精品解析：河南省南阳市第一中学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

数学试题 1答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 3 3. 已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 5. 已知圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 直线的一个法向量为 C. 若直线，则 D. 点到直线的距离是2 10. 已知直线，圆是以原点为圆心，半径为2的圆，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上有且仅有两个点到直线的距离都等于1 C. 若圆与曲线恰有三条公切线，则 D. 当时，过直线上一个动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点 11. 已知椭圆的长轴端点分别为，两个焦点分别为是上任意一点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为 C. 面积的最大值为 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________. 13. 已知圆，若圆关于直线对称，则的最小值为__________，此时直线的一般式方程为__________. 14. 椭圆的左､右焦点分别为，点在上，直线过左焦点，且与椭圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则的面积等于__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）已知直线过定点，且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍，求直线的方程； （2）已知入射光线经过点，且被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程. 16. 已知直线，点和点分别是直线上一动点. （1）若直线经过原点，且，求直线的方程； （2）设线段的中点为，求点到原点的最短距离. 17. 已知圆过三点. （1）求圆的标准方程； （2）斜率为1的直线与圆交于两点，若为等腰直角三角形，求直线的方程. 18. 已知圆在椭圆里.过椭圆上顶点作圆的两条切线，切点为，切线与椭圆的另一个交点为，切线与椭圆的另一个交点为. （1）求的取值范围； （2）是否存在圆，使得直线与之相切，若存在求出圆的方程，若不存在，说明理由. 19. 已知两个定点.动点满足直线和直线的斜率之积是 （1）求动点的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线； （2）记（1）中点的轨迹为曲线，不经过点的直线与曲线相交于两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 1答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的斜截式以及斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】直线的方程可化为，可知倾斜角，且满足， 因此. 故选:D. 2. 已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先利用平行直线的关系求出参数，然后利用两平行直线的距离公式计算距离即可. 【详解】因为和互相平行， 所以，解得， 所以直线可以转化为， 由两条平行直线间的距离公式可得. 故选：A 3. 已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出圆的标准方程，根据条件列出方程组，进而求解即可. 【详解】由题知，设圆的标准方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. 故选：C 4. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，结合椭圆定义及勾股定理可得，进而求得的面积. 【详解】由椭圆定义可得， 又因为，所以由勾股定理可得， 即，解得， 则的面积为. 故选：D. 5. 已知圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得过点P且弦长最短的弦应是垂直于直线CP的弦，再由直线的点斜式方程，即可得到结果. 【详解】设经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意得，， 过点P且弦长最短的弦应是垂直于直线CP的弦，则，得， 所以过点且被圆截得弦长最短的直线的方程为，即. 故选：B. 6. 动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解. 【详解】设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是集合. 由此得，将上式两边平方并化简，得， 即. 所以动点的轨迹方程为. 故选：B. 7. 已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行直线系，联立直线与椭圆方程，利用判别式可求解相切时的直线，即可根据平行线间距离公式求解，或者利用三角换元，结合辅助角公式以及三角函数的性质求解. 【详解】解法一：设与直线平行的直线为， 联立整理得， 令，解得或，所以与距离， 当时，最小，即点到直线的最小距离是. 解法二：设椭圆上点，则点到直线距离 ， 其中，当时，， 故选:C. 8. 已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的对称性以及定义可得，即可得，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】由对称性和椭圆定义可知，其中， 故， 又因为，设点，则， 所以， 当时，取得最小值，最小值为4，当时，取得最大值，最大值为64，所以， 故当时，取得最小值，最小值为51， 当时，取得最大值，最大值为， 故的取值范围是. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 直线的一个法向量为 C. 若直线，则 D. 点到直线的距离是2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由直线方向向量的定义判断选项A；由直线法向量与方向向量的位置关系判断选项B；由斜率关系得两直线垂直判断选项C；求点到直线距离判断选项D. 【详解】对于A，因为直线的斜率，所以直线的一个方向向量为，故A正确； 对于B， 直线的一个方向向量为，由，所以不是直线的一个法向量，故B错误； 对于C，因为直线的斜率，且，所以直线与直线垂直，故C正确； 对于D，点到直线的距离，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知直线，圆是以原点为圆心，半径为2的圆，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上有且仅有两个点到直线的距离都等于1 C. 若圆与曲线恰有三条公切线，则 D. 当时，过直线上一个动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：整理得，根据直线恒过定点求解；对B：求出圆心到直线的距离判断，由此判断有四个点满足条件；对C：根据两圆外切求得；对D：设，写出以为直径的圆，两圆相减得公共弦的方程可证得恒过定点. 