专题02直角三角形中的边角关系（易错必刷32题13种题型）（期中复习专项训练）九年级数学上学期鲁教版五四制

专题02 直角三角形中的边角关系 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 求三角函数值 · 网格中求三角函数值 · 利用特殊角的三角函数值计算 · 利用三角函数值判断角度大小 · 利用三角函数值判断三角形形状 · 用计算器求三角函数值 · 直接解直角三角形 · 构造辅助线解直角三角形 · 三角函数与其他图形综合 · 三角函数的实际应用（1）--仰角和俯角 · 三角函数的实际应用（2）--方向角 · 三角函数的实际应用（3）--坡角、坡度 · 三角函数的实际应用（4）--与实物体结合 1． 求三角函数值（共3小题） 1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，则下列结论中正确的是（   ） A． B．sinB＝ C．cosA＝ D．tanB＝2 2.在三角形ABC中，∠ C为直角，sinA=  ， 则tanB的值为（    ） A． B． C． D． 3.如果中各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角的三边比的值（    ） A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的一半 C．没有变化 D．不能确定 2． 网格中求三角函数值（共2小题） 4.如图，在网格（小正方形的边长均为1）中，则的值是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则的值为（    ）    A． B． C． D． 3． 利用特殊角的三角函数值计算（共4小题） 6. 计算． 7. 计算： 8．计算： 9.王明同学遇到了这样一道题，，则锐角的度数为（    ） A．40° B．30° C．20° D．10° 4． 利用三角函数值判断角度大小（共3小题） 10. 三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 11. 下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 12. 如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 5． 利用三角函数值判断三角形形状（共2小题） 13. 在△ABC中，(2cosA－)2＋|－tanB|＝0，则△ABC一定是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 14.若a，β是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形是 . 6． 用计算器求三角函数值（共2小题） 15.已知，运用科学计算器求锐角A时，若要显示以“度”、“分”、“秒”为单位的结果，按下的键是（    ） A． B． C． D． 16.．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 7． 直接解直角三角形（共2小题） 解2个直角三角形常见思路：①利用公共边设未知数，用勾股定理; ②利用三角函数值. 17.如图，在中，，，平分，交于点．若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 18. 如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． (1)求的长． (2)求的正弦值． 8． 构造辅助线解直角三角形（共2小题） 构造辅助线常见思路：①作高; ②延长；③作平行 19.如图，在中，，，．点D在上，，连接，则 ． 20.为全面实施乡村振兴战略，促进农业全面升级、农村全面进步、农民全面发展．如图，四边形ABCD是某蔬菜大棚的侧面示意图，已知墙BC与地面垂直，且长度为5米，现测得∠ABC＝112°，∠D＝67°，AB＝4米，求此蔬菜大棚的宽CD的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈） 9． 三角函数与其他图形综合（共3小题） 21. 将矩形纸片按如图方式折叠，若刚好是等边三角形，则矩形的两边的比为（    ） A． B． C． D． 22.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C=60°，AD=4，BC=6，则AB长为（ ） A．2 B． C．5 D． 23.如图：的顶点、的坐标分别是，，，，函数的图像经过点，则的值为 ． 10． 三角函数的实际应用（1）--仰角和俯角（共2小题） 24.下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量树顶到地面的距离 测量目标示意图 相关数据 米，， 设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（    ） A． B． C． D． 25.如图，为测量一座大厦AB的高度，当小明在C处时测得楼顶A的仰角为60°，接着沿BC方向行走30 m至D处时测得楼顶A的仰角为30°, 则大厦AB的高度是 . 11． 三角函数的实际应用（2）--方向角（共2小题） 26.如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．MN是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据：≈1.732） 27.如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点，，一艘轮船从处出发沿东偏北方向航行至处，在，处分别测得，，求轮船航行的路程．（参考数据：，，，，结果保留整数） 12． 三角函数的实际应用（3）--坡角、坡度（共3小题） 28.