4.7 相似三角形的性质 课件 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

第四章 图形的相似 7 相似三角形的性质 初中数学北师大版九年级上册 第1课时 相似三角形中特殊线段的性质 1 情境导入 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房梁△A′B′C′ ，CD和C′D′分别是它们的立柱。 (1)△ACD与△A′C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。 (2)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ 2 探究新知 想一想 已知△ABC∽△A′B′C′， △ABC与△A′B′C′的相似比为k，它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论. A B C A′ B′ C′ ∵△ABC∽△A′B′C′ ∴∠B=∠B′ 又 ∠AHB=∠A′H′B′=90° △AHB∽∠A′H′B′ 同样可以证明其余两组对应边上的高的比也等于相似比. 相似三角形对应高的比等于相似比 证明 证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′ ∴∠B=∠B′ ，∠BAC=∠B′A′C′ 又AT，A′T′分别为对应角∠BAC， ∠B′A′C′的角平分线， ∴∠BAT= ∠BAC= ∠B′A′C′=∠B′A′T′ ∴△ABT∽△A′B′T′ 同样可以证明其余两组对应角的角平分线的比也等于相似比. 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比 A B C A′ B′ C′ D D′ 证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′ ∴∠B=∠B′ ∵ D、D′分别是BC和B′C′的中点 ∵∠B=∠B′ ∴△ABD∽△A′B′D′ 同样可以证明其余两组对应边上的中线的比也等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比 议一议 如图，已知△ABC∽△A′B′C′， △ABC与△A′B′C′的相似比为k；点D、E在BC边上，点D′、E′在B′C′边上. （1）若∠BAD= ∠BAC，∠B′A′D′= ∠B′A′C′，则 等于多少？ （2）若BE= BC， B′E′= B′C′，则 等于多少？ （3）你还能提出哪些问题？与同伴交流. 证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′ ∴∠B=∠B′ ， ∠BAC=∠B′A′C′ ∴△ABD∽△A′B′D′ ∵∠BAD= ∠BAC，∠B′A′D′= ∠B′A′C′， ∴∠BAD=∠B′A′D′ 证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′ ∴∠B=∠B′ ， ∴△ABE∽△A′B′E′ ∵BE= BC， B′E′= B′C′ 相似三角形对应角的n等分线的比，对应边的n等分线的比都等于相似比。 例1 如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E. 当SR= BC时，求DE的长.如果SR= BC呢？ 解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC. ∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C. ∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似） ∴ （相似三角形对应高的比等于相似比）， 即 当SR= BC时，得 .解得DE= . 当SR= BC时，得 .解得DE= . 随堂练习 1.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线， ，BD=4cm，求B′D′的长. 2.两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm，求这两个三角形的相似比.在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是3cm，那么较长的中线有多长？ 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比 课堂小结 相似三角形的性质(1) 相似三角形对应高的比、对应的角平分线的比、对应边上的中线的比等于相似比. A B C A′ B′ C′ 第四章 图形的相似 7 相似三角形的性质 初中数学北师大版九年级上册 第2课时 相似三角形周长和面积的性质 16 情境导入 (1)如图，△ABC∽△A'B'C' ，相似比为2，△ABC与△A'B'C' 的周长比是多少？ 面积比呢？ (2)如图，△ABC∽△A'B'C' ，相似比为2，△ABC与△A'B'C' 的周长比是多少？ 面积比呢？ A B C A′ B′ C′ 17 △A′B′C′∽△ABC ∴C△ABC=AB+AC+BC=k(A′B′+A′C′+B′C′) C△A′B′C′= A′B′+A′C′+B′C′ 相似三角形的周长比等于相似比 A B C A′ B′ C′ 探究新知 分别作BC，BC边上的高A′D，AD，则 因此， 相似三角形的面积比等于相似比的平方 A B C A′ B′ C′ D D′ 相似三角形的性质(2) 相似三角形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. A B C A′ B′ C′ 议一议 两个相似四边形的周长等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？两个相似的n边形呢？ A B C D A′ B′ C′ D′ A B C D A′ B′ C′ D′ 连接BD和B′D′ ∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′ A B C D A′ B′ C′ D′ 连接BD和B′D′ 相似多边形周长的比等于相似比， 面积比等于相似比的平方。 A B C D A′ B′ C′ D′ A B C D E A′ B′ C′ D′ E′ 例2 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离. 解：根据题意，可知EG∥AB. ∴∠GEC=∠B，∠EGC=∠A. ∴△GEC∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）. （相似三角形的面积比等于相似的平方比） 即 ∴EC2=2.∴EC= .∴BE=BC－EC= ， 即△ACB平移的距离为 . 随堂练习 1.判断正误： （1）如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍； （ ） （2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边的长都扩大为原来的9倍 。 （ ） √ × 2.如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，且DE、FG把△ABC的面积三等分，若BC=12cm，求FG的长. 又因为FG∥BC，所以 ，且 BC=12cm，所以FG= cm. 解：因为DE∥FG∥BC， 所以△ADE∽△AFG∽△ABC， 所以S△ADE∶S△AFG∶S△ABC=AD2∶AF2∶AB2， 又因为DE、FG把△ABC的面积三等分， 所以S△ADE∶S△AFG∶S△ABC=1∶2∶3， 所以AD∶AF∶AB= ， 3.如图，已知DE∥BC，BD=3AD，S△ABC =48，求：△ADE的面积. 解：因为DE∥BC 所以∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB 所以△ADE ∽△ABC 又因为BD=3AD 可得相似比 k=AD∶AB=1∶2 所以S△ADE = S△ABC =12 课堂小结 相似三角形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 相似多边形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 相似三角形的性质(2) THANKS! 感谢聆听 请多指点 $$