基础过关-垂直平分线的性质（1）2024-2025学年苏科版数学八年级上册

基础过关-垂直平分线的性质（一） 一、单选题 1．元旦联欢会上，3 名同学分别站在 三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 2．如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段E上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．10 C．15 D．16 3．如图，内一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点，若，则的周长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E．若，的周长为，则的周长为 ．    6．如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，若的周长为2，则的长是 ． 7．如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 8．如图，平分，点为上的任意一点，，垂足为，线段的垂直平分线交于点，交于点，已知，，则的面积为 ． 9．如图，、分别是、的垂直平分线，垂足分别为、，且，，，则 °． 三、解答题 10．如图，在中，点是边上的一点．连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． (1)若的周长为19，为6，求的周长 (2)若，，求的度数． 11． 如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，过点作于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 试卷第4页，共5页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解得即可． 【详解】解：∵的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等， ∴凳子应放置的最适当的位置时在的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 2．C 【分析】本题考查的是轴对称的最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】如图： 连接交于点M， 是等腰三角形，点D为边的中点， ， 的底边长为6，面积是36， ， ， 是的垂直平分线， 点C关于直线的对称点为点A， 的长为的最小值， 的周长最短 故选C． 3．C 【分析】由与关于对称，得到为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，同理可得，由，等量代换可求得三角形的周长．此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线性质是解本题的关键． 【详解】解：与关于对称， 为线段的垂直平分线， ， 同理，与关于对称， 为线段的垂直平分线， ， ， 则的周长为． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：C． 5． 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图过程可知，是线段的垂直平分线，则，，由题意知，的周长为，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：由作图过程可知，是线段的垂直平分线， ∴，， 由题意知，的周长为， ∴的周长为 即的周长为， 故答案为：． 6． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，，再结合的周长为2即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵的周长为2， ∴， 故答案为：． 7． 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．根据题意，连接，由垂直平分得到 平分，，则，即可证明，则，即可得到的长． ，通过等边代换计算即可． 【详解】连接，如图： ∵垂直平分， ∴ 又∵平分，， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为： 8．9 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并分别求出、的长是解题的关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，垂足为， ， 是线段的垂直平分线， ， 的面积． 故答案为：9． 9．44 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，连接、，根据线段垂直平分线的性质得到，，证明，根据全等三角形的性质得到，进而计算即可． 【详解】解：如图，连接、， 、分别是、的垂直平分线， ，， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ，， ，， 故答案为：44． 10．(1)7 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的证明与性质，三角形内角和定理，邻补角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质可知，，，结合的周长，可以推出，即可得到答案； （2）根据三角形内角和定理，可知，再证明，得到，结合邻补角，得到的度数，最后结合三角形内角和定理，推出． 【详解】（1）解：垂直平分， ， 的周长为19 的周长为：7 （2）解：， 垂直平分， ， 又 11．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质得到，，再利用定理证明，利用全等三角形的性质可得结论； （2）证明得到，进而可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵的平分线与的垂直平分线相交于点，，， ∴，，， 在和， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，利用全等三角形的性质证明边相等是解答的关键． 12．(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 答案第8页，共8页 答案第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$