专题12 等边三角形（10大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题12 等边三角形 目录 【题型一 利用等边三角形的性质求线段长】 1 【题型二 利用等边三角形的性质求角度】 2 【题型三 利用等边三角形的性质求最值】 3 【题型四 证明等边三角形】 4 【题型五 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题】 4 【题型六 探究等边三角形中的折叠问题】 6 【题型七 探究等边三角形的三角板问题】 7 【题型八 探究等边三角形中的动态问题】 8 【题型九 探究等边三角形中线段或角度之间的关系】 9 【题型十 等边三角形中多结论问题判断正误】 10 【题型一 利用等边三角形的性质求线段长】 例题：（23-24八年级下·全国·开学考试）已知是等边三角形的高，且，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，是等边三角形，，于点D，则等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（23-24七年级下·全国·期末）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ． 【题型二 利用等边三角形的性质求角度】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，等边的顶点B在直线b上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，等边三角形，P为上一点，且，则的大小为 ．    【题型三 利用等边三角形的性质求最值】 例题：（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，在等边中，边上的高，E是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（   ） A．8 B．9 C．8.5 D．9.5 【变式训练】 1．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在等边三角形中，、是的两条中线，，是边上一个动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023·广东清远·一模）如图，等边三角形和等边三角形的边长都是，点，，在同一条直线上，点在线段上，则的最小值为 ． 【题型四 证明等边三角形】 例题：（21-22八年级上·全国·单元测试）如图，，，交于．求证：是等边三角形．    【变式训练】 1．（21-22八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点，，求证：是等边三角形． 2．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接．若，平分，求证：为等边三角形． 【题型五 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题】 例题：（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，为轴正半轴上一点，且，延长至点，使，点为轴正半轴上一动点，点在上，且，交于点． (1)求证： (2)求证：定值 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图①，在平面直角坐标系中，，C为y轴正半轴上一点，，且． (1)点B的坐标为________； (2)如图②，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿射线方向运动；同时点Q以每秒1个单位长度的速度在边上从点B向点C运动，运动时间为，当点Q运动到点C处时，两点同时停止运动．在运动过程中： ①当是直角三角形时，求t的值； ②当是等腰三角形时，的度数是________． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴正半轴上，且，点P从点B出发，沿线段方向，以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，同时点Q从点A出发，沿射线方向，当P点到达A点时，点P，Q都停止运动．设运动时间为秒． (1)当点P运动1.5秒时，，求点Q运动的速度． (2)若点Q也以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，当是直角三角形时，求点Q的坐标． 【题型六 探究等边三角形中的折叠问题】 例题：（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知等边三角形，点为线段上一点，沿折叠得，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试） 如图，是的中线，将沿折叠，使点落在点处，连接．若，，求的长． 2．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）如图，把等边沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且． (1)求的度数； (2)若，求等边的周长． 【题型七 探究等边三角形的三角板问题】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）如图，将一个有角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，则三角板的直角边的长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，将两个含角的三角板摆放在一起，其中，若，则的周长为 ．    2．（22-23七年级下·福建泉州·期中）一副三角板和如图摆放，，，若，，则下列结论错误的是（    ）    A．平分 B．平分 C． D． 【题型八 探究等边三角形中的动态问题】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达A点时，M、N同时停止运动．点M、N运动（   ）s后，可得到等边． A．1 B． C．4 D．2 【变式训练】 1．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图．在中．．若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为 2．（23-24八年级下·广东江门·期中）已知，如图，在中，，，．动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1) ． (2)求当是等边三角形时对应的值？ (3)在运动过程中，的形状不断发生变化，当为何值时，是直角三角形？说明理由． 【题型九 探究等边三角形中线段或角度之间的关系】 例题：（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，将长方形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为G，H，展平纸片，连结，，则与的关系是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）在等边中，点在直线上，点在直线上，且，连接，，交点为． (1)如图①，猜想与的关系； (2)当点，分别在，的延长线上，如图②，其他条件不变时，与又有怎样的大小关系？请写出你的猜想并证明． 2．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图1，是等边三角形，D为边上一点，连接，点C关于的对称点为点E，连接． (1)若是的平分线，求的度数； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点F， ①求的度数； ②探究，和三者之间满足的等量关系，并说明理由． 