6方程的根，函数零点与导数——2025届高三数学二轮复习专项小题训练

新教材2025年高考数学复习 专项小题训练 (6方程的根，函数零点与导数) 姓名 总分 . 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知：函数f(x)＝2sin x－xcos x－x，f ′(x)为f(x)的导数．f ′(x)在区间(0，π)上零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知:函数，方程有三个解，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知：函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)，f(x)的零点个数为（ ）． A．0 B．1 C．2 D．3 4． 已知：函数f(x)＝(2e－x)ln x，且f(x)＝有解，其中e为自然对数的底数，求实数a的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 5．已知：函数有唯一零点，则（ ） A． B． C． D．1 6．(2023·长沙一模改编)已知函数f(x)＝xln x－ax2(a∈R)，若f(x)在定义域内有2个零点，求a的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 7．若存在正实数，使得关于的方程有两个不同的根，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 8．若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为　　 A． B． C． D．1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9. (2024·青岛质检)设函数f(x)＝e2x－aln x， f(x)的导函数f ′(x)的零点的个数可能为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 10.已知：，则下列说法中正确的有（ ） A. 的零点个数为2 B. 的零点个数为4 C. 的极值点个数为3 D. 的极值点个数为2 11.（2024年·四川广元月考）已知：函数的零点为、、，且，则下列说法正确的是（）. A. B. 的最小值是 C. D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分． 12．(2024·厦门调研)已知函数f(x)＝xln x＋mex有两个极值点，则实数m的取值范围是________. 13．(2021·全国甲卷改编)已知a＞0且a≠1，函数，若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点， a的取值范围是 ． 14.（2023年·江苏南通月考）若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新教材2025年高考数学复习 专项小题训练 (6方程的根，函数零点与导数) 姓名 总分 . 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知：函数f(x)＝2sin x－xcos x－x，f ′(x)为f(x)的导数．f ′(x)在区间(0，π)上零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 解析:　设g(x)＝f′(x)， 则g(x)＝cos x＋xsin x－1，g′(x)＝xcos x. 当x∈时，g′(x)＞0； 当x∈时，g′(x)＜0， 所以g(x)在上单调递增，在上单调递减． 又g(0)＝0，g＞0，g(π)＝－2， 故g(x)在(0，π)存在唯一零点． 所以f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点． 2．已知:函数，方程有三个解，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 解析:，，即，即， 设，函数定义域为，， 函数为奇函数，， 不妨取，则，，. 故选：B. 3．已知：函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)，f(x)的零点个数为（ ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 解析：　由于x2＋x＋1>0， 所以f(x)＝0等价于－3a＝0. 设g(x)＝－3a， 则g′(x)＝≥0， 当且仅当x＝0时g′(x)＝0， 所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增． 故g(x)至多有一个零点， 从而f(x)至多有一个零点． 又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－6－<0， f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点． 综上，f(x)只有一个零点． 4．已知：函数f(x)＝(2e－x)ln x，且f(x)＝有解，其中e为自然对数的底数，求实数a的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 解析　方程(2e－x)ln x＝有解. 