4.4 一次函数的应用课件2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第四章 一次函数 北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师 第1课时 确定一次函数表达式 一、三象限 二、四象限 y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 图象必经过（0，0）和（1，k）这两个点 正比例函数y=kx(k是常数，k≠0) 的图象和性质 直线y=kx经过 的象限 增减性 图象必经过的点 k的正负性 k＞0 k＜0 y=kx(k是常数， k≠0)的图 x y 0 x y 0 知识回顾 一次函数图象及画法 图象 画法 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条直线，通常也称为直线y=kx+b. ①两点法：两点确定唯一一条直线.②平移法：由直线y=kx向上或向下平移. 一次函数的性质 k>0 k<0 ①b>0，经过一、二、三象限，y随x的增大而增大； ②b<0，经过一、三、四象限，y随x的增大而增大； ①b>0，经过一、二、四象限，y随x的增大而减小； ②b<0，经过二、三、四象限，y随x的增大而减小； 课堂导入 1.确定正比例函数解析式 y=kx（k≠0），需要求出几个值？需要知道几个条件？ 需要求出 k 的值，知道 1 个条件即可. 正比例函数解析式 y=kx（k≠0）中 x, y 分别代表自变量和函数值，只要求出 k 的值即可确定正比例函数解析式. 2.确定一次函数解析式 y=kx+b（k≠0），需要求出几个值？需要知道几个条件？ 需要求出 k，b 的值，知道 2 个条件即可. 一次函数解析式y=kx+b（k≠0）中x，y分别代表自变量和函数值，只要求出k ，b的值即可确定一次函数解析式. 那么该采取什么方法确定函数解析式呢？ 小结：在确定函数解析式的时候，需要求出几个系数的值，就需要知道几个条件. 新知探究 例 已知一次函数的图象经过点(3，5)与(-4，-9)，求这个一次函数的表达式. 这两点的坐标适合表达式 分析：求一次函数 y=kx+b 的表达式，关键是求出 k，b 的值.从已知条件可以列出关于 k ，b 的二元一次方程组，并求出 k ，b. 解：设这个一次函数的表达式为 y=kx+b（k≠0） ∵ y=kx+b 的图象过点（3，5）与（-4，-9）, 3k+b=5, -4k+b=-9, ∴ ∴ 这个一次函数的表达式为 y=2x-1. k=2, b=-1, 解得 由上面的例题你能归纳出求函数解析式的方法吗？ 待定系数法：先设出函数表达式，再根据条件确定表达式中未知的系数，从而得出函数表达式的方法，叫做待定系数法. 知识点一 用待定系数法求一次函数表达式所需的条件： 设一次函数的表达式 y=kx+b（k≠0） 解方程，求得k ，b的值 列 设 解 将已知的x，y的对应值（两组）代入所设表达式中，得到关于k ，b的方程 知识点二 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 将k ，b的值代入所设表达式中，写出表达式 代 随堂练习 1.已知一次函数的图象经过两点（1，4）,（ -1，0），求这个一次函数的解析式. 设该一次函数的解析式为 y=kx+b（k≠0） 想将(1，4), (-1，0)代入 k+b=4, -k+b=0 k=2, b=2 解析式为y=2x+2 2.已知一次函数图象经过点（2，3）和（-4，-9），求一次函数的图像与 x 轴、y 轴的交点. 解：设这个一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）. ∵一次函数图象经过点（2，3）和（ -4，-9 ） ∴ 这个一次函数的解析式为 y=2x-1. ∴ y=2x-1的图像与 x 轴、y 轴的交点分别为(，0), (0，-1). 2k+b=3, -4k+b=-9, ∴ k=2, b=-1, 解得 3.已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图像经过（2，-1）和（-3，4）两点，则它的图象不经过第几象限？ ∴ 这个一次函数的解析式为 y=-x+1. 2k+b=-1， -3k+b=4， ∴ k=-1， b=1, 解得 解：∵ 一次函数图像经过（2，-1），（ -3，4 ）两点， 课堂小结 求一次 函数表达式 待定系数法 ①设； ②列； ③解； ④代. 步骤 第四章 一次函数 北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师 第2课时 一个一次函数的应用 求一次 函数表达式 待定系数法 ①设； ②列； ③解； ④代. 步骤 知识回顾 1. 2.解下列一元一次方程： （1）3x+1=0; （2）5y-2=3; 解：3x+1=0 3x=-1. x=-. 解：5y-2=3 5y=2+3. y=1. 