13.4 课题学习最短路径问题导学案 2024-2025学年人教版数学八年级上册

第4课 课题学习 最短路径问题 课前预习 如图,高速公路l的两侧有M,N两城镇,要在高速公路上建一个出口P,使M,N两城镇到P的距离之和最短.请你找出P的位置(不写作法,保留作图痕迹). 解:如图,点P即为所求. 基础练习 一、.最短路径问题 1.“两定一动”型 2.如图,牧童在A处放牛,他的家在B处,l为河流所在直线,晚上回家时要到河边让牛饮一次水.饮水的地点(用点P表示)选在何处时,牧童所走的路程最短(保留作图痕迹,不写作法)? 解:如图,点P即为饮水的地点. 3.如图,在 ABC中,AB=AC,AD,BE是 ABC的两条中线,AD=6,BE=8,P是AD上的一个动点.连接PE,PC,则CP+EP的最小值是( C ) A.6 B.7 C.8 D.9 二、“两动一定”型 1.如图,∠XOY内有一点P,试在射线OX上找出一点M,在射线OY上找出一点N,使PM+MN+NP最短(要求写出作法). 解:如图,分别作点P关于OX的对称点A,关于OY的对称点B,连接AB,分别交OX,OY于点M,N,则M,N两点即为所求. 2.如图,草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成30 的夹角,牧马人从A地出发,先让马到草地吃草,然后再去河边饮水,最后回到A地.已知O,A两点之间的距离为2 km,请在图中设计一条路线,使所走的路径最短,并直接写出整个过程所行的路程(不写作法,保留作图痕迹). 解:如图,线段AD,DE,EA即为所求最短路线.总路程为2 km. 三、“两定两动”型 1.如图,要求在l1,l2上找出M,N两点,使四边形PQNM的周长最小,在图上画出M,N的位置(要求写出作法). 解:如图,分别作出点P关于l1的对称点P′,点Q关于l2的对称点Q′,连接P′Q′,分别交l1,l2于点M,N,连接PM,QN,此时四边形PQNM的 2.如图,山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊,然后赶羊到小河l2饮水,之后再回到B处的家,假设山娃赶羊走的都是直路,请你为他设计一条最短的路线,标明放羊与饮水的位置(保留作图痕迹,不写作法). 解:如图,放羊的位置为C点,饮水的位置为D点.线段AC,CD,DB即为所求最短路线. 三、造桥选址问题 1.如图,直线l1,l2表示一条河的两岸,且l1∥l2,现要在这条河上建一座桥(桥与河的两岸相互垂直),桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短?画出示意图,并写出作法. 解:如图,先确定AA′与河等宽,且AA′⊥l2,连接BA′,交l1于点C,过点C作CD⊥l2,垂足为D,连接AD.CD即为所求的桥的位置,线段AD, 2.如图,某条护城河在CC′处直角转弯,河宽均为5 m,从A处到达B处,须经过两座桥(桥宽不计,桥与河垂直),设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,如何选址造桥可使从A处到B处的路程最短?请确定两座桥的位置(保留作图痕迹,不写作法). 解:如图,DD′,EE′即为两座桥的位置.线段AD,DD′,D′E′,E′E,EB即为所求最短路线. 强化练习 3.如图, ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4). (1) ABC的面积为; (2)请画出 ABC关于y轴对称的 A1B1C1; 解:如图, A1B1C1即为所求. (3)在x轴上画出点P,使PA+PB的值最小,并直接写出点P的坐标.(保留作图痕迹,不写作法) 解:如图,点P即为所求,坐标为(2,0). 学科网(北京)股份有限公司 $$