专题13 含30°的直角三角形的性质（10大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题13 含30°的直角三角形的性质 目录 【题型一 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】 1 【题型二 由含30°的直角三角形的性质求角度】 2 【题型三 由含30°的直角三角形的性质求面积】 3 【题型四 由含30°的直角三角形的性质求最值】 4 【题型五 由含30°的直角三角形的性质求坐标】 4 【题型六 由含30°的直角三角形的性质进行证明】 5 【题型七 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】 6 【题型八 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】 7 【题型九 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】 8 【题型十 由含30°的直角三角形的性质的实际应用】 9 【题型一 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】 例题：（22-23八年级下·广西北海·期中）如图，在中，，，平分，若，则点到的距离是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，以为边在外作等边，过点D作，垂足为E，若，则的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 2．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在中，，，垂足为点，，，则的长为 ． 【题型二 由含30°的直角三角形的性质求角度】 例题：（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，在中，分别是的角平分线和高线，交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·青海果洛·期末）在中，，，，那么 ， ． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，点为边上的动点，当最小时，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【题型三 由含30°的直角三角形的性质求面积】 例题：（23-24八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，，D是上一点，连接，若平分，设和的面积分别是，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，平分交的延长线于点．则的面积是（   ）    A．18 B．36 C． D． 2．（23-24八年级上·广东阳江·期末）如图，，平分，， ，若，则面积是 ． 【题型四 由含30°的直角三角形的性质求最值】 例题：（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，，平分，点是射线上一点，，于点，点是射线上的一个动点，则的长度的最小值是（　　　） A．5 B．6 C．7 D．4 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在锐角中，，点D在边上，点P、Q分别在线段上运动，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（21-22八年级上·湖北荆门·期中）如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是 ． 【题型五 由含30°的直角三角形的性质求坐标】 例题：（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正三角形的顶点B的坐标为，点A在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标为3，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，等边三角形的三个顶点都在坐标轴上，，过点B作，垂线交x轴于点D，则点D的坐标为 （    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，等边的三个顶点都在坐标轴上，，过点B作，交x轴于点D，则点D的坐标为 ．    【题型六 由含30°的直角三角形的性质进行证明】 例题：（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）如图，已知中，，垂直平分于点D，交于点E，．求证：．    【变式训练】 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，平分，交于点，过点作于点． (1)求证∶； (2)若，求的长． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)若F是的中点，连接，且，求的周长． 【题型七 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】 例题：（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图所示，在中，，将沿折叠，使点C落在边D点，若，则（   ）． A．12 B．16 C．18 D．14 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，顶角为，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．3 2．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．    【题型八 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】 例题：（21-22八年级下·山西晋中·期中）如图，在，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（    ）    A．4 B．2 C．3 D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，线段，线段绕点旋转，交于点，则的最大值为 ． 2．（23-24九年级上·广东江门·期末）如图，是绕点A旋转后得到的，已知，，则的长为 ． 【题型九 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】 例题：（23-24七年级下·山东威海·期中）如图，在中，，动点从点A出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以以的速度同时出发．设运动时间为在运动过程中，的形状不断发生变化，当 时，是直角三角形． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在中，，，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题：    (1)用含t的代数式表述的长是______． (2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．（23-24八年级上·江西宜春·期中）已知：如图所示，是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速运动，点的速度为，点的速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．    (1)当为何值时，为等边三角形； (2)请你判断在运动过程中能否成为直角三角形，若能，请求出相应的的值；若不能，请说明理由． 【题型十 由含30°的直角三角形的性质的实际应用】 例题：（2024·贵州贵阳·一模）中国古建筑是结构决定外观，这种传统结构形式侧面很容易呈现出等腰三角形．如右图所示的这种建筑剖面图，建筑屋顶是一个等腰三角形，它的底角为，腰为，则底边上的高是 （    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南信阳·期末）“淄博烧烤”火了，许多游客纷纷从外地来到淄博吃烧烤．如图，南昌的小邦乘坐高铁从南昌到淄博吃烧烤，在距离铁轨米的处，观察他所乘坐的由南昌经过淄博开往青岛的“和谐号”动车．当“和谐号”动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向，测得米，秒钟后（这时段动车的平均速度是米/秒），动车车头到达处，测得米．根据所学知识求得此时点位于点的（    ） A．