第1章 勾股定理 测试卷-【拓展与培优】2024-2025学年八年级上册数学测试卷（北师大版2012）

书 １　 数学·八年级上册（ＢＳ） 第一章测试卷 （本卷满分：１２０分　考试时间：１２０分钟） 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（共８小题，每小题３分，计２４分．每小题只有一个 选项是符合题意的） １．下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是 （　　） Ａ．１，２，３　　Ｂ．２，４，６　　Ｃ．６，８，１０　　Ｄ．１，３，５ ２．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝１５ｃｍ，则图中两个 正方形的面积和为 （　　） 第２题图 Ａ．１５０ｃｍ２ Ｂ．２００ｃｍ２ Ｃ．２２５ｃｍ２ Ｄ．无法确定 ３．已知△ＡＢＣ的三边长分别为 ａ，ｂ，ｃ，且满足（ａ－ｂ）２＋ ｜ａ２＋ｂ２－ｃ２｜＝０，则△ＡＢＣ的形状为 （　　） Ａ．等腰三角形　　　　　Ｂ．直角三角形 Ｃ．等腰直角三角形 Ｄ．等腰三角形或直角三角形 ４．一艘海轮以２４海里／时的速度从港口Ａ出发向东南方向 航行，另一艘海轮以１８海里／时的速度同时从港口 Ａ出 发向西南方向航行，离开港口２小时后，两海轮之间的距 离为 （　　） Ａ．８４海里　　Ｂ．６０海里　　Ｃ．４８海里　　Ｄ．３６海里 ５．如图，圆柱纸盒高为８ｃｍ，底面周长为１２ｃｍ，Ｂ点处放有 一粒糖，底面Ａ处有一只小蚂蚁，小蚂蚁从Ａ点爬到Ｂ点 的最短路线长为 （　　） 第５题图 Ａ．４ｃｍ Ｂ．８ｃｍ Ｃ．５ｃｍ Ｄ．１０ｃｍ ６．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，周长为６０，斜边与一条直角边 之比为１３∶５，则这个三角形三边的长分别为 （　　） Ａ．１０，８，６ Ｂ．１３，１２，５ Ｃ．３９，１５，６ Ｄ．２６，２４，１０ ７．幸福花园住宅小区有一块草坪，形状如图所示，已知ＡＢ＝ ３ｍ，ＢＣ＝４ｍ，ＣＤ＝１２ｍ，ＤＡ＝１３ｍ，且ＡＢ⊥ＢＣ，则这块草 坪的面积是 （　　） Ａ．２４ｍ２ Ｂ．３６ｍ２ Ｃ．４８ｍ２ Ｄ．７２ｍ２ 第７题图 　　　　　 第８题图 ８．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方 形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的 边长分别是３，５，２，３．则最大正方形Ｅ的面积是 （　　） Ａ．１３ Ｂ．２６ Ｃ．３４ Ｄ．４７ 二、填空题（共５小题，每小题３分，计１５分） ９．一根长５ｍ的竹竿能否放在长、宽、高分别是４ｍ，３ｍ，３ｍ 的电梯内？　　　　（填“能”或“不能”） １０．若等腰三角形腰长为５ｃｍ，底边长为６ｃｍ，则等腰三角 形的面积为　　　　． １１．在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，斜边长 ＡＢ＝２，则 ＡＢ２＋ＢＣ２＋ＣＡ２＝ 　　　　． １２．如图，学校有一块正方形花圃，有极少数人为了避开拐 角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走 了　　　　步路（假设２步为１ｍ），却踩伤了花草． 第１２题图 　　　　　 第１３题图 １３．