专题10 线段垂直平分线的判定与性质（10大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题10 线段垂直平分线的判定与性质 目录 【题型一 由垂直平分线的性质求线段长】 1 【题型二 由垂直平分线的性质求周长】 2 【题型三 由垂直平分线的性质求角度】 3 【题型四 由垂直平分线的性质求最值】 4 【题型五 由垂直平分线的性质探究线段之间的关系】 5 【题型六 由垂直平分线的性质进行证明】 5 【题型七 证明线段的垂直平分线】 6 【题型八 尺规作线段的垂直平分线】 8 【题型九 线段的垂直平分线的实际应用】 8 【题型十 线段的垂直平分线的性质与判定的综合应用】 9 【题型一 由垂直平分线的性质求线段长】 例题：（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，线段的垂直平分线分别交于点，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练】 1．（20-21八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，的周长为20，的长为8，则为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示中，，的垂直平分线交于，的周长是，则 ． 【题型二 由垂直平分线的性质求周长】 例题：（23-24七年级下·山东东营·开学考试）如图，内一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点，若，则的周长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·期末）如图，中边的垂直平分线分别交于点D、E，的周长为，则的周长是（   ） A．9 B．12 C．15 D．21 2．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，分别为，的垂直平分线，如果，那么的周长为 ．    【题型三 由垂直平分线的性质求角度】 例题：（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，，是的垂直平分线，，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，，的垂直平分线交于D，则的度数为（   ）度 A．48 B．8 C．18 D．52 2．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，中，、两点分别在、上，为的中垂线，为的角平分线，若，则 ． 【题型四 由垂直平分线的性质求最值】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，垂直平分，点为形线上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8.5 B．9 C．12 D．12.5 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段E上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．10 C．15 D．16 2.（22-23八年级上·天津东丽·期末）如图，在四边形ABCD中，，M，N分别是BC，DC上的点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型五 由垂直平分线的性质探究线段之间的关系】 例题：（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）若点在线段的垂直平分线上，则、的关系是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，D是直线上一动点（不与点A，B重合）．若，点D在边上，，交直线于点E，交直线于点F． (1)线段三者之间的数量关系是_______． (2)若点D在的延长线上，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请画出图形，并直接写出三者之间的数量关系． (3)若点D在边上，且，请判断三者之间的数量关系，并说明理由． 【题型六 由垂直平分线的性质进行证明】 例题：（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是线段的垂直平分线，垂足为O，点C、D在上．求证：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，，，且F是的中点，求证：． 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末） 如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，过点作于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型七 证明线段的垂直平分线】 例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，平面上的四边形是一个“风筝”形的骨架，其中是的平分线，． 求证：是线段的垂直平分线． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，，，垂足分别为、，、交于点O，． (1)求证：． (2)求证：垂直平分． 2．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知中，，点，分别为，上的点，．    (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 【题型八 尺规作线段的垂直平分线】 例题：（2024·广东潮州·模拟预测）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结，交于点P．若，的周长为10，则的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式训练】 1．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，交于点E，连接，则的周长为 ． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，用尺规作图，作的角平分线，的垂直平分线．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【题型九 线段的垂直平分线的实际应用】 例题：（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（    ） A． 三边中线的交点 B．三条角平分线交点 C．三边中垂线的交点 D．三边上高交点 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南许昌·期中）元旦联欢会上，3 名同学分别站在 三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 2．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，一形状为四边形的风筝（四边形），测量得：， cm， cm， cm，则此风筝的大小为（即四边形的面积） cm2．             【题型十 线段的垂直平分线的性质与判定的综合应用】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，是的角平分线，，分别是和的高，连接交于G．下列结论：①；②垂直平分；③垂直平分；④平分．其中正确的结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】 1．（23-24八年级下·重庆·开学考试）如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．    (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 一、单选题 1．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）    A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 2．（23-24七年级下·全国·期末）如图，已知直线l是线段的垂直平分线，垂足为O，M，N是直线l上两点．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，为中边的中垂线，，则的周长是（ ） A．16 B．18 C．26 D．28 4．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，作边的垂直平分线，交边于点，连接．若，，则的周长为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，是的中垂线，的周长为14，，则的长为 ． 7．（23-24七年级下·全国·期末）（1）已知正边形的一个外角是，则 ； （2）如图，在中，，的垂直平分线交于，的垂直平分线交与，则的周长等于 ； （3）如图所示，在中，已知点，，分别为，，的中点．且，则图中的面积 ； （4）中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米秒，则当与全等时，的值为 厘米秒． 8．（23-24八年级下·宁夏固原·开学考试）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为 ． 9．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线分别交，于，两点，若，，则的周长为 ． 10．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则 ． 三、解答题 11．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，中，，平分，于． (1)若，求的度数； (2)求证：． 12．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，的顶点均在格点上，直线经过网格格点．请完成下列各题： (1)画出关于直线的对称的． (2)的面积为 ． (3)①利用网格，在直线上画出点P，使． ②利用网格，在直线上画出点Q，使的值最小． 13．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．（23-24七年级下·全国·期末）如图，在中，平分交于点． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交于点，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） (2)求证：，请根据下列证明思路完成填空： 证明：∵ ， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ， ∴在和 中， ∴（ ）． ∴ ． ∵是线段的垂直平分线， ∴ ． ∴． 15．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，于点D，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 线段垂直平分线的判定与性质 目录 【题型一 由垂直平分线的性质求线段长】 1 【题型二 由垂直平分线的性质求周长】 3 【题型三 由垂直平分线的性质求角度】 5 【题型四 由垂直平分线的性质求最值】 7 【题型五 由垂直平分线的性质探究线段之间的关系】 10 【题型六 由垂直平分线的性质进行证明】 13 【题型七 证明线段的垂直平分线】 16 【题型八 尺规作线段的垂直平分线】 20 【题型九 线段的垂直平分线的实际应用】 22 【题型十 线段的垂直平分线的性质与判定的综合应用】 24 【题型一 由垂直平分线的性质求线段长】 例题：（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，线段的垂直平分线分别交于点，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查求线段长，涉及中垂线的性质，根据是的垂直平分线，由中垂线的性质得到，即可得到答案，熟记中垂线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， 故选：C． 【变式训练】 1．（20-21八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，的周长为20，的长为8，则为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式进行计算，得到答案． 【详解】垂直平分， ， ∴的周长， 又， ． 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示中，，的垂直平分线交于，的周长是，则 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解． 【详解】 解：是的垂直平分线， ， 的周长， ，的周长是， ． 故答案为：． 【题型二 由垂直平分线的性质求周长】 例题：（23-24七年级下·山东东营·开学考试）如图，内一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点，若，则的周长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由与关于对称，得到为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，同理可得，由，等量代换可求得三角形的周长．此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线性质是解本题的关键． 【详解】解：与关于对称， 为线段的垂直平分线， ， 同理，与关于对称， 为线段的垂直平分线， ， ， 则的周长为． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·期末）如图，中边的垂直平分线分别交于点D、E，的周长为，则的周长是（   ） A．9 B．12 C．15 D．21 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是线段的垂直平分线，， ，， 的周长为， ， 的周长， 故选：C 2．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，分别为，的垂直平分线，如果，那么的周长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质．根据垂直平分线的性质得到，，再由得到答案． 【详解】解：，分别为，的垂直平分线， ，， ， ． 故答案为：． 【题型三 由垂直平分线的性质求角度】 例题：（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，，是的垂直平分线，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线、三角形内角和定理、等腰三角形的性质的应用，掌握线段垂直平分线、三角形内角和定理、等腰三角形的性质的应用是解本题的关键． 根据线段垂直平分线求出，推出，根据三角形内角和定理得出，即可求出答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，，的垂直平分线交于D，则的度数为（   ）度 A．48 B．8 C．18 D．