2.3.2两点间的距离公式课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.3.2 两点间的距离公式 2.3 直线的交点坐标与距离公式 一 二 三 学习目标 探索并掌握两点距离公式 理解两点间距离公式的推导过程 两点距离的求解与应用：利用坐标法求解几何问题. 学习目标 复习回顾 如何求两条相交直线的交点坐标？ 如何判断两条直线的位置关系？ 联立两直线方程，得到一个二元一次方程组， 该方程组的解就是两直线交点的坐标. （1）求二元一次方程组的解 （2）利用斜率 （3）画出直线 我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的. 所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式. 新知探究 问题1 如图, 已知平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 如何求P1, P2间的距离| P1P2 | ? O y x P1(x1,y1) • • P2(x2,y2) 我们用平面向量的知识来解决. 如图, 由点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 得 于是 由此得到P1(x1, y1), P2(x2, y2)两点间的距离公式为 特别地, 原点O(0, 0)与任一点P(x, y)间的距离为 上式我们利用向量法进行证明！ 还有其他方法证明吗？ 问题2 你能利用P1(x1, y1), P2(x2, y2)构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间距离公式吗? 与向量法比较，你有什么体会? 新知探究 (1)当直线P1P2与x轴平行时 即x1≠x2, y1=y2 即x1 = x2, y1 ≠ y2 P1(x1,y1) P2(x2,y2) x y o P2(x2,y2) (2)当直线P1P2与y轴平行时 新知探究 问题2 你能利用P1(x1, y1), P2(x2, y2)构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间距离公式吗? 与向量法比较，你有什么体会? (3)当直线P1P2与坐标轴都不平行时 如图，以P1P2为斜边构造一个Rt△P1P2Q，则点Q的坐标为 O y x P1(x1,y1) • • P2(x2,y2) Q (x2,y1) (x2, y1). 由勾股定理得 ∴由(1)(2)(3) 可得平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)间的距离公式为 即 x1 ≠ x2, y1 ≠ y2 典例解析 例3 已知点A(－1, 2), B(2, ), 在x轴上求一点P, 使得|PA|=|PB|, 并求|PA|的值. 2 2 ) 1 ( 4 | | 2 = + + = a PA ) 2 ( 7 ) 1 ( 4 2 2 - + = + + a a ) 2 ( 7 ) 0 7 ( ) 2 ( | | 2 2 2 - + = - + - = a a PB 1 = a 解得： ) 1 ( 4 ) 0 2 ( ) 1 ( | | 2 2 2 + + = - + - - = a a PA ) 0 , ( a 设P点的坐标为 解： | | | | = PB PA ∴所求点P(1,0),且 ∴ ∵ 套公式 列式子 求解 巩固练习 课本P74 1. 求下列两点间的距离： (1) A(6, 0), B(－2, 0)； (2) C(0, －4), D(0, C1)； (3) P(6, 0), Q(0, －2)； (4) M(2, 1), N(5, －1). |AB|=8 |CD|=3 2. 已知A(a, －5)与B(0, 10)两点间的距离是17，求a的值. 典例解析 例4 用坐标法证明: 平行四边形两条对角线的平方和等于两条相邻的平方和的两倍. y x O (b,c) (a+b,c) (a,0) (0,0) A B D C 解：如右图,以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系， 则有A(0,0). 设B(a,0)，D(b,c), 由平行四边形的性质，得 C(a+b,c). |AB|²=|CD|²=a²， |AD|²=|BC|²=b²+c² |AC|²=(a+b)²+c²， 由两点间的距离公式，得 |BD|²=(b-a)²+c² ∴ |AB|²+|CD|²+|AD|²+|BC|²=2(a²+b²+c²) |AC|²+|BD|²=2(a²+b²+c²) ∴ |AB|²+|CD|²+|AD|²+|BC|²=|AC|²+|BD|² 反思探究 问题3 在“平面向量及其应用”的学习中，我们用“向量法”证明过这个命题. 你能回忆一下证明过程吗? 比较“坐标法”和“向量法”，你有什么体会? 上述利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为 建系 运算 翻译 建立坐标系，用坐标表示相关问题 进行有关的代数运算 把代数运算的结果“翻译”成几何结论 反思探究 问题4 根据例4的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法? 你能说说建立适当坐标系对证明的重要性吗? y x O A B D C y x O A B D C 如AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立坐标系， 再如以两条对角线交点为原点,与AB平行的直线为x轴建立坐标系 坐标系的建立是否适当，对证明非常重要，如若不然，点的坐标会比较复杂，从而加大计算量，增加出错的几率. 巩固练习 课本P74 3. 用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. y x O B C A M (0,0) (a,0) (0,b) 解：以顶点C为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则有C(0,0) 即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. 巩固练习 课本P79 利用两点间的距离公式判断三角形的形状 能力提升 例 以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1) 为顶点的三角形是( ) B A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 解: 由题意得 , 所以,且 故△ 为等腰三角形. 解题感悟 利用两点间的距离公式判断三角形的形状时,需先根据两点间的距离公式分别求出 三边的长,再结合三角形的性质判断. 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)的距离： $$