第一次月考提升检测金卷（范围：第1～2章）-2024～2025学年八年级上学期模拟测试卷【广东专版 配北师大版】

2024~2025学年度第一学期数学模拟卷（广东专用） 八年级数学 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．（24-25八年级上·广东江门·开学考试）下列数中是无理数的是（    ） A．3.1415926 B． C． D． 2．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A．0.3，0.4，0.5 B． C．1，2，3 D．5，12，13 3．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 6和7之间 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．立方根等于本身的数是0和1 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．是最简二次根式 7．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 9．实数在数轴上的位置如图，那么化简的结果是（ ） A. B. b C. D. a 10．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若点是线段的中点，则，其中正确的序号是（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 12．比较大小：3______，______． 13．已知，，则 ． 14．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，圆柱形杯子容器高为，底面周长为，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁点处，蚂蚁需绕行杯子两周到达点的正上方点处，则爬行的最短路径为 ． 15．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，再以点A为圆心，为半径画弧，交于点E，则的长为 ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．计算：（1）；（2） 17．一个正数x的两个不同的平方根分别是和，求的立方根． 18．观察右图，每个小正方形的边长均为1． （1）图中长方形的面积是______，与长方形面积相等的正方形的边长是______． （2）作图：在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）． 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分） 19．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． （1）若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 （2）若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 20．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，则________； （2）已知实数满足，求的值； （3）若x，y为实数，且，求的值． 21．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______． （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． （1）计算：． （2）已知m是正整数，，，，求m． （3）已知，则的值为? 23．我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． （1）例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）； （2）类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； （3）拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期数学模拟卷（广东专用） 八年级数学 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．（24-25八年级上·广东江门·开学考试）下列数中是无理数的是（    ） A．3.1415926 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数叫无理数，其中初中范围内学习的无理数有：；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的数．据此逐项判定即可． 【详解】解：A、3.1415926是有限小数不是无理数，故此选项不符合题意； B、是分数，不是无理数，故此选项不符合题意； C、是整数不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无理数，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A．0.3，0.4，0.5 B． C．1，2，3 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A. 0.3，0.4，0.5不是整数，故不是勾股数，不符合题意； B.不是整数，故不是勾股数，不符合题意； C. ，不能够构成三角形，不符合题意； D.，故是勾股数，符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的运算和二次根式的性质，根据相关运算法则进行计算即可判断． 【详解】解：A. ，此选项计算正确，符合题意； B. ，故此选项计算错误，不符合题意； C. ，故此选项计算错误，不符合题意； D. ，故此选项化简错误，不符合题意； 故选：A 4．估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 6和7之间 【答案】A 【分析】直接利用估算无理数的方法分析得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴估计的值在5和6之间， 故选：A． 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟练掌握该知识点是解题的关键．利用勾股定理可知，，即，结合，得到的值． 【详解】解：以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，， ,, 是直角三角形， 即 又 故选：C． 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．立方根等于本身的数是0和1 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．是最简二次根式 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根以及最简二次根式等知识点，如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此即可求解．掌握相关结论即可． 【详解】解：立方根等于本身的数是0和，故A错误； ∵，∴的平方根是，故B错误； ∵，∴的算术平方根不是，故C错误 是最简二次根式，故D正确； 故选：D 7．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，求出正方形的边长是解题的关键．根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可表示点E． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴正方形的边长为， ∴， 点A在数轴上表示的数为1， ∴点E表示的数为． 故选：D． 8．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．过点作于点，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ， 四边形是长方形， 米，米， 米， （米， （米． 故选：B． 9．实数在数轴上的位置如图，那么化简的结果是（ ） A. B. b C. D. a 【答案】C 【分析】由实数a、b在数轴上的位置确定a、b的符号以及绝对值的大小，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由实数a、b在数轴上的位置可知，，且， ∴， ∴原式 ， 故选：C． 【点睛】本题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简，理解数轴表示数的方法，掌握二次根式的性质是正确解答的前提． 10．