专题01 正数与负数重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪科版2024）

专题01 正数和负数重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 正负数的意义 题型二 相反意义的量 题型三 有理数的概念 题型四 有理数的分类 题型五 0的意义 题型六 正负数的应用之温差问题 题型七 正负数的应用之时差问题 题型八 正负数的应用之合理范围问题 题型九 正负数的应用之简单计算问题 题型十 正负数的应用综合大题 知识点一：正数与负数 1. 负数的由来 为了能简明表示一些具有相反意义的量，引入了负数。 2. 正数和负数 正数就是我们小学学过的除零以外的所有数，即大于零的数叫做正数。根据需要有时候在正数前面加上“+”（正） 3. 0既不是正数也不是负数 4.非负数：0和正数统称为非负数；则非正数是指0和负数 知识点二：具有相反意义的量 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 知识点三：有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； 负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 整数和分数统称为有理数。 4） 有理数的两种分类： 【经典例题一 正负数的意义】 【例1】在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果一个物体向右移动米记作，则表示(    ) A．向右移动10米 B．向左移动10米 C．向右移动20米 D．向左移动20米 1．在有理数中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如果小明向东走28米记作米，那么小明向西走50米记作 米． 3．读一读下列各数，并指出哪些是正数，哪些是负数． ． 【经典例题二 相反意义的量】 【例2】在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．上升了6米和后退了7米 B．卖出10斤米和盈利10元 C．收入20元与支出30元 D．向东行30米和向北行30米 1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作(   ) A． B．14 C． D． 2．某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示 ． 3．假期中小明和父母一起到甲、乙两个城市旅游，小明发现两个城市中使用的人民币的新旧程度不同：在甲城市中，面值10元、50元和100元的三种人民币的新旧程度基本相同；在乙城市中，面值10元的人民币比较旧，而面值50元和100元的人民币比较新．你能通过这些信息判断两个城市的发展水平哪个更高吗？ 【经典例题三 有理数的概念】 【例3】在， 5， ，， ，中，有理数有（　　）个 ． A．1 B．2 C．3 D．4 1．下面说法中，不正确的是（   ） A．有最小的正整数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 2．若是最简分数，则a可取的正整数有 ． 3．把下列各数填入相应的大括号里： ，，，，，，，． 整数集： ； 非负整数集： ； 正分数集： ； 【经典例题四 有理数的分类】 【例4】在，，，，中是负分数的有（    ）个 A． B． C． D． 1．下列叙述正确的是（    ） A．不是正数的数一定是负数 B．正有理数包括整数和分数 C．整数不是正整数就是负整数 D．有理数不是整数就是分数． 2．在-1，0，，，，这6个数中，属于负数的有 个． 3．把下列各数填入相应的大括号内：，，，0，，， (1)自然数：{________…}； (2)整数：{________…}； (3)正分数：{________…}； (4)负有理数：{________…}． 【经典例题五 0的意义】 【例5】下列对“0”的说法正确的个数是（　　） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数；⑤0是自然数． A．2 B．3 C．4 D．5 1．下面关于0的说法，说法正确的是（    ） A．0是最小的正数 B．0是最大的负数 C．0既不是正数也不是负数 D．海拔0m就是没有海拔 2． 既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界线． 3．“不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数”的说法对吗？为什么？ 【经典例题六 正负数的应用之温差问题】 【例6】如果温度上升，记作，那么温度下降记作（    ） A． B． C． D． 1．李老师家买了一台冰箱，冰箱冷藏室的温度零上记为，冷冻室的温度零下记为（    ） A． B． C． D． 2．据统计，韶关1月份的历史最低温是零下，用数表示这个温度是 ． 3．2020年12月17日，嫦娥五号返回舱安全着陆，带回了近2公斤的月球样品，首次实现了我国地外天体采样返回．你知道月球表面的温度吗？月球表面的白天平均温度零上126 ℃，记作＋126 ℃，夜间平均温度零下150℃，那么零下150 ℃记作什么？ 【经典例题七 正负数的应用之时差问题】 【例7】某地的国际标准时间是指该地与格林尼治的时差，以下同一时刻4个城市的国际标准时间（“＋”表示当地时间比格林尼治时间早，“－”表示当地时间比格林尼治时间晚）：则这四个城市中最先进入2024年的城市是（    ） 城市 东京 北京 多伦多 纽约 国际标准时间 A．东京 B．北京 C．多伦多 D．纽约 1．新西兰南岛、墨西哥与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）： 当北京 6 月 15 日 23 时，新西兰南岛、墨西哥的 时间分别是（　） 城市 新西兰南岛 墨西哥 时差/时 +3 -14 A．