如图，正方形 ＡＢＧＦ和正方形 ＣＤＥＢ的面积分别是１００ 和３６，则以ＡＣ为直径的半圆的面积是　　　　． 三、解答题（共１１小题，计８１分．解答应写出过程） １４．（５分）如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１２，ＡＣ＝１０，ＢＣ边上 的高ＡＤ＝８，求ＢＣ边的长． 第１４题图 １５．（５分）作４个全等的直角三角形，设它们的两条直角边 长分别为ａ，ｂ，其中ａ＞ｂ，斜边长为ｃ，再作一个边长为ｃ 的正方形，把它们按如图所示的方式拼成一个大正方 形，请用这个图证明勾股定理． 第１５题图 １６．（６分）学校运动场上垂直竖立的旗杆的顶端 Ａ处系有 一根升旗用的绳子，绳子垂直到地面时还剩１米长在地 面上（如图１），小芳为了测量旗杆ＡＢ的高度，将绳子拉 直，使绳子的另一端 Ｃ刚好着地（如图２）．量得 ＢＣ＝５ 米，求旗杆ＡＢ的高度． 第１６题图 １７．（６分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝８，ＢＣ＝６，在△ＡＢＤ中， ＤＥ为 ＡＢ边上的高，ＤＥ＝４，△ＡＢＤ的面积为 ２０，则 △ＡＢＣ是否为直角三角形？ 第１７                                                                                                                                             题图 ２　 １８．（６分）如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，Ｍ是ＢＣ的中点，ＢＭ２ ＝ＢＤ２＋ＤＭ２．求证：ＡＤ２＝ＡＣ２＋ＢＤ２． 第１８题图 １９．（６分）如图，有两根长杆隔河相对，一杆 ＤＣ高３ｍ，另 一杆ＡＢ高２ｍ，两杆相距ＢＣ为５ｍ，两根长杆都与地面 垂直，现两杆顶部各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之 间的河面上Ｅ处浮出一条小鱼，于是同时以同样的速度 飞来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼，求两杆底部距小 鱼的距离各是多少米？（假设小鱼在此过程中保持不动） 第１９题图 ２０．（８分）如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ边上的一点，若ＡＢ＝ １０，ＢＤ＝６，ＡＤ＝８，ＡＣ＝１７． （１）试判断△ＡＤＣ的形状，并说明△ＡＢＣ是否为直角三 角形； （２）求△ＡＢＣ的面积． 第２０题图 ２１．（７分）如图所示，某地有Ａ，Ｂ，Ｃ三个村庄，Ｃ村到Ｂ村， Ａ村的距离分别为２４千米，１０千米，Ａ，Ｂ两村相距２６千 米，现要从Ｃ村修一公路ＣＤ到ＡＢ，要求所修公路最短． 请你在图上标出Ｄ点的位置，并求出ＣＤ的长． 第２１题图 ２２．（１０分）如图，某沿海城市Ａ接到台风警报，在该市正南方 向１５０ｋｍ的Ｂ处有一台风中心正以２０ｋｍ／ｈ的速度向ＢＣ 方向移动，已知城市Ａ到ＢＣ的距离ＡＤ＝９０ｋｍ，那么： （１）台风中心经过多长时间从Ｂ点移到Ｄ点？ （２）如果在距台风中心３０ｋｍ的圆形区域内都有受到台 风破坏的危险，为让 Ｄ点的游人脱离危险，游人必须在 接到台风警报后的多少小时内撤离（撤离速度为６ｋｍ／ｈ）？ 选择什么方向（选“ＤＡ方向”“ＤＣ方向”或“ＤＢ方向”）？ 第２２题图 ２３．