专题10 三角形的内角和与外角和定理（8大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（沪科版）

专题10 三角形的内角和与外角和定理 目录 【题型一 证明三角形内角和】 1 【题型二 由三角形内角和直接求角度】 2 【题型三 由三角形的内角和判断三角形的形状】 3 【题型四 三角形内角和与平行线的综合运用】 4 【题型五 三角形内角和与翻折的综合运用】 4 【题型六 三角形内角和与角平分线的综合运用】 5 【题型七 三角形内角和与三角板的综合运用】 6 【题型八 三角形外角和定义及性质】 7 【题型一 证明三角形内角和】 例题：（23-24八年级上·广东佛山·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 【变式训练】 1．（21-22八年级上·浙江杭州·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（   ） A．过作∥ B．延长到，过作 C．作于点 D．过上一点作， 2．（23-24七年级下·河南濮阳·期末）如图，直线DE经过点A，． 填空： ∵， ∴______（______），______（______）， ∵直线过点A ∴，∴____________． 于是，我们证明了结论：______． 【题型二 由三角形内角和直接求角度】 例题：（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）已知图中的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，，，，则的度数是 【题型三 由三角形的内角和判断三角形的形状】 例题：（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）如果三角形的三个内角的度数比是，则它是（   ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东汕头·单元测试）下列条件中，不能确定是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）在三角形中，已知，按角的特点分类，此三角形是 三角形． 【题型四 三角形内角和与平行线的综合运用】 例题：（23-24七年级下·全国·期末）如图，直线，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，直线，若，，则∠B的度数为 ． 【题型五 三角形内角和与翻折的综合运用】 例题：（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处．若，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·重庆渝中·期中）如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．    【题型六 三角形内角和与角平分线的综合运用】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试） 如图，在中，平分交于点，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，垂直平分平分，若，则 ． 【题型七 三角形内角和与三角板的综合运用】 例题：（23-24七年级下·江苏泰州·期末）将一副直角三角板如图放置，已知，，当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，，则 ° 2．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，将一个直角三角板放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边恰好分别经过点，若，则 ． 【题型八 三角形外角和定义及性质】 例题：1．（22-23九年级下·全国·期末）如图，若，，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图， 三角形的一边在直线n上， 直线，，， 则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图， 于点D，D为的中点，连接的平分线交于点O，连接，若，则 一、单选题 1．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）给定下列条件，能判定三角形是直角三角形的是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图，，分别是的高和角平分线．若设，，则用，表示的关系式为（      ） A． B． C． D． 3．（2024·河北·模拟预测）如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到两个三角形纸片，则一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东·模拟预测）如图所示，在中，将点A与点B分别沿和折叠，使点A，B都与点C重合，若，则的度数为（） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在正方形的外侧作等边三角形，连接交于点G，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，是的外角，若，，则的度数为 ． 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在和中 ，与相交于点P，若则的度数为 ，的度数为    8．（23-24七年级下·全国·期末）如图，，，若，则的度数为 ． 9．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点、、依次在同一条直线上，与在直线的同侧且都是等边三角形，给出下面四个结论：①，②，③，④．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：如图，，求证：． 12．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，已知等腰三角形，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，求的度数． 13．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）【感知】如图①，在中，分别是和的平分线． 【应用】 （1）若，则______°； （2）若，求的度数； （3）写出与之间的数量关系并证明； 【拓展】 （4）如图②，在四边形中，分别是和的平分线，直接写出与的数量关系． 14．（20-21八年级上·甘肃陇南·期末）如图，为的高，，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点G为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数． 15．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 三角形的内角和与外角和定理 目录 【题型一 证明三角形内角和】 1 【题型二 由三角形内角和直接求角度】 4 【题型三 由三角形的内角和判断三角形的形状】 6 【题型四 三角形内角和与平行线的综合运用】 7 【题型五 三角形内角和与翻折的综合运用】 9 【题型六 三角形内角和与角平分线的综合运用】 11 【题型七 三角形内角和与三角板的综合运用】 13 【题型八 三角形外角和定义及性质】 16 【题型一 证明三角形内角和】 例题：（23-24八年级上·广东佛山·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意， 故选：D 【变式训练】 1．（21-22八年级上·浙江杭州·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（   ） A．过作∥ B．延长到，过作 C．作于点 D．过上一点作， 【答案】C 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：由，则，． 由，得．故A不符合题意； 由，则，． 由，得．故B不符合题意； 由于，则， 无法证得三角形内角和是．故C符合题意， 由，得，．由，得，，那么． 由，得．故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键． 2．（23-24七年级下·河南濮阳·期末）如图，直线DE经过点A，． 填空： ∵， ∴______（______），______（______）， ∵直线过点A ∴，∴____________． 于是，我们证明了结论：______． 【答案】，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，内错角相等，，，三角形的内角和等于； 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的证明，平行线的性质，根据题干信息逐步完善推理过程与推理依据即可； 【详解】解：， ∴（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等）， ∵直线过点A ∴， ∴． 于是，我们证明了结论：三角形的内角和等于． 【题型二 由三角形内角和直接求角度】 例题：（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）已知图中的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵图中的两个三角形全等，是边a和c所夹的角 ∴． 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质和三角形内角和定理是解题的关键．由，得到，由三角形内角和定理求出，而，即可由求出． 【详解】解：，， ， 在中， ，， ， ， ． 故选：． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，，，，则的度数是 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，先根据证明，得出，根据三角形内角和求出，再根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型三 由三角形的内角和判断三角形的形状】 例题：（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）如果三角形的三个内角的度数比是，则它是（   ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理的应用，能求出这个三角形最大内角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于． 根据三角形内角和定理和已知求出这个三角形的最大内角的度数，即可得出答案． 【详解】解：∵三角形三个内角的度数比是， ∴这个三角形的最大角的度数为 ∴这个三角形是直角三角形． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东汕头·单元测试）下列条件中，不能确定是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理逐项判断即可得出答案，熟练掌握三角形内角和为是解此题的关键． 【详解】解：A．由不能确定是直角三角形，符合题意； B．由，结合可得，，，故能确定是直角三角形，不符合题意； C．由，结合可得，，故能确定是直角三角形，不符合题意； D．由，结合可得，，故能确定是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）在三角形中，已知，按角的特点分类，此三角形是 三角形． 【答案】钝角 【分析】根据得到最大角为，大于，根据三角形的分类解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，熟练掌握定理和分类标准是解题的关键． 【详解】解：根据， 故三角形的最大角为， 大于， 故该三角形是钝角三角形． 故答案为：钝角． 【题型四 三角形内角和与平行线的综合运用】 例题：（23-24七年级下·全国·期末）如图，直线，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和、邻补角的运用以及平行线的性质，先由三角形内角和算出，再结合，则同位角相等，得，即可作答． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， 则， 故选：D． 【变式训练】 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与平行线有关的三角形内角和问题，先根据平行线得到，再根据是三角形内角和求出的度数． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，直线，若，，则∠B的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线和三角形内角和；解题的关键是熟练掌握平行线和对顶角的性质，从而完成求解． 根据平行线的性质得，再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】， ， ，， ， 故答案为：． 【题型五 三角形内角和与翻折的综合运用】 例题：（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处．若，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，对顶角相等等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设与交于点G，首先由对顶角相等得到，然后由折叠和三角形内角和定理得到，求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，设与交于点G ∵ ∴ 由折叠可得，， ∴ ∴ ∴． 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，折叠的性质和平行线的性质，先由等边对等角和三角形内角和定理求出，再由平行线的性质得到，则可由折叠的性质得，再根据平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 2．（22-23七年级下·重庆渝中·期中）如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．    【答案】/76度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，图形的折叠，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 先求出，根据折叠的性质得到，由平行的性质得到，然后根据平角的定义得，据此可得的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型六 三角形内角和与角平分线的综合运用】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试） 如图，在中，平分交于点，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角性质定理，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质和定理是解题关键．由，，利用外角的性质求出，再利用平分，求出，再利用三角形的内角和，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角以及三角形内角和定理，解题关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．依据线段垂直平分线的性质，即可得到，再根据角平分线的定义，即可得出的度数，根据三角形内角和定理，即可得到的度数． 【详解】解：垂直平分， ， ， 又平分， ， ， 故选：B． 2．（23-24八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，垂直平分平分，若，则 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查了角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理．根据线段垂直平分线的性质，可得，从而得到，再由三角形外角的性质可得，然后根据角平分线的定义，可得，再根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 故答案为： 【题型七 三角形内角和与三角板的综合运用】 例题：（23-24七年级下·江苏泰州·期末）将一副直角三角板如图放置，已知，，当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，先由垂直的定义得到，再由三角形内角和定理和对顶角的性质得到，，据此根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，设分别与交于M、N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，，则 ° 【答案】60 【分析】本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，根据三角形内角和定理以及旋转的性质可得，然后根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到， ∴． ∵点恰好落在的延长线上， ∴． 故答案为：60． 2．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，将一个直角三角板放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边恰好分别经过点，若，则 ． 【答案】/40度 【分析】此题考查三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余的关系， 根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余的关系得到，由此即可得到答案． 【详解】如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型八 三角形外角和定义及性质】 例题：1．（22-23九年级下·全国·期末）如图，若，，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内角和和三角形外角的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，再根据三角形内角和为，即可选出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图， 三角形的一边在直线n上， 直线，，， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用平行线的性质和三角形外角的定义，即可得到答案． 