【题型十 等边三角形中多结论问题判断正误】 例题：（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知C是线段上的任意一点（端点除外），分别以为边并且在的同一侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点M，连接交于点N．给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】 1．（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，若内一点，满足，则称点为的布洛卡点．某数学兴趣小组研究一些特殊三角形的布洛卡点，得到下列两个命题：①若，则；②若，且，则点P为的三个内角平分线的交点．下列说法正确的是（   ）    A．①，②均为假命题 B．①，②均为真命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，为等边三角形，F，E分别是上的一动点，且，连接，交于点H，连接．给出下列四个结论： ①；②若，则平分； ③；④若，则． 其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）． 一、单选题 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，在直角三角形中，，将沿直线向右平移得到，连接，则下列结论中不一定成立的是（   ） A．， B． C． D．为等边三角形 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，是等边三角形，，等于（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 4．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，直线，，，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 5．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      7．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）在中，，若添加一个条件使是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一个即可） 8．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，，，，将沿射线方向平移2个单位后得到，连接，则的长为 ． 9．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，，都是等边三角形．与的关系是 ． 10．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，点D，E分别是等边三角形边上的点，且与交于点F．求证：． 12．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图， 是等边三角形， D 是 上的点，点 E 在外，  且，．求证： (1)； (2)． 13．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边上，且．求证：． 14．（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，与都是等边三角形，连结，．求证：； 15．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，若点M从点B出发以的速度向点A运动，点N从点A出发以的速度向点C运动，设M，N分别从点B，A同时出发，运动的时间为． (1)直接用含t的式子表示线段，的长． (2)当t为何值时，？并求出此时的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 等边三角形 目录 【题型一 利用等边三角形的性质求线段长】 1 【题型二 利用等边三角形的性质求角度】 3 【题型三 利用等边三角形的性质求最值】 5 【题型四 证明等边三角形】 8 【题型五 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题】 10 【题型六 探究等边三角形中的折叠问题】 17 【题型七 探究等边三角形的三角板问题】 20 【题型八 探究等边三角形中的动态问题】 23 【题型九 探究等边三角形中线段或角度之间的关系】 26 【题型十 等边三角形中多结论问题判断正误】 31 【题型一 利用等边三角形的性质求线段长】 例题：（23-24八年级下·全国·开学考试）已知是等边三角形的高，且，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形“三线合一”的性质，理解等边三角形的性质是解题关键．根据题意作出图形，然后利用等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵是等边三角形， 是等边三角形的高，， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，是等边三角形，，于点D，则等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由等边三角形的性质推出，．本题考查等边三角形的性质，关键是由等边三角形的性质推出． 【详解】解：是等边三角形， ， 于点， ． 故选：A 2．（23-24七年级下·全国·期末）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，根据题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型二 利用等边三角形的性质求角度】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，等边的顶点B在直线b上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，过C作直线l，根据等边三角形性质求出，根据平行线的性质求出，，即可求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 过C作直线l， ∵直线直线m， ∴直线直线， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，由等边三角形的性质可求解，，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得的度数，进而可求解． 【详解】解：为等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，等边三角形，P为上一点，且，则的大小为 ．    【答案】/60度 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质．根据三角形的外角的性质，得出，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， 又， ∴， 故答案为：． 【题型三 利用等边三角形的性质求最值】 例题：（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，在等边中，边上的高，E是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（   ） A．8 B．9 C．8.5 D．9.5 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识．