北偏西方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．北偏西方向 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若，．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度应为，则距离地面的高为 ． 一、单选题 1．（2024·贵州黔东南·二模）如图，中，，，，点在的延长线上，点在边上，且．若，则的边长为（    ） A．2.5 B．3.5 C．2 D． 2．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 3．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）如图，，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，点P在射线上，且，点E在边上，则线段的最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D． 5．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，，点是的中点；过点作交于点，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题 6．（22-23八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，若，则 ． 7．（22-23八年级下·辽宁丹东·阶段练习）如图，在中，，，，则底边上的高 ． 8．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，是边上的高，且，，则的面积为 ． 9．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 ． 10．（22-23八年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，中，，，，为高．点，分别为，上的动点，那么的最小值为 三、解答题 11．（22-23八年级下·河南漯河·期中）周末，小丽和小红相约到C地参加青春励志报告会，C地在小丽家A的北偏东的方向，也在小红家的北偏西的方向上．千米，二人骑车同时从各自家出发，小丽的速度为每分钟千米，小红的速度为每分钟千米，那么二人能否同时到达C地？ 12．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，为的中点，于点，，求的长． 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，是的平分线，求的长． 14．（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，为等边三角形，，、相交于点，于． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，，求的长． 15．（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，为等边三角形，，、相交于点，于． (1)求证：； (2)若，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 含30°的直角三角形的性质 目录 【题型一 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】 1 【题型二 由含30°的直角三角形的性质求角度】 4 【题型三 由含30°的直角三角形的性质求面积】 7 【题型四 由含30°的直角三角形的性质求最值】 9 【题型五 由含30°的直角三角形的性质求坐标】 12 【题型六 由含30°的直角三角形的性质进行证明】 15 【题型七 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】 18 【题型八 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】 20 【题型九 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】 22 【题型十 由含30°的直角三角形的性质的实际应用】 26 【题型一 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】 例题：（22-23八年级下·广西北海·期中）如图，在中，，，平分，若，则点到的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的性质，可得的度数，，根据角平分线的性质，可得，再根据可求得答案．本题考查了含角的直角三角形，角平分线的性质，掌握直角三角形的性质，角平分线的性质是解本题的关键． 【详解】解：如图，作于，   ，， ，， 平分， ， ， ， 即点到的距离是． 故选：D． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，以为边在外作等边，过点D作，垂足为E，若，则的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．根据以及是等边三角形，可证得，过点C作于点P，再证明，可得，从而得到．在中，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴． 过点C作于点P， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 故选：A． 2．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在中，，，垂足为点，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．先由直角三角形的性质得到，，再求出，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ，， ∵ ， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型二 由含30°的直角三角形的性质求角度】 例题：（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，在中，分别是的角平分线和高线，交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，高的性质，根据三角形内角和定理可得，根据高的性质可得，根据角平分线的性质可得，根据即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵是的角平分线，是高， ∴，， ∵， ∴的值为， 故选：A ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·青海果洛·期末）在中，，，，那么 ， ． 【答案】 8 【分析】本题考查的含30度角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，先求解，再进一步解答可得答案． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 故答案为：；8． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，点为边上的动点，当最小时，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，垂线段最短，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．在下方作，过点A作于点F，过点M作于点E，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据，两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当、M、E三点共线，且时，最小，即最小，求出此时的度数即可． 【详解】解：在下方作，过点A作于点F，过点M作于点E，如图所示：    则， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当、M、E三点共线，且时，最小，即最小， ∴当点E在点F时，最小， ∵，， ∴， 即此时． 故选：D． 【题型三 由含30°的直角三角形的性质求面积】 例题：（23-24八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，，D是上一点，连接，若平分，设和的面积分别是，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，三角形的面积等知识，先求出，得出， 从而，然后根据三角形面积公式可得结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴，     ∴， ∴． 