6 月 15 日 20 时；6 月 15 日 9 时 B．6 月 15  日 20 时；6 月 16  日 12 时 C．6 月 16  日 2 时；6 月 15  日 9 时 D．6 月 16  日 2 时；6 月 14  日 9 时 2．埃及与北京的时差为小时（“+”表示同一时刻比北京时间早），当北京时间是2023年10月8日时，埃及时间是 ． 3．下表为同时刻几个城市与伦敦的时差（正数表示当地比伦敦时间早的小时数，负数表示当地比伦敦时间迟的小时数)：      (1)伦敦时间中午12点时，多伦多的当地时间是几点? (2)当北京时间是22点时，组约的当地时间是多少? 【经典例题八 正负数的应用之合理范围问题】 【例8】两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为的零部件，其中范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A． B． C． D． 1．椰树牌椰子汁外包装标明：净含量为表明了这瓶椰子汁的净含量x的范围是（        ） A． B． C． D． 2．生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种食品的说明书上标明保存温度是，请你写出一个适合该食品保存的温度： ． 3．一种商品的标准价格是200元，但随着季节的变化，商品的价格可浮动±10%，想一想． （1）±10%的含义是什么？ （2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格； （3）如果以标准价为标准，超过标准价记“＋”，低于标准价记“－”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 【经典例题九 正负数的应用之简单计算问题】 【例9】中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．成都实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为15次，若在平时训练时小成把18次记为，则应把14次记为（    ） A． B．0 C． D． 1．小红和她的同学共买了袋标准质量为的食品，她们对这袋食品的实际质量进行了检测，检测结果（用正数记超过标注质量的克数，用负数记不足标准质量的克数）如下： 第一袋 第二袋 第三袋 第四袋 第五袋 第六袋 食品质量最接近标准质量的是第几袋，最重的是第几袋．  （   ） A．二，四 B．六，四 C．一，六 D．二，六 2．体育课上全班女生进行了米测试，达标成绩为，下面是某小组8名女生的成绩记录：，，，，，，，，其中“”号表示成绩大于，“”号表示成绩小于，该小组女生的达标率为 3．如图1，一只甲虫在的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负．例如：从A到B记为：；从C到D记为：其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向]． (1)填空：（___，____）；（___，____）； (2)若甲虫的行走路线为：，请计算甲虫走过的路程． (3)若这只甲虫去Q处的行走路线依次为：，请依次在图2上标出点M、N、Q的位置． 【经典例题十 正负数的应用综合大题】 【例10】如图是王叔叔10月11日至15日的微信零钱明细，其中正数表示收款，负数表示付款，王叔叔于10月15日18：59扫二维码付款给超市后的余额为（    ）      A． B． C． D． 1．如果规定收入为正，支出为负，收入375元记作元，那么支出235元应记作（    ） A．-375元 B．-235元 C．235元 D．375元 2．跳绳比赛中以跳160个为标准，多跳或少跳的个数分别用正数与负数表示，如多跳了20个记作“+20”，那么“﹣8”表示 ． 3．某中学开展“阅读之星，书香班级”活动，七（1）班上周星期一至星期五的借书记录如下表，超过册的部分记为正，少于册的部分记为负． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 问：上周星期一至星期五该班一共借书多少册？ 1．若为整数，则整数可取的值有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 3．微信钱包收入200元时在微信账单中显示为，那么支出50元将显示为（    ） A． B． C． D． 4．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入3元记作元，那么支出5元，记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）：当北京10月8日时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） 城市 悉尼 纽约 时差/时 A．10月8日时；10月9日时 B．10月8日时；10月8日时 C．10月8日时；10月9日时 D．10月8日时；10月8日时 6．如果向东走记为，那么向西走记为 ． 7．在“，，，，”这五个数中，负有理数是 ． 8．下列关于零的说法中，正确的是 ①零是正数 ②零是负数 ③零既不是正数，也不是负数 ④零仅表示没有 9．已知下列各数：，，，0，，，6，，其中正数有 ；负数有 ． 10．体育课上全班女生进行百米测验达标成绩为18秒，下面是第一小组8名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标，这个小组女生的达标率是 ． 0 0 11．把下列各数填在相应的大括号内：5，，π，1.4，，． 正数：{ …}； 非负整数：{ …}； 整数：{ …}； 负分数：{ …}． 12．