设φ(x)＝(2e－x)ln x， φ′(x)＝－ln x＋＝－ln x＋－1， 显然φ′(x)在(0，＋∞)上单调递减， 又∵φ′(e)＝0，则当x∈(0，e)时，φ′(x)>0； 当x∈(e，＋∞)时，φ′(x)<0， 从而φ(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， 所以φ(x)max＝φ(e)＝e， 所以≤e，解得a<0或a≥. 所以a的取值范围是(－∞，0)∪. 5．已知：函数有唯一零点，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 解析:令，则方程有唯一解， 设，，则与有唯一交点， 又，当且仅当时取得最小值2． 而，此时时取得最大值1， 有唯一的交点，则． 故选：C．   6．(2023·长沙一模改编)已知函数f(x)＝xln x－ax2(a∈R)，若f(x)在定义域内有2个零点，求a的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 解析　∵f(x)＝xln x－ax2在定义域(0，＋∞)内有2个零点， ∴y＝的图象与直线y＝a在(0，＋∞)上有2个不同的交点． 令h(x)＝，x∈(0，＋∞)， ∵h′(x)＝， ∴当x∈(0，e)时，h′(x)＞0； 当x∈(e，＋∞)时，h′(x)＜0， ∴h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， ∴h(x)max＝h(e)＝， ∴a∈时，y＝的图象与直线y＝a在(0，＋∞)上有2个不同的交点， 即a的取值范围为. 7．若存在正实数，使得关于的方程有两个不同的根，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】D 解析：由题意得，， 令，， 则，， 当时，（e）， 当时，（e）， （e）， ， 而时，， 则要满足， 解得：， 8．若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为　　 A． B． C． D．1 【答案】D 解析：由方程 ， 令，则有． ， 令函数，， 在递增，在递减， 其图象如下， 要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且 结合图象可得关于的方程一定有两个实根，， 且，， ． ． ． 故选：． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9. (2024·青岛质检)设函数f(x)＝e2x－aln x， f(x)的导函数f′(x)的零点的个数可能为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝2e2x－(x>0). 当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点； 当a>0时，因为e2x单调递增，－单调递增， 所以f′(x)在(0，＋∞)单调递增， 又f′(a)>0，当b满足0<b<且b<时，f′(b)<0， 故当a>0时，f′(x)存在唯一零点. 10.已知：，则下列说法中正确的有（ ） A. 的零点个数为2 B. 的零点个数为4 C. 的极值点个数为3 D. 的极值点个数为2 【答案】AC 解析：由题意， 令，得到． 分别画出和的图像，如图所示： 由图知：有三个解，即有三个解，分别为． 所以为增函数， 为减函数， 为增函数， 为减函数． 所以当时，取得极大值为0，当时，取得极小值为， 当时，取得极大值为0， 所以函数有两个零点，三个极值点，A错误，B正确． 故选：AC 11.（2024年·四川广元月考）已知：函数的零点为、、，且，则下列说法正确的是（）. A. B. 的最小值是 C. D. 的最小值是 【答案】ABC 解析：由可得，构造函数，该函数的定义域为， ， 所以，函数为上的奇函数，则， 因为函数有三个零点、、且， 故函数有三个零点、、且，且，，故， 所以，， 令，其中，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，. 故答案为：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分． 12．(2024·厦门调研)已知函数f(x)＝xln x＋mex有两个极值点，则实数m的取值范围是________. 答案　 解析　f′(x)＝ln x＋1＋mex(x＞0)， 令f′(x)＝0，得－m＝， 设g(x)＝， 则g′(x)＝(x＞0)， 令h(x)＝－ln x－1， 则h′(x)＝－－＜0(x＞0)， ∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且h(1)＝0， ∴当x∈(0，1]时，h(x)≥0， 即g′(x)≥0，g(x)在(0，1]上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0， 即g′(x)＜0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减， 故g(x)max＝g(1)＝， 而当x→0时，g(x)→－∞， 当x→＋∞时，g(x)→0， 若f(x)有两个极值点，只要y＝－m和g(x)的图象在(0，＋∞)上有两个交点， 只需0＜－m＜，故－＜m＜0. 13．(2021·全国甲卷改编)已知a＞0且a≠1，函数．若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点， a的取值范围是 ． 【答案】(1，e)∪(e，＋∞)． 