故选B． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，平分交的延长线于点．则的面积是（   ）    A．18 B．36 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形判定和性质，三角形的面积，含角的直角三角形，角平分线定义，延长交延长线于，由直角三角形的性质求出，得到，由角平分线定义得到，由垂直的定义定义得到，由三角形内角和定理推出，因此，求出的面积，由等腰三角形的性质推出，得到的面积的面积，即可求出的面积． 【详解】解：延长交延长线于， ∵， ， 平分 的面积的面积， 故选：A． 2．（23-24八年级上·广东阳江·期末）如图，，平分，， ，若，则面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，含角的直角三角形的性质，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键； 过P作于E，根据角平分线的性质求出，，根据平行线的性质求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，然后三角形面积公式计算即可． 【详解】 过P作于E， ， 平分，于点D，， ， ，， ， ， ， 面积是， 故答案为：． 【题型四 由含30°的直角三角形的性质求最值】 例题：（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，，平分，点是射线上一点，，于点，点是射线上的一个动点，则的长度的最小值是（　　　） A．5 B．6 C．7 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短和角平分线性质，含30度直角三角形性质；根据垂线段最短得出当时，的值最小，求出，再求出的值即可． 【详解】当时，的值最小，根据垂线段最短， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴的最小值是5， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在锐角中，，点D在边上，点P、Q分别在线段上运动，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、角平分线的性质定理，的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短路径问题，作点关于的对称点M，连接，当时．此时取得最小值． 【详解】解：∵， ∴是的平分线， 作点关于的对称点M，连接， 由对称的性质可知，, ∴， ∵, ∴, ∵, ∴M在上 由垂线段最短可知：当时．取得最小值， ∴此时也取得最小值． ∵， ∴， ∵ ∴ ∴的最小值为：． 故选：B． 2．（21-22八年级上·湖北荆门·期中）如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题．作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，根据含的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值． ，是边上的中点， 是的平分线， ， 是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ，，是边上的中点， ， ， 故的最小值是：3， 故答案为：3． 【题型五 由含30°的直角三角形的性质求坐标】 例题：（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正三角形的顶点B的坐标为，点A在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标为3，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到平移规律是解题关键.作轴，根据等边三角形的性质得出，，利用含角的直角三角形的性质求出，即可求出的长，进而可得A点坐标，通过平移可得点的坐标，由一对对应点A与的移动规律即可求出点的坐标. 【详解】如图，作轴于点M， ∵等边的顶点B坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得时，， ∴， ∴将A点向右平移个单位，再向上平移个单位后得到点， ∴将向右平移个单位，再向上平移个单位后可得到点， ∴点的坐标为， 故选C 【变式训练】 1．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，等边三角形的三个顶点都在坐标轴上，，过点B作，垂线交x轴于点D，则点D的坐标为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，根据，结合三线合一性质，得，继而得到，根据，，得到，继而得到，计算即可． 【详解】∵等边三角形的三个顶点都在坐标轴上，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，等边的三个顶点都在坐标轴上，，过点B作，交x轴于点D，则点D的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．利用等边三角形的性质求得的长，再利用含30度角的直角三角形的性质求得的长，继而求得的长，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 【题型六 由含30°的直角三角形的性质进行证明】 例题：（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）如图，已知中，，垂直平分于点D，交于点E，．求证：．    【答案】见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含角直角三角形的性质，连接，根据垂直平分线的性质得到，，然后求出，然后利用含角直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，连接，    ∵垂直平分于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，平分，交于点，过点作于点． (1)求证∶； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，直角三角形的性质： （1）根据角平分线的性质，可得，再利用证明，即可求证； （2）根据直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ∴， 在和中， ∵，， ∴； （2）解：在中，， ∴． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)若F是的中点，连接，且，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到.进一步证明，，即可得到结论； （2）求出，得到，则.即可得到，由是等边三角形即可得答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴. 又∵是中线， ∴平分， ∴. ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：由（1）可知， 又∵F是的中点， ∴. ∵， ∴. 又∵为直角三角形， ∴， ∴. ∵是中线， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴的周长为 【题型七 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】 例题：（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图所示，在中，，将沿折叠，使点C落在边D点，若，则（   ）． A．12 B．16 C．18 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，含角的直角三角形的直角．理解直角三角形中角所对边是斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，顶角为，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是翻折变换的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，掌握30°所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．根据折叠的性质，，，又，可知，据30°所对的直角边等于斜边的一半，可知． 【详解】解：∵， ∴， 根据折叠的性质，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．    