第12讲直线与圆的位置关系（4个知识点+5种题型+过关检测）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修一）

第12讲直线与圆的位置关系（4个知识点+5种题型+过关检测） 知识点1：直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系的判断方法 直线与圆的位置关系反映在三个方面: 一是点到直线的距离与半径大小的关系; 二是直线与圆的公共点的个数; 三是两方程组成的方程组解的个数. 因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择. 知识点2：直线与圆相交 1.求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法:如图①,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|,则有()2+d2=r2,即|AB|=2. 图① (2)代数法:如图②所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|(直线l的斜率k存在). 图② 2.弦长的最值问题 过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2，最大值＝2r. 知识点3：直线与圆相切 1.切线方程的求法 （1）求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为-,由点斜式方程可求得切线方程.若k=0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y=b或x=a. （2）求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解 设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而切线方程即可求出.但要注意,此时的切线有两条,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可通过数形结合求出. 2.切线长最值问题 直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝. 知识点4：圆上的点到直线的最大、最小距离 1．圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r. 2．直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r. 题型1：直线与圆的位置关系 【例题1】（22-23高二上·北京·期中）轴与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式1】（21-22高二上·安徽芜湖·期中）圆与直线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与k的取值有关 【变式2】（22-23高二上·宁夏银川·阶段练习）直线与圆的位置关系是 . 【变式3】（21-22高二上·全国·课后作业）判断直线与圆的位置关系．如果有公共点，求出公共点的坐标． 题型2：圆的切线问题 【例题2】（22-23高二上·四川内江·期中）一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式1】（23-24高二上·江苏扬州·期中）求过点且与圆相切的直线方程为 . 【变式2】（23-24高二上·上海·期末）已知圆，点 (1)求圆C的圆心C的坐标、及半径大小； (2)求过点A与圆C相切的直线方程. 【变式3】（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知圆经过两点，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 题型3：直线与圆相交的弦长问题 【例题3】（21-22高二上·吉林长春·期中）圆 被轴所截得的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 【变式1】（22-23高二上·山东泰安·期中）已知圆M：内有点，则以点P为中点的圆M的弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线与圆，则直线被圆所截得的弦长为 . 【变式3】（23-24高二上·广东·期末）已知圆，直线l过点． (1)若直线l的斜率为，求直线l被圆C所截得的弦长； (2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程． 题型4：过定点的直线和圆相交的判定与最短弦长问题 【例题4】（23-24高二上·福建福州·期中）直线与圆相交于两点，则弦长的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 【变式1】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知圆，直线.当直线被圆截得弦长取得最小值时，直线的方程为 . 【变式2】（23-24高二上·江西赣州·期中）已知圆：，直线：. (1)证明：过定点. (2)求被圆截得的最短弦长. 【变式3】（20-21高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知圆，直线． （1）求直线过的定点坐标． （2）求直线被圆截得的弦长最短时的方程． 题型5：有限制条件的参数取值问题 【例题5】（23-24高二上·山东淄博·期中）已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·四川达州·期中）已知圆，直线若圆上有两个点到直线的距离等于1，则实数b的取值范围是 . 【变式3】（23-24高二上·江西吉安·期末）已知为过点，，三点的圆． (1)求圆的方程； (2)若直线：与圆有公共点，求的取值范围． 