52 【答案】C 【分析】本题考查等边对等角，中垂线的性质，对边对等角求出的度数，中垂线的的性质，推出，再利用的角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的垂直平分线交于D， ∴， ∴， ∴； 故选C． 2．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，中，、两点分别在、上，为的中垂线，为的角平分线，若，则 ． 【答案】/62度 【分析】本题考查了角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．根据角平分线的定义可得，结合线段垂直平分线的性质可推出，然后根据三角形的内角和定理求出、，即可求解． 【详解】解：为的中垂线，， ， ， 为的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型四 由垂直平分线的性质求最值】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，垂直平分，点为形线上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8.5 B．9 C．12 D．12.5 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，设交于点，连接，根据垂直平分线的性质得出 ，当点与点重合时，的周长最小，据此即可求解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，设交于点，连接， ∵垂直平分， 的周长为： ， 当点与点重合时，的周长最小， ∵，， ∴的周长最小值为： 故选B． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段E上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．10 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】如图： 连接交于点M， 是等腰三角形，点D为边的中点， ， 的底边长为6，面积是36， ， ， 是的垂直平分线， 点C关于直线的对称点为点A， 的长为的最小值， 的周长最短 故选C． 2.（22-23八年级上·天津东丽·期末）如图，在四边形ABCD中，，M，N分别是BC，DC上的点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，即可得出，进而得出即可得出答案． 【详解】解：作A关于和的对称点，连接，交于M，交于N，则即为的周长最小值．作延长线， ∵， ∴， ∴， ∵， 且， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键． 【题型五 由垂直平分线的性质探究线段之间的关系】 例题：（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）若点在线段的垂直平分线上，则、的关系是 ． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可直接得出答案． 【详解】解：点在线段的垂直平分线上， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，D是直线上一动点（不与点A，B重合）．若，点D在边上，，交直线于点E，交直线于点F． (1)线段三者之间的数量关系是_______． (2)若点D在的延长线上，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请画出图形，并直接写出三者之间的数量关系． (3)若点D在边上，且，请判断三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)（1）中的结论不成立，图见解析， (3)．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，即可得解； （2）根据题意画出图形，证明，得出，即可得解； （3）证明，得出，，证明是的垂直平分线，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论不成立， 根据题意画出图形如图所示： ，，，三者之间的数量关系为：，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 【题型六 由垂直平分线的性质进行证明】 例题：（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是线段的垂直平分线，垂足为O，点C、D在上．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，据此可证明，进而可证明． 【详解】证明：∵是线段的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，，，且F是的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质．由题意得是线段的垂直平分线，推出，利用证明，即可得到． 【详解】证明：连接， ∵，且F是的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末） 如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，过点作于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质得到，，再利用定理证明，利用全等三角形的性质可得结论； （2）证明得到，进而可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵的平分线与的垂直平分线相交于点，，， ∴，，， 在和， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，利用全等三角形的性质证明边相等是解答的关键． 【题型七 证明线段的垂直平分线】 例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，平面上的四边形是一个“风筝”形的骨架，其中是的平分线，． 求证：是线段的垂直平分线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键，实际上，要判定一条直线是一条线段的垂直平分线，至少应找出直线上的两点在这条线段的垂直平分线上．证明．得，．再利用线段垂直平分线的判定即可得证． 【详解】∵是的平分线， ∴． 在和中， ∴． ∴，． ∴，两点都在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分， 即是线段的垂直平分线． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，，，垂足分别为、，、交于点O，． (1)求证：． (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，线段垂直平分线的判定： （1）易证明得到，则可证明平分，即可证明． （2）易证明，得到，再由，即可证明垂直平分． 【详解】（1）证明：于点，于点， ， 在和中， ， ∴， ， ，， 平分， ． （2）证明由（1）知， ，， ，， ∴, ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分． 2．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知中，，点，分别为，上的点，．    (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，可得，利用，进而证明； （2）由则在的中垂线上，再证明可得，故在的中垂线上，则垂直平分． 本题考查三角形全等的判定和性质定理、中垂线的判定定理，理解题意是解决问题的关键． 【详解】（1）解： 与全等； 理由：，， 即， 在与中， ， ； （2）解：如图：连接，    由（1）， 在的中垂线上， ， ， 在与中， ， ， ， 在的中垂线上， 垂直平分． 