（１０分）如图１和图２所示，△ＡＢＣ是等腰三角形，ＡＣ＝ ＢＣ，点Ｐ是底边ＡＢ上的一个动点（不与Ａ，Ｂ重合），连 接ＰＣ． （１）如图１所示，当ＰＣ平分∠ＡＣＢ时，求证：ＡＣ２－ＰＣ２＝ ＰＡ·ＰＢ． （２）如图２所示，当ＰＡ＞ＰＢ时，结论ＡＣ２－ＰＣ２＝ＰＡ·ＰＢ 还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明 理由． 第２３题图 ２４．（１２分）在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＢ＝５ｃｍ，ＡＣ＝３ｃｍ， 动点Ｐ从点Ｂ出发，沿射线ＢＣ以１ｃｍ／ｓ的速度移动，设 运动的时间为ｔｓ，当△ＡＢＰ为直角三角形时，求ｔ的值． 第２４                                                                                                                                             题图 ３１　 参考答案 第一章测试卷 １．Ｃ　２．Ｃ　３．Ｃ　４．Ｂ　５．Ｄ　６．Ｄ　７．Ｂ　８．Ｄ ９．能　１０．１２ｃｍ２　１１．８　１２．４　１３．８π １４．解：∵ＡＤ⊥ＢＣ， ∴ＢＤ２＝１２２－８２，ＣＤ２＝１０２－８２， ∴ＢＤ＝４槡５，ＣＤ＝６， ∴ＢＣ＝６＋４槡５． １５．证明：如图，由题意可得 ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＧ＝ＤＨ＝ａ，ＡＨ＝ ＤＧ＝ＣＦ＝ＢＥ＝ｂ，ＨＥ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ＝ｃ， ∵Ｓ正方形ＡＢＣＤ＝４Ｓ△ＡＥＨ＋Ｓ正方形ＥＦＧＨ， ∴（ａ＋ｂ）２＝４×１２ａｂ＋ｃ ２， 即ａ２＋２ａｂ＋ｂ２＝２ａｂ＋ｃ２， ∴ａ２＋ｂ２＝ｃ２． １６．解：设旗杆ＡＢ的高度为ｘ米，则ＡＣ＝（ｘ＋１）米， 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理可得ｘ２＋５２＝（ｘ＋１）２， 解得ｘ＝１２． 故旗杆ＡＢ的高度为１２米． １７．解：Ｓ△ＡＢＤ＝ １ ２ＡＢ·４＝２０， ∴ＡＢ＝１０． 在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝８，ＢＣ＝６，ＡＢ＝１０． ∵ＡＣ２＋ＢＣ２＝８２＋６２＝１０２＝ＡＢ２， ∴△ＡＢＣ为直角三角形． １８．证明：如图，连接ＡＭ． 因为ＢＭ２＝ＢＤ２＋ＤＭ２， 所以△ＢＤＭ为直角三角形， 所以∠ＡＤＭ＝∠ＢＤＭ＝９０°． 所以ＡＭ２＝ＤＭ２＋ＡＤ２， 又因为∠Ｃ＝９０°，所以ＡＣ２＋ＣＭ２＝ＡＭ２． 因为Ｍ为ＢＣ的中点，所以ＣＭ＝ＢＭ， 所以ＡＣ２＋ＢＤ２＝ＡＣ２＋ＢＭ２－ＤＭ２＝ＡＣ２＋ＣＭ２－ＤＭ２＝ ＡＭ２－ＤＭ２＝ＡＤ２， 即ＡＤ２＝ＡＣ２＋ＢＤ２． １９．解：由题意可得：ＡＥ＝ＤＥ， ＡＢ２＋ＢＥ２＝ＥＣ２＋ＤＣ２．故２２＋ＢＥ２＝（５－ＢＥ）２＋３２． 解得ＢＥ＝３，则ＥＣ＝５－３＝２． 答：两杆杆底到Ｅ处的水平距离分别是３ｍ和２ｍ． ２０．解：（１）∵ＡＢ＝１０，ＢＤ＝６，ＡＤ＝８， ∴ＡＢ２＝ＢＤ２＋ＡＤ２， ∴△ＡＢＤ是直角三角形， ∴∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＢ＝９０°， ∴△ＡＤＣ是直角三角形． ∵ＡＤ２＋ＤＣ２＝ＡＣ２， ∴ＤＣ＝１５． ∵ＡＢ＝１０，ＡＣ＝１７，ＢＣ＝６＋１５＝２１，ＡＢ２＋ＡＣ２≠ＢＣ２， ∴△ＡＢＣ不是直角三角形； （２）Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＢＣ·ＡＤ＝ １ ２×２１×８＝８４． ２１．