一、单选题 1．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江西吉安·期末）一条经过点的直线与圆：交于，两点，若，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 4．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切 6．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 7．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知圆：与直线，下列选项正确的是（    ） A．直线与圆相切 B．直线与圆相离 C．直线与圆相交且所截弦长最短为 D．直线与圆相交且所截弦长最短为4 二、多选题 9．（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知是圆：上一点，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．过点作圆的切线，则切线方程为 D．过点作圆的切线，则切线方程为 10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知过点的直线和圆：，则（    ） A．直线与圆相交 B．直线被圆截得最短弦长为 C．直线与被圆截得的弦长为，的方程为 D．不存在这样的直线，使得圆上有3个点到直线的距离为2 11．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A．直线l恒过定点 B．y轴被圆C截得的弦长为 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 三、填空题 12．（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）若直线：与圆：相交于两点，，则的取值范围为 . 13．（23-24高二上·广东·阶段练习）从点发出的光线，经轴反射后与圆：相切，则反射光线所在直线的一般式方程为 ． 14．（22-23高二上·四川泸州·阶段练习）直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是 . 四、解答题 15．（23-24高二上·山东日照·期末）已知直线：与垂直，且经过点. (1)求的一般式方程； (2)若与圆：相交于两点，求. 16．（23-24高二上·广东广州·期中）已知的圆心为，且过点． (1)求的标准方程； (2)若直线与相切于点，求的方程． 17．（22-23高二上·四川成都·阶段练习）已知圆C的方程为：； (1)过点作圆的切线，求切线的方程. (2)已知圆C上有2个点到直线：的距离为1，求m的取值范围. 18．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知圆. (1)若点是圆上的一点，求的取值范围； (2)过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 19．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知直线：，圆C：. (1)若直线截圆C所得的弦长为，求m的值； (2)已知点，O为坐标原点，若圆C上存在点P，使，求m的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲直线与圆的位置关系（4个知识点+5种题型+过关检测） 知识点1：直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系的判断方法 直线与圆的位置关系反映在三个方面: 一是点到直线的距离与半径大小的关系; 二是直线与圆的公共点的个数; 三是两方程组成的方程组解的个数. 因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择. 知识点2：直线与圆相交 1.求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法:如图①,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|,则有()2+d2=r2,即|AB|=2. 图① (2)代数法:如图②所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|(直线l的斜率k存在). 图② 2.弦长的最值问题 过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2，最大值＝2r. 知识点3：直线与圆相切 1.切线方程的求法 （1）求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为-,由点斜式方程可求得切线方程.若k=0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y=b或x=a. （2）求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解 设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而切线方程即可求出.但要注意,此时的切线有两条,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可通过数形结合求出. 2.切线长最值问题 直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝. 知识点4：圆上的点到直线的最大、最小距离 1．圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r. 2．