请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外） 13．如图所示的是图纸上一个零件的标注（单位：）．    (1)零件合格的直径尺寸范围是多少? (2)若某零件的直径尺寸为，则这个产品合格吗? 14．某中学七（4）班的同学在体检中测量了自己的身高，并求出了该班同学的平均身高． （1）下表给出了该班5名同学的身高情况（单位：），试完成该表，并求出该班同学的平均身高； 姓名 刘杰 刘涛 李明 张春 刘建 身高 161 ______ ______ 163 156 身高与全班同学平均身高差 0 ______ ______ （2）谁最高？谁最矮？ （3）计算这5名同学的平均身高是多少？ 15．在下表中，给出了国外四个城市与北京的时差 城市 时差/h 悉尼 2 罗马 伦敦 纽约 下面的五个时钟显示了同一天同一时刻国外四个城市时间和北京时间， (1)若北京时间是11月12日上午9点10分，那么伦敦时间为___________； (2)从左到右五个时钟对应的城市分别为：①___________  ②___________  ③___________  ④___________  ⑤___________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 正数和负数重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 正负数的意义 题型二 相反意义的量 题型三 有理数的概念 题型四 有理数的分类 题型五 0的意义 题型六 正负数的应用之温差问题 题型七 正负数的应用之时差问题 题型八 正负数的应用之合理范围问题 题型九 正负数的应用之简单计算问题 题型十 正负数的应用综合大题 知识点一：正数与负数 1. 负数的由来 为了能简明表示一些具有相反意义的量，引入了负数。 2. 正数和负数 正数就是我们小学学过的除零以外的所有数，即大于零的数叫做正数。根据需要有时候在正数前面加上“+”（正） 3. 0既不是正数也不是负数 4.非负数：0和正数统称为非负数；则非正数是指0和负数 知识点二：具有相反意义的量 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 知识点三：有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； 负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 整数和分数统称为有理数。 4） 有理数的两种分类： 【经典例题一 正负数的意义】 【例1】在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果一个物体向右移动米记作，则表示(    ) A．向右移动10米 B．向左移动10米 C．向右移动20米 D．向左移动20米 【答案】D 【分析】直接根据正负数的意义即可求解． 【详解】解：一个物体向右移动米记作，则表示向左移动20米 故选：D． 【点睛】本题考查了正负数在现实生活的应用，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键，在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 1．在有理数中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据小于零的数是负数，可得答案． 【详解】解：在有理数中，是负数的是-2，，-0.7， 故选：C． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握小于零的数是负数． 2．如果小明向东走28米记作米，那么小明向西走50米记作 米． 【答案】 【分析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负；负数用负号 “-”和一个正数标记，正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写． 正数与负数表示意义相反的两种量，把向东走28米，记作米，那么向西走50米，就记作米． 【详解】解：小明向东走28米，记作米，那么向西走50米，可记作米． 故答案为：． 3．读一读下列各数，并指出哪些是正数，哪些是负数． ． 【答案】读法见解析，正数有：5，，；负数有：，，， 【分析】根据正负数的概念判定即可． 【详解】解：5读着正五或五，读着负七分之五，读着负三点五，读着正1又三分之一或1又三分之一，读着负零点零一，读着正二点五或二点五，读着负七佰； 正数有：5，，； 负数有：，，，． 【点睛】本题考查正负数及其读法，熟记正负数的概念是解题的关键． 【经典例题二 相反意义的量】 【例2】在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．上升了6米和后退了7米 B．卖出10斤米和盈利10元 C．收入20元与支出30元 D．向东行30米和向北行30米 【答案】C 【分析】本题考查了对正负数概念的理解，关键明确正负数是表示一对意义相反的量．根据相反意义的量的概念，逐项判断分析即可解题． 【详解】解：A.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； B.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； C.是一对具有相反意义的量，符合题意； D.不是一对具有相反意义的量，不符合题意． 故本题选：C． 1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作(   ) A． B．14 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：零上记作，则零下可记作， 故选：C． 2．