连接，，根据等边三角形的性质可得，从而得到，当点C，E，F三点共线时，有最小值，最小值为的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵在等边中， 是边上的高， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点C，E，F三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵当时，的长最小， ∴， 即最小值为9.5． 故选：D 【变式训练】 1．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在等边三角形中，、是的两条中线，，是边上一个动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查线段最值问题，涉及等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系的应用等知识，根据题意得，且，，则，那么，，且，当P、C、E共线时，的值最小，最小值为． 【详解】解：如图，连接． ∵三角形为等边三角形， ∴， ∵是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴P、C、E共线时，的值最小，最小值为， 故选：B． 2．（2023·广东清远·一模）如图，等边三角形和等边三角形的边长都是，点，，在同一条直线上，点在线段上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，连接，证明，可得，所以，当点与点重合时，的值最小，正好等于的长，进而可得的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵和都是边长为的等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时，的值最小，正好等于的长， ∴的最小值为， 故答案为：． 【题型四 证明等边三角形】 例题：（21-22八年级上·全国·单元测试）如图，，，交于．求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定证明即可． 【详解】证明：，， ， ， ， 是等边三角形． 【变式训练】 1．（21-22八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．由在中，，，易得，，又由平分，，，即可证得，继而证得：为等边三角形． 【详解】证明：在中，，， ，， ，， 平分， ， ，， ， ， ， 为等边三角形． 2．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接．若，平分，求证：为等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理、等边三角形的判定，关键是由平行线的性质推出，由角平分线定义，三角形内角和定理推出． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 【题型五 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题】 例题：（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，为轴正半轴上一点，且，延长至点，使，点为轴正半轴上一动点，点在上，且，交于点． (1)求证： (2)求证：定值 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是点的坐标与图形，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质， （1）先求出，再由三角形外角的性质得到，，据此可证明 （2）在轴上作点，使，连接，则为等边三角形，，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等，再根据等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ， ， 由三角形的外角的性质可得， ， ； （2）证明：在轴上作点，使，连接， ，， ∴ ∴， 又∵， ∴垂直平分， ， ， ， 为等边三角形， ∴ ，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ， ， 为定值． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图①，在平面直角坐标系中，，C为y轴正半轴上一点，，且． (1)点B的坐标为________； (2)如图②，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿射线方向运动；同时点Q以每秒1个单位长度的速度在边上从点B向点C运动，运动时间为，当点Q运动到点C处时，两点同时停止运动．在运动过程中： ①当是直角三角形时，求t的值； ②当是等腰三角形时，的度数是________． 【答案】(1) (2)①t的值为或2；② 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出的长，即可得出答案； （2）①分和两种情况，根据含角的直角三角形的性质计算即可； ②分两种情况：当点P在边上时，当点P在边的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得：，， ， ， ①分两种情况：当时，如图所示：    ∵， ∴， ， 即， 解得：； 当时，如图所示：    ∴， ∴， 即， 解得：； 综上分析可知：当是直角三角形时，求t的为或2； ②当点P在边上时，如图所示： ∵是等腰三角形，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：，符合题意； 当点P在边的延长线上时，如图所示： ∵， ∴当是等腰三角形时，一定是顶角， ∴， ∴， 解得：， ∵点Q在上，当点Q运动到点C处时，两点同时停止运动，且， ∴， ∴此时不符合题意，舍去． 综上分析可知，当是等腰三角形时，的度数是． 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的概念、直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，坐标与图形，灵活运用分情况讨论思想、掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴正半轴上，且，点P从点B出发，沿线段方向，以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，同时点Q从点A出发，沿射线方向，当P点到达A点时，点P，Q都停止运动．设运动时间为秒． (1)当点P运动1.5秒时，，求点Q运动的速度． (2)若点Q也以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，当是直角三角形时，求点Q的坐标． 【答案】(1)点Q以每秒3个单位长度的速度做匀速运动 (2)或 【分析】（1）设点Q以每秒a个单位长度的速度做匀速运动，证明是等边三角形得，进而可求出求点Q运动的速度； （2）分当时和当时两种情况求解． 【详解】（1）如图， 设点Q以每秒a个单位长度的速度做匀速运动， ∵点A的坐标为， ∴． ∵，， ∴，， 由题意得，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 点Q以每秒3个单位长度的速度做匀速运动； （2）当时，如图， 由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， 由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 综上可知，当是直角三角形时，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，分类讨论是解（2）的关键． 