直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r. 题型1：直线与圆的位置关系 【例题1】（22-23高二上·北京·期中）轴与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】C 【分析】是以为圆心为半径的圆，根据圆心到轴的距离可判断. 【详解】因为是以为圆心为半径的圆， 圆心到轴为， 所以与轴关系是相离. 故选：C 【变式1】（21-22高二上·安徽芜湖·期中）圆与直线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与k的取值有关 【答案】D 【分析】求出已知直线过的定点，且判断出定点在圆外可得答案. 【详解】直线，即， 令，解得，故直线l经过点. 又，所以点在圆外， 故直线l与圆的交点个数可能为0、1或2，即与k的取值有关. 故选：D 【变式2】（22-23高二上·宁夏银川·阶段练习）直线与圆的位置关系是 . 【答案】相交 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交. 故答案为：相交 【变式3】（21-22高二上·全国·课后作业）判断直线与圆的位置关系．如果有公共点，求出公共点的坐标． 【答案】直线与圆相切； 【分析】用圆心到直线的距离与半径比较得到位置关系,再联解确定公共点坐标得解 【详解】圆心坐标为 ，则圆心到到直线的距离为 所以直线与圆相切， 联解得所以公共点坐标为 题型2：圆的切线问题 【例题2】（22-23高二上·四川内江·期中）一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】求出点关于x轴的对称点为，则反射光线经过，当反射光线所在直线与轴垂直时，不与圆相切，故反射光线所在直线的斜率存在，设为，反射光线所在直线的方程为，利用圆心到切线的距离等于半径可得答案. 【详解】点关于x轴的对称点为，所以反射光线经过， 当反射光线所在直线与轴垂直时，即， 圆到直线的距离为， 因为，所以直线与圆相离，故反射光线所在直线的斜率存在，设为， 则反射光线所在直线的方程为，即， 因为反射光线与圆相切，所以，解得或， 所以反射光线所在直线的方程为，或， 整理得或. 故选：A. 【变式1】（23-24高二上·江苏扬州·期中）求过点且与圆相切的直线方程为 . 【答案】或 【分析】首先判断直线的斜率存在，设设斜率为，则切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为，显然不符合题意， 当直线的斜率存在，设斜率为，则切线方程为，即， 所以，解得或， 所以切线方程为或. 故答案为：或 【变式2】（23-24高二上·上海·期末）已知圆，点 (1)求圆C的圆心C的坐标、及半径大小； (2)求过点A与圆C相切的直线方程. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将圆的一般方程配方即得标准方程，可直接写出圆心和半径； （2）由点在圆上，由直线垂直的性质及直线的点斜式方程即可得解. 【详解】（1）由圆配方得：，则圆C的圆心C的坐标为：,半径为. （2）由题意，点在圆上，且， 所以切线的斜率， 所以过点A与圆C相切的直线方程为，即 【变式3】（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知圆经过两点，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）设圆心为，半径为，由，求出圆心坐标，进而求出半径，得到圆的方程； （2）由，知点在圆上，由可得求出，得到切线方程. 【详解】（1）设圆心为，半径为，由， 得，得， 所以点坐标为，圆半径， 所以圆的标准方程为：. （2）由，知点在圆上， 由且，，知， 所以过的圆切线方程为：. 题型3：直线与圆相交的弦长问题 【例题3】（21-22高二上·吉林长春·期中）圆 被轴所截得的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据圆的弦长公式即可求解. 【详解】的圆心和半径分别为， ， 因此圆被轴所截得的弦长为 ， 故选：D 【变式1】（22-23高二上·山东泰安·期中）已知圆M：内有点，则以点P为中点的圆M的弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆M的标准方程得出圆心和半径，连接PM，作PM的垂线，交圆M于A，B两点，以点P为中点的圆M的弦即为AB，求出直线MP的斜率，利用两直线垂直关系，则可求出直线AB的斜率，用点斜式方程即可求出直线AB. 【详解】由圆M的标准方程，可知圆心，半径， 如图，连接MP，作MP的垂线，交圆M于A，B两点， 以点P为中点的圆M的弦即为AB， ， 所以直线AB的方程为：，整理得， 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线与圆，则直线被圆所截得的弦长为 . 【答案】 【分析】求出圆心到直线的距离，再结合勾股定理可求弦长. 【详解】圆C的圆心坐标为(1,2)，半径为， 圆心到直线的距离为：， 所以直线被圆截得的弦长为：， 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·广东·期末）已知圆，直线l过点． (1)若直线l的斜率为，求直线l被圆C所截得的弦长； (2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由点斜式得方程并化简，直接由圆心到直线的距离结合弦长公式即可求解. （2）分直线斜率是否存在进行讨论，结合直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径列方程即可求解. 【详解】（1）由题意直线l的斜率为，过点，所以它的方程为，即， 圆的圆心坐标、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 所以直线l被圆C所截得的弦长为. （2）若直线l的斜率不存在，此时它的方程为， 圆心到的距离为,即直线l与圆C相切，满足题意； 若直线l的斜率存在，此时设它的方程为， 若直线l与圆C相切，则圆心到的距离为， 解得，所以此时l的方程为，即； 综上所述，满足题意的l的方程为或. 