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若点是线段的中点，则，其中正确的序号是（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了以“赵爽弦图”为背景的勾股定理的运用，正方形面积的计算，根据设“赵爽弦图”中直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边长为c，由此可得，小正方形的边长为，，由此可求出，图形结合，及正方形面积的计算方法，含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：设“赵爽弦图”中直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，斜边长为，则小正方形的边长为， ∴正方形的面积为，正方形的面积为， ∵，， ∴，故①正确； ∵， ∴，， ∴，故②正确； 当时，，即， ∴，故③正确； 当点是的中点时，，即， ∴，即， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：D ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵，而的算术平方根是， ∴的算术平方根是2， ∵，而的算术平方根是， ∴的算术平方根是， 故答案为：2；． 12．比较大小：3______，______． 【答案】 ①. > ②. < 【分析】（1）通过平方法比较大小即可求解； （2）通过比较与5的大小即可求解． 【详解】解：（1）因为，， ，所以；故答案为：>； （2）因为，所以， 所以，所以， 故答案：； 13．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据被开方数的小数点每向右移动3位，开立方的结果的小数点就向右移动1位进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，圆柱形杯子容器高为，底面周长为，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁点处，蚂蚁需绕行杯子两周到达点的正上方点处，则爬行的最短路径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理中的最短路径问题的解决方法是解题的关键．利用蚂蚁需绕行杯子两周到达点的正上方点处，将圆柱展开形成平面的爬行路径，再利用两点间线段最短确定路径，最后计算即可． 【详解】解：由题意，蚂蚁需绕行杯子两周到达点的正上方点处， 则将圆柱侧面沿棱展开两次得长方形，如图， 则蚂蚁的爬行路径相当于从爬行到， 当走线段时最短， 由圆柱形杯子容器高为，底面周长为， 得，， 则， 所以， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，再以点A为圆心，为半径画弧，交于点E，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理，线段作图，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据作图可知，因此，同样根据作图可得，再根据勾股定理可求得，即可进一步得到答案． 【详解】以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D， ， ， 以点A为圆心，为半径画弧，交于点E， ， ， ， ． 故答案为：2． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．计算： （1）；（2） 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用分配律以及二次根式的乘法法则计算，然后化简二次根式，进行加减运算即可； （2）先利用二次根式性质，完全平方公式分别化简，再利用二次根式的加减运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，二次根式性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 17．一个正数x的两个不同的平方根分别是和，求的立方根． 【答案】3 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数求解，将a中结果代入求解． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， ， ， ． 【点睛】本题考查了立方根，解题关键是掌握一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数． 18．观察右图，每个小正方形的边长均为1． （1）图中长方形的面积是______，与长方形面积相等的正方形的边长是______． （2）作图：在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）． 【答案】（1）10； （2）见解析 【分析】（1）根据勾股定理求出长方形的长和宽，即可求出面积，面积的算术平方根即为正方形的边长； （2）根据在数轴上构造斜边长为的直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知，长方形的长为，宽为， 长方形的面积为， 与长方形面积相等的正方形的边长是， 故答案为：10，； 【小问2详解】 解：如图，点P为所求． 【点睛】本题考查勾股定理、数轴、基本作图，解题的关键是在数轴上构造斜边长为的直角三角形． 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分） 19．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． （1）若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 （2）若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 【答案】(1) (2)超速，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用： （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可． 【详解】（1）解：依题意可得，， ，为直角三角形， 米，米， 米， ， ； 答：共用时4秒； （2）超速，理由如下： ， ， 超速． 20．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，则________； （2）已知实数满足，求的值； （3）若x，y为实数，且，求的值． 【答案】（1） （2）5 （3）11或 【分析】（1）利用非负数的性质，可求a，b的值，从而求得的值； （2）利用二次根式有意义的条件和绝对值的非负性，求出m，n的值，即可得出的值． （3）利用二次根式有意义的条件，可得y值，进而求x值，最终得的值； 【小问1详解】 ∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为： 【小问2详解】 ∵，，， ∴，， 解得，， ∴； 【小问3详解】 ∵，，， ∴，， ∴． ∴，． 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查非负数的性质，二次根式的性质，关键就是要了解二次根式的非负性，在中考中经常出现． 21．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______． （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ∴ ∴ （2）， ， ， 即AB边上的高是 （3）解：在中，由勾股定理得 ∵， ∴ 在中，由勾股定理得 ∴， ∴ 【点睛】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形DEF是解本题的难点． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． （1）计算：． （2）已知m是正整数，，，，求m． （3）已知，则的值为? 【答案】(1) (2)504 (3)9 【分析】（1）将各部分分子变为2，再根据分母有理化去分母后可相互消掉可得结果； （2）、互为倒数，分母有理化后可得的值，代入所求式子即可； （3）设，，则，利用已知等式导出，根据完全平方公式计算出即为所求． 【详解】（1）解： ； （2），， ，，， ， ， ， ； （3）设，，则， ， ， ， ， ， ， ．（舍去）， ． 【点睛】本题考查了分母有理化的技巧，利用完全平方公式和平方差公式设未知数整体代入是常用的方法． 23．我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． （1）例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）； （2）类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； （3）拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）先证，再根据即可证明； （2）先证，再根据即可证明； （3）连接，先证，则可得，，进而可得． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵与都是等腰三角形， ∴， 又∵ ∴，即， 在和中，， ∴． 故答案为： ， （2）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 连接，如图所示： ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$