专题11 等腰三角形（10大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题11 等腰三角形 目录 【题型一 利用等边对等角求解】 1 【题型二 利用等边对等角进行证明】 2 【题型四 利用三线合一证明】 4 【题型五 格点中画等腰三角形】 5 【题型六 找出图中的等腰三角形】 5 【题型七 利用等角对等边证明等腰三角形】 6 【题型八 利用等角对等边求边长或证明边相等】 7 【题型九 尺规作等腰三角形】 8 【题型十 确定已知两点构成等腰三角形的点】 9 【题型一 利用等边对等角求解】 例题：（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，垂直平分交于，交于，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·湖北·模拟预测）如图，，点在上，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·天津·期末）如图，点P为内一点，过点P的线段分别交，于点M，N，且M，N分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为 【题型二 利用等边对等角进行证明】 例题：（2024·福建南平·二模）如图，线段和相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点A是上一点，交于点B，且，过点B作于点D，连接，若，则的周长为 ．    【题型三 利用三线合一求解】 例题：（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，的顶点，，且，，则点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知点为中点，，过点作，垂足为点，若，则 ． 【题型四 利用三线合一证明】 例题：（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：①；②；③平分；④垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（22-23八年级上·甘肃庆阳·期末）如图所示，在中，，，垂足为点，，交于点，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，四边形中，，平分，，求证：． 【题型五 格点中画等腰三角形】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 2．（23-24八年级上·山西晋城·期末）如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有 个． 【题型六 找出图中的等腰三角形】 例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 【题型七 利用等角对等边证明等腰三角形】 例题：（23-24八年级上·广东广州·期中）在中，，，则是（    ）． A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，平分，，则是 三角形．    2．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，平分，且，求证：为等腰三角形． 【题型八 利用等角对等边求边长或证明边相等】 例题：1．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）如图，在中，的平分线交于点O，过点O作分别交于点E，F，若，则的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，，，，，为的中点，连接，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，是的平分线，交于点E，若，则 ． 【题型九 尺规作等腰三角形】 例题：（2024·河北石家庄·一模）如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式训练】 1．（22-23九年级上·山东德州·期中）已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画，交于点C．②以D为圆心，长为半径画，与交于点E，连接并延长，使的延长线交于点P，连接，则的度数为 ． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：线段a，h，求作等腰，使底边，高，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）． 【题型十 确定已知两点构成等腰三角形的点】 例题：（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，顶点，，，的坐标分别为，，，，点在轴上，点在边上运动，使为等腰三角形，则满足条件的点有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式训练】 1．已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（    ）个 A．4 B．6 C．8 D．10 2．（23-24八年级上·北京昌平·期末）如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个. 一、单选题 1．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试） 如图，在中，，高，高交于点H．若，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖北随州·阶段练习）如图，已知中，，F是高和的交点，，则线段的长度为（    ） A． B．4 C．5 D． 3．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，直线，的顶点A在直线上，，，分别交直线于点和点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，点A和点是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 5．（2024·广东·模拟预测）如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以B、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点M、N； ②作直线交于点D，连接；若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，，的长是 ． 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数为 ． 8．（23-24九年级上·海南·阶段练习）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，交与M、N两点，作直线，交于点D，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，平分，于点，交于点，若，则 ． 10．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）推理填空：如图，已知，作的平分线，将直角尺如图摆放，使边与边重合，顶点落在边上，边与交于点，猜想是等腰三角形． 证明：平分（已知） （①__________） ， ②__________（③__________） ④__________⑤__________（⑥__________） （⑦__________） 是等腰三角形． 12．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知如图，四边形中，，，求证：． 13．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，且． (1)作的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接，延长，交直线于点F；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，求证：． 14．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，，求的长． 15．