5y=5 课堂导入 下面 3 个方程有什么共同点和不同点？ (1) 2x+1=3； (2) 2x+1=0； (3) 2x+1=-1. 不同点：等号右边不同 相同点：等号左边都是 2x+1. 这三个方程相当于在一次函数 y=2x+1 的函数值分别为 3，0，-1 时，求自变量 x 的值. 还能怎么解释呢？ 你能从函数的角度对解这 3 个方程进行解释吗？ (1) 2x+1=3； (2) 2x+1=0； (3) 2x+1=-1. 也可以看成在直线 y=2x+1 上取纵坐标分别为 3，0，-1 的点，看它们的横坐标分别为多少. y=2x+1 你能从函数的角度对解这 3 个方程进行解释吗？ P 新知探究 例1 观察函数 y=x+3 的图象，并确定它与 x 轴的交点坐标. y=x+3 解：直线 y=x+3与 x 轴交点坐标为(-3，0)，说明方程 x+3=0的解是 x=-3. 知识点一 从“数”上看： 函数 y=kx+b（k≠0）中，当 y=0时，x 的值. 方程 kx+b=0（k≠0）的解. 知识点二 从“形”上看： 函数 y=kx+b（k≠0）的图象与 x 轴交点的横坐标. 方程kx+b=0（k≠0）的解. y=2x-2 例2 观察下列函数图象，你能说出一元一次方程的解吗？ y=-x-2 一元一次方程-x-2=0 的解为 x=-2. 一元一次方程2x-2=0 的解为 x=1. 知识点三 利用一次函数的图象解一元一次方程 kx+b=0的步骤： （1）转化：将一元一次方程转化为一次函数. （2）画图象：画出一次函数的图象. （3）找交点：找出一次函数图象与 x 轴的交点，则交点的横坐标即一元一次方程的解. 拓展： 方程 kx+b=n (k≠0) 的解 ⇔ 函数 y=kx+b (k≠0) 中， y=n 时 x 的值. 方程 kx+b=n (k≠0) 的解 ⇔ 函数 y=kx+b (k≠0) 的图象与直线 y=n 的交点的横坐标. 随堂练习 1.如图，若一次函数 y=kx+b 的图象经过点（2，0）和（0，-3），则方程 kx+b=0 的解为（ ） A. x=0 B. x=2 C. x=-3 D. 不能确定 B 方程kx+b=0（k≠0）的解是函数 y=kx+b（k≠0）的图象与 x 轴交点的横坐标. 2.一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，则方程 kx+b=0 的解为 ，方程 kx+b=2 的解为 . x=-1 x=0 直线 y=kx+b 与 x 轴的交点的横坐标 直线 y=kx+b 与直线 y=2交点的横坐标 3.利用图象法解方程 6x-3 = x+2. 解：将方程 6x-3=x+2 变形为 5x-5=0， 画出函数 y=5x-5 的图象. 由图象可知，直线 y=5x-5 与 x 轴的 交点为（1，0） 即 x=1 是方程的解. y x O 1 -5 4.已知一个机器的运行速度为 3 转/s，每过1 s 其运行的速度增加 2 转，试问再过多少秒它的速度能到 23 转/s？ 解：设再过 x 秒机器的速度能达到 23 转/s. 由题意可列方程, 3+2x=23, 解得x=10, 所以再过 10s 它的速度能达到 23 转/s. 还有其他方法吗？ 解：设运行时间为 x s，机器的运行速度为 y 转/s. 由题意可得y=3+2x, 当y=23时，即3+2x=23, 化简，得2x-20=0. 画出函数 y=2x-20 的图象，如图所示. 由图可知，直线 y=2x-20 与 x 轴的交点是(10，0), y x O 10 -20 即再过 10s 它的速度能达到 23 转/s. 课堂小结 关系 利用一次函数图象解一元一次方程 ①从“数”上看； ②从“形”上看. ①转化； ②画图象； ③找交点. 一次函数与一元一次方程 第四章 一次函数 北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师 第3课时 两个一次函数的应用 知识回顾 关系 利用一次函数图象解一元一次方程 ①从“数”上看； ②从“形”上看. ①转化； ②画图象； ③找交点. 一次函数与一元一次方程 例1 星期天，小明上午 8：00 从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家. 他离家的距离 y（千米）与时间 t（分）的关系如图所示，则上午 8：45 小明离家的距离是 千米. 新知探究 解：设当 40≤t≤60 时，距离 y（千米）与时间 t（分）的函数解析式为 y=kt+b（k≠0） ∴ y与t之间的函数解析式为y=-0.1t+6， ∴ 当 t=45 时，y=-0.1×45+6=1.5. 40k+b=2， 60k+b=0， ∴ k=-0.1， b=6， 解得 知识点一 一个一次函数图象的应用： （1）根据图象，判断函数的类型，如直线过原点，则为正比例函数图象. （2）利用图象上特殊点的坐标建立关系求出函数表达式，同时由点的意义，即横、纵坐标的意义表示实际意义. 