某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示 ． 【答案】水面低于标准水位高度为 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量即可解答． 【详解】解：某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示水面低于标准水位高度为． 故答案为：水面低于标准水位高度为． 【点睛】本题主要考查了正数和负数，理解相反意义的量用正数和负数表示是解答本题的关键． 3．假期中小明和父母一起到甲、乙两个城市旅游，小明发现两个城市中使用的人民币的新旧程度不同：在甲城市中，面值10元、50元和100元的三种人民币的新旧程度基本相同；在乙城市中，面值10元的人民币比较旧，而面值50元和100元的人民币比较新．你能通过这些信息判断两个城市的发展水平哪个更高吗？ 【答案】甲城市的发展水平更高 【分析】根据面值10元、50元和100元的三种人民币的新旧程度，可得面值10元、50元和100元的三种人民币的使用程度，依此可得两个城市的发展水平哪个更高． 【详解】解：在甲城市中，面值10元、50元和100元的三种人民币的新旧程度基本相同； 在乙城市中，面值10元的人民币比较旧，而面值50元和100元的人民币比较新； 在甲城市中，面值50元和100元的三种人民币的使用程度多， 甲城市的发展水平更高． 【点睛】考查了数学常识，关键是理解面值10元、50元和100元的三种人民币的使用程度． 【经典例题三 有理数的概念】 【例3】在， 5， ，， ，中，有理数有（　　）个 ． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的判断，掌握有理数的概念是解题的关键． 根据有理数的概念判断即可解答，整数和分数统称有理数，无限不循环小数不是有理数． 【详解】解：，5，，是有理数，共4个． 故选：D． 1．下面说法中，不正确的是（   ） A．有最小的正整数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 【答案】C 【分析】自然数是大于等于0的整数，0是最小的自然数A正确；没有最小的正有理数，故B正确；-1是最大的负整数，故C不正确；无最大非负数，D正确． 【详解】解：A、1是最小的正整数，故本选项正确，不符合题意； B、没有最小的正有理数，故本选项正确，不符合题意； C、-1是最大的负整数，所以有最大的负整数，故本选项错误，符合题意； D、没有最大非负数，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，属于基础题． 2．若是最简分数，则a可取的正整数有 ． 【答案】1、3、5、7 【分析】根据最简分数的意义，分子、分母互质来求解，还要考虑是真分数，即分子比分母小．即可得解． 【详解】解：若是真分数，则a可取的正整数有：1、2、3、4、5、6、7； 其中2、4、6和8不互质，能约分，即＝，＝，＝，约分后分母不再是8； 所以a可取的正整数只有1、3、5、7． 故答案为：1、3、5、7． 【点睛】此题考查了有理数，关键是熟练掌握最简真分数的意义． 3．把下列各数填入相应的大括号里： ，，，，，，，． 整数集： ； 非负整数集： ； 正分数集： ； 【答案】，，，；，，，；， ； 【分析】分别根据整数、非负整数、正分数的定义得出即可． 【详解】解：整数集：，，，； 非负整数集：，，，； 正分数集：， ； 故答案为：，，，；，，，；，. 【点睛】此题主要考查了有理数的有关定义，熟练掌握相关的定义是解题关键． 【经典例题四 有理数的分类】 【例4】在，，，，中是负分数的有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据负分数的定义进行判断即可求解． 【详解】解：在，，，，中是负分数的有：，，一共有两个， 故选：． 【点睛】本题考查了有理数的分类和定义，熟练掌握正数和分数统称为有理数，有理数的分类可以按整数、分数的关系分类，按正数、负数与的关系分类是解答本题的关键． 1．下列叙述正确的是（    ） A．不是正数的数一定是负数 B．正有理数包括整数和分数 C．整数不是正整数就是负整数 D．有理数不是整数就是分数． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类、整数．根据有理数的分类和整数逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是正数的数可能是负数，也可能是0，则此项错误，不符合题意； B、正有理数包括正整数和正分数，则此项错误，不符合题意； C、整数包含正整数、0和负整数，则此项错误，不符合题意； D、有理数不是整数就是分数，则此项正确，符合题意； 故选：D． 2．在-1，0，，，，这6个数中，属于负数的有 个． 【答案】3 【分析】根据负数的定义进行判断即可． 【详解】解：是负数， 0既不是正数也不是负数， ，是正数， 故答案为：3． 【点睛】本题考查有理数的分类，熟练掌握负数的定义是解本题的关键． 3．把下列各数填入相应的大括号内：，，，0，，， (1)自然数：{________…}； (2)整数：{________…}； (3)正分数：{________…}； (4)负有理数：{________…}． 【答案】(1)， (2)，， (3)， (4)，， 【分析】根据自然数、整数、正分数、负有理数的定义即可得到结果． 【详解】（1）解：自然数有：，； 故答案为：，； （2）解：整数有：，，； 故答案为：，，； （3）解：正分数有：，； 故答案为：，； （4）解：负有理数有：，，； 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握自然数、整数、正分数、负有理数的定义是解题的关键． 【经典例题五 0的意义】 【例5】下列对“0”的说法正确的个数是（　　） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数；⑤0是自然数． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正、负数的分界点，故①正确； ②0除了表示“什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误， ③可以表示特定的意义，如，故④正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误； ⑤0是自然数，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤，共3个， 故选：B． 1．下面关于0的说法，说法正确的是（    ） A．0是最小的正数 B．0是最大的负数 C．0既不是正数也不是负数 D．海拔0m就是没有海拔 【答案】C 【分析】0既不是正数也不是负数，正确认识海拔0m的意义即可． 【详解】A、0是最小的正数，错误，0既不是正数也不是负数，故本选项不符合题意； B、0是最大的负数，错误，0既不是正数也不是负数，故本选项不符合题意； C、0既不是正数也不是负数，故本选项符合题意； D、海拔0m就是没有海拔，错误，海拔0m就是与海平面高度相同，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查0的意义及其应用，明确海拔0m是与海平面高度相同，0是正负数的分界是解题的关键． 2． 既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界线． 【答案】0 【分析】本题主要考查有理数的分类，属于基础知识．根据有理数的分类可求解． 【详解】解：0既不是正数，也不是负数． 故答案为：0． 3．“不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数”的说法对吗？为什么？ 【答案】不对，因为0既不是正数也不是负数． 【分析】举反例进行说明即可． 【详解】不对．因为0既不是正数也不是负数． 【点睛】本题主要考查了0的意义，掌握“0既不是正数也不是负数”是解题的关键． 【经典例题六 正负数的应用之温差问题】 【例6】如果温度上升，记作，那么温度下降记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正负数的定义，根据正负数的意义即可求解． 【详解】解：∵温度上升，记作， ∴温度下降记作． 故选：A． 1．李老师家买了一台冰箱，冰箱冷藏室的温度零上记为，冷冻室的温度零下记为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正负数的意义，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：冰箱冷藏室的温度零上记为， 则冷冻室的温度零下，记作， 故选：A． 2．据统计，韶关1月份的历史最低温是零下，用数表示这个温度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的实际应用，用正数表示零上摄氏度，用负数表示零下摄氏度，据此作答即可． 【详解】韶关1月份的历史最低温是零下，用数表示这个温度是， 故答案为：． 3．2020年12月17日，嫦娥五号返回舱安全着陆，带回了近2公斤的月球样品，首次实现了我国地外天体采样返回．你知道月球表面的温度吗？月球表面的白天平均温度零上126 ℃，记作＋126 ℃，夜间平均温度零下150℃，那么零下150 ℃记作什么？ 【答案】零下150 ℃记作－150℃ 【解析】略 【经典例题七 正负数的应用之时差问题】 【例7】某地的国际标准时间是指该地与格林尼治的时差，以下同一时刻4个城市的国际标准时间（“＋”表示当地时间比格林尼治时间早，“－”表示当地时间比格林尼治时间晚）：则这四个城市中最先进入2024年的城市是（    ） 城市 东京 北京 多伦多 纽约 国际标准时间 A．东京 B．北京 C．多伦多 D．纽约 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减计算方法，以及正负数的意义，根据正负数的意义即可解决，搞清正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：根据正负数的意义，“”表示当地时间比格林尼治时间早，“”表示当地时间比格林尼治时间晚， ， 这四个城市中最先进入2024年的城市是东京， 故选：A． 1．新西兰南岛、墨西哥与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）： 当北京 6 月 15 日 23 时，新西兰南岛、墨西哥的 时间分别是（　） 城市 新西兰南岛 墨西哥 时差/时 +3 -14 A．6 月 15 日 20 时；6 月 15 日 9 时 B．6 月 15  日 20 时；6 月 16  日 12 时 C．6 月 16  日 2 时；6 月 15  日 9 时 D．6 月 16  日 2 时；6 月 14  日 9 时 【答案】C 【分析】根据题意按正负数的加减法计算即可． 【详解】解：新西兰南岛同一时刻比北京时间早3个小时，即6月15日23时加3小时为6月16日2时； 墨西哥同一时刻比北京时间晚14个小时，即6月15日23时减14小时为6月15日9时； 故选：C． 【点睛】本题考查的是正数和负数的意义，正确理解表中正数和负数的意义是解题的关键． 2．埃及与北京的时差为小时（“+”表示同一时刻比北京时间早），当北京时间是2023年10月8日时，埃及时间是 ． 【答案】10月8日7时 【分析】由题意得出：埃及比北京时间要晚6个小时，也就是10月8日7时 【详解】解：∵， ∴埃及时间是：10月8日7时 故答案为：10月8日7时 【点睛】本题考查了正数和负数，解决本题的关键是根据图表得出正确信息，再结合题意计算 3．