【题型六 探究等边三角形中的折叠问题】 例题：（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知等边三角形，点为线段上一点，沿折叠得，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰及等边三角形的性质、三角形内角和定理，等边三角形的三个内角都相等，且都等于．由折叠性质可得得到，，再求出，利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可求出的度数，熟记三角形相关几何性质是解决问题的关键． 【详解】解：等边， ，， ，， ， 由折叠性质可得， ，， ， ， ， ， 故答案为：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试） 如图，是的中线，将沿折叠，使点落在点处，连接．若，，求的长． 【答案】4 【分析】本题考查的是折叠变换，等边三角形的判定与性质；解题的关键是利用折叠的性质，得出是等边三角形．根据折叠的性质可得，，根据点D是的中点，得出是等边三角形，据此即可解得的长． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点E处， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 2．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）如图，把等边沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且． (1)求的度数； (2)若，求等边的周长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及折叠性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边三角形的性质得，.因为，得，根据折叠性质以及平角的概念，列式计算，即可作答． （2）先运用勾股定理，得，因为折叠，得，结合周长公式列式代入数值，即可作答． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴. 由折叠的性质可知，. （2）解：在中，，，， ∴， ∴. 由折叠的性质可知，， ∴， ∴等边的周长. 【题型七 探究等边三角形的三角板问题】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）如图，将一个有角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，则三角板的直角边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质和勾股定理，明确题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 如图，作于H，根据含度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，作于H，    ∵三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，即，， ∴等腰直角三角形的直角边， 故选B． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，将两个含角的三角板摆放在一起，其中，若，则的周长为 ．    【答案】/30厘米 【分析】根据角所对的直角边等于斜边的一半即可得到，根据题意得到，，即可得到的周长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵两个含角的三角板摆放在一起， ∴，， ∴的周长， 故答案为： 2．（22-23七年级下·福建泉州·期中）一副三角板和如图摆放，，，若，，则下列结论错误的是（    ）    A．平分 B．平分 C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形板各角的特点，平行线的判定和性质即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，则， ∴平分，故选项正确； ∵，，如图所示，设与交于点，    ∴，由选项正确可得， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴平分错误，故选项错误； 由上述证明可得，， ∴，故选项正确； 根据上述证明可得，， ∵，且， ∴， ∴， ∴，故选项正确； 故选：． 【点睛】本题主要考查平行性中三角板的计算，掌握三角板中各角度的关系，平行性的判定和性质是解题的关键． 【题型八 探究等边三角形中的动态问题】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达A点时，M、N同时停止运动．点M、N运动（   ）s后，可得到等边． A．1 B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，掌握等边三角形的判定是解题的关键． 设点M、N运动后，可得到等边，求出，由等边三角形的性质得到，当时，是等边三角形，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：设点M、N运动后，可得到等边， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴时，是等边三角形， ∴， ∴， ∴点M、N运动后，可得到等边 故选：C． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图．在中．．若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为 【答案】，或4.8 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理， 30度角所对的直角边是斜边的一半，分三种情况讨论，当时，则，，当时，，再分别列出方程求解即可 【详解】解：①如图（1），当时，则，， ∵ ∴ 解得：； ②如图（2），当时， ∵， ∴， ∴ 若则， 解得，， ③当时， ∵ ∴， ∴， 若时，则； 故答案为 ，或4.8 2．（23-24八年级下·广东江门·期中）已知，如图，在中，，，．动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1) ． (2)求当是等边三角形时对应的值？ (3)在运动过程中，的形状不断发生变化，当为何值时，是直角三角形？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当为或时，是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据含角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）求出，得出要使是等边三角形，则有，由题意表示出，，从而得出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案； （3）求出，由题意表示出，，由是直角三角形结合含角的直角三角形的性质得出或，分情况列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴； （2）解：∵在中，，， ， ∴要使是等边三角形，则有， 由题意得：，，则， ∴， 解得：， ∴当是等边三角形时对应的值为； （3）解：当为或时，是直角三角形，理由如下： ∵在中，，， ， 由题意得：，，则， 是直角三角形， ∴或， 当时，，解得， 当时，，解得：， 综上所述，当为或时，是直角三角形． 