例2 1号探测气球从海拔5 m处出发，以1 m/min 的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15米处出发,以0.5 m/min的速度上升.两个气球都上升了1 h. 用式子分别表示两个气球所在位置的海拔(单位:m)关于上升时间(单位:min)的函数关系; 分析: (1) 气球上升时间满足0≤x≤60. 1号气球的函数表达式为y=x+5; 2号气球的函数表达式为 y=0.5x+15. (2)在某个时刻两个气球能否位于同一高度?如果能，这时气球上升了多长时间?位于什么高度? 分析：(2) 在某个时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值(0 ≤ x≤60) ，函数y= x+5和y=0.5x+15有相同的值y .如能求出x和y，则问题得到解决.由此容易想到解二元一次方程组 y=x +5， y=0.5x+15， x-y=-5 ， 0.5x-y=-15 ， 解得 x=20 ， y=25. 即当上升20 min时，两个气球都位于海拔25 m的高度. 即 你能画出以上两个一次函数的图像吗？你发现了什么？ 能，如图，在同一直角坐标系中，画出一次函数y=x +5和y=0.5x+15的图像，这两条直线的交点坐标为（20,25）. 发现这个交点坐标和上述二元一次方程组的解一致，也能说明当上升20 min时，两个气球都位于海拔25 m的高度. y x O 40 P(20, 25) 20 60 25 50 y=x +5 y=0.5x+15 知识点二 两个一次函数图象的应用： 1. l1和l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用 y (元)与照明时间 x (h)的函数图象，假设两种灯的使用寿命 都是 2 000 h，照明效果一样. （1）根据图象分别求出l1和l2 的 函数解析式； （2）当照明时间为多少时，两 种灯的费用一样. 随堂练习 解：（1）由图可知： l1 经过点（0，2）和（500，17）；l2 经过点（0，20）和（500，26）. 设 l1 的函数解析式为 y1=k1x+b1（k10） 则有 解得 b1=2， 17=500k1+b1， k1= b1=2 l1 的函数解析式为y1=x+2. （1）根据图象分别求出l1和l2 的函数解析式； 设 l2 的函数解析式为 y2=k2x+b2（k20） 则有 解得 b2=20， 26=500k2+b2， k2=， b2=20. l2 的函数解析式为 y2=x+20. （1）根据图象分别求出l1和l2 的函数解析式； （2）由图可知，当l1 和 l2 相交时，照明时间和费用都相同，此时的照明时间即为交点的横坐标. 则有 解得 y=x+2, y=x+20, x=1 000, y=32. 当照明时间为1 000 h时，费用一样. （2）当照明时间为多少时，两种灯的费用一样. x/吨 y/元 O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 l1 l2 2.如图所示，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空： 7 8 x/吨 y/元 O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 l1 （1）当销售量为2t时，销售收入＝　 元，销售成本= 　 　 元. l2 2000 3000 销售收入 销售成本 8 7 x/吨 y/元 O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 l2 销售成本 （2）当销售量为6t时，销售收入＝ 　 　元，销售成本＝　 元。 6000 5000 （3）当销售量等于　　时，销售收入等于销售成本. 4t l1销售收入 8 7 x/吨 y/元 O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 l1 l2 （4）当销售量　　　　　时,该公司赢利(收入大于成本)；当销售量　　　　　时,该公司亏损(收入小于成本)； 大于4t 小于4t 销售收入 销售成本 5 6 1 2 3 P 7 8 8 7 (5)l1对应的函数表达式是　　　　　　　　， y=1000x 　　l2对应的函数表达式是　　　　　　　　. y=500x+2000 x/吨 y/元 O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 l1 l2 8 7 课堂小结 一次函数图象的应用 一个一次函数图象的应用 两个一次函数图象的应用 ①根据图象，判断函数的类型，②利用图象上特殊点的坐标建立关系求出函数表达式，同时由点的意义，即横、纵坐标的意义表示实际意义. 第三章 位置与坐标 北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师 课程结束 $$