精品解析：广东省肇庆市端州区2025届高三上学期联考数学测试一

肇庆市端州区2024-2025学年联考高三数学测试一 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合,集合，则=（ ） A. {} B. {,0} C. {2} D. {0,1} 2. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是第四象限角且，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 6 若，，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图像如图所示，令，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的对称轴方程为 C. 在上值域为 D. 的单调递增区间为 11. 在中，内角所对的边分别为，若的面积为16，则下列结论正确的是（ ） A. 是直角三角形 B. 是等腰三角形 C. 的周长为32 D. 的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，且，，则的最大值为_________. 13. 已知函数在区间单调递减，则的最小值为_______. 14. 已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= . 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知函数满足对任意的，都有，且的最小值为4． （1）求的解析式； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围． 16. 在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足. （1）求角A； （2）若，，求的面积. 17. 记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 18. 已知函数 （1）若函数只有一个零点，求的值； （2）证明：曲线是轴对称图形； （3）若函数的值域为，求的取值范围． 19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题： 已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且. （1）求； （2）若，求的最大值； （3）若，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 肇庆市端州区2024-2025学年联考高三数学测试一 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合,集合，则=（ ） A. {} B. {,,0} C. {2} D. {0,1} 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的性质即可求解集合，由交集的定义即可求解. 【详解】由可得,又， 故 故选：C 2. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数以及对数的单调性即可求解. 【详解】由于，，， 所以， 故选：B 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对比选项中的图象，再分别计算和时，的取值情况，即可作出选择． 【详解】当时，，，则，排除选项B和C； 当时，，排除选项A，选项D符合题意. 故选：D 4. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性列式求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 5. 已知是第四象限角且，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知求得和，再根据两角差的正切公式计算即可． 【详解】因为是第四象限角且，所以，则， 因为，所以， 所以， 故选：C． 6. 若，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出、，再由利用两角和的余弦公式计算可得. 【详解】因为，所以，又，所以，则， 所以， 又，所以，又， 所以， 于是 ， 又，则. 故选：B. 7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可求得，进而由同角的平方关系可求. 【详解】在中，由正弦定理可得，即， 解得，且不等于0， 当为锐角时，， 当为钝角时，. 综上所述：. 故选：B. 8. 设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】解不等式求得：，利用充分不必要条件的概念计算即可. 【详解】由，解得. 要满足题意，只需在的子集中确定即可， 显然和都是命题成立的充分不必要条件. 故选：AB. 10. 已知函数的部分图像如图所示，令，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 对称轴方程为 C. 在上的值域为 D. 的单调递增区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用图象求出的解析式，然后利用三角恒等变形公式化简，对于A：直接求周期；对于B：令求对称轴；对于C：求出的范围，再利用余弦余弦求范围；对于D：令可求单调递增区间. 【详解】对于函数， 由图可知， 则， 所以， 又， 所以， 解得，又， 所以； 则， 所以 ， 对于A：的最小正周期为，A 正确； 对于B：对于，令，得的对称轴方程为，B错误； 对于C：当时，，所以， 即在上的值域为，C正确； 对于D：令，解得， 即的单调递增区间为，D正确； 故选：ACD. 11. 在中，内角所对的边分别为，若的面积为16，则下列结论正确的是（ ） A. 是直角三角形 B. 是等腰三角形 C. 的周长为32 D. 的周长为 【答案】AD 【解析】 【分析】由，，可得，再由面积为16，求出，求出，进而判断选项. 【详解】因为，所以， 所以.因为，所以.因为， 所以.因为16，所以，可得，则， 即.又因为，所以，A正确. 由上知，可得，B错误 的周长为，C错误，D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，且，，则的最大值为_________. 【答案】14 【解析】 【分析】分别得出的范围，进而将由来表示，然后求得答案. 【详解】由题意，，而， 设， 所以，即， 所以. 即的最大值为14. 故答案为：14. 13. 已知函数在区间单调递减，则的最小值为_______. 【答案】4 【解析】 【分析】由复合函数的单调性的原则，结合二次函数的单调性，即可求解. 【详解】， 由复合函数单调性可知，，所以. 所以的最小值为. 故答案为：4. 14. 已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= . 【答案】1 【解析】 【详解】由A+C＝2B及A+B+C＝180°知，B＝60°， 由正弦定理知，， 即； 由a＜b知，A＜B＝60°，则A＝30°，C＝180°﹣A﹣B＝90°， 于是sinC＝sin90°＝1． 故答案为：1． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知函数满足对任意的，都有，且的最小值为4． （1）求的解析式； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由，先得到函数关于直线对称，求出；再由最小值，结合二次函数的性质，求出，即可得出函数解析式； （2）根据题中条件，得到，即，求解即可得出结果. 【详解】（1）因为函数满足对任意的，都有， 所以函数关于直线对称，即，解得； 又的最小值为4，所以，则， 所以； （2）因为不等式的解集为， 所以只需，即，解得， 即实数的取值范围为. 【点睛】本题主要考查求二次函数的解析式，考查由一元二次不等式恒成立求参数的问题，属于常考题型. 16. 在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足. （1）求角A； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合，可得A的值. （2）由已知利用余弦定理可得，解方程可得c的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解. 【详解】由及正弦定理可知：， 所以， 所以，即， 又， 所以. 由余弦定理，得， 所以， 所以舍去， 从而. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； 【小问2详解】 由正弦定理得：，则，则，. 18. 已知函数 （1）若函数只有一个零点，求值； （2）证明：曲线是轴对称图形； （3）若函数的值域为，求的取值范围． 【答案】（1）2 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由有一个解，即方程有一个根，根据判别式为0求解即可； （2）因为关于直线对称，不妨猜测也关于直线对称，因此只需验证是否成立即可； （3）若函数的值域为，只需能取遍所有正数即可，因此方程的判别式即可. 【小问1详解】 依题意， 所以方程有一个解， 即方程只有一个根， 所以， 解得. 【小问2详解】 因为， 所以关于直线对称， 因此曲线是轴对称图形. 【小问3详解】 若函数的值域为， 只需能取遍所有正数即可， 因此方程的判别式， 解得. 19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题： 已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且. （1）求； （2）若，求的最大值； （3）若，求实数的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据倍角公式得到，由正弦定理得到，从而； （2）根据点为的费马点得到，再由及三角形面积公式得到，因为及均值不等式，所以，当且仅当时等号成立； （3）设，所以，在三个小三角形中分别用余弦定理表示出、、再结合得到，从而由均值不等式得，从而得到的最小值. 【小问1详解】 因， 所以，即， 由正弦定理得. 所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以的三个角都小于， 因为点为的费马点，所以. 由得： ， 整理得. 又因为，所以，当且仅当时等号成立. 所以， 所以的最大值为. 【小问3详解】 由（2）知. 设， 由得. 由余弦定理得： 在中，， 在中，， 在中，， 因为，所以， 整理得. 因为，当且仅当时等号成立， 所以，整理得，解得或者（舍去）， 所以实数的最小值为. 【点睛】思路点睛：新定义问题的解法 根据题干所给定义，转化成所学知识，从而解决问题. 在本题中，给出了当的三个内角均小于时，确定费马点的方法，即“满足的点为费马点”，由（1）知为直角三角形，再结合点是的费马点知，从而解决（2）（3）两个小题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$