基础过关-垂直平分线的判定（1）2024-2025学年苏科版数学八年级上册

基础过关-垂直平分线的判定（一） 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（   ） A．过线段中点的直线，叫做这条线段的垂直平分线 B．若直线是线段的垂直平分线，则也是的垂直平分线 C．线段的中垂线平分线段 D．线段的中垂线有无数条 2．如图，，，，垂足分别为，，下列结论成立的是（    ） ①平分；②；③平分；④垂直平分． A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 3．如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D． 4．如图，在四边形中，点E，F分别在，边上，将沿折叠，使点落在点处，连接，．有下面四个结论： ①；②直线是线段的垂直平分线；③；④． 所有正确结论的序号为(   ) A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 5．如图，周长为16cm，，垂直平分，则 cm．    6．如图所示，是的角平分线，分别是和的高，则与的关系为 ． 7．如图，在中，，垂足为D，PQ是BC边的垂直平分线，交BC于点Q，交AC于点P，．若的周长是，，则的长是 ． 8．如图，在中，，，D为中点，，，过点E作交于F，作交的延长线于点G，连接， （1） ．（2） ．（填入数值） 三、解答题 9．如图，中，，平分，于． (1)若，求的度数； (2)求证：． 10．如图所示，相交于点． (1)求证：； (2)说明点O在的垂直平分线上． 11．如图，已知：，，，相交于点M，有． (1)试说明：； (2)若平分，试说明：垂直平分． 12．如图，，，垂足分别为、，、交于点O，． (1)求证：． (2)求证：垂直平分． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】根据线段垂直平分线具备的两个条件：①垂直这条线段；②平分这条线段逐项进行分析即可得到结论．本题主要考查了线段垂直平分线的定义，掌握段垂直平分线具备的两个条件：①垂直这条线段；②平分这条线段是解决问题的关键． 【详解】解：A．经过线段中点且与这条线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线，故本选项不符合题意； B．直线是线段的垂直平分线，则不一定是的垂直平分线，故本选项不符合题意； C．线段的中垂线平分线段，故本选项符合题意； D．线段的中垂线只有一条，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、垂直平分线定义，以及角平分线的性质和判定，由，，，可证明，再根据全等三角形的性质，即可解题． 【详解】解：，， 在和中， 有，， ， ，，， 平分，平分， ①②③正确， ，， 垂直平分， ④错误， 故选C． 3．B 【分析】如图，过点作于，于，延长交于，过作于，交于，利用可证明，得出，，可知垂直平分，得出，根据垂线段最短得出为的最小值，利用等面积法求出的长，再次利用等面积法得出即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，于，延长交于，过作于，交于， 在和中，； ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴ ∵， ∴的最小值为， ∵，，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、垂线段最短及等面积法求线段长，熟练掌握全等三角形的判定方法，正确得出的最小值是的长是解题关键． 4．D 【分析】本题考查翻折变换，线段垂直平分线的判定，多边形内角和公式，三角形外角性质，掌握翻折不变性，以及相关性质是解题的关键． 由翻折不变性，可判断①正确；由翻折不变性，可得，，可判断②正确；由多边形内角和公式和翻折不变性，可判断③正确；由三角形外角性质和翻折不变性，可判断④正确；即可解答． 【详解】解： 是由翻折得到的， ， 故①正确； 是由翻折得到的，是由翻折得到的， ，， 点E，点F都在的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， 故②正确； 是由翻折得到的， 故③正确； 设与交于点H， 是由翻折得到的， 故④正确； 综上，正确的有：①②③④， 故选：D． 5．5 【分析】由三角形的周长求出，根据线段垂直平分线的性质得出，，推出，由此求出，由此求出． 【详解】解：∵周长为16cm，， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴ ∵垂直平分， ∴ ∴ ∴， ∴ 故答案为：5． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，熟练线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 6．AD垂直平分EF 【分析】利用角平分线的性质证得，再证得，最后根据垂直平分线的判定定理可得垂直平分． 【详解】证明：设、的交点为K， 平分，，， ，， 在和中， ， ， ， AD垂直平分EF． 故答案为AD垂直平分EF． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、垂直平分线的判定等知识点，掌握到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解答本题的关键． 7．/8厘米 【分析】先根据垂直平分线的性质得到，，，再求出，，即可求出． 【详解】解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵PQ是BC边的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义和性质，熟知线段垂直平分线的性质和定义，结合题意进行线段的转化是解题关键． 8． /0.5 10 【分析】（1）根据，，得出，即可得出结论； （2）根据题意得出垂直平分，先证明，得出，再证明，得出，设，则， ，，进而得出，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵D为中点，， ∴垂直平分， ∴， 由（1）， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ，， ∵， ∴， 解得：，即， 故答案为：10． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，正确得出三角形全等是解题的关键． 9．(1) (2)见详解 【分析】（1）在中，求出即可解决问题； （2）利用等腰三角形的性质得出，，根据线段垂直平分线的判定即可证明． 本题考查了线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）证明：， ， 又平分， ， 在和中， ， ， ，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，（两点确定一条直线）， ． 10．(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键． （1）在和中，利用定理判定即可． （2）根据，证出，即可证明； 【详解】（1）证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ； （2）证明：∵， ， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 11．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直平分线的判定．熟知平行线的性质、垂直平分线的判定是解答此题的关键． （1）先根据得出，再由可知，故可得出结论； （2）先由平分得出，再根据可知，得，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴． 又∵，则 ∴， ∴； （2）∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴垂直平分． 12．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，线段垂直平分线的判定： （1）易证明得到，则可证明平分，即可证明． （2）易证明，得到，再由，即可证明垂直平分． 【详解】（1）证明：于点，于点， ， 在和中， ， ∴， ， ，， 平分， ． （2）证明由（1）知， ，， ，， ∴, ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分． 答案第8页，共9页 答案第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$