专题09 三角形的高、中线、角平分线（9大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（沪科版）

专题09 三角形的高、中线、角平分线 目录 【题型一 三角形的高、中线、与角平分线的概念】 1 【题型二 画三角形的高、中线或角平分线】 2 【题型三 网格中技术三角形的面积】 3 【题型四 与三角形高有关的的计算】 4 【题型五 利用三角形的中线计算三角形的面积】 5 【题型六 利用三角形的中线计算三角形的周长】 6 【题型七 与角平分线有关的角度计算】 7 【题型八 三角形的稳定性】 7 【题型九 探究三角形的边、角、线】 8 【题型一 三角形的高、中线、与角平分线的概念】 例题：（23-24七年级下·四川宜宾·期末）下列关于三角形的性质，说法正确的是（    ） A．三角形的角平分线是射线； B．三角形的三条中线交于一点，并且这点在三角形内部； C．三角形的三条高所在的直线交于一点，这点不在三角形内部就在三角形外部； D．三角形的一个外角大于与它相邻的内角． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·全国·开学考试）如图，在中，，G为的中点，延长交于E．F为上的一点，于H．下列判断正确的是（　　） A．线段是的角平分线 B．线段为边上的高 C．线段是边上的中线 D．线段为的角平分线 2．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，，为的中点，延长交于．为上一点，于，下面判断正确的有 ． ①是的角平分线； ②是边上的中线； ③是边上的高； ④是的角平分线和高． 【题型二 画三角形的高、中线或角平分线】 例题：（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）中，如图选项正确画出边上的高的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知△ABC． (1)画角平分线BD； (2)画中线CE； (3)画高AD． 2．（22-23七年级下·甘肃平凉·期末）请画出中边上的高，边上的中线和的角平分线． 【题型三 网格中技术三角形的面积】 例题：（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中面积相等的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上，则格点四边形的面积为 ． 2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为，点，，均在格点上，是与网格线的交点，则的长为 ． 【题型四 与三角形高有关的的计算】 例题：（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）如图，是的高，是的角平分线，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）是的高，若，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，点是边的中点，若，的面积为，则的面积为 ． 【题型五 利用三角形的中线计算三角形的面积】 例题：（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，的面积为，点D在边上，E是的中点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，的面积为18，为的中线，E、F为的两个三等分点，连接，则图中阴影部分的面积和为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在中，点G是的中点，点D是的中点，若的面积为 ，则 的面积为 ． 【题型六 利用三角形的中线计算三角形的周长】 例题：（24-25八年级上·海南儋州·开学考试）如图，在中，为中线，则与的周长之差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】 1.（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 【题型七 与角平分线有关的角度计算】 例题：（24-25八年级上·全国·期中）中，．若与的平分线相交于点，则（   ） A．90° B．105° C．120° D．150° 【变式训练】 1．（23-24八年级上·新疆喀什·期末）在中，平分，交于D，E是上一点，，交于F．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山西晋城·期中）如图，在中，，平分交于点，点为的延长线上一点，过点作于点，若，则 ． 【题型八 三角形的稳定性】 例题：（24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）如图，工人师傅在砌门时，通常用木条固定长方形门框，使其不变形这样做的数学根据是（    ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．对顶角相等 D．垂线段最短 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）埃菲尔铁塔是巴黎城市地标之一，也是巴黎最高的建筑物，总高324米，如图所示，在埃菲尔铁塔的设计中运用了大量的三角形的结构，你能从中推断出其运用的数学原理是（    ） A．三角形的不稳定性 B．三角形的稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 2．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）将如图所示的户外秋千椅子的侧面制作成三角形形状，这是利用了三角形的 ． 【题型九 探究三角形的边、角、线】 例题：（23-24八年级上·云南昭通·期中）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，下列结论：①；②；③；④平分．其中结论正确的序号是 ．    2．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知：在四边形中，，点E为线段延长线上一点，连接交于F，． (1)求证：； (2)若是的角平分线，，求的度数． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，是的中线，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（   ） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 3．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，的边上的高是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·重庆江津·期中）如图在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是8，则的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．7 5．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，是边上的高，求的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·广东汕头·单元测试）如图，在中，，高，交于点，则 ． 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，中，点，，分别是，，的中点，，则 ． 8．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，已知，．依据尺规作图痕迹，解决下列问题．    （1）与是否垂直？ （填“是”或“否”）； （2） ． 9．（22-23七年级下·重庆万州·期中）如图，在中，是边上的中线，于点于点，若，则的值为 ． 10．（24-25八年级上·重庆铜梁·开学考试）如图，中，，于E，，点D在上移动，则的最小值是 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·广东广州·开学考试）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C均在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成画图． (1)请作出中边上的中线； (2)请作出中边上的高，垂足是E： (3)的面积为_____________（直接写出答案）． 12．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在中，是边上的高，为角平分线，若，求的度数． 13．（2024七年级下·四川成都·专题练习）(三角形面积)如图，三角形中，D为边上任一点，，三角形的面积为1平方厘米，求三角形的面积． 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在中，点D在边上．    (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 15．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在中，是边上的高，平分，若，，求的度数．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 三角形的高、中线、角平分线 目录 【题型一 三角形的高、中线、与角平分线的概念】 1 【题型二 画三角形的高、中线或角平分线】 3 【题型三 网格中技术三角形的面积】 6 【题型四 与三角形高有关的的计算】 8 【题型五 利用三角形的中线计算三角形的面积】 10 【题型六 利用三角形的中线计算三角形的周长】 12 【题型七 与角平分线有关的角度计算】 14 【题型八 三角形的稳定性】 16 【题型九 探究三角形的边、角、线】 18 【题型一 三角形的高、中线、与角平分线的概念】 例题：（23-24七年级下·四川宜宾·期末）下列关于三角形的性质，说法正确的是（    ） A．三角形的角平分线是射线； B．三角形的三条中线交于一点，并且这点在三角形内部； C．三角形的三条高所在的直线交于一点，这点不在三角形内部就在三角形外部； D．三角形的一个外角大于与它相邻的内角． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三条重要线段：高线、中线、角平分线以及三角形的外角性质，先根据三角形的角平分线是线段，三角形的三条中线交于一点，并且这点在三角形内部，以及三角形的外角大于与它不相邻的内角，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、三角形的角平分线是线段，故原说法是错误的； B、三角形的三条中线交于一点，并且这点在三角形内部，故原说法是正确的； C、三角形的三条高所在的直线交于一点，这点可能在三角形内部、三角形边上或者在三角形外部，故原说法是错误； D、三角形的外角大于与它不相邻的内角，故原说法是错误； 故选：B 【变式训练】 1.（23-24八年级上·全国·开学考试）如图，在中，，G为的中点，延长交于E．F为上的一点，于H．下列判断正确的是（　　） A．线段是的角平分线 B．线段为边上的高 C．线段是边上的中线 D．线段为的角平分线 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线，高和角平分线的定义，连接三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴线段是的角平分线，故A说法错误，不符合题意； B、∵， ∴线段为边上的高，故B说法正确，符合题意； C、G为的中点， ∴线段是边上的中线，故C说法错误，不符合题意； D、∵， ∴线段为的角平分线，故D说法错误，不符合题意； 故选：B 2．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，，为的中点，延长交于．为上一点，于，下面判断正确的有 ． ①是的角平分线； ②是边上的中线； ③是边上的高； ④是的角平分线和高． 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查三角形的角平分线，中线和高，关键是掌握三角形的角平分线、中线、高的定义．由三角形的角平分线、中线、高的定义，即可判断． 【详解】解：①，是的角平分线，故①错误，不符合题意； ②是中点，是边上的中线，故②错误，不符合题意； ③，是边上的高，故③正确，符合题意； ③，，是的角子分线和高，故④正确，符合题意． ∴以上判断正确的有③④． 故答案为：③④． 【题型二 画三角形的高、中线或角平分线】 例题：（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）中，如图选项正确画出边上的高的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了画三角形的高，过点作边上的垂线段即可． 【详解】解：由三角形的高的定义可知：图B中的垂线段为边上的高， 故选：B ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知△ABC． (1)画角平分线BD； (2)画中线CE； (3)画高AD． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查了基本作图，关键是掌握三角形中的三条重要线段的定义．根据三角形的中线、高线、角平分线的定义分别画出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示：线段即为所求． （2）解：如图所示：线段即为所求． （3）解：如图所示：线段即为所求． 2．（22-23七年级下·甘肃平凉·期末）请画出中边上的高，边上的中线和的角平分线． 【答案】见解析 【分析】利用三角尺的直角画高，利用三角尺确定，再连接即可，再利用量角器画，且在上，从而可得答案． 【详解】解：如图，即为所画的高，即为所画的中线，即为所画的角平分线；    【点睛】本题考查的是画三角形的高，三角形的中线，三角形的角平分线，理解概念并进行作图是解本题的关键． 【题型三 网格中技术三角形的面积】 例题：（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中面积相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查网格中三角形的面积，分别求出各图中三角形的面积，即可解答． 【详解】解：图中面积为， A、图中三角形的面积为，与面积相等； B、图中三角形的面积为，与面积不相等； C、图中三角形的面积为，与面积不相等； D、图中三角形的面积为，与面积不相等． 故选：A 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上，则格点四边形的面积为 ． 【答案】13 【分析】本题考查的是利用割补法求解图形面积，直接利用长方形的面积，再减去三个三角形的面积即可． 【详解】解：如图，作长方形， ∵正方形网格中的每一个小正方形的边长为1， ∴，，，，，，， ∴． 故答案为： 2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为，点，，均在格点上，是与网格线的交点，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查网格中的三角形的面积，熟练掌握网格中三角形的面积求法和分割法求解三角形面积是解题的关键．利用网格求出的面积，再利用即可求解． 【详解】解：由图可得的面积为， 由， 则， 解得：， 故答案为：． 【题型四 与三角形高有关的的计算】 例题：（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）如图，是的高，是的角平分线，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握三角形内角和有关性质．根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）是的高，若，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高线，难点在于要分情况讨论．分高在内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】①如图1，当高在的内部时，； ②如图2，当高在的外部时，， 综上所述，的度数为或． 故选：D． 2．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，点是边的中点，若，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例、三角形中线的性质以及三角形的面积，画出辅助线后，根据公式求解即可． 【详解】过点作于点，过点作于点 点是边的中点 故答案为：． 【题型五 利用三角形的中线计算三角形的面积】 例题：（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，的面积为，点D在边上，E是的中点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据E是的中点，得出，进一步可得，，最后利用计算即可． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， ∴，， ∴， 故选；D． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，的面积为18，为的中线，E、F为的两个三等分点，连接，则图中阴影部分的面积和为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中线的性质，知道中线等分三角形的面积是解题的关键． 由为的中线得到，再根据共高三角形的面积比等于底之比求解． 【详解】解：是的中线， ， ， 、为的两个三等分点， 又∵与共高，与共高， ，， ， 故选：B． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在中，点G是的中点，点D是的中点，若的面积为 ，则 的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用三角形中线求三角形的面积，熟练掌握三角形中线平分三角形的面积是解题的关键． 根据三角形中线把三角形平分成面积相等的两个三角形求解即可． 【详解】解：因为点D是的中点， 所以． 因为和等底同高， 所以 ． 同理， 故答案为：． 【题型六 利用三角形的中线计算三角形的周长】 例题：（24-25八年级上·海南儋州·开学考试）如图，在中，为中线，则与的周长之差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的中线，三角形的周长，先根据中线的定义得，再表示周长，即可得出答案． 【详解】∵是的中线， ∴． ∴与的周长之差是． 故选：C． 【变式训练】 1.（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的知识，理解三角形中线的定义是解题关键．根据三角形中线的定义可得，结合题意可得，进而获得答案． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形中线的性质，根据题意，则；根据三角形的周长，则，，得到的值，根据，等量代换，即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，的周长为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型七 与角平分线有关的角度计算】 例题：（24-25八年级上·全国·期中）中，．若与的平分线相交于点，则（   ） A．90° B．105° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线和三角形内角和的应用，由三角形的内角和定理的，进而得，从而根据角平分线及三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴，， ∴ ， 故选． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·新疆喀什·期末）在中，平分，交于D，E是上一点，，交于F．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角定理以及角平分线的性质．根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用三角形的外角性质可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴ ∵是的一个外角， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24七年级下·山西晋城·期中）如图，在中，，平分交于点，点为的延长线上一点，过点作于点，若，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再根据三角形外角的性质求出的度数，最后根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， 平分， ， 是的一个外角， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型八 三角形的稳定性】 例题：（24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）如图，工人师傅在砌门时，通常用木条固定长方形门框，使其不变形这样做的数学根据是（    ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．对顶角相等 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形稳定性的实际应用．根据三角形具有稳定性解答． 【详解】用木条固定长方形门框，使其不变形这样做的数学根据是三角形具有稳定性， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）埃菲尔铁塔是巴黎城市地标之一，也是巴黎最高的建筑物，总高324米，如图所示，在埃菲尔铁塔的设计中运用了大量的三角形的结构，你能从中推断出其运用的数学原理是（    ） A．三角形的不稳定性 B．三角形的稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响．根据三角形结构具有稳定性作答即可． 【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性． 故选：B． 2．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）将如图所示的户外秋千椅子的侧面制作成三角形形状，这是利用了三角形的 ． 【答案】稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据题意可直接得到答案． 【详解】解：户外秋千椅子的侧面制作成三角形形状，利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 【题型九 探究三角形的边、角、线】 例题：（23-24八年级上·云南昭通·期中）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，依此即可求解，熟悉它们的定义和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，， ∴选项A、B、D正确，但不符合题意，选项C错误，符合题意， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，下列结论：①；②；③；④平分．其中结论正确的序号是 ．    【答案】①②③ 【分析】本题主要考查三角形中的角度计算，邻补角的相关计算，平行线判定与性质，角平分线的定义，根据内错角相等两直线平行可对①进行判断；根据邻补角的相关计算可对②④进行判断；根据平行线的判定与性质对③进行判断 【详解】解：依题意，， ，故①对； 依题意，， ，故②对； 依题意，， 如图，过点G作，   ， ， ，， ， ， ， ，故③对； ， ， ，故④错， 故答案为：①②③． 2．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知：在四边形中，，点E为线段延长线上一点，连接交于F，． (1)求证：； (2)若是的角平分线，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的性质，角平分线是解题的关键． （1）由，可得，由，可得，由，可得； （2）由，可得，由是的角平分线，可得，由，可得，由，可得，即，求解作答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴的度数为． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，是的中线，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中线的性质，根据是的中线，可得，即可得出结论． 【详解】解：是的中线， ， 选项C一定成立， 故选：C． 2．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（   ） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，是的角平分线，正确； B．∵，为边上的高，正确； C．∵G为的中点，是边上的中线，故原说法不正确； D．∵，为的高线，正确； 故选C． 3．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，的边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的高的定义，作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．本题主要考查了三角形的高，熟练掌握三角形高的定义是解决问题的关键． 【详解】解：的边上的高是线段， 故选：D． 4．（22-23八年级上·重庆江津·期中）如图在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是8，则的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，由点为的中点得出，由点为的中点得出，最后再由点为的中点即可得出答案． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴，即， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 5．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，是边上的高，求的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查三角形的内角和定理以及高的性质.根据三角形的内角和定理与，即可求得三个内角的度数，再根据三角形的内角和定理求得的度数． 【详解】∵，， ∴， 解得，， 则， ∵是边上的高， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·广东汕头·单元测试）如图，在中，，高，交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，三角形的高，解题的关键是熟练掌握基本知识．利用三角形的内角和定理求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：，是的高， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，中，点，，分别是，，的中点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形的中线有关的面积计算，分别求出、的面积，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 8．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，已知，．依据尺规作图痕迹，解决下列问题．    （1）与是否垂直？ （填“是”或“否”）； （2） ． 【答案】 是 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，基本作图，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和角平分线的作图方法． （1）根据作图可得平分，由，结合等腰三角形的三线合一可得； （2）由，可得，进而求出，根据作图可得平分，即可求解． 【详解】解：（1）根据作图可得平分， 由， ， 故答案为：是； （2）， ， ， 平分， ， 故答案为：． 9．（22-23七年级下·重庆万州·期中）如图，在中，是边上的中线，于点于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的小三角形得出和的面积相等，再根据三角形的面积公式计算即可． 本题考查了三角形的面积，三角形的中线，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的中线， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·重庆铜梁·开学考试）如图，中，，于E，，点D在上移动，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，垂线段最短，根据题意，当时，有最小值，利用即可解答． 【详解】解：根据题意得：当时，有最小值， 中，，于E，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·广东广州·开学考试）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C均在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成画图． (1)请作出中边上的中线； (2)请作出中边上的高，垂足是E： (3)的面积为_____________（直接写出答案）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)3 【分析】本题考查了网格作图：作中线、作高，运用网格求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）借助网格特征，取的中点，即D，连接，即可作答． （2）借助网格特征，延长，再过点C作的垂线，即可作答． （3）运用三角形的面积，即为底乘高再乘，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：边上的中线，如图所示： （2）解：边上的高，垂足是E，如图所示： （3）解： ∴的面积为3． 12．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在中，是边上的高，为角平分线，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的高、三角形的角平分线、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据三角形的高的定义可得，再结合“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得，由角平分线的定义可知，然后结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴． 13．（2024七年级下·四川成都·专题练习）(三角形面积)如图，三角形中，D为边上任一点，，三角形的面积为1平方厘米，求三角形的面积． 【答案】9平方厘米 【分析】本题考查三角形的中线，连接，根据三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积（平方厘米） 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在中，点D在边上．    (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形中线的定义，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角之和，三角形内角和为180度进行求解是解题的关键。 （1）根据三角形外角的性质得到，再根据三角形内角和定理即可得到答案； （2）根据三角形中线的定义得到，再由三角形周长公式结合已知条件推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵为的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在中，是边上的高，平分，若，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高线与角平分线，根据已知条件得到，求得，根据角平分线的定义得到，于是得到答案． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$