【答案】 【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵将沿折叠，点的对应点为点．点刚好落在边上，在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【题型八 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】 例题：（21-22八年级下·山西晋中·期中）如图，在，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（    ）    A．4 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】由旋转的性质，可证都是等边三角形，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵将绕点C按逆时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，找到旋转角是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，线段，线段绕点旋转，交于点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，含30度直角三角形的性质；由，当最小时，最大；而当时，最小；由含30度直角三角形的性质可求得的最小值，从而求得的最大值． 【详解】解：∵， ∴当最小时，最大； 而当时，最小，如图； ∵， ∴， ∴的最大值为； 故答案为：． 2．（23-24九年级上·广东江门·期末）如图，是绕点A旋转后得到的，已知，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了旋转的性质，含度角的直角三角形的性质，根据题意得出，进而根据旋转的性质，即可求解． 【详解】在中，， ∴． 又因为是绕点A旋转后得到的， 所以，且C，A，三点共线， 所以 故答案为：4． 【题型九 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】 例题：（23-24七年级下·山东威海·期中）如图，在中，，动点从点A出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以以的速度同时出发．设运动时间为在运动过程中，的形状不断发生变化，当 时，是直角三角形． 【答案】或 【分析】本题主要考查了含度角的直角三角形的性质；分两种情况讨论：当时，当时，结合直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ， 当运动时，，，， ∵是直角三角形， ∴或， ①当时， ， ， ， 即， 解得：； ②当时， ， ， ， 即， 解得：； 综上所述，当为或时，是直角三角形． 故答案为：或． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在中，，，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题：    (1)用含t的代数式表述的长是______． (2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，含直角三角形的性质； （1）根据点Q的速度可得，进而可得答案； （2）分和两种情况，分别根据含直角三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵． ∴， 故答案为：； （2）解：①若， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②若， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，当或时，是直角三角形． 2．（23-24八年级上·江西宜春·期中）已知：如图所示，是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速运动，点的速度为，点的速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．    (1)当为何值时，为等边三角形； (2)请你判断在运动过程中能否成为直角三角形，若能，请求出相应的的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当时，为等边三角形 (2)能，当为或时，为直角三角形 【分析】题目主要考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，一元一次方程的应用； （1）根据题意列出代数式，然后再由等边三角形的性质列出方程求解即可； （2）根据直角三角形的性质及含30度角的性质，列出方程求解即可； 理解题意，列出相应的方程是解题关键． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 则， 当为等边三角形时，则有， 即， ∴， ∴当时，为等边三角形； （2）当时， ∵， ∴， ∴在中，， 即， 解得； 当时，同理可得， 即， 解得， ∴当为或时，为直角三角形． 【题型十 由含30°的直角三角形的性质的实际应用】 例题：（2024·贵州贵阳·一模）中国古建筑是结构决定外观，这种传统结构形式侧面很容易呈现出等腰三角形．如右图所示的这种建筑剖面图，建筑屋顶是一个等腰三角形，它的底角为，腰为，则底边上的高是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，含30度直角三角形的性质，根据含30度直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半，得出底边上的高即可． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南信阳·期末）“淄博烧烤”火了，许多游客纷纷从外地来到淄博吃烧烤．如图，南昌的小邦乘坐高铁从南昌到淄博吃烧烤，在距离铁轨米的处，观察他所乘坐的由南昌经过淄博开往青岛的“和谐号”动车．当“和谐号”动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向，测得米，秒钟后（这时段动车的平均速度是米/秒），动车车头到达处，测得米．根据所学知识求得此时点位于点的（    ） A．北偏西方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．北偏西方向 【答案】D 【分析】本题考查了方位角，含30度角的直角三角形的性质，根据题意，延长交于点，可得，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∴，米， ∵米， ∴在中，， ∴， ∴， ∴点位于点北偏西方向， 故选：D ． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若，．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度应为，则距离地面的高为 ． 【答案】40 【分析】本题考查含30度角直角三角形的性质，30度角所对的直角边长度等于斜边的一半，也考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，连接，过点D作于点E．先求出，根据三角形内角和定理和等边对等角求出，由含30度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点E． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴在中，． 故答案为：40． 一、单选题 1．（2024·贵州黔东南·二模）如图，中，，，，点在的延长线上，点在边上，且．若，则的边长为（    ） A．2.5 B．3.5 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质．过点作于．先在中利用角所对的直角边等于斜边的一半得出，于是，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，然后根据即可求解． 【详解】解：过点作于． 在中，，， ， ∵ ， ． ，于， ， ． 故选：C． 2．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质．根据直角三角形的性质，可得，再由线段垂直平分线的性质，可得，，，根据等腰三角形的性质可得，从而得到，然后根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B 3．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了含有角的直角三角形的性质，熟练掌握含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键．