解：如图所示，过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，ＣＤ为所修公 路，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝１０千米，ＢＣ＝２４千米，ＡＢ＝２６ 千米，所以 ＡＣ２ ＋ＢＣ２ ＝ＡＢ２，所以△ＡＣＢ为直角三 角形． Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＡＣ·ＢＣ，所以ＡＣ·ＢＣ＝ＡＢ·ＣＤ， 即１０×２４＝２６×ＣＤ，ＣＤ＝１２０１３（千米）， 所以ＣＤ的长为１２０１３千米． ２２．解：（１）在直角三角形ＡＢＤ中，根据勾股定理，得 ＢＤ２＝ＡＢ２－ＡＤ２＝１５０２－９０２＝１４４００， 所以ＢＤ＝１２０千米， １２０÷２０＝６（小时）． 答：台风中心经过６小时从Ｂ点移到Ｄ点． （２）撤离的时间＝３０÷６＝５（小时）， 又因为台风中心到点Ｄ的时间是６小时， 所以游人必须在接到台风警报后的１小时内撒离，撤 离的方向是ＤＡ方向． ２３．（１）证明：∵ＡＣ＝ＢＣ，ＰＣ平分∠ＡＣＢ，∴ＰＡ＝ＰＢ，ＰＣ ⊥ＡＢ． 在Ｒｔ△ＡＰＣ中，ＡＣ２－ＰＣ２＝ＰＡ２＝ＰＡ·ＰＢ． （２）解：成立，证明如下：如图，过点 Ｃ作 ＣＨ⊥ＡＢ，垂 足为点Ｈ． ∵ＡＣ＝ＢＣ，∴ＡＨ＝ＢＨ． 在Ｒｔ△ＡＨＣ和 Ｒｔ△ＰＨＣ中，有 ＡＣ２＝ＣＨ２＋ＡＨ２，ＰＣ２ ＝ＣＨ２＋ＰＨ２． ∴ＡＣ２－ＰＣ２＝（ＣＨ２＋ＡＨ２）－（ＣＨ２＋ＰＨ２）＝ＡＨ２－ ＰＨ２＝（ＡＨ＋ＰＨ）（ＡＨ－ＰＨ）＝（ＡＨ＋ＰＨ）（ＢＨ－ＰＨ） ＝ＰＡ·ＰＢ． ２４．解：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理得 ＢＣ２＝ＡＢ２－ＡＣ２＝ ５２－３２＝１６， ∴ＢＣ＝４ｃｍ． 由题意得ＢＰ＝ｔｃｍ． ①当∠ＡＰＢ为直角时，如图①，点Ｐ与点Ｃ重合， ∴ＢＰ＝ＢＣ＝４ｃｍ，∴ｔ＝４ｓ； ②当∠ＢＡＰ为直角时，如图②， ∵ＢＰ＝ｔｃｍ，∴ＣＰ＝（ｔ－４）ｃｍ， 在Ｒｔ△ＡＣＰ中，ＡＰ２＝ＡＣ２＋ＣＰ２＝３２＋（ｔ－４）２， 在Ｒｔ△ＢＡＰ中，ＡＰ２＝ＢＰ２－ＡＢ２＝ｔ２－５２， ∴３２＋（ｔ－４）２＝ｔ２－５２，解得ｔ＝２５４． 综上，当△ＡＢＰ为直角三角形时，ｔ＝４ｓ或２５４ｓ． 第二章测试卷 １．Ｃ　２．Ｂ　３．Ｄ　４．Ｄ　５．Ｃ　６．Ａ　７．Ｂ　８．Ｃ　９．３槡９　 １０．０　１１．８　１２．５　１３．２－槡２　２＋２槡２ １４．解：（１）原式＝０．４×２３＝ ４ １５； （２）原式＝６槡３－９槡３＋１２槡３＝９槡３； （３）原式＝（槡２－槡５－槡３）×（槡２－槡５＋槡３） ＝（槡２－槡５） ２－（槡３） ２ ＝２－２槡１０＋５－３ ＝４－２槡１０． １５．解：（１）槡７－１２ 与１比较大小相当于槡７－１与２比较大 小．相当于槡７与３比较大小． ∵槡７＜槡９，∴槡 ７－１ ２ ＜１； （２）４（槡５－１）－７＝４槡５－１１ ∵（４槡５） ２＝８０，１１２＝１２１∴４槡５＜１１， 即４槡５－１１＜０，即４（槡５－１）＜７． １６．（１）原式＝ ３槡２＋槡１７ （３槡２－槡１７）（３槡２＋１７） ＝３槡２＋槡１７．