解　曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点， 可转化为方程＝1(x＞0)有两个不同的解， 即方程＝有两个不同的解． 设g(x)＝(x＞0)， 则g′(x)＝(x>0)， 令g′(x)＝＝0，得x＝e， 当0＜x＜e时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增， 当x＞e时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减， 故g(x)max＝g(e)＝， 且当x＞e时，g(x)∈，又g(1)＝0， 所以0＜＜，所以a＞1且a≠e， 故a的取值范围为(1，e)∪(e，＋∞)． 14.（2023年·江苏南通月考）若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 【答案】 解析：由得，令， 由，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，且，当时，，则的图像如图所示： 即函数的最大值为， 令，则， 由二次函数的图像可知，二次方程的一根必在内，另一根或或上， 当时，，则另一根，不满足题意， 当时，a＝0，则另一根，不满足题意， 当时，由二次函数的图像可知， 解得， 则实数的取值范围是， 10 学科网（北京）股份有限公司 $$1 新教材 2025 年高考数学复习 专项小题训练 (6 方程的根，函数零点与导数) 姓名 总分 . 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．已知：函数 f(x)＝2sin x－xcos x－x，f ′(x)为 f(x)的导数．f ′(x)在区间(0，π)上零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知:函数   2xf x x  ，方程    =f x f x 有三个解 1 2 3, ,x x x ，则  1 2 3f x x x  （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知：函数 f(x)＝ 1 3 x3－a(x2＋x＋1)，f(x)的零点个数为（ ）． A．0 B．1 C．2 D．3 4． 已知：函数 f(x)＝(2e－x)ln x，且 f(x)＝ 1 2a 有解，其中 e 为自然对数的底数，求实数 a 的取值范围是（ ）. A． ( ,0) B． 1 ( ,0) , 2      e C． 1 ( ,0) , 2       e D． 1 , 2     e 5．已知：函数 2 1 1( ) 2 ( )x xf x x x a e e      有唯一零点，则a （ ） A． 1 2  B． 1 3 C． 1 2 D．1 6．(2023·长沙一模改编)已知函数 f(x)＝xln x－ax2(a∈R)，若 f(x)在定义域内有 2 个零点，求 a 的取值范围 是（ ）． A． ( ,0) B． 1 ( , ) e  C． 1 (0, ) e D． 1 , 2     e 7．若存在正实数m ，使得关于 x 的方程 (2 2 4 )[ ( ) ] 0x a x m ex ln x m lnx      有两个不同的根，其中 e为自 然对数的底数，则实数 a的取值范围是 ( ) A． ( ,0) B． 1 (0, ) 2e C． 1 ( ,0) , 2       e D． 1 , 2      e 8．若关于 x 的方程 0 x x x x e m e x e     有三个不相等的实数解 1x ， 2x ， 3x ，且 1 2 30x x x   ，其中m R ， 2 e为自然对数的底数，则 1 2 3 2 31 2( 1) ( 1)( 1) x x x xx x e e e    的值为 ( ) A．1 m B． e C． 1m  D．1 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分，有选错的得 0分，部分选对的得 3分． 9. (2024·青岛质检)设函数 f(x)＝e2x－aln x， f(x)的导函数 f ′(x)的零点的个数可能为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 10.已知： 2 ( ) sin π x f x x x   ，则下列说法中正确的有（ ） A. ( )f x 的零点个数为 2 B. ( )f x 的零点个数为 4 C. ( )f x 的极值点个数为 3 D. ( )f x 的极值点个数为 2 11.（2024 年·四川广元月考）已知：函数       2 1 2 1 0x xf x a x a     的零点为 1x 、 2x 、 3x ，且 1 2 3x x x  ，则下列说法正确的是（）. A. 2 0x  B. 3 1 2 e x x x 的最小值是 1 e  C. 1 3 0x x  D. 3 1 2 e x x x 的最小值是 e 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，多空题，第一空 2分，第二空 3分，共 15 分． 12．(2024·厦门调研)已知函数 f(x)＝xln x＋mex 有两个极值点，则实数 m 的取值范围是________. 13．(2021·全国甲卷改编)已知 a＞0 且 a≠1，函数 ( ) ( 0) a x x f x x a   ，若曲线 y＝f(x)与直线 y＝1 有且仅有 两个交点， a 的取值范围是 ． 14.（2023 年·江苏南通月考）若函数    2 2e ex xf x x ax a a R    有三个不同的零点，则实数 a 的取 值范围是