SAS)，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE， ∴∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB， 即， ∴△ADB≌△AEC(SAS)， ∴BD=CE； （2）BD=CE且BD⊥CE； 理由如下：因为∠DAE=∠BAC=90°，如图2． 所以∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE． 所以∠DAB=∠EAC． 在△DAB和△EAC中， ， 所以△DAB≌△EAC（SAS）． 所以BD=CE，∠DBA=∠ECA． 因为∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°， 所以∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°． 即∠DBC+∠ECB=90°． 所以∠BPC=180°-（∠DBC+∠ECB）=90°． 所以BD⊥CE． 综上所述：BD=CE且BD⊥CE． （3）如图3所示，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°． 由图可知，AD=AB，AE=AC， ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC， 即， ∴△DAC≌△BAE(SAS)， ∴BE=CD，， 又∵， ∴∠ADC+∠BDC=∠ABE+∠BDC=60°， ∴∠BPC=∠ABP+∠BDC+∠DBA=120°，     ∴∠PBC+∠PCB=60°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的知识点应用，准确分析图形是解题的关键． 37．（17-18八年级·北京·期中）在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上，且时，那么 度； (2)设，． ①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）． 【答案】(1)90 (2)①，证明见解析；②，图见解析 【分析】（1）根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据直角三角形两个锐角互余即可求解； （2）①根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形内角和是180°即可求解； ②根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和推得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①解：，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴； ②如图：； 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质；熟练掌握两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等是解题的关键． 十二、截长补短法证明三角形全等（共3小题） 38．（19-20八年级上·山东济宁·期中）现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据截长法，在上截取，连接，通过题目条件可证，进而证得是等腰直角三角形，等量代换即可得； （2）根据补短法，延长到，使，连接，根据已知条件可证，进而可证，等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接， ∵是角平分线， ∴ 在和中 ∴ ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）如图2，延长到，使，连接， ∵是的角平分线， ∴ 在和中 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 39．（20-21八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，AD平分，．求证：． 李老师给出了如下简要分析：“要证就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截长法’如图2，在AC上截取，连接DE，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题__________为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及_________，再证出_____________________，进而得出，则结论成立．此种证法的基础是‘已知AD平分，将沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处’成为可能． 方法二：“补短法”如图3，延长AB至点F，使．只要证即可．此时先证__________，再证出__________________，则结论成立．” “截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法． 【答案】方法一：；转化；；；；；；方法二：；； 【分析】方法一：在AC上截取，由SAS可证可得，BD=DE，根据等角对等边得到CE=DE，即可求证； 方法二：延长AB至点F，使，由AAS可证，可得AC=AF，即可证明． 【详解】方法一：在AC上截取，连接DE，如图2 ∵AD平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，BD=DE， ∵， ∴ 而， ∴， ∴DE=CE， ∴AB+BD=AE+CE=AC， 故答案为：；转化；；；；；； 方法二：如图3，延长AB至点F，使， ∴ ∴ ∴ ∴ 在和中 ， ∴， ∴AC=AF， ∴AC=AB+BF=AB+BD， 故答案为：；；． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线，核心思想为数学中的转化思想，此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定截取辅助线的方式． 40．（23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，， ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义可得，再利用证明，从而可得，，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再根据等量代换可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）在上截取，连接，先利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：证明：在上截取，使得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为16． 十三、角平分线模型证明全等（共3小题） 41．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）如图中，分别平分相交于点． （1）求的度数； （2）求证： 【答案】（1）∠CPD=60°；（2）详见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义，三角形的外角性质即可求出； （2）在AC上截取AF=AE，先证明△APE≌△APF（SAS），再证明△CFP≌△CDP（ASA），根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】解：（1）∵∠ABC=60°， ∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°， 又∵AD、CE分别平分， ∴， ∴， 又∵∠CPD是△ACP的外角， ∴∠CPD=∠CAD+∠ACE=60°， ∴∠CPD=60°． （2）如图，在AC上截取AF=AE，连接PF， ∵∠CPD=60°， ∴∠APC=120°，∠APE=60° ∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴∠BAD=∠CAD，∠ACE=∠BCE 在△APE与△APF中 ， ∴△APE≌△APF（SAS） ∴∠APF=∠APE=60°， ∴∠CPF=∠AOC-∠APF=60°， 在△CFP与△CDP中， ∴△CFP≌△CDP（ASA） ∴CD=CF ∴AC=AF+CF=AE+CD， 即． 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形内角和定理与角平分线的角度计算问题，解题的关键是通过在AC上截取AF=AE构造全等三角形． 42．（19-20八年级上·湖北恩施·期末）（1）如图，AE是∠MAD的平分线，点C是AE上一点，点B是AM上一点，在AD上求作一点P，使得△ABC≌△APC，请保留清晰的作图痕迹.    （2）如图a，在△ABC中, ∠ACB=，∠A=，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O.请探究线段BC、BF、CE之间的关系，直接写出结论，不要求证明.    （3）如图b，若（2）中∠ACB为任意角，其它条件不变，请探究BC、BF、CE之间又有怎样的关系，请证明你的结论. 【答案】（1）答案见解析；（2）BC=BF+CE，证明见解析；（3）BC=BF+CE，证明见解析. 【分析】（1）以点A为圆心，以AB长为半径画弧交AD于一点即可； （2）在BC上截取BD=BF，首先证明△BFO≌△BDO，创造条件证明△COE≌△COD即可； （3）在BC上截取BF'=BF，首先证明△BFO≌△BF'O，创造条件证明△COE≌△COF'即可． 【详解】（1）以点A为圆心，以AB长为半径画弧交AD于一点，则此点为所要求的点P.    （2）线段BC、BF、CE之间的关系为：BC=BF+CE .    在BC上截取BD=BF. 在△BFO和△BDO中 ∴△BFO≌△BDO ∴∠BOF=∠BOD ∵∠A=，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O. ∴∠BOC=180О－∠ABC－∠ACB=180－60=120 ∴∠BOD=∠BOF=∠COE=180－120 =60. ∠COD=∠BOC－∠BOD=120－60=60 在△COE和△COD中                      ∴△COE≌△COD ∴CE=CD ∴BC=BF+CE . （3）线段BC、BF、CE之间的关系为：BC=BF+CE . 在BC上截取BF'=BF.    在△BFO和△BF'O中                       ∴△BFO≌△BF'O   ∴∠BOF=∠BOF'                               ∵∠A=60，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O. ∴∠BOC=180О－∠ABC－∠ACB=180－60=120 ∴∠BOF'=∠BOF=∠COE=180－120=60. ∠COF'=∠BOC－∠BOF'=120－60 =60 在△COE和△COF'中                      ∴△COE≌△COF' ∴CE=CF' ∴BC=BF+CE . 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，这里的难点是角相等的证明． 43．（23-24七年级下·河南郑州·期末）综合与实践： (1)如图1是小华设计的一个角平分仪，其中（，．将点O放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则射线就是这个角的平分线，请证明此仪器的合理性． (2)如图2，在中，，、分别是和的平分线，、相交于点 G． ①求的度数； ②如图3，在上截取，在上截取．若为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，或 【分析】（1）由全等三角形的判定定理可得，，即可求解， （2）①由，根据三角形内角和定理可得，由、分别是和的平分线，得到，，代入可得，根据三角形内角和定理即可求解，②由、分别是和的平分线，得到，，结合，，，，得到，，，，代入得到，，当时，，代入得到，结合，可得∴，，当时，，根据三角形内角和得到，代入得，结合，可得，，当时，，据三角形内角和得到，代入得，结合，可得，， 本题考查了，三角形内角和定理，角平分线的定义，等边对等角，解题的关键是：根据题意列出等量关系式． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴射线是的平分线， （2）解：①∵，， ∴， ∵、分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∴， ②∵、分别是和的平分线， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴，， 即：，， 当时，，即：， ∴，由（1）得， ∴， ∴， 当时，， ∴即：， ∴，即：， 又∵，即：， ∴， ∴， 当时，， ∴即：， ∴，即：， 又∵，即：， ∴， ∴， 故答案为：①，②，或． 十四、全等三角形的动点问题（共2小题） 44．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，在长方形中，厘米，厘米．动点P从点A出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点Q从点C出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)求为何值时，与的面积相等； (3)求为何值时，与全等； (4)是否存在值，使，且?若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时，； (2) (3) (4) 【分析】本题考查了动点问题，涉及了全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）分类讨论当和两种情况即可； （2）由题意得，可得，类讨论当和两种情况即可； （3）由题意得是直角三角形，故点在上运动时，有，由此得，即可求解； （4）分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况，可推出得，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：厘米， 当时，； 当时，； （2）解：由题意得：， ∴， 当时，， 此时，解得：； 当时，， 此时，解得：（舍）； 综上所述：当时，与的面积相等 （3）解：由题意得：是直角三角形， ∴当，即点在上运动时，有与全等 此时， ∴ ∵，； ∴ ， 解得：； （4）解：分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得：； 45．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动，同时点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动．设运动时间为（秒）． (1)线段______，线段______（用含的代数式表示） (2)若点、的运动速度相等，时，与是否全等，请说明理由． (3)若点、的运动速度不相等，与全等时，求的值． 【答案】(1)4； (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段中点的定义等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． （1）根据线段中点定义可求，用的长度减去的长度可求； （2）根据运动时间和速度可判断出，，然后根据证明即可； （3）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点为的中点，， ∴， ∵点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动， ∴， 又， ∴， 故答案为：4；； （2）解： 理由：∵点、的运动速度相等，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴； （3）解：∵点、的运动速度不相等， ∴． 又和全等，， ∴，， ∴，， 解得：，． 十五、尺规作图问题（共4小题） 46．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知线段a，b和，求作三角形，使其有一内角等于，且此角的对边等于a，另一边等于b．保留作图痕迹，不写作法． 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 先作一个角等于已知角，再截取，然后以B点为圆心，以a的长为半径作圆弧交的另一边于点C，D，连接，则或即为所求作的三角形． 【详解】解：（1）作， （2）在的一条边上截取， （3）以点B为圆心，以a的长为半径作圆弧交的另一边于点C，D， （4）连接，则或即为所求作的三角形，如图： 47．（21-22七年级下·甘肃白银·期中）作图题．已知，，且大于，求作（不写作法，保留作图痕迹，不在原图上作图） 【答案】图见解析 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知两角的差，根据尺规作角的方法，进行作图即可． 【详解】解：如图，即为所求． 48．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知，请用尺规作图法求作，使，，．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图作三角形，先以为圆心，长为半径画圆，圆上任取一点即为，此时，再分别以、为圆心，、长为半径画弧交点即为，此时，，此时即为所求． 【详解】如图，即为所求． 49．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，用尺规作图，作的角平分线，的垂直平分线．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题重点考查尺规作图、基本作图“作已知角的平分线”、“作已知线段的垂直平分线”等知识，按尺规作图的要求正确地作出图形是解题的关键． 根据作已知角的平分线及作已线段的垂直平分线的作法正确地作出相应的图形即可． 【详解】解：作的平分线：以点为圆心，以适当长度为半径作弧，分别交、于点、；连结，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于内部一点；作射线，射线就是所求的图形． 作的垂直平分线：分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点、；作直线，直线就是所求的图形． $$