题型4：过定点的直线和圆相交的判定与最短弦长问题 【例题4】（23-24高二上·福建福州·期中）直线与圆相交于两点，则弦长的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】先求出圆心、半径，得出直线的定点.求出圆心到直线的最大距离，即可根据垂径定理，得出答案. 【详解】由已知可得，圆心，半径. 将直线方程化为， 由可得，， 所以直线恒过点，显然点在圆内. 当与直线垂直时，圆心到直线的距离有最大值，最大值为. 由垂径定理可得，，可知此时弦长有最小值， 最小值为. 故选：C. 【变式1】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知圆，直线.当直线被圆截得弦长取得最小值时，直线的方程为 . 【答案】 【分析】先求出直线所过的定点，再根据当直线时，直线l被圆C截得弦长取得最小值，求出直线的斜率，进而可得出答案. 【详解】在直线中，令，解得，即直线过定点， 圆的圆心，半径， 当直线时，直线l被圆C截得弦长取得最小值，直线斜率，此时直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 【变式2】（23-24高二上·江西赣州·期中）已知圆：，直线：. (1)证明：过定点. (2)求被圆截得的最短弦长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将直线整理得，分析求解即可； （2）可知点在圆内，结合圆的性质可知：当直线时，被圆截得的最短弦长，进而可求弦长. 【详解】（1）对于直线：，即， 令，解得， 所以过定点. （2）由题意可知：圆的圆心，半径， 因为，可知点在圆内， 由圆的性质可知：当直线时，被圆截得的最短弦长， 此时被圆截得的弦长为. 【变式3】（20-21高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知圆，直线． （1）求直线过的定点坐标． （2）求直线被圆截得的弦长最短时的方程． 【答案】（1）定点坐标为（3，1）；（2）． 【分析】（1）将直线的方程变形为：，解方程得出定点坐标； （2）由圆的对称性得出当点为直线与圆相交弦的中点时，直线被圆截得的弦长最短，再由斜率公式得出方程. 【详解】（1）将直线的方程变形为： 由，解得 即定点为 （2）由可知，点在圆内部 圆心，则根据圆的对称性可知，当点为直线与圆相交弦的中点时，直线被圆截得的弦长最短 即，即 故直线的方程为，即 【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于利用圆的对称性，推理得出当点为直线与圆相交弦的中点时，直线被圆截得的弦长最短，进而得出方程. 题型5：有限制条件的参数取值问题 【例题5】（23-24高二上·山东淄博·期中）已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知圆的圆心到直线的距离小于或等于2，进而可得. 【详解】由题意可知，由得，圆心为，半径为 因，故根据题意圆的圆心到直线即的距离小于或等于2， 所以得， 即得，可得， 故选：D 【变式1】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形得到，再利用点线距离公式列式，解之即可得解. 【详解】因为的圆心为，半径为， 过点作，垂足为，如图， 由，可得，则， 所以，可得， 因为直线可化为， 所以，可得. 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·四川达州·期中）已知圆，直线若圆上有两个点到直线的距离等于1，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【分析】圆上的点到直线由两个点的距离为1，转化为圆心到直线的距离大于1小于3，求解即可. 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径为2， 因为直线若圆上有两个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线距离为：，， 所以此时b的取值范围是 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·江西吉安·期末）已知为过点，，三点的圆． (1)求圆的方程； (2)若直线：与圆有公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为：，代入，，三点坐标，解方程求出，即可得出答案. （2）直线与圆有交点，即到的距离，求解即可得出答案. 【详解】（1）设圆的方程为：， 代入，，三点坐标可得 解得 ∴圆的方程为： （2）由（1）知， 即圆心，半径为， 由题意可知到：的距离， 解得： 的取值范围为：. 一、单选题 1．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出以点P为端点的半径所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解. 【详解】圆的圆心为，点P在圆上，直线OP的斜率为， 所以所求切线的斜率为，方程为，即. 故选：C 2．（23-24高二上·江西吉安·期末）一条经过点的直线与圆：交于，两点，若，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】当直线的斜率不存在时，不合要求，设直线的方程为，由点到直线距离公式和垂径定理得到方程，求出或，得到直线方程. 【详解】由题意知，，设圆的半径为，则， 当直线的斜率不存在时，即直线方程为，此时圆心到直线距离为， 此时，舍去， 设直线的方程为，即， 点到直线的距离， 又， 故，解得或， 代入得或． 