【题型八 尺规作线段的垂直平分线】 例题：（2024·广东潮州·模拟预测）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结，交于点P．若，的周长为10，则的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键；由作图可知垂直平分，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵，的周长为10， ∴，即， ∴； 故选：B． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，交于点E，连接，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，则的周长，再代入数值即可． 【详解】解：从作法可知：是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故答案为：20． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，用尺规作图，作的角平分线，的垂直平分线．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题重点考查尺规作图、基本作图“作已知角的平分线”、“作已知线段的垂直平分线”等知识，按尺规作图的要求正确地作出图形是解题的关键． 根据作已知角的平分线及作已线段的垂直平分线的作法正确地作出相应的图形即可． 【详解】解：作的平分线：以点为圆心，以适当长度为半径作弧，分别交、于点、；连结，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于内部一点；作射线，射线就是所求的图形． 作的垂直平分线：分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点、；作直线，直线就是所求的图形． 【题型九 线段的垂直平分线的实际应用】 例题：（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（    ） A． 三边中线的交点 B．三条角平分线交点 C．三边中垂线的交点 D．三边上高交点 【答案】C 【分析】本题考查了与三角形相关的线段以及线段的垂直平分线．当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平， ∵线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边中垂线的交点， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南许昌·期中）元旦联欢会上，3 名同学分别站在 三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解得即可． 【详解】解：∵的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等， ∴凳子应放置的最适当的位置时在的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 2．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，一形状为四边形的风筝（四边形），测量得：， cm， cm， cm，则此风筝的大小为（即四边形的面积） cm2．             【答案】3360 【分析】先证明是的垂直平分线，再利用对角线互相垂直的四边形的面积是对角线乘积的一半即可求解． 【详解】∵， cm ∴是的垂直平分线． ∴ ∴ cm2 故答案是3360． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定和对角线互相垂直的四边形的面积公式，证明对角线垂直和记忆公式是解题的关键． 【题型十 线段的垂直平分线的性质与判定的综合应用】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，是的角平分线，，分别是和的高，连接交于G．下列结论：①；②垂直平分；③垂直平分；④平分．其中正确的结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，能求出是解此题的关键．根据角平分线性质求出，证，推出，再逐个判断即可． 【详解】解：∵是的角平分线，，分别是和的高， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴平分，故①④正确； ∵，， ∴A、D两点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，故②正确； 无法说明垂直平分，故③错误． 综上分析可知：正确的有3个， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·重庆·开学考试）如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．根据题意，连接，由垂直平分得到平分，，则，即可证明，则，即可得到的长． ，通过等边代换计算即可． 【详解】连接，如图： ∵垂直平分， ∴ 又∵平分，， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为： 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．    (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键． （1）连接、，，根据线段垂直平分线的性质和判定即可； （2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解． 【详解】（1）证明：连接、、，   垂直平分，垂直平分， ，， 点P在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，，， ，， 在中，，， ， 即，， 在四边形中，， 一、单选题 1．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）    A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解答即可． 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是三边的垂直平分线的交点， 故选：C． 2．（23-24七年级下·全国·期末）如图，已知直线l是线段的垂直平分线，垂足为O，M，N是直线l上两点．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查垂直平分的性质和全等三角形的判定和性质，根据垂直平分的性质得，，，结合即可证明，则有即可逐个判断选项． 【详解】解：有题意知，，，，则C正确； ∵， ∴，则A正确； ∴，则D正确； 无法证明， 故选：B． 3．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，为中边的中垂线，，则的周长是（ ） A．16 B．18 C．26 D．28 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质；利用线段进行等量代换，把线段进行等效转移是正确解答本题的关键． 利用线垂直平分线的性质得，再等量代换即可求得三角形的周长． 【详解】解：∵为中边的中垂线， ∴， ∴， ∴的周长． 故选：B． 4．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，作边的垂直平分线，交边于点，连接．若，，则的周长为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据中垂线的性质，得到，进而得到的周长为，即可得出结果． 