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，，点在斜边上，且．过点作交直线于点，过点作交直线于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)连接，若，，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 等腰三角形 目录 【题型一 利用等边对等角求解】 1 【题型二 利用等边对等角进行证明】 3 【题型四 利用三线合一证明】 8 【题型五 格点中画等腰三角形】 11 【题型六 找出图中的等腰三角形】 13 【题型七 利用等角对等边证明等腰三角形】 15 【题型八 利用等角对等边求边长或证明边相等】 17 【题型九 尺规作等腰三角形】 20 【题型十 确定已知两点构成等腰三角形的点】 22 【题型一 利用等边对等角求解】 例题：（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，垂直平分交于，交于，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形内角和定理，求出的度数，根据是的垂直平分线，可知，，结合是的外角，即可算出答案． 【详解】解：， 是的垂直平分线 故选：C． 【变式训练】 1．（2024·湖北·模拟预测）如图，，点在上，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由平行线的性质得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，最后由平角的定义可得答案. 【详解】解：， ， 又， ， ，即， ， ， 故选：B． 2．（23-24八年级上·天津·期末）如图，点P为内一点，过点P的线段分别交，于点M，N，且M，N分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为 【答案】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到，再由平角的定义得到，据此根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵M、N分别在的中垂线上， ∴ ， 又， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【题型二 利用等边对等角进行证明】 例题：（2024·福建南平·二模）如图，线段和相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对顶角的性质可判断A，根据三角形外角的性质可判断B，根据平行线的性质可判断C，根据等腰三角形的性质可判断D． 【详解】解：A．∵与是对顶角，∴，故A正确； B．∵是的外角，∴，故B不正确； C．∵与不一定平行，∴与不一定相等，故C不正确； D．∵与不一定相等，∴与不一定相等，故D不正确． 故选A． 【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行线的性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质判断即可． 【详解】解：，是的中点， ，，， 而不一定成立， 故选：B． 2．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点A是上一点，交于点B，且，过点B作于点D，连接，若，则的周长为 ．    【答案】11 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 根据等边对等角得，根据平行线的性质得，于是有，结合，根据证明，利用全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴的周长为： 故答案为：11． 【题型三 利用三线合一求解】 例题：（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义即可得出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】是的中线，，， ， 是的角平分线， ， ∴． 故选：C． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，的顶点，，且，，则点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于轴、轴对称的点的坐标，等腰直角三角形的性质．过点作于，根据等腰直角三角形的性质可得，从而求出点的坐标，再根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：如图，过点作于， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 点的坐标为， 点关于轴对称点的坐标是． 故选：C． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知点为中点，，过点作，垂足为点，若，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形判定以及性质，过C点作交与点G，由线段中点的定义可得出，由等腰三角形三线合一的性质可得出，，由等角的补角相等可得出，再证明，由全等三角形的性质可得出，由线段的和差关系可得出，进一步即可得出答案． 【详解】解：过C点作交与点G， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：1． 【题型四 利用三线合一证明】 例题：（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：①；②；③平分；④垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查三线合一．根据三线合一进行判断即可． 【详解】解：∵直线经过线段的中点，点在直线上，且， ∴，平分，垂直平分线段， 故①③④正确， 条件不足，无法求出的度数，故②错误； 故选C． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·甘肃庆阳·期末）如图所示，在中，，，垂足为点，，交于点，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质解答． 【详解】解：，， ，A正确，不符合题意； ，B正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ，C正确，不符合题意； 与的关系不确定，D错误，符合题意； 故选：D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，四边形中，，平分，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三线合一定理，全等三角形的性质与判定，取中点，连接，则由三线合一定理得到，再证明，进而证明，则，即可证明． 【详解】证明：如图，取中点，连接， ，点E是的中点， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【题型五 格点中画等腰三角形】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根据线段构造等腰三角形，可分别以当为腰时，当为底时，这两种情况构造等腰三角形，即可找出点C． 【详解】解：当为腰时，点C的个数有2个； 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为底边时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图，当为底边时，以为底边的等腰三角形有3个， ； 如图，当为腰时，以为腰的等腰三角形有2个， ； 综上所述，使为等腰三角形的点有个， 故选：B． 2．（23-24八年级上·山西晋城·期末）如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有 个． 【答案】5 【分析】此题考查等腰三角形的判定．由已知条件，分别为腰找等腰三角形和为底找等腰三角形，即可． 【详解】解：如图，分别为腰画出等腰三角形和为底画出等腰三角形， 符合条件的点C有5个， 故答案为：5． 【题型六 找出图中的等腰三角形】 例题：（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，为等腰三角形， ， ∴，为等腰三角形， ∵，， ∴ ∴，为等腰三角形． 综上所述：共有5个等腰三角形． 故选C． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴ ， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴、是等腰三角形， 故图中共有5个等腰三角形， 故选：C． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 【题型七 利用等角对等边证明等腰三角形】 例题：（23-24八年级上·广东广州·期中）在中，，，则是（    ）． A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，以及等腰三角形的判定，求出的度数即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， ， ∴， ∴， 则是等腰三角形． 故选B． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，平分，，则是 三角形．    【答案】等腰 【分析】本题考查了角平分线的定义以及平行线的性质，根据等角对等边证明等腰三角形，先得出，结合平行线的性质得，进行角的等量代换，得出，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 则 ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰． 2．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，平分，且，求证：为等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，首先根据角平分线的定义得出，然后根据平行的性质，得出，，进而得出，即可得证． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，． ∴． ∴为等腰三角形． 【题型八 利用等角对等边求边长或证明边相等】 例题：1．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）如图，在中，的平分线交于点O，过点O作分别交于点E，F，若，则的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证和等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答．本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，，，，，为的中点，连接，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形，等腰三角形，平行线的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 延长交于点，根据平行线的性质和为的中点，证明，求出，，再根据等腰三角形的性质，可得的长，即可选出正确答案． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ∵， ∴，， 又∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选B． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，是的平分线，交于点E，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 先求出的长，再根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定得到即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴, ∵， ∴， ∴, ∴． 故答案为：． 【题型九 尺规作等腰三角形】 例题：（2024·河北石家庄·一模）如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查尺规作图规范和平行线的判定，解题的关键在于明白尺规作图的原理．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A选项利用等腰三角形性质等边对等角，角平分线的定义及内错角相等证明两直线平行， B选项利用同位角相等判定两直线平行， C选项无法判断两直线平行， D选项利用内错角相等即可证明两直线平行， 故选：C． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·山东德州·期中）已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画，交于点C．②以D为圆心，长为半径画，与交于点E，连接并延长，使的延长线交于点P，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】由作法得，，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再计算出，然后计算即可． 【详解】解：由作法得，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：线段a，h，求作等腰，使底边，高，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）． 【答案】见解析 【分析】根据线段的基本作图，线段的垂直平分线的基本作图，解答即可． 本题考查了线段的基本作图，线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图的基本技能是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图的步骤，作图如下： （1）作射线； （2）在射线上截取； （3）作的中垂线，交于点D； （4）截取， 则等腰就是所求的三角形． 【题型十 确定已知两点构成等腰三角形的点】 例题：（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，顶点，，，的坐标分别为，，，，点在轴上，点在边上运动，使为等腰三角形，则满足条件的点有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的判定，分别以、为圆心，以的长为半径作圆与相交，再作的垂直平分线与相交，交点即为所求的点． 【详解】解：如图，满足条件的点有3个． 故选：A． 【变式训练】 1．已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（    ）个 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据等腰三角形定义，画出图形即可解决问题． 【详解】解：如图，以点A为圆心，为半径画圆， 以点B为圆心，为半径画圆，以点B为圆心，为半径画圆， 以点C为圆心，为半径画圆，以点C为圆心，为半径画圆， 再作，，的垂直平分线，分别得到8个点P， 则满足条件的所有点的个数为8， 故选：C．    【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 2．（23-24八年级上·北京昌平·期末）如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个. 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，根据题意，分三种情况求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 【详解】解：如图， ①以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、， 此时，和为等腰三角形， ②以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， ③作的垂直平分线，与与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 即满足条件的点位置有4个， 故答案为：4． 一、单选题 1．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试） 如图，在中，，高，高交于点H．若，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质．解决本题的根据是证明．