如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点旋转到的位置，已知的长为4米，若栏杆的旋转角，则栏杆端升高的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 29.一座拦河大坝的横截面如图所示，AB=20m，AB的坡比是1︰2(AE︰BE=1︰2)，DC的坡比是3：4，则DC的长是 米． 30.某校综合实践小组要对一幢建筑物的高度进行测量.如图，该小组在一斜坡坡脚处测得该建筑物顶端的仰角为，沿斜坡向上走到达处，（即）测得该建筑物顶端的仰角为.已知斜坡的坡度，请你计算建筑物的高度（即的长，结果保留根号）. 13． 三角函数的实际应用（4）--与实物体结合（共2小题） 31.一大门的栏杆如图所示，杆BA垂直于地面AE于A，杆CD平行于地面AE，已知AB＝1米，BC＝2.4米，∠BCD＝150°，则此时杆CD到地面AE的距离是 米． 32.如图，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角为，窗户的一部分在教室地面所形成的影长为米，窗户的高度为米．求窗外遮阳蓬外端一点到教室窗户上椽的距离．（参考数据：，结果精确米） $$专题02 直角三角形中的边角关系 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 求三角函数值 · 网格中求三角函数值 · 利用特殊角的三角函数值计算 · 利用三角函数值判断角度大小 · 利用三角函数值判断三角形形状 · 用计算器求三角函数值 · 直接解直角三角形 · 构造辅助线解直角三角形 · 三角函数与其他图形综合 · 三角函数的实际应用（1）--仰角和俯角 · 三角函数的实际应用（2）--方向角 · 三角函数的实际应用（3）--坡角、坡度 · 三角函数的实际应用（4）--与实物体结合 1． 求三角函数值（共3小题） 1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，则下列结论中正确的是（   ） A． B．sinB＝ C．cosA＝ D．tanB＝2 【答案】D 【分析】分别利用未知数表示出各边长，再利用锐角三角三角函数关系得出答案． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，， ∴设BC＝x，则AC＝2x，故AB＝， 故sinA＝，故A选项错误； sinB＝，故B选项错误； cosA＝，故C选项错误； tanB＝＝2，故D选项正确； 故选D． 【点睛】此题主要考查了锐角三角三角函数关系，正确记忆边角关系是解题关键． 2.在三角形ABC中，∠ C为直角，sinA=  ， 则tanB的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据sinA=，可设BC=5x，AB=13x，利用勾股定理求出AC=12x，再利用锐角三角函数的定义得出tanB的值． 【详解】∵在Rt△ABC中, ∴可设BC=5x，AB=13x， ∴ ∴tanB 故选：C. 【点睛】本题是利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值的，这种方法要掌握. 3.如果中各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角的三边比的值（    ） A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的一半 C．没有变化 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握理清锐角的三角函数值与角度有关，与三角形中所对应的边的长度无关是解题的关键．根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答． 【详解】解：各边的长度都扩大两倍， 扩大后的三角形与相似， ∴扩大后的三角形三个角与原来三角形三个角分别相等， 锐角A的各三角函数值都不变． 故选：C． 2． 网格中求三角函数值（共2小题） 4.如图，在网格（小正方形的边长均为1）中，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，取格点D，连接，利用勾股定理求出的长，在中，根据余弦的定义求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，取格点D，连接， 由网格的特点可知三点共线，且， ∵， ∴， 在中，，即， 故选D．    【点睛】本题主要考查了求一个角的余弦值，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 5．如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用勾股定理得到，进而得到是直角三角形，从而求解. 【详解】解：连接，如图所示，    由勾股定理可得：， ∴ ∴是直角三角形，即 ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握在方格中利用勾股定理求边长，同时判断三角形形状是解题的关键． 3． 利用特殊角的三角函数值计算（共4小题） 6. 计算． 【答案】 【分析】本题考查特殊三角函数值的计算和，熟知特殊角的三角函数值及实数运算法则是正确解决本题的关键．代入特殊角的三角函数值再计算即可 【详解】解： ． 7. 计算： 【答案】2 【分析】由特殊角的三角函数值解题，最后根据无理数的混合运算计算即可． 【详解】解：原式= ． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、负整数指数幂；熟记特殊三角函数值并掌握实数的运算法则是解题关键． 8．计算： 【答案】9． 【分析】分别根据负整数指数幂、0指数幂、绝对值及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：原式＝9﹣2＋2×＋1＝9． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的化简，熟练掌握各自知识的本质和内涵是解题的关键． 9.