【题型九 探究等边三角形中线段或角度之间的关系】 例题：（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，将长方形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为G，H，展平纸片，连结，，则与的关系是 ． 【答案】相等 【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握翻折变换的性质、证明三角形全等是解题的关键．由翻折知，垂直平分，则；又由翻折知，，；从而得是等边三角形，则得；再证明得，即可得两角的关系． 【详解】解：由第一次翻折知，垂直平分， ； 又由第二次翻折知，，； ， 是等边三角形， ， ，； 点的对应点为点H， ； ， ， ， ． 故答案为：相等． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）在等边中，点在直线上，点在直线上，且，连接，，交点为． (1)如图①，猜想与的关系； (2)当点，分别在，的延长线上，如图②，其他条件不变时，与又有怎样的大小关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理和性质定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质和证明，再根据全等的性质得到，最后根据三角形外角的性质得出结论． （2）同理，先证，再根据全等的性质得到，再根据三角形外角的性质以及等边三角形的性质得出结论． 【详解】（1）猜想，理由如下： 在等边中，，， 又∵， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∴． （2）猜想，理由如下： 在等边中，，， 又∵， 在和中  ,    ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 2．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图1，是等边三角形，D为边上一点，连接，点C关于的对称点为点E，连接． (1)若是的平分线，求的度数； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点F， ①求的度数； ②探究，和三者之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，②，理由见解析 【分析】本题考查的是轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）设，由等边三角形的性质结合轴对称的性质可得答案； （2）①设， 证明，可得，再结合等腰三角形的性质与内角和定理可得答案；②在上截取，连接，再证明，可得，再结合轴对称的性质可得结论． 【详解】（1）解：设，为等边三角形， ∴， ∵点C关于的对称点为点E， ∴， ∴， ∵平分，则， ∴， ∴， ∴； （2）①设， 由（1）可知； ∵C，E关于对称，则， ∵为等边三角形，则 ∴ ∴， ∴； ②，理由如下， 在上截取，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 在和中 ∴， ∴， 又E和C关于对称， ∴， ∴． 【题型十 等边三角形中多结论问题判断正误】 例题：（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知C是线段上的任意一点（端点除外），分别以为边并且在的同一侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点M，连接交于点N．给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的判定，先由等边三角形的性质得到，再证明得到，即可判断①；进一步证明得到，，即可判断②；再证明是等边三角形，得到，即可判断③；根据现有条件无法证明，则无法证明，即可判断④． 【详解】证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，，故②正确； ∴是等边三角形， ∴， ∴，故③正确； 根据现有条件无法证明， ∴无法证明，故④错误； ∴正确的有3个， 故选：C． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，若内一点，满足，则称点为的布洛卡点．某数学兴趣小组研究一些特殊三角形的布洛卡点，得到下列两个命题：①若，则；②若，且，则点P为的三个内角平分线的交点．下列说法正确的是（   ）    A．①，②均为假命题 B．①，②均为真命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．当时，利用得到，然后根据三角形内角和可判断①为真命题；当时，且，则是等边三角形， 有，可证明，， 可得，从而得出点P为的三个内角平分线的交点．所以②为真命题． 【详解】解：当时，则， ， ， ，所以①为真命题； 当时，且， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，即， ， 点P为的三个内角平分线的交点． 所以②为真命题． 故选：B 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，为等边三角形，F，E分别是上的一动点，且，连接，交于点H，连接．给出下列四个结论： ①；②若，则平分； ③；④若，则． 其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质，证明，利用全等三角形的性质可以判断①③，利用垂直平分线的判定可以判断②，利用等腰三角形和全等三角形可以判断④． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴是的垂直平分线， ∴平分，故②正确； ∵， ∴， ∴， 即，故③不正确； 如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴，   又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 故答案为：①②④． 一、单选题 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，在直角三角形中，，将沿直线向右平移得到，连接，则下列结论中不一定成立的是（   ） A．， B． C． D．为等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质．利用平移的性质可对A选项和B选项进行判断；先利用平移的性质得到，再利用和平行线的性质可判断，从而可对C选项进行判断；没有条件得出为等边三角形，可对D选项进行判断． 【详解】解：∵沿直线向右平移得到， ∴，，，故A、B选项的结论正确，不符合题意； ∵沿直线向右平移得到， ∴， ∵， ∴，C选项的结论正确，不符合题意； 没有条件得出为等边三角形，D选项的结论错误，符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，是等边三角形，，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，根据等边三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，由此即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：C ． 3．（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，等边三角形的判定和性质．①根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出．②首先根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出；然后根据，可得为等边三角形，所以，据此判断出即可．