故选：D 3．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先判断直线经过定点，且定点在圆内，要使弦长最短，只需使，计算即得. 【详解】由得，圆心坐标是，半径是 直线：过定点，且在圆内， 当时，直线被圆截得的弦长最短， 由解得. 故选:B. 4．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法化简圆的方程，结合垂径定理与勾股定理，可得答案. 【详解】由，则圆的标准方程为，如下图： 图中，，为圆的圆心，为直线与圆的交点， 易知为所有经过坐标原点的弦中最短弦，. 故选：B. 5．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切 【答案】A 【分析】方法一利用直线过定点，定点代入圆方程判断直线与圆的位置关系；方法二利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系；方法三利用直曲联立，有两个交点时判别式大于零. 【详解】方法一：直线恒过定点，而,所以点在圆内，故直线与圆相交.选A. 方法二：因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交.故选A. 方法三：联立直线方程与圆的方程，消去x并整理，得，则，所以直线与圆相交.故选A. 故选：A. 6．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】求出点到直线的距离即可求解. 【详解】因为圆，所以， 半径，因为点到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系是相离. 故选：C. 7．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，根据四边形面积得到，要想最小，只需最小，求出最小值，进而得到答案. 【详解】的圆心为，半径为2， 圆心到直线的距离为， 故直线与圆相离， 由题意得⊥，⊥，且与全等， 则四边形的面积为， 可得⊥， 四边形的面积为， 故，其中， 故， 要想最小，只需最小， 显然当⊥直线时，最小，最小值为， 此时. 故选：C 8．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知圆：与直线，下列选项正确的是（    ） A．直线与圆相切 B．直线与圆相离 C．直线与圆相交且所截弦长最短为 D．直线与圆相交且所截弦长最短为4 【答案】C 【分析】求出直线经过定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案. 【详解】由题意，圆的圆心，半径， 直线变形得，得直线过定点， ∵，所以点在圆内，∴直线与圆必相交，故A，B错； 由平面几何知识可知，当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值， 此时弦长为，故C对，D错. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知是圆：上一点，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．过点作圆的切线，则切线方程为 D．过点作圆的切线，则切线方程为 【答案】AD 【分析】确定圆心和半径，表示和所在直线的斜率，计算得到A正确B错误，确定点在圆上，计算斜率得到切线方程，得到答案. 【详解】，即，圆心为，， 对选项AB：表示和所在直线的斜率， 如图所示：当直线与圆相切时斜率最大，此时， 故A正确，B错误； 对选项CD：点在圆上，则，故切线斜率为， 切线方程为，即，C错误D正确； 故选：AD. 10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知过点的直线和圆：，则（    ） A．直线与圆相交 B．直线被圆截得最短弦长为 C．直线与被圆截得的弦长为，的方程为 D．不存在这样的直线，使得圆上有3个点到直线的距离为2 【答案】ABD 【分析】判断点与圆的位置关系可得选项A的真假；利用弦长求解方法可得出选项B的真假；利用待定系数法可得出选项C的真假；判断出圆心到直线的最长距离，从而得出选项D的真假. 【详解】解：因为圆：， 所以圆的圆心为，半径为4. 选项A：因为， 所以点在圆内，故直线与圆相交，选项A正确； 选项B：设圆心到直线的距离为，弦长为， 则， 又因为圆心到直线的最长距离， 所以，故选项B正确； 选项C：直线与被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 故，解得， 故直线方程为， 综上满足题意的直线方程为或， 故选项C不正确； 选项D：当直线经过圆心时，圆上到直线的距离为2的点有4个； 当直线不经过圆心时，直线将圆分成优弧与劣弧两个部分， 由于半径为4，在优弧上一定存在两个点到直线的距离为2， 那么此时，在劣弧上有且只有一个点到直线的距离为2. 当圆心到直线的距离为时，此时圆心到直线的距离最大， 又因为半径为4，且， 所以此时劣弧上有两个点到直线的距离为2， 所以不存在 所以选项D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A．直线l恒过定点 B．y轴被圆C截得的弦长为 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 【答案】CD 【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和y轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最长时，直线过圆心从而判断选项D. 