精品解析：吉林省长春市长春净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学2024-2025学年九年级上学期月考数学综合练习（三）

东北师大附中初三上学期数学综合练习（三） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．据此逐项判断即可． 【详解】解：A.，是正比例函数，不符合题意； B.，不符合二次函数的定义，不是二次函数； C.，是一次函数，不符合题意； D.，是二次函数，符合题意； 故选：D． 2. 在中，如果各边长度都扩大倍，那么锐角的正切值（ ） A. 不变化 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正切值为对边和邻边的比值． 一个角的锐角三角函数值只和角的大小有关，与角的边的长短无关． 【详解】∵锐角的正切值为对边和邻边的比值， ∴各边长度都扩大倍，锐角的正切值不变. 故选A. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt△ABC中， ， ，， . 3. 在中，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是互余两角三角函数的关系，解题的关键是熟练的掌握互余两角三角函数的关系，根据互余两角三角函数关系直接解决即可． 【详解】解：如图，在中，，若， ∴， 故答案选：B． 4. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A,D可能正确，B,C不符合舍去，然后对A,D选项，根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【详解】解：由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A,D符合，B,C不符合舍去， A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，再根据>0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，所以A选项正确； D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，再根据<0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系． 5. 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝，你认为△ABC最确切的判断是（　　） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：∵△ABC中，tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形． 故选B． 考点：特殊角的三角函数值． 6. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵抛物线上的点离对称轴较远，离对称轴较近， ∴， 故选：B． 7. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，AB是杠杆，米，．当点A位于最高点时，．此时，点A到地面的距离为（ ） A. 米 B. 5米 C. 6米 D. 7米 【答案】B 【解析】 【分析】过O作，过A作于G，求出，进而求出，即可求解． 【详解】过O作，过A作于G， ∵米，， ∴米， ∵，， ∴， 在中， (米)， 点A位于最高点时到地面的距离为(米)， 答：点A到地面的距离为5米； 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是根据题目条件，构造直角三角形． 8. 对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小．其中结论正确为（ ） A. ①②④ B. ②④⑤ C. ①④⑤ D. ②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键． 【详解】解：①∵抛物线与x轴有两个交点， ， ，故①不符合题意； ②由图象可知：，， ， ， ，故②正确，符合题意； ③当时，， ∴，故③符合题意； ④当时，，故④不符合题意； ⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 将抛物线沿轴向上平移2个单位得到的抛物线的函数表达式________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移规律，掌握其平移规律是解题的关键．根据二次函数图象平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”即可求解． 【详解】根据题意得，平移后的解析式为：； 故答案为：． 10. 已知二次函数的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题．熟练掌握抛物线与x轴交点个数与根判别式的关系，是解题的关键．抛物线与x轴交点个数与根判别式的关系：抛物线与x轴有一个交点；抛物线与x轴有两个交点；抛物线与x轴有没有交点． 根据抛物线与x轴有一个交点，根的判别式等于0的性质解答即可． 【详解】二次函数的图象的顶点在x轴上， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 直角坐标系内，如果函数的图象经过点，那么__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的值，求反比例函数解析式，得到，代入函数解析式即可解答，熟练计算三角函数的值shi2解题的关键． 【详解】解：， ， 代入函数可得， 解得， 故答案为：． 12. 已知二次函数，当时，y的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，将二次函数解析式化为顶点式，得出当时，二次函数由最小值为，结合得出当时，取最大值，即可得解． 【详解】解：∵， ∴二次函数对称轴为直线，开口向上， ∴当时，二次函数由最小值为， ∵， ∴当时，取最大值为：， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 13. 将正方形和正方形按如图所示方式放置，点和点在直线上，点和点在轴上，若平移直线至经过点，则直线向下平移的距离为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，一次函数图像上点的坐标特征，一次函数图像平移问题，正方形的性质等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． 先求出点的坐标为，从而求出点的坐标为，得到，再由四边形为正方形，点在x轴上，得到，进而得到点坐标，再得到平移后的函数表达式，由此即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为正方形，点， ∴． ∴点的坐标为 又∵四边形为正方形 ∴点的横坐标为1， ∵点在直线上， ∴点的坐标为， ∴． 又∵四边形为正方形，点，在轴上， ∴， ∴ ∴ 设直线经过向下平移个单位到点，设平移后的函数表达式为 ∴ 得到 故答案为：2 ． 14. 