【详解】解：如图， 直线，， ， ，， ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图， 于点D，D为的中点，连接的平分线交于点O，连接，若，则 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质以及垂直平分线的判定与性质，等边对等角，以及角平分线的定义，先由三角形的外角性质得，因为，D为的中点，所以是的垂直平分线，则，因为是的角平分线，则是的角平分线，即可作答． 【详解】解：，， ∴， ∵，D为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）给定下列条件，能判定三角形是直角三角形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度，结合已知条件可求出A、D选项中对应三角形的三个内角度数，进而可判断A、D；若直角三角形中两较小边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断B、C． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴此时该三角形不是直角三角形，不符合题意； B、设， ∵， ∴此时该三角形不是直角三角形，不符合题意； C、设， ∵， ∴此时该三角形是直角三角形，符合题意； D、∵，， ∴，，， ∴此时该三角形不是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图，，分别是的高和角平分线．若设，，则用，表示的关系式为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，由高的定义得到，则，据此根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是高， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2024·河北·模拟预测）如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到两个三角形纸片，则一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三角形外角的性质，根据三角形外角等于不相邻的两个内角的和进行判断即可． 【详解】解：根据图形可知：，，， ∵相当于的外角， ∴，故不符合题意，D符合题意． 故选：D． 4．（2024·广东·模拟预测）如图所示，在中，将点A与点B分别沿和折叠，使点A，B都与点C重合，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，折叠的性质是解题关键．根据折叠的性质得，，，再根据三角形内角和定理，最后由求的度数． 【详解】解：将点与点分别沿和折叠，使点、与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：B． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在正方形的外侧作等边三角形，连接交于点G，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形和等边三角形综合．熟练掌握正方形性质，等边三角形性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，是解题的关键． 根据正方形性质得到，根据等边三角形性质得到，得到，根据等腰三角形性质得到，根据三角形外角性质即得． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，是的外角，若，，则的度数为 ． 【答案】75 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ，， ， 故答案为：75． 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在和中 ，与相交于点P，若则的度数为 ，的度数为    【答案】 【分析】由条件可证明，根据全等三角形的性质得到的度数；利用三角形内角和可求得，即可作答． 本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 【详解】解：依题意， 在和中， ， ，， ， ； 如图：，   ， ∴， ， ， ， 故答案为：，． 8．（23-24七年级下·全国·期末）如图，，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分及三角形内角和，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先求出，进而得出，再利用三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点、、依次在同一条直线上，与在直线的同侧且都是等边三角形，给出下面四个结论：①，②，③，④．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据与都是等边三角形，可得，进而得到，即可证明①；根据可得，利用三角形外角的性质可得，即可证明②；根据条件可证明，利用对顶角相等和三角形外角可得，即可证明③；根据条件证明，可得，即可证明④． 【详解】∵与都是等边三角形， ∴ ∴，即 ∴，故①正确； ∵ ∴ ∴，故②正确； ∵与都是等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即，故③错误； ∵与都是等边三角形， ∴ ∴ 由①得： ∴， ∴ ∴ ∴，即，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角等，灵活运用所学知识是解题关键． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查基本作图，线段垂直平分线的性质是解题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，根据等边对等角得到，根据内角和定理求得，最后根据角度的和差关系即可得到答案． 【详解】解：由作图可知：为线段的垂线平分线， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质；由三角形的外角性质和已知条件得出，由证明，得出对应边相等即可． 【详解】证明：∵ 在和中 ， 12．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，已知等腰三角形，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据作图方法可知，则，据此根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由作图方法可知， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）【感知】如图①，在中，分别是和的平分线． 【应用】 （1）若，则______°； （2）若，求的度数； （3）写出与之间的数量关系并证明； 【拓展】 （4）如图②，在四边形中，分别是和的平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）；证明见解析；（4） 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理求解； （3）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （4）结合（3）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】解：（1）∵、分别是和的平分线，， ， ． （2）∵分别是和的平分线， ， ， ， ； （3）；理由如下： ∵分别是和的平分线， ， ； （4）． 如图，延长，交于点， 由（3）知，， ， ， ， ， 即． 14．（20-21八年级上·甘肃陇南·期末）如图，为的高，，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点G为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为或 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）先求出，，则， 进而推出，再得出，即可解答． 根据，求出即可解决问题． （2）分两种情况：①当时．②当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：分两种情况： ①当时，则， ∴； ②当时，则， ∴； 综上所述：的度数为或． 15．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，由，可知与互补，由角平分线的定义可得，由三角形内角和定理可得，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵的平分线与的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$