【详解】对于A，直线，即， 由，解得，故直线过定点，故A错误； 对于B, 圆，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误； 对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确； 对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得， 故直线方程为：，即，故D正确. 故选：CD 三、填空题 12．（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）若直线：与圆：相交于两点，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心与半径，根据垂径定理列出不等式，求解即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为, 设到直线的距离为，则. 由垂径定理可得， 因为，所以， 即，即， 化简得，解得. 则的取值范围为. 故答案为:. 13．（23-24高二上·广东·阶段练习）从点发出的光线，经轴反射后与圆：相切，则反射光线所在直线的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得点关于轴的对称点为，再由直线与圆的位置关系可得过且与圆相切的直线方程，即可得到结果. 【详解】点关于轴的对称点为， 由题可知反射光线所在的直线斜率存在且小于0， 设过与圆：相切的直线方程为， 由题意得，得， 所以或（舍）， 故反射光线所在直线方程为． 故答案为： 14．（22-23高二上·四川泸州·阶段练习）直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得，进而解不等式即可得答案. 【详解】解：由圆的方程得：圆心，半径 ， 所以，圆心到直线 的距离， 因为直线与圆相交于两点，若， 所以，变形得：，即 ，解得：， 所以，的取值范围是 ． 故答案为:. 四、解答题 15．（23-24高二上·山东日照·期末）已知直线：与垂直，且经过点. (1)求的一般式方程； (2)若与圆：相交于两点，求. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由直线的方程和垂直关系可得的斜率为，由点斜式方程整理可得结果； （2）求出圆心C到直线的距离为，再由圆的弦长公式即可求得. 【详解】（1）由直线：，可得斜率， 因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以直线的方程为， 即. （2）由圆C：，可得圆心，半径， 则圆心C到直线：的距离为， 又由圆的弦长公式可得弦长 16．（23-24高二上·广东广州·期中）已知的圆心为，且过点． (1)求的标准方程； (2)若直线与相切于点，求的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆心坐标和圆上的一个点的坐标求圆的标准方程； （2）利用直线与圆的位置关系求解. 【详解】（1）由题可知，的半径为, 所以的标准方程为. （2）因为直线与相切于点，且, 所以，所以， 由点斜式得，，整理得，. 17．（22-23高二上·四川成都·阶段练习）已知圆C的方程为：； (1)过点作圆的切线，求切线的方程. (2)已知圆C上有2个点到直线：的距离为1，求m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先判断点和圆的位置关系，如果在圆外，分切线的斜率不存在和切线的斜率存在两种情况进行讨论； （2）先求临界位置，即分别求圆上有1个点到的距离为1，圆上有3个点到的距离为1，时m的值，取中间范围即圆上有2个点到的距离为1. 【详解】（1）由题可知圆心， 因为， 所以P在圆外，过圆外一点作圆的切线有2条. ①当k存在时，设切线方程：，即. 则圆心C到的距离d＝，                                      此时切线：                         ②当k不存在时，过点的直线方程为， 圆心到直线的距离为2， 所以直线与圆相切， 此时切线方程：                     综上：切线的方程为：或 （2）圆心到的距离d＝， 当圆上有1个点到的距离为1，则 当圆上有3个点到的距离为1，则, 所以当圆上有2个点到的距离为1，则, 所以,即,此方程无解， 的取值范围为 18．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知圆. (1)若点是圆上的一点，求的取值范围； (2)过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设，由直线与圆有公共点，借助直线与圆的位置关系求解即可； （2）利用圆的弦长公式求出，分类讨论利用点到直线的距离，求出直线的方程即可. 【详解】（1）由圆，可得圆心，半径为. 设，则直线与圆有公共点，所以， 解得，所以的取值范围是. （2）由圆，可得圆心，半径为. 设点到直线的距离为， 因为，所以，解得， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即， 所以点到直线的距离为， 解得，所以直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 19．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知直线：，圆C：. (1)若直线截圆C所得的弦长为，求m的值； (2)已知点，O为坐标原点，若圆C上存在点P，使，求m的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）利用半弦长、半径、圆心到直线的距离满足勾股定理，建立方程求解即可； （2）利用建立不等式，求解即可. 【详解】（1）因为圆C：， 则圆心，半径， 则圆心到直线：的距离 ， 若直线截圆C所得的弦长为， 则， 解得或. （2）圆心在直线上，所以， 所以一定在圆C外，所以， 解得， 故m的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$