先由已知得到，根据三角形面积求出，证明，即可求得继而可得答案． 【详解】解：，， ∴为等腰直角三角形， ， ∵， ∴， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（23-24八年级上·湖北随州·阶段练习）如图，已知中，，F是高和的交点，，则线段的长度为（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定，先根据等腰直角三角形的性质得，再证明，然后根据“角边角”证明，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，直线，的顶点A在直线上，，，分别交直线于点和点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题本题主要考查了平行线．熟练掌握两直线平行，内错角相等，等边对等角，三角形外角性质，直角三角形两锐角互余，是解决问题的关键． 先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数，再由得出的度数，根据平角的定义即可得出结论． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，点A和点是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题和要考查了全等三角形．解题的关键是熟练掌握全等三角形性质，等边对等角，三角形内角和，平行线的性质．根据全等三角形的性质得到，从而得到，求出，根据平行线的性质得到，从而得到关于α和β的关系，化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．（2024·广东·模拟预测）如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以B、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点M、N； ②作直线交于点D，连接；若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：， ， ， 由作图可知，垂直平分， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 二、填空题 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，，的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可求得，再根据含有角的直角三角形的性质即可求得，进而得到线段的长度． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴； 故答案为：． 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．解题的关键是要注意分类讨论，不要漏解．等腰三角形的一个内角是，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分开计算． 【详解】解：若等腰三角形一个底角为，则顶角为； 若等腰三角形的顶角为． 因此这个等腰三角形的顶角的度数为或． 故选答案为：或． 8．（23-24九年级上·海南·阶段练习）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，交与M、N两点，作直线，交于点D，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则，可得．再结合，可得的度数． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，平分，于点，交于点，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质．根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，然后根据等角的余角相等求出，根据等角对等边可得，从而得到． 【详解】解：是的平分线， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ． 故答案为：4． 10．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，由此可得，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当三点共线且时最短，根据三角形的面积公式可求出的长，即的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 如图，当三点共线且时， ，此时最小，即的值最小， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）推理填空：如图，已知，作的平分线，将直角尺如图摆放，使边与边重合，顶点落在边上，边与交于点，猜想是等腰三角形． 证明：平分（已知） （①__________） ， ②__________（③__________） ④__________⑤__________（⑥__________） （⑦__________） 是等腰三角形． 【答案】①角平分线的定义；②；③两直线平行，内错角相等；④；⑤；⑥等量代换；⑦等角对等边 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，涉及了角平分线的定义、平行线的性质等知识点，按照推理过程即可求证； 【详解】证明：平分（已知） （角平分线的定义） ， （两直线平行，内错角相等） （等量代换） （等角对等边） 是等腰三角形． 12．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知如图，四边形中，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定方法，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．连接，使这个四边形变成两个三角形，然后利用等腰三角形的性质，可得． 【详解】证明：连接， 中，， ． 又，，； ． （等角对等边）． 13．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，且． (1)作的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接，延长，交直线于点F；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，证明是等腰三角形是解题的关键． （1）作图：分别以为圆心，大于为半径作圆弧相交于两点，过两点作直线，交于点D，交于点，即可求解； （2）根据和（1）的结论，证明是等腰三角形，且，即可证明． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）如（1）中所作的图 ，且 是的垂直平分线 ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 又， ． 14．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)13 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键； （1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：连接， ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 15．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，，点在斜边上，且．过点作交直线于点，过点作交直线于点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)连接，若，，求的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）根据等腰直角三角形的性质得到，根据等边对等角和三角形内角和计算即可； （），，得，，，然后通过证明即可； （）由，根据全等三角形的性质和三角形面积公式即可求解； 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴，，， 由（）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$