下表为同时刻几个城市与伦敦的时差（正数表示当地比伦敦时间早的小时数，负数表示当地比伦敦时间迟的小时数)：      (1)伦敦时间中午12点时，多伦多的当地时间是几点? (2)当北京时间是22点时，组约的当地时间是多少? 【答案】（1）8；（2）9 【分析】（1）多伦多的时间比伦敦时间少4小时，计算即可； （2）北京时间比纽约时间多13小时，计算即可． 【详解】解：（1）（时） ∴伦敦时间中午12点时，多伦多的当地时间是8点； （2）（时） ∴当北京时间是22点时，组约的当地时间是9点． 【点睛】本题考查的知识点是正数和负数，属于基础题目，解题的关键是正确找出两地间的时间差． 【经典例题八 正负数的应用之合理范围问题】 【例8】两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为的零部件，其中范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正数和负数，根据正数和负数的实际意义求得合格尺寸的范围，然后进行判断即可，结合已知条件求得合格尺寸的范围是解题的关键． 【详解】解：由题意可得合格尺寸的范围为，不在尺寸范围内， 故选：D． 1．椰树牌椰子汁外包装标明：净含量为表明了这瓶椰子汁的净含量x的范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正负数的意义可得答案． 【详解】解：，， 所以净含量为表明了这瓶椰子汁的净含量x的范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了正负数的实际意义，正确理解的含义是解题的关键．． 2．生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种食品的说明书上标明保存温度是，请你写出一个适合该食品保存的温度： ． 【答案】25（答案不唯一）． 【分析】本题考查了正负数的意义，根据给出的范围写出符合题的温度即可． 【详解】因为某种食品的说明书上标明保存温度是， 所以适合该食品保存的温度可以是， 故答案为：25（答案不唯一）． 3．一种商品的标准价格是200元，但随着季节的变化，商品的价格可浮动±10%，想一想． （1）±10%的含义是什么？ （2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格； （3）如果以标准价为标准，超过标准价记“＋”，低于标准价记“－”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 【答案】（1）+10%表示比标准高10%，-10%表示比标准价低10%；（2）最高价格220元，最低价格180元；（3）+20～-20． 【分析】(1)“+”表示高,“-”表示底. (2)根据浮动标准,可计算出最高价格和最低价格; (3)求出10%,所代表的价格,然后即可表示出价格的浮动范围. 【详解】（1）+10%表示比标准高10%，-10%表示比标准价低10%； （2）最高价格200（1+10%）=220（元），最低价格200（1-10%）=180（元）； （3）∵200×10%=20元，200×（-10%）=-20元， ∴该商品价格的浮动范围是：+20～-20． 【点睛】本题考查了正数和负数的知识,“±”在实际问题中表示浮动,或高于或低于的意思. 【经典例题九 正负数的应用之简单计算问题】 【例9】中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．成都实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为15次，若在平时训练时小成把18次记为，则应把14次记为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了运用正数和负数表示两个相反意义的量．正确理解正、负数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为15次，若在平时训练时小成把18次记为， ∴应把14次记为， 故选：A． 1．小红和她的同学共买了袋标准质量为的食品，她们对这袋食品的实际质量进行了检测，检测结果（用正数记超过标注质量的克数，用负数记不足标准质量的克数）如下： 第一袋 第二袋 第三袋 第四袋 第五袋 第六袋 食品质量最接近标准质量的是第几袋，最重的是第几袋．  （   ） A．二，四 B．六，四 C．一，六 D．二，六 【答案】A 【分析】求出各袋高于或低于标准质量的绝对值，根据绝对值的大小做出判断，绝对值最小的最接近标准，超出标准最多的就是最重的． 【详解】解：∵|+10|＜|+15|＜|-20|＜|-25|＜|+30|＜|-40|， ∴第2袋最接近标准质量． ∵-40＜-25＜-20＜+10＜+15＜+30 ∴第四袋最重， 故选：A． 【点睛】考查正数、负数的意义以及有理数大小比较，理解绝对值的意义是正确判断的前提． 2．体育课上全班女生进行了米测试，达标成绩为，下面是某小组8名女生的成绩记录：，，，，，，，，其中“”号表示成绩大于，“”号表示成绩小于，该小组女生的达标率为 【答案】 【分析】根据正负数的意义可得达标的有人，然后计算即可． 【详解】解：由题意得：：，，，，，，，中，小于等于0的有6个，即达标的有6人， 则这个小组的达标率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义得出达标的人数是解题的关键． 3．如图1，一只甲虫在的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负．例如：从A到B记为：；从C到D记为：其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向]． (1)填空：（___，____）；（___，____）； (2)若甲虫的行走路线为：，请计算甲虫走过的路程． (3)若这只甲虫去Q处的行走路线依次为：，请依次在图2上标出点M、N、Q的位置． 【答案】(1) (2)16 (3)见解析 【分析】（1）根据规定结合图形写出即可； （2）根据甲虫的运动路线列式计算即可得解； （3）根据运动路线标注解答即可； 【详解】（1）根据题意得出：； 故答案为：． （2）∵甲虫的行走路线为：， ∴甲虫走过的路程为：； （3）如图2所示： 【点睛】本题考查了正数和负数，读懂题目信息，理解正负数的意义以及写法的规定是解题的关键． 【经典例题十 正负数的应用综合大题】 【例10】如图是王叔叔10月11日至15日的微信零钱明细，其中正数表示收款，负数表示付款，王叔叔于10月15日18：59扫二维码付款给超市后的余额为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“正数表示收款，负数表示付款”，列式计算即可求解． 【详解】解：（元）， 即10月15日18：59扫二维码付款给超市后的余额为元． 故选：A． 【点睛】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示． 1．如果规定收入为正，支出为负，收入375元记作元，那么支出235元应记作（    ） A．-375元 B．-235元 C．235元 D．375元 【答案】B 【分析】根据收入为正，支出为负，收入375元记作元，可直接得到支出235元记作． 【详解】解：∵收入375元记作 元， ∴支出235元应记元， 故选：B． 【点睛】此题考查正数和负数，解题关键在于明确题中“正”和“负”所表示的意义． 2．跳绳比赛中以跳160个为标准，多跳或少跳的个数分别用正数与负数表示，如多跳了20个记作“+20”，那么“﹣8”表示 ． 【答案】少跳了8个 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案． 【详解】解：跳绳比赛中以跳160个为标准，多跳或少跳的个数分别用正数与负数表示，如多跳了20个记作“+20”，那么“﹣8”表示少跳了8个， 故答案为少跳了8个． 【点睛】本题考查了正数和负数，理解相反意义的量是解题关键． 3．某中学开展“阅读之星，书香班级”活动，七（1）班上周星期一至星期五的借书记录如下表，超过册的部分记为正，少于册的部分记为负． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 问：上周星期一至星期五该班一共借书多少册？ 【答案】上周星期一至星期五该班一共借书册； 【分析】本题考查正负数意义的应用，用乘以天数加上各天的正负数即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 答：上周星期一至星期五该班一共借书册． 1．若为整数，则整数可取的值有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整数的定义，理解整数的定义是解题的关键． 分别用列举法确定为整数的的值，然后取公共部分即可解答． 【详解】解：∵为整数时， ∴可取； ∵为整数时， ∴可取， ∴当为整数时，可取值为共两个． 故选C． 2．下列实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据有理数的意义逐项判断即可．掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键．注意π是无理数． 【详解】解：实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中有理数为：、、，共3个. 故选C. 3．微信钱包收入200元时在微信账单中显示为，那么支出50元将显示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，根据在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，即可解题． 【详解】解：收入200元显示为， 支出50元将显示为， 故选：B． 4．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入3元记作元，那么支出5元，记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】此题主要考查了正数和负数的意义，根据正负数的意义即可得出答案，理解正数和负数是具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵收入3元记作元， ∴支出5元，记作元， 故选：A． 5．纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）：当北京10月8日时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） 城市 悉尼 纽约 时差/时 A．10月8日时；10月9日时 B．10月8日时；10月8日时 C．10月8日时；10月9日时 D．10月8日时；10月8日时 【答案】B 【分析】由统计表得出：悉尼时间比北京时间早2小时，也就是10月8日17时．纽约比北京时间要晚13个小时，也就是10月8日2时． 【详解】解：悉尼的时间是：10月8日15时+2小时=10月8日17时， 纽约时间是：10月8日15时-13小时=10月8日2时． 故选：B． 【点睛】本题考查了正数和负数．解决本题的关键是根据图表得出正确信息，再结合题意计算． 6．如果向东走记为，那么向西走记为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：如果向东走记为，那么向西走记为， 故答案为：． 7．在“，，，，”这五个数中，负有理数是 ． 【答案】，， 【分析】本题考查负有理数的知识点，负有理数是指小于零的有理数，包括负整数和负分数，根据负有理数的概念逐个判断即可． 【详解】解：负有理数是，，． 故答案为：，，． 8．