如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．根据，可得，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ，故②正确；故③错误； ∵， ∴故④正确； 故答案为①②④． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查配方法和公式法解一元二次方程． （1）两边同时加上4配方成完全平方，继而得到答案； （2）先移项，再利用公式法解出方程即可． 【小问1详解】 解：， 配方得：， ， 直接开方得：或， 即：或； 【小问2详解】 解：， 移项得：， ， ， ∴， 即：或． 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）代入特殊角的三角函数值进行计算即可； （）代入特殊角的三角函数值进行计算即可； 本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 在中，，点E、F分别是，的中点，延长到点D，使连接，、，，与交于点O． （1）求证：与互相平分； （2）若，．请直接写出的长为_____． 【答案】（1） 证明：∵点E、F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形中位线定理得出，，证明四边形是平行四边形，即可得证； （2）由勾股定理求出，结合（1）得出，，再由勾股定理求出的长，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴， 由（1）可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中边上找到一点D，连接，使； （2）在图②中边上找到一点E，连接，使； （3）在图③中边上找到一点F，连接，使． 【答案】（1） 如图①中，点D即为所求； （2） 如图②中，点E即为所求； （3） 如图③中，点F即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查作图应用与设计作图，解直角三角形，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用． （1）取的中点，连接即可； （2）延长交于格点，取格点，连接与交于点，连接即可； （3）取格点，作射线交于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图①中，点D即为所求； ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图②中，点E即为所求； ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 根据（1）得：， ∴． 【小问3详解】 解：如图③中，点F即为所求． ． 19. 某临街店铺在窗户上方安装如图①所示的遮阳棚，其侧面如图②所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚与墙面的夹角.，求遮阳棚前端到墙面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】遮阳棚前端到墙面的距离为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作于E，在中，根据列式计算是解题的关键． 【详解】过点作于点，则． 在中，，，， ∴． ∴遮阳棚前端到墙面的距离为． 20. 二次函数的图象经过三点． （1）求二次函数的解析式； （2）求此函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴； （3）已知点在此抛物线上，求的值． 【答案】（1）； （2）开口方向向上，顶点坐标，对称轴； （3）或． 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的对称轴公式及顶点坐标公式，公式解一元二次方程的知识． （1）利用待定系数法可得答案； （2）根据的正负判断图象开口方向，利用配方法求得顶点式可得答案； （3）将点代入解析式中，利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入到中，得： ，解得： ∴； 【小问2详解】 解：∵，且， ∴开口方向：向上， 顶点坐标： 对称轴：， 综上：开口方向向上，顶点坐标：，对称轴：； 【小问3详解】 解：将点代入中， 得，整理得， 解得或． 21. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围住（如图）．若设绿化带的边长为，绿化带的面积为， （1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大为多少？ 【答案】（1） （2）当时，满足条件的绿化带面积最大，最大值为200平方米 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质． （1）由矩形的性质结合的长度可得出的长度，再根据矩形的面积公式即可找出y与x之间的函数关系式以及的取值范围． （2）把（1）的函数关系式用配方法化简求得的最大值即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 因为墙长25米，故自变量的取值范围是； 【小问2详解】 解：， ， ∴当时，有最大值200平方米， 即当时，满足条件的绿化带面积最大，最大值为200平方米． 22. 在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变换的同时，始终存在一对全等三角形，通过资料查询，他们知道这种模型称为手拉手模型.如图1，两个等腰直角三角形和，，这个就是手拉手模型，在这个模型中易得到． 学习小组继续探究： （1）如图2，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接、，求证：； （2）小刚同学发现，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如：在中，，将三角形旋转一定的角度（如图3），连接和，求证：； （3）如图4，四边形中，，，，，，请在图中构造小刚发现的手拉手模型求的长． 【答案】 （1）和都是等边三角形 ，即 在和中， ； （2） ，即 由旋转的性质可得，，且线段AD、AE的长均不变，则旋转后，仍满足 ，即 在和中， ； （3）的长为． 【解析】 【分析】（1）先根据等边三角形的性质、角的和差可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）先根据平行线分线段成比例定理推出可得两组对边对应成比例，再根据角的和差可得其夹角相等，然后根据相似三角形的判定定理即可得证； （3）如图，过点B作BC的垂线，交CD的延长线于点E，连接AE，先根据相似三角形的判定定理可得，从而根据相似三角形的性质可得BE的长，再根据勾股定理可得CE的长，同理可得AE的长及，从而可得是直角三角形，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）略． （2）略． （3）如图，过点B作BC的垂线，交CD的延长线于点E，连接AE 在和中， ，即 则在中， 又 在和中， 则在中， 故的长为． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造小刚发现的手拉手模型（即相似三角形）是解题关键． 23. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段的中点，过点P向上作，且，以、为边作矩形．设点P的运动时间为秒． （1）线段的长为______（用含t的代数式表示）； （2）当点N恰好落在边上时，求t的值； （3）当点N在内部时，设矩形与重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （4）当点M恰好落在的角平分线上时，直接写出t的值． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）满足条件的t的值为或 【解析】 【分析】（1）根据路程，速度，时间的关系以及已知条件解决问题即可； （2）证明，得出比例式求解即可． （3）分两种情形：如图中， 当时，重叠部分是矩，如图中，当时，重叠部分是五边形，分别求解即可； （4）分2种情形：如图中，当点M落在的角平分线上时，满足条件，作 于E，如图中，当点M落在的角平分线上时，满足条件作于F，分别求解即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题意可知，，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，当点N落在上时， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ， 解得：； 【小问3详解】 解：如图，当在内部，重叠部分是矩形， ∴， 当点刚好在上时，为最大值，此时， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 如图中，当与交于点，与交于点，重叠部分是矩形五边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 由（2）知，当点在上时，， ∴当时， ， 综上所述，； 【小问4详解】 解：如图中，当点M落在的角平分线上时，满足条件作于E， ，，， ， ，， 设， ，，， ， ， 在中，则有， 解得：， ， ， ， ， 如图中，当点M落在的角平分线上时，满足条件作于F，则， ，，， ∴， ， 设， 在中，则有， 解得：， ， ， ， 解得：， 综上所述，满足条件的t的值为或 【点睛】本题考查了矩形的性质，多边形的面积，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师大附中初三上学期数学综合练习（三） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，如果各边长度都扩大倍，那么锐角的正切值（ ） A. 不变化 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 不能确定 3. 在中，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝，你认为△ABC最确切的判断是（　　） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 6. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，AB是杠杆，米，．当点A位于最高点时，．此时，点A到地面的距离为（ ） A. 米 B. 5米 C. 6米 D. 7米 8. 对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小．其中结论正确为（ ） A. ①②④ B. ②④⑤ C. ①④⑤ D. ②③⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 将抛物线沿轴向上平移2个单位得到的抛物线的函数表达式________． 10. 已知二次函数的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是______． 11. 直角坐标系内，如果函数的图象经过点，那么__________． 12. 已知二次函数，当时，y的取值范围是_____． 13. 将正方形和正方形按如图所示方式放置，点和点在直线上，点和点在轴上，若平移直线至经过点，则直线向下平移的距离为_____． 14. 如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有_______． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 计算 （1）； （2）． 17. 在中，，点E、F分别是，的中点，延长到点D，使连接，、，，与交于点O． （1）求证：与互相平分； （2）若，．请直接写出的长为_____． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中边上找到一点D，连接，使； （2）在图②中边上找到一点E，连接，使； （3）在图③中边上找到一点F，连接，使． 19. 某临街店铺在窗户上方安装如图①所示的遮阳棚，其侧面如图②所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚与墙面的夹角.，求遮阳棚前端到墙面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 20. 二次函数的图象经过三点． （1）求二次函数的解析式； （2）求此函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴； （3）已知点在此抛物线上，求的值． 21. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围住（如图）．若设绿化带的边长为，绿化带的面积为， （1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大为多少？ 22. 在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变换的同时，始终存在一对全等三角形，通过资料查询，他们知道这种模型称为手拉手模型.如图1，两个等腰直角三角形和，，这个就是手拉手模型，在这个模型中易得到． 学习小组继续探究： （1）如图2，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接、，求证：； （2）小刚同学发现，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如：在中，，将三角形旋转一定的角度（如图3），连接和，求证：； （3）如图4，四边形中，，，，，，请在图中构造小刚发现的手拉手模型求的长． 23. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段的中点，过点P向上作，且，以、为边作矩形．设点P的运动时间为秒． （1）线段的长为______（用含t的代数式表示）； （2）当点N恰好落在边上时，求t的值； （3）当点N在内部时，设矩形与重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （4）当点M恰好落在的角平分线上时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $