22.3.1几何图形的最大面积（第1课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第22章 二次函数 九年级数学上册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 九年级 上册 BY YUSHEN BY YUSHEN 22.1.1 二次函数 BY YUSHEN BY YUSHEN 复习引入 1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条______，它的对称轴是_______， 顶点坐标是_______. 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条_______，它的对称轴是___________， 顶点坐标是___________.当a＞0时，抛物线开口向___，有最___点， 即当x=____时，y最小值=______；当a＜0时，抛物线开口向___，有最___点， 即当x=____时，y最大值=_______. 抛物线 直线x=h (h,k) 抛物线 直线 上 低 下 高 BY YUSHEN BY YUSHEN 复习引入 思考：二次函数y=ax2+bx+c的最值由什么决定？ 二次函数y=ax2+bx+c的最值由a值及自变量x的取值范围决定.   x y O 最小值 最大值 BY YUSHEN BY YUSHEN 复习引入 例如：求下列函数的最大值与最小值 x 0 y -3 1   思考：当自变量x有限制时，二次函数y=ax2+bx+c的最值如何确定？ BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 复习引入 总结：画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围. 利用数形结合思想能有效帮助解题。 1. 求抛物线对称轴。（转化为顶点式求出顶点坐标及对称轴） 2. 判断x的取值范围与对称轴的位置关系. 3. 根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值. 4. 然后根据x的值，求出函数的最值. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 某社区委员会决定把一块长40m，宽30m的矩形空地改建成健身广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多5米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为xm(6≤x≤10)，健身活动区域的面积为Sm2． (1)求出S与x之间的函数关系式； (2)求健身活动区域的面积S的最大值． 解：(1)由题意解得： ； 解：(2)， ∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，S随x的增大而减小， ∴当时，S有最大值，最大值为1176， 答：活动区域面积S的最大值为． BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 A B C D x S 问题1 面积S的函数关系式是什么？ S=x(10-x) =-x2+10x 问题2 自变量x的取值范围如何确定？   0＜x＜10   也就是说，当x是5m时，场地的面积S最大. 思考：用总长为20m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长x的变化而变化。当x是多少时，场地的面积S最大？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 (1)求y与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 思考：如图，用总长20米的篱笆围成一个一面靠墙的矩形 菜园，墙长14米，设菜园垂直于墙的一边为x米，面积 为y平方米. y=x(20-2x) =-2x2+20x (3≤x＜10)   ∴菜园垂直于墙的一边为5m时，菜园面积y最大，最大面积为50m2 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 【变式1】如图，用总长20米的篱笆围成一个一面靠墙的矩形 菜园，墙长 8 米，设菜园垂直于墙的一边为x米，面积 为y平方米. y=x(20-2x) =-2x2+20x (6≤x＜10)   ∴菜园垂直于墙的一边为6m时，菜园面积y最大，最大面积为48m2 (1)求y与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 【变式2】如图，用总长20米的篱笆围成一个一面靠墙的矩形 菜园，墙长 8 米，菜园开一个宽为2米的门，设菜园垂直于墙的一边为x米，面积为y平方米. y=x(22-2x) =-2x2+22x (7≤x＜11)   ∴菜园垂直于墙的一边为7m时，菜园面积y最大，最大面积为56m2 (1)求y与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 5.5 ∴当x=7时，y最大值=56 BY YUSHEN BY YUSHEN 二次函数解决几何面积最值问题的方法 新知探究 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 1、设自变量（一般设某条边为x，）与因变量（设“面积”为y）； 2、列出y与x的函数关系式（一般为二次函数）； 3、找出自变量的取值范围； 4、求利用配方法或顶点公式，求出最值。若自变量的取值范围不包括顶点横坐标，则须利用增减性求出最值。 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发，沿AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向C以2cm/s的速度移动，如果PQ两点分别到达B、C两点停止移动. (1)设运动开始后第ts时，五边形APQCD的面积为Scm2，写.出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围; (2)t为何值时，S最小，求出S最小值. 解:(1)∵ts后，PB=6-t，BQ=2t ∴S=S矩形ABCD-S△PBQ=6×12-×(6-t)×2t 即S=t2-6t+72=(t-3)2+63(0<t<6) (2)∵a=1>0 ∴当t=3时，S最小=63cm2. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为16m.求出y与x的关系式;当x等于多少时，窗户通过的光线最多?此时，窗户的面积S是多少? 解:∵4y+6x+πx=16 ∴y= ∴S=2xy+πx2=2x()+πx2=-3x2+8x ∵a=-3<0 ∴当x=-=m时，S光线最多==m2 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？ 解：设直角三角形的一边为x，则另一边为(8-x)，面积为y. 则y与x的函数关系式为 y=x(8-x)(0＜x＜8) 即y=-x2+4x(0＜x＜8) ∵a=-＜0， ∴ 当x=-=4时，y最大=8. 答：当两条直角边都为4时，这个直角三角形的面积最大，最大值为8. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数 关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，则要 利用函数的增减性来确定 （二次函数的 图象和性质） 实际问题 数学模型 转化 回归 （实物中的抛物线形问题） BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1.二次函数y=-(x+1)2+2的最大值是( ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 2.已知0≤x≤，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是( ) A.-6 B.2 C.- D.不能确定 3.把一段长1.6米的铁丝围成长方形ABCD， 设宽为x,面积为y.则当y最大时， x所取的值是( ) A.0.5 B.0.4 C.0.3 D.0.6 A C B BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 4.如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H盼别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为S,AE为x，则S关于x的函数图象大致是( ) B BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 5.某工厂为了存放材料，需要围一个周长160米的矩形场地，若要使存放场地 的面积最大，则矩形的长和宽各取 米. 6.用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大面积是________. 7.已知直角三角形的两直角边之和为8，两直角边分别为 时，此三角形的面积最大。最大值是 . 40 4 8 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 8.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； 解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x), ∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6. (2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; ∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大为9m2. 这时设计费最多，为9×1000=9000（元） (2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 9.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有 二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。 A B C D 解： （1）∵ AB为x米、篱笆长为24米∴ 花圃宽为（24－4x）米 （3）∵墙的可用长度为8米 （2）当x＝ 时，S最大值＝ ＝36（平方米） ∴ S＝x（24－4x）＝－4x2＋24 x （0<x<6） ∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6 ∴当x＝4m时，S最大值＝32 平方米 x 24－4x BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 BY YUSHEN BY YUSHEN 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s 的速度移动．已知P，Q分别从A，B同时出发，求△PBQ的面积S(mm2)关于出发时间t(s)的函数表达式，并求出t为何值时，△PBQ的面积最大，最大值是多少？ 解：由题意可知，BP＝(12－2t)mm，BQ＝4t mm. ∴S＝BP·BQ＝(12－2t)·4t，整理，得S＝－4t2＋24t， 易知0＜t＜6.∵S＝－4t2＋24t＝－4(t－3)2＋36， ∴当t＝3时，S取得最大值，为36. 故S关于t的函数表达式为S＝－4t2＋24t(0＜t＜6)． 当t＝3时，△PBQ的面积最大，为36 mm2. 解：设AB＝m米，则AD＝BC＝(100－2m)米， 根据题意得m(100－2m)＝450，解得m1＝5，m2＝45， 当m＝5时，100－2m＝90＞20，不合题意，舍去； 当m＝45时，100－2m＝10. 答：AD的长为10米． 解：设AD＝x米，矩形菜园ABCD的面积为S平方米， 则S＝x(100－x)＝－(x－50)2＋1 250， 若a≥50，则当x＝50时，S取得最大值，为1 250； 若0＜a＜50，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，∴当x＝a时，S取得最大值，为50a－a2，综上所述，当a≥50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1 250平方米；当0＜a＜50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为平方米． $$