下列关于零的说法中，正确的是 ①零是正数 ②零是负数 ③零既不是正数，也不是负数 ④零仅表示没有 【答案】③ 【分析】根据零既不是正数也不是负数以及不同情形下零表示的意义不同进行逐一判断即可． 【详解】解：①零不是正数，说法错误； ②零不是负数，说法错误； ③零既不是正数，也不是负数，说法正确； ④零不仅仅表示没有，不同情形下，零表示的意义不同，说法错误； 故答案为：③． 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知零表示的意义是解题的关键． 9．已知下列各数：，，，0，，，6，，其中正数有 ；负数有 ． 【答案】 ，，6， ，， 【分析】本题主要考查正数与负数，属于基础题． 根据正数与负数的特征可判定求解． 【详解】解：在，，，0，，，6，中， 正数，，6，；负数有，，． 故答案为：，，6，，，， 10．体育课上全班女生进行百米测验达标成绩为18秒，下面是第一小组8名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标，这个小组女生的达标率是 ． 0 0 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数．成绩记录中“”表示成绩大于18秒，“”表示成绩小于18秒，由于达标成绩为18秒，0和负数表示成绩为达标．则记录中的数不大于0则表示成绩达标．故应该有6人达标，从而求出达标率． 【详解】解：“正”和“负”相对，从表格中我们会发现，这8个人中有6人是达标的， 这个小组女生的达标率是． 故答案为：． 11．把下列各数填在相应的大括号内：5，，π，1.4，，． 正数：{ …}； 非负整数：{ …}； 整数：{ …}； 负分数：{ …}． 【答案】见解析 【分析】分别根据正数、非负整数、整数以及负分数的定义解答即可． 【详解】解：正数：{5，π，1.4…}； 非负整数：{5…}； 整数：{5，…}； 负分数：{，…}． 故答案为：5，π，1.4； 5； 5，； ，． 【点睛】本题考查有理数的分类，正数与负数，掌握相关概念是解题的关键． 12．请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外） 【答案】见解析 【分析】根据题意可以写出零的数学特性，本题得以解决． 【详解】解：①零既不是正数也不是负数； ②零小于正数，大于负数； ③零不能做分母； ④零是最小的非负数； ⑤零的相反数是零; ⑥任何不为零的数的零次幂为1； ⑦零乘以任何数都是零等． 【点睛】本题考查有理数，解题的关键是明确题意，可以仿照例句写出关于零的别的数学特性． 13．如图所示的是图纸上一个零件的标注（单位：）．    (1)零件合格的直径尺寸范围是多少? (2)若某零件的直径尺寸为，则这个产品合格吗? 【答案】(1)零件的直径 (2)不合格 【分析】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键． （1）根据题意即比标准直径多；即比标准直径少，即可得出合格范围； （2）判断是否在这个范围即可． 【详解】（1）解：因为， ， 所以零件的直径的合格范围是零件的直径； （2）解：因为不在该范围之内， 所以这个产品不合格． 14．某中学七（4）班的同学在体检中测量了自己的身高，并求出了该班同学的平均身高． （1）下表给出了该班5名同学的身高情况（单位：），试完成该表，并求出该班同学的平均身高； 姓名 刘杰 刘涛 李明 张春 刘建 身高 161 ______ ______ 163 156 身高与全班同学平均身高差 0 ______ ______ （2）谁最高？谁最矮？ （3）计算这5名同学的平均身高是多少？ 【答案】（1）；平均身高为；（2），张春最高，刘建最矮；（3） 【分析】（1）根据刘杰的身高及其身高与全班平均身高的差可求出全班的平均身高， （2）根据（1）所求的全班的平均身高可以完成表格； （3）根据平均数的定义可得出这5名同学的平均身高． 【详解】解：（1）该班同学的平均身高为， 从左到右，依次填入表格的是157,158，+5，﹣2，如图所示： 姓名 刘杰 刘涛 李明 张春 刘建 身高 161 157 158 163 156 身高与全班同学平均身高差 0 +5 ﹣2 （2）由题（1）表可知，张春最高，刘建最矮； （3）， 答：这5名同学的平均身高为159厘米． 【点睛】本题考查平均数的知识，难度适中，关键在于准确理解身高及其与全班的平均身高差求出全班的平均身高． 15．在下表中，给出了国外四个城市与北京的时差 城市 时差/h 悉尼 2 罗马 伦敦 纽约 下面的五个时钟显示了同一天同一时刻国外四个城市时间和北京时间， (1)若北京时间是11月12日上午9点10分，那么伦敦时间为___________； (2)从左到右五个时钟对应的城市分别为：①___________  ②___________  ③___________  ④___________  ⑤___________． 【答案】(1)11月12日凌晨1点10分 (2)悉尼，北京，纽约，伦敦，罗马 【分析】（1）根据伦敦与北京的时差，确定出伦敦时间即可； （2）根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】（1）解：由伦敦与北京的时差为， ∴北京时间是11月12日上午9点10分，此时伦敦时间为11月12日凌晨1点10分． 故答案为：11月12日凌晨1点10分． （2）解：由第一个时钟与第二个时钟相差2个小时， 所以第一个时钟表示的是悉尼时间，第二个时钟表示的北京时间， 结合表格信息可得：第三个时钟与北京时间相比，早13个小时，所以是纽约时间， 第四个时钟与北京时间相比，早8个小时，所以是伦敦时间， 第五个时钟与北京时间相比，早7个小时，所以是罗马时间， 所以五个城市依次为：悉尼，北京，纽约，伦敦，罗马． 故答案为：悉尼，北京，纽约，伦敦，罗马． 【点睛】本题考查了正数与负数的含义，弄清各城市与北京的时差是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$