王明同学遇到了这样一道题，，则锐角的度数为（    ） A．40° B．30° C．20° D．10° 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵tan（α+10°）=1， ∴tan（α+10°）=， ∵α为锐角， ∴α+10°=30°，α=20°． 故选C． 【点睛】熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键． 4． 利用三角函数值判断角度大小（共3小题） 10. 三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数间关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可． 【详解】解：∵， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的特点，解题的关键是根据三角函数间关系，得出． 11. 下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 【答案】③④ 【分析】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴不一定小于等于1，故①错误； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：③④． 12. 如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】D 【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案． 【详解】解：当时，， ， ， ； 当时，， ， ， ； 当，， ， ， ， 综上所述，与的差不能确定， 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在之间（不包括和），角度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论． 5． 利用三角函数值判断三角形形状（共2小题） 13. 在△ABC中，(2cosA－)2＋|－tanB|＝0，则△ABC一定是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得∠A、∠B的度数，根据直角三角形的判定，可得答案． 【详解】解：由， 得，． 则，， ∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°， 则△ABC一定是锐角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 14.若a，β是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形是 . 【答案】直角三角形 【分析】由绝对值和平方的非负性质可得到a，β的值，从而判断此三角形的形状. 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴则此三角形是直角三角形. 故答案为直角三角形 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和绝对值及平方的非负性质，熟记30°，45°，60°角的三角函数值是解题关键. 6． 用计算器求三角函数值（共2小题） 15.已知，运用科学计算器求锐角A时，若要显示以“度”、“分”、“秒”为单位的结果，按下的键是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据用计算器求锐角的方法和步骤，即可得出结论． 【详解】 解：科学计算器求锐角A时，若要显示以“度”、“分”、“秒”为单位的结果，按下的键是“”， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了用计算器求三角函数，解题的关键是熟练利用计算器． 16.．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据计算器按键顺序计算即可． 【详解】解：根据计算器的按键顺序可知， 正确的按键顺序为，即D选项， 故选：D． 【点睛】本题主要考查用计算器计算三角函数值，熟悉计算器的按键顺序是解题的关键． 7． 直接解直角三角形（共2小题） 解2个直角三角形常见思路：①利用公共边设未知数，用勾股定理; ②利用三角函数值. 17.如图，在中，，，平分，交于点．若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】利用锐角三角函数值分别求得AB和BD的长度，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 18. 如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． (1)求的长． (2)求的正弦值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了正弦与余弦、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握正弦与余弦的概念是解题关键． （1）先根据余弦的定义可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得； （2）先求出，利用余弦可求出的长，从而可得的长，再在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， 所以的长为5． （2）解：∵是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 所以的正弦值为． 8． 构造辅助线解直角三角形（共2小题） 构造辅助线常见思路：①作高; ②延长；③作平行 19.如图，在中，，，．点D在上，，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作于点E，根据正切值，设，则，利用勾股定理求出，，进而得到，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点E， ，． 