先求出，再根据含有角的直角三角形性质可得的长． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：A． 4．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）如图，，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，点P在射线上，且，点E在边上，则线段的最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的作法、垂线段最短、直角三角形的性质等知识点，过点P作于点，由垂线段最短可知当点E和点重合时，线段有最小值；再根据作图可知是的角平分线，，最后根据30度角所对的直角边是斜边的一半即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于点， 由垂线段最短可知当点E和点重合时，线段有最小值， 由作图可知是的角平分线， ，即， 又， ， 线段的最小值为6， 故选C． 5．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，，点是的中点；过点作交于点，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边是斜边的一半是解决问题的关键．连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图：    在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 故选：B． 二、填空题 6．（22-23八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，若，则 ． 【答案】8 【分析】直接利用基本作图方法结合线段垂直平分线的性质得出，即可得出答案． 此题主要考查了基本作图，含30度角直角三角形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，正确得出的长是解题关键． 【详解】解：如图，连接， 由基本作图方法得出：垂直平分线段， ∴， ， 在中， ，， ， ， ， 故答案为：． 7．（22-23八年级下·辽宁丹东·阶段练习）如图，在中，，，，则底边上的高 ． 【答案】5 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的特征，由等腰三角形的性质推出，由含角的直角三角形的性质推出，即可得到边上的高． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴ ∵， ∴， ， ， 故答案为： 8．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，是边上的高，且，，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了直角三角形的性质和三角形的外角的性质．熟记直角三角形的性质的内容是解决本题的关键． 根据三角形的外角的性质得出，再根据直角三角形的性质得出，即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， 则的面积． 故答案为：4． 9．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】过作，交的延长线于，过作于，证明，得，求出的度数，则根据等腰三角形的内角和，可求出的度数． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于，过作于， ∵点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,含角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题时要熟知等腰三角形的两个底角相等，需要作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的对应角相等． 10．（22-23八年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，中，，，，为高．点，分别为，上的动点，那么的最小值为 【答案】1 【分析】设与的交点为，作，垂足为，则为所求的最小值，根据含的直角三角形的性质求出即可．本题考查了最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，角平分线的判定和性质，垂线段最短，含的直角三角形的性质，解题的关键是从已知条件并结合图形思考，通过三线合一的性质和垂线段最短，确定线段和的最小值． 【详解】解：如图，设与的交点为，作，垂足为，则为所求的最小值 ，为高， 是的平分线， ， ， 为高， 是点到直线的最短距离， ，， ， ， 的最小值是1， 故答案为：1． 三、解答题 11．（22-23八年级下·河南漯河·期中）周末，小丽和小红相约到C地参加青春励志报告会，C地在小丽家A的北偏东的方向，也在小红家的北偏西的方向上．千米，二人骑车同时从各自家出发，小丽的速度为每分钟千米，小红的速度为每分钟千米，那么二人能否同时到达C地？ 【答案】二人能同时到达． 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和含角的直角三角形的性质是解题的关键． 求出，由含角的直角三角形的性质得千米，再由勾股定理得千米，然后求出小丽和小红到达地的时间，即可得出结论． 【详解】解：二人能同时到达地，理由如下： 由题意可知，，， ， （千米）， （千米）， 小丽的速度为每分钟千米，小红的速度为每分钟千米， 小丽到达地的时间为（分钟），小红到达地的时间为（分钟）， 小丽到达地的时间小红到达地的时间， 二人能同时到达地． 12．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，为的中点，于点，，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三线合一和含的特殊直角三角形的性质．连接，利用等边对等角得，在中，得，在中，得，即可求出的长，熟练运用三线合一的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，，为的中点， ∴，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在 中，，， ∴， ∴． 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，是的平分线，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形所对的直角边等于斜边的一半的性质，等角对等边的性质．由角平分线的定义以及三角形内角和定理可求出，再根据直角三角形的性质可得，根据等角对等边可得，然后利用可求得． 【详解】解：，， ． 是的平分线， ． ，． ． ． 的长为． 14．（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，为等边三角形，，、相交于点，于． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)9 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明即可证得结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得； （3）利用（2）的结果求得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，则易求． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ，， 在与中， ， ∴； （2）由（1）知，，则， ， ； （3）如图，由（2）知． ， ， ， ，即． 15．（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，为等边三角形，，、相交于点，于． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形． （1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得；可得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，则易求． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 在与中， ， ； （2）解：由（1）知，，则， ， ； ， ， ， ， 又∵， ，即． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$