【详解】解：∵作边的垂直平分线，交边于点， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，是的中垂线，的周长为14，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形的周长． 根据垂直平分线的性质得到，根据的周长为14，得到，从而求得，进而即可解答． 【详解】解：∵是的中垂线， ∴， ∵的周长为14， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8． 7．（23-24七年级下·全国·期末）（1）已知正边形的一个外角是，则 ； （2）如图，在中，，的垂直平分线交于，的垂直平分线交与，则的周长等于 ； （3）如图所示，在中，已知点，，分别为，，的中点．且，则图中的面积 ； （4）中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米秒，则当与全等时，的值为 厘米秒． 【答案】 8 10 /2平方厘米 2或3/3或2 【分析】（1）本题主要考查多边形外角和定理的应用．利用正多边形外角和除以外角的度数即可． （2）此题考查了线段垂直平分线的性质．由线段垂直平分线的性质可知、，从而可将的周长表示为，可求解． （3）本题主要考查三角形中线平分三角形面积．由点为的中点，可得，进一步求出，分别为的中点，即可求出答案； （4）本题主要考查全等三角形的性质．此题要分两种情况：当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求；当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求． 【详解】（1）解：正多边形的边数：， 故答案为：； （2）解：如图所示， 是的垂直平分线，是的垂直平分线， 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等， 的周长可， 的周长为， 故答案为：10； （3）解：为的中点， ， ∴ 即， ∵分别为的中点． ∴ 故答案为：； （4）解：当时，， 点为的中点， ， ∵， ， 点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动， 运动时间时， ∵， ， ； 当时，， ，， ， ， ， 运动时间为， ， 故答案为：或 8．（23-24八年级下·宁夏固原·开学考试）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，先根据三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质得出，最后用角度和差即可得出结论，正确掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】解：∵中，，， ∴， 根据作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线分别交，于，两点，若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据三角形周长的定义得到的周长为． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长， ，， 的周长 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则 ． 【答案】84 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，多边形内角和定理，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接，并延长到P，根据线段的垂直平分线的性质得，，根据四边形的内角和为得，根据外角的性质得，相加可得结论． 【详解】解：连接，并延长到P， ∵线段、的垂直平分线、相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴； 故答案为：84． 三、解答题 11．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，中，，平分，于． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）在中，求出即可解决问题； （2）利用等腰三角形的性质得出，，根据线段垂直平分线的判定即可证明． 本题考查了线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）证明：， ， 又平分， ， 在和中， ， ， ，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，（两点确定一条直线）， ． 12．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，的顶点均在格点上，直线经过网格格点．请完成下列各题： (1)画出关于直线的对称的． (2)的面积为 ． (3)①利用网格，在直线上画出点P，使． ②利用网格，在直线上画出点Q，使的值最小． 【答案】(1)见详解 (2)6 (3)①见详解；②见详解 【分析】本题考查了两点之间线段最短，运用网格求三角形面积，垂直平分线的性质，轴对称作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别作出点再依次连接，即可作答． （2）运用割补法求三角形面积，即可作答． （3）①结合网格特征，作出线段的垂直平分线，与直线的交点，即为点P，②结合（1），连接，与直线的交点，即为点Q，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：； （3）解：①在直线上画出点P，使，如图所示： ②在直线上画出点Q，使的值最小，如图所示： 13．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（23-24七年级下·全国·期末）如图，在中，平分交于点． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交于点，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） (2)求证：，请根据下列证明思路完成填空： 证明：∵ ， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ， ∴在和 中， ∴（ ）． ∴ ． ∵是线段的垂直平分线， ∴ ． ∴． 【答案】(1)见解析； (2)平分； ；；；． 【分析】（）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （）由角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的性质即可补全填空； 本题考查作图—线段垂直平分线，角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握上述知识是解题关键． 【详解】（1）如图，根据线段垂直平分线的作法得， ∴即为所求； （2）证明：∵平分， ∴， ∵是线段的垂直平分线，， ∴在和 中， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：平分； ；；；． 15．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，于点D，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，得到，即可得证； （2）角平分线的性质，得到，证明，得到，进而得到是线段的垂直平分线，分割法求出四边形的面积即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴ ∴； （2）解：∵平分，，， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$