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：或（舍）， ，， ， ， 在中，， 故答案为：． 20.为全面实施乡村振兴战略，促进农业全面升级、农村全面进步、农民全面发展．如图，四边形ABCD是某蔬菜大棚的侧面示意图，已知墙BC与地面垂直，且长度为5米，现测得∠ABC＝112°，∠D＝67°，AB＝4米，求此蔬菜大棚的宽CD的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈） 【答案】6.5米 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AE于点F，把图形分成两个直角三角形和一个矩形，然后在求出BF、AF，利用矩形性质求出AE，再在求出DE即可解答． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AE于点F， 根据题意可知：AB＝4，CB＝5， ∠ABF＝∠ABC -90°=22°， 在中，， ∴，， 四边形是矩形 在中，，， （米） 答：蔬菜大棚的宽DC的长度为6.5米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用；由根据已知条件构造直角三角形，求出AE是解决问题的关键． 9． 三角函数与其他图形综合（共3小题） 21. 将矩形纸片按如图方式折叠，若刚好是等边三角形，则矩形的两边的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形和折叠的性质知：AF=EF，AB=DE=CD，∠B=∠EDG=90，求得∠EDF=30，利用特殊角的三角函数值分别求得AF=EF=，AB=DE=，即可求解． 【详解】根据矩形和折叠的性质知：AF=EF，AB=DE=CD，∠B=∠EDG=90， ∵△DFG是等边三角形， ∴GF=FD=GD，∠FDG=60， ∴∠EDF=30， 设GF=FD=GD=， ∴AF=EF=FD=，AB=DE=DF， ∴AD=AF+FD=， ∴AD：AB=， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及特殊角的三角函数值等知识，根据已知表示出AF和DE的长是解题关键． 22.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C=60°，AD=4，BC=6，则AB长为（ ） A．2 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】先求出BD的长度，再求得∠ADB=30°．过A作AE⊥BD于E，在△AED中，求AE、ED的长，可求BE，最后在Rt△ABE中，利用勾股定理求AB的长． 【详解】过点A作AE⊥BD，垂足为E． ∵BD⊥DC，∠C=60°，BC=6， ∴∠1=30°，BD＝BC•sin60°＝6×． ∵AD∥BC， ∴∠2=∠1=30°． ∵AE⊥BD，AD=4， ∴AE=2，DE＝2， ∴BE＝BD−DE＝3−2＝， ∴AB＝＝． 故选B. 【点睛】本题利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半、平行线的性质和勾股定理求解，需要熟练掌握并灵活运用． 23.如图：的顶点、的坐标分别是，，，，函数的图像经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】过点作轴于，如图，先利用勾股定理得到，再利用等腰三角形的性质可得，再判断为等腰直角三角形得到，则可计算出，所以，然后利用反比例函数图像上点的坐标特征即可求出的值． 【详解】解：过点作轴，垂足为， ∵点、的坐标分别是，， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点的坐标代入得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征：反比例函数（为常数，）的图像是双曲线，图像上的点的横坐标的积是定值，即．也考查了反比例函数的性质，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质．理解和掌握反比例函数的性质和图像上点的坐标特征是解题的关键． 10． 三角函数的实际应用（1）--仰角和俯角（共2小题） 24.下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量树顶到地面的距离 测量目标示意图 相关数据 米，， 设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据∠β=45°，得出BC＝CD＝x，再根据，用它的正切列方程即可． 【详解】解：∵， ∴BC＝CD＝x， ∵AB＝30， ∴AC＝x+30， ∴tan28°＝， ∴x＝（x+30）tan28°， 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型． 25.如图，为测量一座大厦AB的高度，当小明在C处时测得楼顶A的仰角为60°，接着沿BC方向行走30 m至D处时测得楼顶A的仰角为30°, 则大厦AB的高度是 . 【答案】15 【分析】分别在Rt△ACB和Rt△ABD中，利用解直角三角形用AB表示出BC、BD的长，列方程即可解答. 【详解】在Rt△ACB中，∠ACB=60° ∵tan∠ACB= 即tan60°== ∴BC= 在Rt△ABD中，∠ADB=30° ∵tan∠ADB= 即tan30°== ∴BD= ∵CD=30 ∴-=30 AB=15 故答案为15 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，解题关键是在直角三角形中利用三角函数表示出所需线段的长. 11． 三角函数的实际应用（2）--方向角（共2小题） 26.如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．MN是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据：≈1.732） 【答案】不会穿过森林保护区.理由见解析. 【详解】试题分析：要求MN是否穿过原始森林保护区，也就是求C到MN的距离．要构造直角三角形，再解直角三角形； 如图，过C作CH⊥AB于H， 设CH=x，由已知有∠EAC=45°, ∠FBC=60° 则∠CAH=45°, ∠CBA=30°，在RT△ACH中，AH=CH=x，在RT△HBC中， tan∠HBC= ∴HB===x， ∵AH+HB=AB ∴x+x=600解得x≈220（米）>200（米）．∴MN不会穿过森林保护区． 27.如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点，，一艘轮船从处出发沿东偏北方向航行至处，在，处分别测得，，求轮船航行的路程．（参考数据：，，，，结果保留整数） 【答案】． 【分析】过点作于点，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，， ， ， 在中，， ∴， ， ， ， 解得， 在中，， ， 即． 答：轮船航行的路程约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，锐角三角函数的应用，熟悉相关性质是解题的关键． 12． 三角函数的实际应用（3）--坡角、坡度（共3小题） 28.如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点旋转到的位置，已知的长为4米，若栏杆的旋转角，则栏杆端升高的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】过点作于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：如图，过点作于点C， 在中， ． 由题意得米， 米， 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形；解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义． 29.一座拦河大坝的横截面如图所示，AB=20m，AB的坡比是1︰2(AE︰BE=1︰2)，DC的坡比是3：4，则DC的长是 米． 【答案】 【分析】由AB的坡比可设AE=x，BE=2x，在Rt△ABE中，可根据勾股定理求出x，又AE=DF，在Rt△DCF中利用坡比和勾股定理可求出DC. 【详解】解：AE︰BE=1︰2，设AE=x，则BE=2x， 由勾股定理得：,解得x=， ∴AE=DF=， ∵， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确理解题中坡比的概念是解题的关键. 30.某校综合实践小组要对一幢建筑物的高度进行测量.如图，该小组在一斜坡坡脚处测得该建筑物顶端的仰角为，沿斜坡向上走到达处，（即）测得该建筑物顶端的仰角为.已知斜坡的坡度，请你计算建筑物的高度（即的长，结果保留根号）. 【答案】建筑物的高度为. 【分析】过点作，根据坡度的定义求出AB，BD,AD，再利用三角函数的定义列出方程求解. 【详解】解：过点作，垂足为.过点作，垂足为. ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，. ∵， ∴， ∴设，， ∴， ∴， ∴，. 根据题意，，， 在中，设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，. 又∵， ∴，解得， ∴. 答：建筑物的高度为. 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义. 13． 三角函数的实际应用（4）--与实物体结合（共2小题） 31.一大门的栏杆如图所示，杆BA垂直于地面AE于A，杆CD平行于地面AE，已知AB＝1米，BC＝2.4米，∠BCD＝150°，则此时杆CD到地面AE的距离是 米． 【答案】2.2 【分析】过点C作CH⊥AE于点H，过点B作BG⊥CH于点G，推出∠CBG=30°，利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点C作CH⊥AE于点H，过点B作BG⊥CH于点G，　 ∵AB⊥AE，∠BCD=150°， ∴四边形BAHG为矩形，∠BCG=60°， ∴AB=GH=1米，BC=2.4米，∠CBG=30°， ∴CG=BC=1.2(米)， ∴CH=CG+GH=2.2(米)， 此时杆CD到地面AE的距离是2.2米． 故答案为：2.2． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 32.如图，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角为，窗户的一部分在教室地面所形成的影长为米，窗户的高度为米．求窗外遮阳蓬外端一点到教室窗户上椽的距离．（参考数据：，结果精确米） 【答案】窗外遮阳蓬外端一点到教室窗户上椽的距离为． 【分析】如下图，过E作EG∥AC交BP于G，根据平行线的性质，可得在Rt△PEG中，∠P=30°；已知PE=3.5m．根据三角函数的定义，解三角形可得EG的长，进而在Rt△BAD中，可得tan30°=，解可得AD的值． 【详解】过E作EG∥AC交BP于G， ∵EF∥DP， ∴四边形BFEG是平行四边形． 在Rt△PEG中,PE=3.5m,∠P=30, tan∠EPG=， ∴EG=EP⋅tan∠P=3.5×tan30≈2.02(m). 又∵四边形BFEG是平行四边形， ∴BF=EG=2.02m， ∴AB=AF−BF=2.5−2.02=0.48(m). 又∵AD∥PE,∠BDA=∠P=30， 在Rt△BAD中,tan30=， ∴AD= =0.48×≈0.8(米). 答：窗外遮阳蓬外端一点D到教室窗户上椽的距离AD为0.8m. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用, 平行投影. $$