③根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出．④首先根据，可得，然后判断出，再根据，即可判断出．⑤，据此判断即可． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，结论①正确． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，结论②正确． ∵， ∴，结论③正确． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，结论④不正确． ∵，结论⑤正确． 综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤． 故选：C． 4．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，直线，，，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角性质，等边三角形的判定，求出是银题的关键． 先由平行线的性质得，从而可求得，即可由等边三角形的判定定理得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 故选：C． 5．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， 是中点，即垂直平分， ， ， 即当、、三点共线时，有最小值， 点是边的中点， ， ， ∵等边中，， ∴， ∵， ∴此时， ∴． 故选：C． 二、填空题 6．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      【答案】10 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求三角形的面积，连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】如图所示． 连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：10．    7．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）在中，，若添加一个条件使是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等角对等边，等边三角形的判定，解题的关键是掌“等角对等边”，以及三条边相等的三角形是等边三角形；三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形． 根据得出，结合等边三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴，即是等边三角形； ②当时， ∵， ∴，即是等边三角形； ③当时， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 故答案为：（答案不唯一） 8．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，，，，将沿射线方向平移2个单位后得到，连接，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平移的性质，等边三角形的性质与判定，根据平移的性质可得，，，则可证明是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可得解． 【详解】解：沿射线方向平移2个单位后得到， ，，， ∴， ∴ 是等边三角形， ， 故答案为：4． 9．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，，都是等边三角形．与的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用等边三角形的性质以及等式的性质可得出，，，然后证明，最后利用全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】解∶∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ 故答案为∶ ． 10．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的性质和等边三角形的证明，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判定是解题的关键，连接，，易证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，， ∴， ∵，分别是，的中垂线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，点D，E分别是等边三角形边上的点，且与交于点F．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查 了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由等边三角形得再证明，即可作答． 【详解】证明：为等边三角形， 在和中， 12．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图， 是等边三角形， D 是 上的点，点 E 在外，  且，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，平行线的判定—“同旁内角互补，两直线平行”，掌握全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，平行线的判定是解题的关键． （1）由 是等边三角形得出，在根据已知条件即可得证； （2）由（1）得可得，再利用 是等边三角形，得出，即可得证． 【详解】（1）证明： 是等边三角形， 在和中， （2）由（1）得 又 是等边三角形， ， ， ． 13．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．由等边三角形的性质，得到，，根据证出即可； 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， 在与中， ∴， ∴． 14．（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，与都是等边三角形，连结，．求证：； 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质由等边三角形的性质得，，，再证，然后由判定即可； 【详解】证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ； 15．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，若点M从点B出发以的速度向点A运动，点N从点A出发以的速度向点C运动，设M，N分别从点B，A同时出发，运动的时间为． (1)直接用含t的式子表示线段，的长． (2)当t为何值时，？并求出此时的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质和平行线的性质， （1）根据含30度角的直角三角形的性质即可使用含有t的代数式表示； （2）根据题意找到平行的条件，结合含30度角的直角三角形的性质列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴，； （2）解：当时，． ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴当时，， 则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$