基础过关-垂直平分线的判定（2）2024-2025学年苏科版数学八年级上册

基础过关-垂直平分线的判定（二） 一、单选题 1．下列命题中，是真命题的是（    ） A．一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行 B．三角形的三条角平分线的交点到三角形三边距离相等 C．三角形的高线将三角形分成面积相等的两部分 D．点P到线段两个端点的距离相等，则过点P的直线是线段的垂直平分线 2．在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（    ） A． B．平分 C．线段垂直平分线段 D． 3．如图是的折纸示意图，则折痕是的（    ） A．中垂线 B．中线 C．角平分线 D．高线 4．如图，在中，点为的中点，、分别是、的角平分线，分别交、于点、，且，，，连接，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图中，，，是的中点，交于点，连接，，的周长是，那么的长是 ． 6．如图，在四边形中，，，，连接，的面积为，点E是边边上一动点，点P在线段上，连接，则的最小值是 ． 7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF，交AD于点O．下列三个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③AE+DF=AF+DE．其中，一定正确的是 （填序号）． 三、解答题 8．如图，已知点是平分线上一点，，，垂足为、． (1)吗？为什么？ (2)是的垂直平分线吗？为什么？ 9．如图，在四边形中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，且． 求证：点一定在的垂直平分线上． 10．如图，在中，平分，过点D作于M，的延长线于N，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)若，，求的长． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】本题考查命题真假的判定，解题的关键是掌握平移的性质，三角形角平分线的性质，三角形的高、线段垂直平分线的判定等知识． 根据图形的平移、三角形角平分线的性质，三角形的高、线段垂直平分线的判定逐项判断． 【详解】解：A、一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行或在一条直线上，故此选项是假命题，不符合题意； B、三角形三个内角的平分线相交于一点，这个点到三角形三边的距离相等，故此选项是真命题，符合题意； C、三角形的高线将三角形分成的两部分面积不一定相等，三角形中线将三角形分成的两部分面积相等，故此选项是假命题，不符合题意； D、点到线段的两端点距离相等，过点的直线不一定是线段的垂直平分线，故此选项是假命题，不符合题意； 故选：B． 2．D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，先证明，得出，，，根据，，得出点A、D在线段的垂直平分线，证明线段垂直平分线段． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴平分， ∵，， ∴点A、D在线段的垂直平分线， ∴线段垂直平分线段， 无法证明，故D符合题意，不符合题意． 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了折叠的性质、中垂线定义以及三角形的角平分线、中线和高线，正确掌握相关定义，即可解题． 【详解】解：根据折叠的性质得， ，，， 不是的角平分线，不是中垂线和的中线． ， ， ， 是的高线． 故答案为：D． 4．D 【分析】如图所示，延长到H，使得，连接，先求出，再证明得到，利用三角形三边的关系得到，再证明，得到垂直平分，则，即可得到． 【详解】解；如图所示，延长到H，使得，连接， ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∵、分别是、的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．14cm 【分析】由，是的中点，可得,由的周长是，可得,根据，，即可求解． 【详解】，是的中点， 是线段的垂直平分线， ， 的周长， 又， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 6． 【分析】连接AC，CP，根据，，可得BD垂直平分AC，从而得到AP=CP，进而得到PC+PE的最小值为CE的长，且当CE⊥AB时，CE最小，再根据△ABD≌△CBD，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接AC，CP， ∵，， ∴BD垂直平分AC， ∴AP=CP， ∴PA+PE=PC+PE≥CE， 即PC+PE的最小值为CE的长，且当CE⊥AB时，CE最小， ∵，，BD=BD， ∴△ABD≌△CBD， ∴， ∴， ∴，即PA+PE的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 7．②③ 【分析】①如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确；②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO，即可判断出AD⊥EF；③根据△AED≌△AFD，判断出AE=AF，DE=DF，即可判断出AE+DF=AF+DE成立． 【详解】解：如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，没有说∠A=90°，不符合题意，故①错误； ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD=∠FAD， 在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴AE=AF，DE=DF， ∴AE+DF=AF+DE，故③正确； ∵在△AEO和△AFO中， ， ∴△AEO≌△AFO（SAS）， ∴EO=FO， 又∵AE=AF， ∴AO是EF的中垂线， ∴AD⊥EF，故②正确；OA不一定等于OD，故①不一定正确； 故答案为：②③． 【点睛】此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握；此题还考查了全等三角形的判定和应用，要熟练掌握；此题还考查了矩形、正方形的性质和应用，要熟练掌握． 8．(1)．见解析； (2)是的垂直平分线．见解析 【分析】此题考查角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质． （1）．由于点是平分线上一点，根据角平分线的性质可以推出，然后利用等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据已知条件首先容易证明，从而得到，由（1）有，利用线段的垂直平分线的判定即可证明结论． 【详解】（1）解：． 理由：是的平分线， 且，， ， ； （2）解：是的垂直平分线． 理由：， 在和中， ， ， ， 由，，可知点、都是线段的垂直平分线上的点， 是线段的垂直平分线． 9．见解析 【分析】题目主要考查垂直平分线的判定和性质，熟练掌握垂直平分线的判定和性质是解题关键． 连接，根据垂直平分线的性质得出，再由等量代换得出，即可证明． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线与的垂直平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴点一定在的垂直平分线上． 10．(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定． （1）连接，，由角平分线性质可得，再证明（），可得，即点D在的垂直平分线上． （2）证明（），可得，由线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 是的平分线，，， ， 在和中， （）， ， 点D在的垂直平分线上． （2）解：在和中， （）， ，， ． ， ． 答案第2页，共8页 答案第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$