【详解】对于，整理得， 所以解得所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，当时，直线为， 则圆心到直线的距离，而圆的半径为2， 所以圆上有且仅有4个点到直线的距离都等于1，故B错误； 对于C，曲线整理得， 当时，曲线是圆心为，半径为的圆， 圆的圆心，半径为2，所以两圆的圆心距为，此时两圆外切，恰有3条公切线，所以，故C正确； 对于D，当时，直线的方程为，设，则以为直径的圆的方程为， 即 圆两圆的公共弦的方程为， 整理得解得 直线经过点.故D正确. 故选：ACD 11. 已知椭圆的长轴端点分别为，两个焦点分别为是上任意一点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为 C. 面积的最大值为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率为，故A正确； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，，设，则面积的最大值为，故C错误； 对于D，设， ， 因此，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点在轴上的椭圆的特征，列不等式即可求解. 【详解】由题意可得解得，故实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知圆，若圆关于直线对称，则的最小值为__________，此时直线的一般式方程为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据圆的标准式方程可得圆心，即可根据直线经过圆心得，利用不等式乘“1”法即可求解. 【详解】圆，整理得，则的圆心为， 由题意得直线过圆心，所以， 又，所以. （当且仅当时，取“）.此时直线方程为，即. 故答案为:. 14. 椭圆的左､右焦点分别为，点在上，直线过左焦点，且与椭圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则的面积等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点可得椭圆方程，即可得的方程为，联立直线与椭圆方程得韦达定理，利用弦长公式以及点到直线的距离公式，结合面积公式即可求解. 【详解】已知点在椭圆上，可得，所以， 又因为直线的斜率，所以的方程为. 设，联立方程组消去得，可得， 所以， 点到直线的距离， 所以. 故答案为:. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）已知直线过定点，且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍，求直线的方程； （2）已知入射光线经过点，且被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用倾斜角求出直线斜率，然后再利用点斜式即可求解直线方程， （2）利用点关于直线对称可得，即可根据两点坐标求解直线斜率，由点斜式求解直线方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 故所求直线的倾斜角为，直线斜率为， 所求直线的方程为，即. （2）设关于直线对称的点为， 则解得 因为反射光线经过点， 所以所在直线的斜率为， 故反射光线所在直线方程为，即. 16. 已知直线，点和点分别是直线上一动点. （1）若直线经过原点，且，求直线的方程； （2）设线段的中点为，求点到原点的最短距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线间距离公式可得和两直线垂直，即可根据垂直关系得斜率求解, （2）根据互相平行，可得的轨迹为，利用点到直线的距离公式即可求解. 【小问1详解】 将化为一般式方程，得， ,则两直线平行， 故两直线的距离为， 因为，所以和两直线垂直. 因为的斜率为，所以. 又因为直线经过原点，所以直线的方程为. 【小问2详解】 因为互相平行，所以线段的中点的轨迹为， 即 所以点到原点的最短距离即点到直线的距离， 因为点到直线的距离为. 所以点到原点的最短距离为. 17. 已知圆过三点. （1）求圆的标准方程； （2）斜率为1的直线与圆交于两点，若为等腰直角三角形，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，即可将三点坐标代入圆的一般方程中，列方程组求解， （2）根据等腰直角三角形的性质，可得，结合点到直线的距离即可求解. 【小问1详解】 设所求的圆的方程是，其中， 把已知三点坐标代入得方程组解得 所以圆的一般方程为. 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为：， 因为为等腰直角三角形，又由（1）知圆的圆心为，半径为5. 所以圆心到直线的距离 解得或，所以直线的方程为：或. 18. 已知圆在椭圆里.过椭圆上顶点作圆的两条切线，切点为，切线与椭圆的另一个交点为，切线与椭圆的另一个交点为. （1）求的取值范围； （2）是否存在圆，使得直线与之相切，若存在求出圆的方程，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在满足条件的圆，其方程为 【解析】 【分析】（1）根据，即可根据点点距离公式求解， （2）根据点斜式得直线，方程，利用相切以及点到直线距离公式得直线的方程为，利用与圆相切，即可列方程求解. 【小问1详解】 设为椭圆上任意一点，则，， 则. 则.故. 【小问2详解】 由题意可知，设，因为，故切线的斜率都存在. 又直线的方程为，即为， 同理直线的方程为. 则，故. 而，故，又因为. 故，同理：. 故直线的方程为. 若直线与圆相切，则，令. 故，即. 故或或， 因为，所以不满足， 故存在满足条件的圆，其方程为 【点睛】关键点点睛：根据直线，方程，利用相切以及点到直线距离公式可得满足，可得直线的方程为，即可利用相切以及距离公式列方程求解. 19. 已知两个定点.动点满足直线和直线的斜率之积是 （1）求动点的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线； （2）记（1）中点的轨迹为曲线，不经过点的直线与曲线相交于两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点. 【答案】（1）的轨迹方程为，即点的轨迹是除去两点的椭圆 （2） 设 如图： ①当直线斜率不存在时，可知， 且有， 解得或，当时，则直线经过点，与题意不符，舍去，故，此时直线为， ②当直线斜率存在时，设直线，则 . 联立直线方程与椭圆方程， 消去可得：， 根据韦达定理可得：， 所以， 即 整理得：， 所以，则或， 当时，则直线恒过点，与题意不符，舍去， 故，直线恒过原点， 结合①②可知，直线恒过原点，原命题得证. 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，把点满足的条件用坐标表示，列出方程，再化简即可得轨迹方程，再结合轨迹方程说明点的轨迹. （2）设，对直线有无斜率分情况讨论.当直线有斜率时，设直线：，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，可得与，结合，确定的关系，可确定直线所过的定点. 【小问1详解】 设点的坐标为，因为点的坐标是， 所以直线的斜率， 同理，直线的斜率， 由已知，有， 化简，得点的轨迹方程为， 即点的轨迹是除去两点的椭圆. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中直线过定点问题，解题的关键是设出直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系结合已知条件求解，考查计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $